Theorem iccssre 13382

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13364	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1472	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3927	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   ≤ cle 11180  [,]cicc 13301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-icc 13305

This theorem is referenced by:  iccssred  13387  iccsupr  13395  iccsplit  13438  iccshftri  13440  iccshftli  13442  iccdili  13444  icccntri  13446  unitssre  13452  supicc  13454  supiccub  13455  supicclub  13456  icccld  24731  iccntr  24787  icccmplem2  24789  icccmplem3  24790  icccmp  24791  retopconn  24795  iccconn  24796  cnmpopc  24895  iihalf1cn  24899  iihalf2cn  24901  icoopnst  24906  iocopnst  24907  icchmeo  24908  xrhmeo  24913  icccvx  24917  cnheiborlem  24921  htpycc  24947  pcocn  24984  pcohtpylem  24986  pcopt  24989  pcopt2  24990  pcoass  24991  pcorevlem  24993  ivthlem2  25419  ivthlem3  25420  ivthicc  25425  evthicc  25426  ovolficcss  25436  ovolicc1  25483  ovolicc2  25489  ovolicc  25490  iccmbl  25533  ovolioo  25535  dyadss  25561  volcn  25573  volivth  25574  vitalilem2  25576  vitalilem4  25578  mbfimaicc  25598  mbfi1fseqlem4  25685  itgioo  25783  rollelem  25956  rolle  25957  mvth  25959  dvlip  25960  c1liplem1  25963  c1lip1  25964  c1lip3  25966  dvgt0lem1  25969  dvgt0lem2  25970  dvgt0  25971  dvlt0  25972  dvge0  25973  dvle  25974  dvivthlem1  25975  dvivth  25977  dvne0  25978  lhop1lem  25980  dvcvx  25987  dvfsumge  25989  dvfsumabs  25990  ftc1lem1  26002  ftc1a  26004  ftc1lem4  26006  ftc1lem5  26007  ftc1lem6  26008  ftc1  26009  ftc1cn  26010  ftc2  26011  ftc2ditglem  26012  ftc2ditg  26013  itgparts  26014  itgsubstlem  26015  itgpowd  26017  aalioulem3  26300  reeff1olem  26411  efcvx  26414  pilem3  26418  pige3ALT  26484  sinord  26498  recosf1o  26499  resinf1o  26500  efif1olem4  26509  asinrecl  26866  acosrecl  26867  emre  26969  pntlem3  27572  ttgcontlem1  28953  signsply0  34695  iblidicc  34736  ftc2re  34742  iccsconn  35430  iccllysconn  35432  cvmliftlem10  35476  ivthALT  36517  sin2h  37931  cos2h  37932  mblfinlem2  37979  ftc1cnnclem  38012  ftc1cnnc  38013  ftc1anclem7  38020  ftc1anc  38022  ftc2nc  38023  areacirclem2  38030  areacirclem3  38031  areacirclem4  38032  areacirc  38034  iccbnd  38161  icccmpALT  38162  arearect  43643  areaquad  43644  lhe4.4ex1a  44756  lefldiveq  45725  itgsin0pilem1  46378  ibliccsinexp  46379  iblioosinexp  46381  itgsinexplem1  46382  itgsinexp  46383  iblspltprt  46401  fourierdlem5  46540  fourierdlem9  46544  fourierdlem18  46553  fourierdlem24  46559  fourierdlem62  46596  fourierdlem66  46600  fourierdlem74  46608  fourierdlem75  46609  fourierdlem83  46617  fourierdlem87  46621  fourierdlem93  46627  fourierdlem95  46629  fourierdlem102  46636  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem112  46646  fourierdlem114  46648  sqwvfoura  46656  sqwvfourb  46657