Theorem iccssre 13345

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13327	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1471	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3939	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025   ≤ cle 11167  [,]cicc 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-icc 13268

This theorem is referenced by:  iccssred  13350  iccsupr  13358  iccsplit  13401  iccshftri  13403  iccshftli  13405  iccdili  13407  icccntri  13409  unitssre  13415  supicc  13417  supiccub  13418  supicclub  13419  icccld  24710  iccntr  24766  icccmplem2  24768  icccmplem3  24769  icccmp  24770  retopconn  24774  iccconn  24775  cnmpopc  24878  iihalf1cn  24882  iihalf1cnOLD  24883  iihalf2cn  24885  iihalf2cnOLD  24886  icoopnst  24892  iocopnst  24893  icchmeo  24894  icchmeoOLD  24895  xrhmeo  24900  icccvx  24904  cnheiborlem  24909  htpycc  24935  pcocn  24973  pcohtpylem  24975  pcopt  24978  pcopt2  24979  pcoass  24980  pcorevlem  24982  ivthlem2  25409  ivthlem3  25410  ivthicc  25415  evthicc  25416  ovolficcss  25426  ovolicc1  25473  ovolicc2  25479  ovolicc  25480  iccmbl  25523  ovolioo  25525  dyadss  25551  volcn  25563  volivth  25564  vitalilem2  25566  vitalilem4  25568  mbfimaicc  25588  mbfi1fseqlem4  25675  itgioo  25773  rollelem  25949  rolle  25950  cmvthOLD  25952  mvth  25953  dvlip  25954  c1liplem1  25957  c1lip1  25958  c1lip3  25960  dvgt0lem1  25963  dvgt0lem2  25964  dvgt0  25965  dvlt0  25966  dvge0  25967  dvle  25968  dvivthlem1  25969  dvivth  25971  dvne0  25972  lhop1lem  25974  dvcvx  25981  dvfsumleOLD  25983  dvfsumge  25984  dvfsumabs  25985  ftc1lem1  25998  ftc1a  26000  ftc1lem4  26002  ftc1lem5  26003  ftc1lem6  26004  ftc1  26005  ftc1cn  26006  ftc2  26007  ftc2ditglem  26008  ftc2ditg  26009  itgparts  26010  itgsubstlem  26011  itgpowd  26013  aalioulem3  26298  reeff1olem  26412  efcvx  26415  pilem3  26419  pige3ALT  26485  sinord  26499  recosf1o  26500  resinf1o  26501  efif1olem4  26510  asinrecl  26868  acosrecl  26869  emre  26972  pntlem3  27576  ttgcontlem1  28957  signsply0  34708  iblidicc  34749  ftc2re  34755  iccsconn  35442  iccllysconn  35444  cvmliftlem10  35488  ivthALT  36529  sin2h  37807  cos2h  37808  mblfinlem2  37855  ftc1cnnclem  37888  ftc1cnnc  37889  ftc1anclem7  37896  ftc1anc  37898  ftc2nc  37899  areacirclem2  37906  areacirclem3  37907  areacirclem4  37908  areacirc  37910  iccbnd  38037  icccmpALT  38038  arearect  43453  areaquad  43454  lhe4.4ex1a  44566  lefldiveq  45536  itgsin0pilem1  46190  ibliccsinexp  46191  iblioosinexp  46193  itgsinexplem1  46194  itgsinexp  46195  iblspltprt  46213  fourierdlem5  46352  fourierdlem9  46356  fourierdlem18  46365  fourierdlem24  46371  fourierdlem62  46408  fourierdlem66  46412  fourierdlem74  46420  fourierdlem75  46421  fourierdlem83  46429  fourierdlem87  46433  fourierdlem93  46439  fourierdlem95  46441  fourierdlem102  46448  fourierdlem103  46449  fourierdlem104  46450  fourierdlem112  46458  fourierdlem114  46460  sqwvfoura  46468  sqwvfourb  46469