Theorem iccssre 12544

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 12527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1178	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3834	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3799   class class class wbr 4874  (class class class)co 6906  ℝcr 10252   ≤ cle 10393  [,]cicc 12467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-icc 12471

This theorem is referenced by:  iccsupr  12556  iccsplit  12599  iccshftri  12601  iccshftli  12603  iccdili  12605  icccntri  12607  unitssre  12613  supicc  12614  supiccub  12615  supicclub  12616  icccld  22941  iccntr  22995  icccmplem2  22997  icccmplem3  22998  icccmp  22999  retopconn  23003  iccconn  23004  cnmpt2pc  23098  iihalf1cn  23102  iihalf2cn  23104  icoopnst  23109  iocopnst  23110  icchmeo  23111  xrhmeo  23116  icccvx  23120  cnheiborlem  23124  htpycc  23150  pcocn  23187  pcohtpylem  23189  pcopt  23192  pcopt2  23193  pcoass  23194  pcorevlem  23196  ivthlem2  23619  ivthlem3  23620  ivthicc  23625  evthicc  23626  ovolficcss  23636  ovolicc1  23683  ovolicc2  23689  ovolicc  23690  iccmbl  23733  ovolioo  23735  dyadss  23761  volcn  23773  volivth  23774  vitalilem2  23776  vitalilem4  23778  mbfimaicc  23798  mbfi1fseqlem4  23885  itgioo  23982  rollelem  24152  rolle  24153  cmvth  24154  mvth  24155  dvlip  24156  c1liplem1  24159  c1lip1  24160  c1lip3  24162  dvgt0lem1  24165  dvgt0lem2  24166  dvgt0  24167  dvlt0  24168  dvge0  24169  dvle  24170  dvivthlem1  24171  dvivth  24173  dvne0  24174  lhop1lem  24176  dvcvx  24183  dvfsumle  24184  dvfsumge  24185  dvfsumabs  24186  ftc1lem1  24198  ftc1a  24200  ftc1lem4  24202  ftc1lem5  24203  ftc1lem6  24204  ftc1  24205  ftc1cn  24206  ftc2  24207  ftc2ditglem  24208  ftc2ditg  24209  itgparts  24210  itgsubstlem  24211  aalioulem3  24489  reeff1olem  24600  efcvx  24603  pilem3  24607  pilem3OLD  24608  pige3  24670  sinord  24681  recosf1o  24682  resinf1o  24683  efif1olem4  24692  asinrecl  25043  acosrecl  25044  emre  25146  pntlem3  25712  ttgcontlem1  26185  signsply0  31176  iblidicc  31220  ftc2re  31226  iccsconn  31777  iccllysconn  31779  cvmliftlem10  31823  ivthALT  32869  sin2h  33943  cos2h  33944  mblfinlem2  33992  ftc1cnnclem  34027  ftc1cnnc  34028  ftc1anclem7  34035  ftc1anc  34037  ftc2nc  34038  areacirclem2  34045  areacirclem3  34046  areacirclem4  34047  areacirc  34049  iccbnd  34182  icccmpALT  34183  itgpowd  38643  arearect  38644  areaquad  38645  lhe4.4ex1a  39369  lefldiveq  40305  iccssred  40527  itgsin0pilem1  40961  ibliccsinexp  40962  iblioosinexp  40964  itgsinexplem1  40965  itgsinexp  40966  iblspltprt  40984  fourierdlem5  41124  fourierdlem9  41128  fourierdlem18  41137  fourierdlem24  41143  fourierdlem62  41180  fourierdlem66  41184  fourierdlem74  41192  fourierdlem75  41193  fourierdlem83  41201  fourierdlem87  41205  fourierdlem93  41211  fourierdlem95  41213  fourierdlem102  41220  fourierdlem103  41221  fourierdlem104  41222  fourierdlem112  41230  fourierdlem114  41232  sqwvfoura  41240  sqwvfourb  41241