Theorem iccssre 13444

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13426	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1471	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3964	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403  ℝcr 11126   ≤ cle 11268  [,]cicc 13363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-icc 13367

This theorem is referenced by:  iccssred  13449  iccsupr  13457  iccsplit  13500  iccshftri  13502  iccshftli  13504  iccdili  13506  icccntri  13508  unitssre  13514  supicc  13516  supiccub  13517  supicclub  13518  icccld  24703  iccntr  24759  icccmplem2  24761  icccmplem3  24762  icccmp  24763  retopconn  24767  iccconn  24768  cnmpopc  24871  iihalf1cn  24875  iihalf1cnOLD  24876  iihalf2cn  24878  iihalf2cnOLD  24879  icoopnst  24885  iocopnst  24886  icchmeo  24887  icchmeoOLD  24888  xrhmeo  24893  icccvx  24897  cnheiborlem  24902  htpycc  24928  pcocn  24966  pcohtpylem  24968  pcopt  24971  pcopt2  24972  pcoass  24973  pcorevlem  24975  ivthlem2  25403  ivthlem3  25404  ivthicc  25409  evthicc  25410  ovolficcss  25420  ovolicc1  25467  ovolicc2  25473  ovolicc  25474  iccmbl  25517  ovolioo  25519  dyadss  25545  volcn  25557  volivth  25558  vitalilem2  25560  vitalilem4  25562  mbfimaicc  25582  mbfi1fseqlem4  25669  itgioo  25767  rollelem  25943  rolle  25944  cmvthOLD  25946  mvth  25947  dvlip  25948  c1liplem1  25951  c1lip1  25952  c1lip3  25954  dvgt0lem1  25957  dvgt0lem2  25958  dvgt0  25959  dvlt0  25960  dvge0  25961  dvle  25962  dvivthlem1  25963  dvivth  25965  dvne0  25966  lhop1lem  25968  dvcvx  25975  dvfsumleOLD  25977  dvfsumge  25978  dvfsumabs  25979  ftc1lem1  25992  ftc1a  25994  ftc1lem4  25996  ftc1lem5  25997  ftc1lem6  25998  ftc1  25999  ftc1cn  26000  ftc2  26001  ftc2ditglem  26002  ftc2ditg  26003  itgparts  26004  itgsubstlem  26005  itgpowd  26007  aalioulem3  26292  reeff1olem  26406  efcvx  26409  pilem3  26413  pige3ALT  26479  sinord  26493  recosf1o  26494  resinf1o  26495  efif1olem4  26504  asinrecl  26862  acosrecl  26863  emre  26966  pntlem3  27570  ttgcontlem1  28810  signsply0  34529  iblidicc  34570  ftc2re  34576  iccsconn  35216  iccllysconn  35218  cvmliftlem10  35262  ivthALT  36299  sin2h  37580  cos2h  37581  mblfinlem2  37628  ftc1cnnclem  37661  ftc1cnnc  37662  ftc1anclem7  37669  ftc1anc  37671  ftc2nc  37672  areacirclem2  37679  areacirclem3  37680  areacirclem4  37681  areacirc  37683  iccbnd  37810  icccmpALT  37811  arearect  43186  areaquad  43187  lhe4.4ex1a  44301  lefldiveq  45269  itgsin0pilem1  45927  ibliccsinexp  45928  iblioosinexp  45930  itgsinexplem1  45931  itgsinexp  45932  iblspltprt  45950  fourierdlem5  46089  fourierdlem9  46093  fourierdlem18  46102  fourierdlem24  46108  fourierdlem62  46145  fourierdlem66  46149  fourierdlem74  46157  fourierdlem75  46158  fourierdlem83  46166  fourierdlem87  46170  fourierdlem93  46176  fourierdlem95  46178  fourierdlem102  46185  fourierdlem103  46186  fourierdlem104  46187  fourierdlem112  46195  fourierdlem114  46197  sqwvfoura  46205  sqwvfourb  46206