Theorem iccssre 13350

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13332	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1471	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3943	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027   ≤ cle 11169  [,]cicc 13269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-icc 13273

This theorem is referenced by:  iccssred  13355  iccsupr  13363  iccsplit  13406  iccshftri  13408  iccshftli  13410  iccdili  13412  icccntri  13414  unitssre  13420  supicc  13422  supiccub  13423  supicclub  13424  icccld  24670  iccntr  24726  icccmplem2  24728  icccmplem3  24729  icccmp  24730  retopconn  24734  iccconn  24735  cnmpopc  24838  iihalf1cn  24842  iihalf1cnOLD  24843  iihalf2cn  24845  iihalf2cnOLD  24846  icoopnst  24852  iocopnst  24853  icchmeo  24854  icchmeoOLD  24855  xrhmeo  24860  icccvx  24864  cnheiborlem  24869  htpycc  24895  pcocn  24933  pcohtpylem  24935  pcopt  24938  pcopt2  24939  pcoass  24940  pcorevlem  24942  ivthlem2  25369  ivthlem3  25370  ivthicc  25375  evthicc  25376  ovolficcss  25386  ovolicc1  25433  ovolicc2  25439  ovolicc  25440  iccmbl  25483  ovolioo  25485  dyadss  25511  volcn  25523  volivth  25524  vitalilem2  25526  vitalilem4  25528  mbfimaicc  25548  mbfi1fseqlem4  25635  itgioo  25733  rollelem  25909  rolle  25910  cmvthOLD  25912  mvth  25913  dvlip  25914  c1liplem1  25917  c1lip1  25918  c1lip3  25920  dvgt0lem1  25923  dvgt0lem2  25924  dvgt0  25925  dvlt0  25926  dvge0  25927  dvle  25928  dvivthlem1  25929  dvivth  25931  dvne0  25932  lhop1lem  25934  dvcvx  25941  dvfsumleOLD  25943  dvfsumge  25944  dvfsumabs  25945  ftc1lem1  25958  ftc1a  25960  ftc1lem4  25962  ftc1lem5  25963  ftc1lem6  25964  ftc1  25965  ftc1cn  25966  ftc2  25967  ftc2ditglem  25968  ftc2ditg  25969  itgparts  25970  itgsubstlem  25971  itgpowd  25973  aalioulem3  26258  reeff1olem  26372  efcvx  26375  pilem3  26379  pige3ALT  26445  sinord  26459  recosf1o  26460  resinf1o  26461  efif1olem4  26470  asinrecl  26828  acosrecl  26829  emre  26932  pntlem3  27536  ttgcontlem1  28848  signsply0  34518  iblidicc  34559  ftc2re  34565  iccsconn  35220  iccllysconn  35222  cvmliftlem10  35266  ivthALT  36308  sin2h  37589  cos2h  37590  mblfinlem2  37637  ftc1cnnclem  37670  ftc1cnnc  37671  ftc1anclem7  37678  ftc1anc  37680  ftc2nc  37681  areacirclem2  37688  areacirclem3  37689  areacirclem4  37690  areacirc  37692  iccbnd  37819  icccmpALT  37820  arearect  43188  areaquad  43189  lhe4.4ex1a  44302  lefldiveq  45274  itgsin0pilem1  45932  ibliccsinexp  45933  iblioosinexp  45935  itgsinexplem1  45936  itgsinexp  45937  iblspltprt  45955  fourierdlem5  46094  fourierdlem9  46098  fourierdlem18  46107  fourierdlem24  46113  fourierdlem62  46150  fourierdlem66  46154  fourierdlem74  46162  fourierdlem75  46163  fourierdlem83  46171  fourierdlem87  46175  fourierdlem93  46181  fourierdlem95  46183  fourierdlem102  46190  fourierdlem103  46191  fourierdlem104  46192  fourierdlem112  46200  fourierdlem114  46202  sqwvfoura  46210  sqwvfourb  46211