Theorem elioopnf 13422

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11270	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elioo2 13367	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
5		ltpnf 13102	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
7	6	pm4.71i 560	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	4, 7	bitr4i 277	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9	3, 8	bitrdi 286	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  +∞cpnf 11247  ℝ^*cxr 11249   < clt 11250  (,)cioo 13326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-ioo 13330

This theorem is referenced by:  mbfmulc2lem  25171  mbfposr  25176  ismbf3d  25178  mbfaddlem  25184  mbfsup  25188  itg2gt0  25285  itg2cnlem1  25286  itg2cnlem2  25287  lhop2  25539  dvfsumlem2  25551  dvfsumlem3  25552  dvfsumrlimge0  25554  dvfsumrlim  25555  dvfsumrlim2  25556  pntpbnd1a  27095  pntpbnd2  27097  pntibndlem2  27101  pntibndlem3  27102  pntlemi  27114  pntlemo  27117  gg-dvfsumlem2  35252  relowlssretop  36330  itg2addnclem2  36626  iblabsnclem  36637  ftc1anclem1  36647  ftc1anclem6  36652  rfcnpre1  43785  regt1loggt0  47300  rege1logbrege0  47322  rege1logbzge0  47323  io1ii  47631