Theorem iccssre 13390

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1471	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3952	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067   ≤ cle 11209  [,]cicc 13309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-icc 13313

This theorem is referenced by:  iccssred  13395  iccsupr  13403  iccsplit  13446  iccshftri  13448  iccshftli  13450  iccdili  13452  icccntri  13454  unitssre  13460  supicc  13462  supiccub  13463  supicclub  13464  icccld  24654  iccntr  24710  icccmplem2  24712  icccmplem3  24713  icccmp  24714  retopconn  24718  iccconn  24719  cnmpopc  24822  iihalf1cn  24826  iihalf1cnOLD  24827  iihalf2cn  24829  iihalf2cnOLD  24830  icoopnst  24836  iocopnst  24837  icchmeo  24838  icchmeoOLD  24839  xrhmeo  24844  icccvx  24848  cnheiborlem  24853  htpycc  24879  pcocn  24917  pcohtpylem  24919  pcopt  24922  pcopt2  24923  pcoass  24924  pcorevlem  24926  ivthlem2  25353  ivthlem3  25354  ivthicc  25359  evthicc  25360  ovolficcss  25370  ovolicc1  25417  ovolicc2  25423  ovolicc  25424  iccmbl  25467  ovolioo  25469  dyadss  25495  volcn  25507  volivth  25508  vitalilem2  25510  vitalilem4  25512  mbfimaicc  25532  mbfi1fseqlem4  25619  itgioo  25717  rollelem  25893  rolle  25894  cmvthOLD  25896  mvth  25897  dvlip  25898  c1liplem1  25901  c1lip1  25902  c1lip3  25904  dvgt0lem1  25907  dvgt0lem2  25908  dvgt0  25909  dvlt0  25910  dvge0  25911  dvle  25912  dvivthlem1  25913  dvivth  25915  dvne0  25916  lhop1lem  25918  dvcvx  25925  dvfsumleOLD  25927  dvfsumge  25928  dvfsumabs  25929  ftc1lem1  25942  ftc1a  25944  ftc1lem4  25946  ftc1lem5  25947  ftc1lem6  25948  ftc1  25949  ftc1cn  25950  ftc2  25951  ftc2ditglem  25952  ftc2ditg  25953  itgparts  25954  itgsubstlem  25955  itgpowd  25957  aalioulem3  26242  reeff1olem  26356  efcvx  26359  pilem3  26363  pige3ALT  26429  sinord  26443  recosf1o  26444  resinf1o  26445  efif1olem4  26454  asinrecl  26812  acosrecl  26813  emre  26916  pntlem3  27520  ttgcontlem1  28812  signsply0  34542  iblidicc  34583  ftc2re  34589  iccsconn  35235  iccllysconn  35237  cvmliftlem10  35281  ivthALT  36323  sin2h  37604  cos2h  37605  mblfinlem2  37652  ftc1cnnclem  37685  ftc1cnnc  37686  ftc1anclem7  37693  ftc1anc  37695  ftc2nc  37696  areacirclem2  37703  areacirclem3  37704  areacirclem4  37705  areacirc  37707  iccbnd  37834  icccmpALT  37835  arearect  43204  areaquad  43205  lhe4.4ex1a  44318  lefldiveq  45290  itgsin0pilem1  45948  ibliccsinexp  45949  iblioosinexp  45951  itgsinexplem1  45952  itgsinexp  45953  iblspltprt  45971  fourierdlem5  46110  fourierdlem9  46114  fourierdlem18  46123  fourierdlem24  46129  fourierdlem62  46166  fourierdlem66  46170  fourierdlem74  46178  fourierdlem75  46179  fourierdlem83  46187  fourierdlem87  46191  fourierdlem93  46197  fourierdlem95  46199  fourierdlem102  46206  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem112  46216  fourierdlem114  46218  sqwvfoura  46226  sqwvfourb  46227