Theorem iccssre 13403

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13386	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1465	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3980	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℝcr 11105   ≤ cle 11246  [,]cicc 13324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-icc 13328

This theorem is referenced by:  iccssred  13408  iccsupr  13416  iccsplit  13459  iccshftri  13461  iccshftli  13463  iccdili  13465  icccntri  13467  unitssre  13473  supicc  13475  supiccub  13476  supicclub  13477  icccld  24605  iccntr  24659  icccmplem2  24661  icccmplem3  24662  icccmp  24663  retopconn  24667  iccconn  24668  cnmpopc  24771  iihalf1cn  24775  iihalf1cnOLD  24776  iihalf2cn  24778  iihalf2cnOLD  24779  icoopnst  24785  iocopnst  24786  icchmeo  24787  icchmeoOLD  24788  xrhmeo  24793  icccvx  24797  cnheiborlem  24802  htpycc  24828  pcocn  24866  pcohtpylem  24868  pcopt  24871  pcopt2  24872  pcoass  24873  pcorevlem  24875  ivthlem2  25303  ivthlem3  25304  ivthicc  25309  evthicc  25310  ovolficcss  25320  ovolicc1  25367  ovolicc2  25373  ovolicc  25374  iccmbl  25417  ovolioo  25419  dyadss  25445  volcn  25457  volivth  25458  vitalilem2  25460  vitalilem4  25462  mbfimaicc  25482  mbfi1fseqlem4  25570  itgioo  25667  rollelem  25843  rolle  25844  cmvthOLD  25846  mvth  25847  dvlip  25848  c1liplem1  25851  c1lip1  25852  c1lip3  25854  dvgt0lem1  25857  dvgt0lem2  25858  dvgt0  25859  dvlt0  25860  dvge0  25861  dvle  25862  dvivthlem1  25863  dvivth  25865  dvne0  25866  lhop1lem  25868  dvcvx  25875  dvfsumleOLD  25877  dvfsumge  25878  dvfsumabs  25879  ftc1lem1  25892  ftc1a  25894  ftc1lem4  25896  ftc1lem5  25897  ftc1lem6  25898  ftc1  25899  ftc1cn  25900  ftc2  25901  ftc2ditglem  25902  ftc2ditg  25903  itgparts  25904  itgsubstlem  25905  itgpowd  25907  aalioulem3  26188  reeff1olem  26300  efcvx  26303  pilem3  26307  pige3ALT  26371  sinord  26385  recosf1o  26386  resinf1o  26387  efif1olem4  26396  asinrecl  26750  acosrecl  26751  emre  26854  pntlem3  27458  ttgcontlem1  28611  signsply0  34051  iblidicc  34093  ftc2re  34099  iccsconn  34728  iccllysconn  34730  cvmliftlem10  34774  ivthALT  35710  sin2h  36968  cos2h  36969  mblfinlem2  37016  ftc1cnnclem  37049  ftc1cnnc  37050  ftc1anclem7  37057  ftc1anc  37059  ftc2nc  37060  areacirclem2  37067  areacirclem3  37068  areacirclem4  37069  areacirc  37071  iccbnd  37198  icccmpALT  37199  arearect  42453  areaquad  42454  lhe4.4ex1a  43577  lefldiveq  44487  itgsin0pilem1  45151  ibliccsinexp  45152  iblioosinexp  45154  itgsinexplem1  45155  itgsinexp  45156  iblspltprt  45174  fourierdlem5  45313  fourierdlem9  45317  fourierdlem18  45326  fourierdlem24  45332  fourierdlem62  45369  fourierdlem66  45373  fourierdlem74  45381  fourierdlem75  45382  fourierdlem83  45390  fourierdlem87  45394  fourierdlem93  45400  fourierdlem95  45402  fourierdlem102  45409  fourierdlem103  45410  fourierdlem104  45411  fourierdlem112  45419  fourierdlem114  45421  sqwvfoura  45429  sqwvfourb  45430