Theorem iccssre 13560

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13542	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1498	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3914	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11199   ≤ cle 11344  [,]cicc 13479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-icc 13483

This theorem is used by:  iccssred  13565  iccsupr  13573  iccsplit  13616  iccshftri  13618  iccshftli  13620  iccdili  13622  icccntri  13624  unitssre  13630  supicc  13632  supiccub  13633  supicclub  13634  icccld  25085  iccntr  25141  icccmplem2  25143  icccmplem3  25144  icccmp  25145  retopconn  25149  iccconn  25150  cnmpopc  25249  iihalf1cn  25253  iihalf2cn  25255  icoopnst  25260  iocopnst  25261  icchmeo  25262  xrhmeo  25267  icccvx  25271  cnheiborlem  25275  htpycc  25301  pcocn  25338  pcohtpylem  25340  pcopt  25343  pcopt2  25344  pcoass  25345  pcorevlem  25347  ivthlem2  25773  ivthlem3  25774  ivthicc  25779  evthicc  25780  ovolficcss  25790  ovolicc1  25837  ovolicc2  25843  ovolicc  25844  iccmbl  25887  ovolioo  25889  dyadss  25915  volcn  25927  volivth  25928  vitalilem2  25930  vitalilem4  25932  mbfimaicc  25952  mbfi1fseqlem4  26039  itgioo  26136  rollelem  26309  rolle  26310  mvth  26312  dvlip  26313  c1liplem1  26316  c1lip1  26317  c1lip3  26319  dvgt0lem1  26322  dvgt0lem2  26323  dvgt0  26324  dvlt0  26325  dvge0  26326  dvle  26327  dvivthlem1  26328  dvivth  26330  dvne0  26331  lhop1lem  26333  dvcvx  26340  dvfsumge  26342  dvfsumabs  26343  ftc1lem1  26355  ftc1a  26357  ftc1lem4  26359  ftc1lem5  26360  ftc1lem6  26361  ftc1  26362  ftc1cn  26363  ftc2  26364  ftc2ditglem  26365  ftc2ditg  26366  itgparts  26367  itgsubstlem  26368  itgpowd  26370  aalioulem3  26661  reeff1olem  26773  efcvx  26776  pilem3  26780  pige3ALT  26848  sinord  26862  recosf1o  26863  resinf1o  26864  efif1olem4  26873  asinrecl  27230  acosrecl  27231  emre  27333  pntlem3  27936  ttgcontlem1  29462  signsply0  35180  iblidicc  35221  ftc2re  35227  iccsconn  36013  iccllysconn  36015  cvmliftlem10  36059  ivthALT  37123  sin2h  38534  cos2h  38535  mblfinlem2  38577  ftc1cnnclem  38610  ftc1cnnc  38611  ftc1anclem7  38618  ftc1anc  38620  ftc2nc  38621  areacirclem2  38628  areacirclem3  38629  areacirclem4  38630  areacirc  38632  iccbnd  38775  icccmpALT  38776  arearect  44217  areaquad  44218  lhe4.4ex1a  45313  lefldiveq  46308  itgsin0pilem1  46960  ibliccsinexp  46961  iblioosinexp  46963  itgsinexplem1  46964  itgsinexp  46965  iblspltprt  46983  fourierdlem5  47122  fourierdlem9  47126  fourierdlem18  47135  fourierdlem24  47141  fourierdlem62  47178  fourierdlem66  47182  fourierdlem74  47190  fourierdlem75  47191  fourierdlem83  47199  fourierdlem87  47203  fourierdlem93  47209  fourierdlem95  47211  fourierdlem102  47218  fourierdlem103  47219  fourierdlem104  47220  fourierdlem112  47228  fourierdlem114  47230  sqwvfoura  47238  sqwvfourb  47239