Theorem elioopnf 13499

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11290	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elioo2 13442	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
5		ltpnf 13174	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
7	6	pm4.71i 569	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	4, 7	bitr4i 281	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9	3, 8	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270  (,)cioo 13401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ioo 13405

This theorem is used by:  mbfmulc2lem  25878  mbfposr  25883  ismbf3d  25885  mbfaddlem  25891  mbfsup  25895  itg2gt0  25991  itg2cnlem1  25992  itg2cnlem2  25993  lhop2  26245  dvfsumlem2  26257  dvfsumlem3  26258  dvfsumrlimge0  26260  dvfsumrlim  26261  dvfsumrlim2  26262  pntpbnd1a  27824  pntpbnd2  27826  pntibndlem2  27830  pntibndlem3  27831  pntlemi  27843  pntlemo  27846  relowlssretop  38120  itg2addnclem2  38424  iblabsnclem  38435  ftc1anclem1  38445  ftc1anclem6  38450  rfcnpre1  45856  regt1loggt0  49469  rege1logbrege0  49491  rege1logbzge0  49492  io1ii  49850