Theorem iccssre 13430

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1489	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3942	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069   ≤ cle 11214  [,]cicc 13349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-icc 13353

This theorem is referenced by:  iccssred  13435  iccsupr  13443  iccsplit  13486  iccshftri  13488  iccshftli  13490  iccdili  13492  icccntri  13494  unitssre  13500  supicc  13502  supiccub  13503  supicclub  13504  icccld  24806  iccntr  24862  icccmplem2  24864  icccmplem3  24865  icccmp  24866  retopconn  24870  iccconn  24871  cnmpopc  24970  iihalf1cn  24974  iihalf2cn  24976  icoopnst  24981  iocopnst  24982  icchmeo  24983  xrhmeo  24988  icccvx  24992  cnheiborlem  24996  htpycc  25022  pcocn  25059  pcohtpylem  25061  pcopt  25064  pcopt2  25065  pcoass  25066  pcorevlem  25068  ivthlem2  25494  ivthlem3  25495  ivthicc  25500  evthicc  25501  ovolficcss  25511  ovolicc1  25558  ovolicc2  25564  ovolicc  25565  iccmbl  25608  ovolioo  25610  dyadss  25636  volcn  25648  volivth  25649  vitalilem2  25651  vitalilem4  25653  mbfimaicc  25673  mbfi1fseqlem4  25760  itgioo  25858  rollelem  26031  rolle  26032  mvth  26034  dvlip  26035  c1liplem1  26038  c1lip1  26039  c1lip3  26041  dvgt0lem1  26044  dvgt0lem2  26045  dvgt0  26046  dvlt0  26047  dvge0  26048  dvle  26049  dvivthlem1  26050  dvivth  26052  dvne0  26053  lhop1lem  26055  dvcvx  26062  dvfsumge  26064  dvfsumabs  26065  ftc1lem1  26077  ftc1a  26079  ftc1lem4  26081  ftc1lem5  26082  ftc1lem6  26083  ftc1  26084  ftc1cn  26085  ftc2  26086  ftc2ditglem  26087  ftc2ditg  26088  itgparts  26089  itgsubstlem  26090  itgpowd  26092  aalioulem3  26375  reeff1olem  26486  efcvx  26489  pilem3  26493  pige3ALT  26562  sinord  26576  recosf1o  26577  resinf1o  26578  efif1olem4  26587  asinrecl  26944  acosrecl  26945  emre  27047  pntlem3  27650  ttgcontlem1  29031  signsply0  34809  iblidicc  34850  ftc2re  34856  iccsconn  35562  iccllysconn  35564  cvmliftlem10  35608  ivthALT  36659  sin2h  38073  cos2h  38074  mblfinlem2  38121  ftc1cnnclem  38154  ftc1cnnc  38155  ftc1anclem7  38162  ftc1anc  38164  ftc2nc  38165  areacirclem2  38172  areacirclem3  38173  areacirclem4  38174  areacirc  38176  iccbnd  38303  icccmpALT  38304  arearect  43756  areaquad  43757  lhe4.4ex1a  44869  lefldiveq  45835  itgsin0pilem1  46488  ibliccsinexp  46489  iblioosinexp  46491  itgsinexplem1  46492  itgsinexp  46493  iblspltprt  46511  fourierdlem5  46650  fourierdlem9  46654  fourierdlem18  46663  fourierdlem24  46669  fourierdlem62  46706  fourierdlem66  46710  fourierdlem74  46718  fourierdlem75  46719  fourierdlem83  46727  fourierdlem87  46731  fourierdlem93  46737  fourierdlem95  46739  fourierdlem102  46746  fourierdlem103  46747  fourierdlem104  46748  fourierdlem112  46756  fourierdlem114  46758  sqwvfoura  46766  sqwvfourb  46767