Theorem iccssre 13457

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13439	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1498	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3944	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100   ≤ cle 11245  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-icc 13380

This theorem is referenced by:  iccssred  13462  iccsupr  13470  iccsplit  13513  iccshftri  13515  iccshftli  13517  iccdili  13519  icccntri  13521  unitssre  13527  supicc  13529  supiccub  13530  supicclub  13531  icccld  24904  iccntr  24960  icccmplem2  24962  icccmplem3  24963  icccmp  24964  retopconn  24968  iccconn  24969  cnmpopc  25068  iihalf1cn  25072  iihalf2cn  25074  icoopnst  25079  iocopnst  25080  icchmeo  25081  xrhmeo  25086  icccvx  25090  cnheiborlem  25094  htpycc  25120  pcocn  25157  pcohtpylem  25159  pcopt  25162  pcopt2  25163  pcoass  25164  pcorevlem  25166  ivthlem2  25592  ivthlem3  25593  ivthicc  25598  evthicc  25599  ovolficcss  25609  ovolicc1  25656  ovolicc2  25662  ovolicc  25663  iccmbl  25706  ovolioo  25708  dyadss  25734  volcn  25746  volivth  25747  vitalilem2  25749  vitalilem4  25751  mbfimaicc  25771  mbfi1fseqlem4  25858  itgioo  25956  rollelem  26129  rolle  26130  mvth  26132  dvlip  26133  c1liplem1  26136  c1lip1  26137  c1lip3  26139  dvgt0lem1  26142  dvgt0lem2  26143  dvgt0  26144  dvlt0  26145  dvge0  26146  dvle  26147  dvivthlem1  26148  dvivth  26150  dvne0  26151  lhop1lem  26153  dvcvx  26160  dvfsumge  26162  dvfsumabs  26163  ftc1lem1  26175  ftc1a  26177  ftc1lem4  26179  ftc1lem5  26180  ftc1lem6  26181  ftc1  26182  ftc1cn  26183  ftc2  26184  ftc2ditglem  26185  ftc2ditg  26186  itgparts  26187  itgsubstlem  26188  itgpowd  26190  aalioulem3  26476  reeff1olem  26587  efcvx  26590  pilem3  26594  pige3ALT  26663  sinord  26677  recosf1o  26678  resinf1o  26679  efif1olem4  26688  asinrecl  27045  acosrecl  27046  emre  27148  pntlem3  27751  ttgcontlem1  29212  signsply0  34916  iblidicc  34957  ftc2re  34963  iccsconn  35718  iccllysconn  35720  cvmliftlem10  35764  ivthALT  36824  sin2h  38239  cos2h  38240  mblfinlem2  38287  ftc1cnnclem  38320  ftc1cnnc  38321  ftc1anclem7  38328  ftc1anc  38330  ftc2nc  38331  areacirclem2  38338  areacirclem3  38339  areacirclem4  38340  areacirc  38342  iccbnd  38469  icccmpALT  38470  arearect  43922  areaquad  43923  lhe4.4ex1a  45019  lefldiveq  45991  itgsin0pilem1  46644  ibliccsinexp  46645  iblioosinexp  46647  itgsinexplem1  46648  itgsinexp  46649  iblspltprt  46667  fourierdlem5  46806  fourierdlem9  46810  fourierdlem18  46819  fourierdlem24  46825  fourierdlem62  46862  fourierdlem66  46866  fourierdlem74  46874  fourierdlem75  46875  fourierdlem83  46883  fourierdlem87  46887  fourierdlem93  46893  fourierdlem95  46895  fourierdlem102  46902  fourierdlem103  46903  fourierdlem104  46904  fourierdlem112  46912  fourierdlem114  46914  sqwvfoura  46922  sqwvfourb  46923