Theorem elioopnf 13388

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11191	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elioo2 13331	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		df-3an 1094	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
5		ltpnf 13063	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
7	6	pm4.71i 564	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	4, 7	bitr4i 279	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9	3, 8	bitrdi 288	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5073  (class class class)co 7357  ℝcr 11029  +∞cpnf 11168  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171  (,)cioo 13290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-ioo 13294

This theorem is referenced by:  mbfmulc2lem  25633  mbfposr  25638  ismbf3d  25640  mbfaddlem  25646  mbfsup  25650  itg2gt0  25746  itg2cnlem1  25747  itg2cnlem2  25748  lhop2  26001  dvfsumlem2  26013  dvfsumlem3  26014  dvfsumrlimge0  26016  dvfsumrlim  26017  dvfsumrlim2  26018  pntpbnd1a  27567  pntpbnd2  27569  pntibndlem2  27573  pntibndlem3  27574  pntlemi  27586  pntlemo  27589  relowlssretop  37734  itg2addnclem2  38048  iblabsnclem  38059  ftc1anclem1  38069  ftc1anclem6  38074  rfcnpre1  45476  regt1loggt0  49035  rege1logbrege0  49057  rege1logbzge0  49058  io1ii  49419