MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioopnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioopnf 13361
Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioopnf (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11210 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 elioo2 13306 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)))
31, 2mpan2 690 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)))
4 df-3an 1090 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
5 ltpnf 13042 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
65adantr 482 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
76pm4.71i 561 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
84, 7bitr4i 278 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
93, 8bitrdi 287 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  +∞cpnf 11187  *cxr 11189   < clt 11190  (,)cioo 13265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-ioo 13269
This theorem is referenced by:  mbfmulc2lem  25014  mbfposr  25019  ismbf3d  25021  mbfaddlem  25027  mbfsup  25031  itg2gt0  25128  itg2cnlem1  25129  itg2cnlem2  25130  lhop2  25382  dvfsumlem2  25394  dvfsumlem3  25395  dvfsumrlimge0  25397  dvfsumrlim  25398  dvfsumrlim2  25399  pntpbnd1a  26936  pntpbnd2  26938  pntibndlem2  26942  pntibndlem3  26943  pntlemi  26955  pntlemo  26958  relowlssretop  35837  itg2addnclem2  36133  iblabsnclem  36144  ftc1anclem1  36154  ftc1anclem6  36159  rfcnpre1  43231  regt1loggt0  46629  rege1logbrege0  46651  rege1logbzge0  46652  io1ii  46960
  Copyright terms: Public domain W3C validator