Theorem elioopnf 13416

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11264	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elioo2 13361	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
5		ltpnf 13096	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
7	6	pm4.71i 560	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	4, 7	bitr4i 277	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9	3, 8	bitrdi 286	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13324

This theorem is referenced by:  mbfmulc2lem  25155  mbfposr  25160  ismbf3d  25162  mbfaddlem  25168  mbfsup  25172  itg2gt0  25269  itg2cnlem1  25270  itg2cnlem2  25271  lhop2  25523  dvfsumlem2  25535  dvfsumlem3  25536  dvfsumrlimge0  25538  dvfsumrlim  25539  dvfsumrlim2  25540  pntpbnd1a  27077  pntpbnd2  27079  pntibndlem2  27083  pntibndlem3  27084  pntlemi  27096  pntlemo  27099  gg-dvfsumlem2  35171  relowlssretop  36232  itg2addnclem2  36528  iblabsnclem  36539  ftc1anclem1  36549  ftc1anclem6  36554  rfcnpre1  43688  regt1loggt0  47175  rege1logbrege0  47197  rege1logbzge0  47198  io1ii  47506