Theorem iccssre 13090

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13073	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3923	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   ≤ cle 10941  [,]cicc 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-icc 13015

This theorem is referenced by:  iccssred  13095  iccsupr  13103  iccsplit  13146  iccshftri  13148  iccshftli  13150  iccdili  13152  icccntri  13154  unitssre  13160  supicc  13162  supiccub  13163  supicclub  13164  icccld  23836  iccntr  23890  icccmplem2  23892  icccmplem3  23893  icccmp  23894  retopconn  23898  iccconn  23899  cnmpopc  23997  iihalf1cn  24001  iihalf2cn  24003  icoopnst  24008  iocopnst  24009  icchmeo  24010  xrhmeo  24015  icccvx  24019  cnheiborlem  24023  htpycc  24049  pcocn  24086  pcohtpylem  24088  pcopt  24091  pcopt2  24092  pcoass  24093  pcorevlem  24095  ivthlem2  24521  ivthlem3  24522  ivthicc  24527  evthicc  24528  ovolficcss  24538  ovolicc1  24585  ovolicc2  24591  ovolicc  24592  iccmbl  24635  ovolioo  24637  dyadss  24663  volcn  24675  volivth  24676  vitalilem2  24678  vitalilem4  24680  mbfimaicc  24700  mbfi1fseqlem4  24788  itgioo  24885  rollelem  25058  rolle  25059  cmvth  25060  mvth  25061  dvlip  25062  c1liplem1  25065  c1lip1  25066  c1lip3  25068  dvgt0lem1  25071  dvgt0lem2  25072  dvgt0  25073  dvlt0  25074  dvge0  25075  dvle  25076  dvivthlem1  25077  dvivth  25079  dvne0  25080  lhop1lem  25082  dvcvx  25089  dvfsumle  25090  dvfsumge  25091  dvfsumabs  25092  ftc1lem1  25104  ftc1a  25106  ftc1lem4  25108  ftc1lem5  25109  ftc1lem6  25110  ftc1  25111  ftc1cn  25112  ftc2  25113  ftc2ditglem  25114  ftc2ditg  25115  itgparts  25116  itgsubstlem  25117  itgpowd  25119  aalioulem3  25399  reeff1olem  25510  efcvx  25513  pilem3  25517  pige3ALT  25581  sinord  25595  recosf1o  25596  resinf1o  25597  efif1olem4  25606  asinrecl  25957  acosrecl  25958  emre  26060  pntlem3  26662  ttgcontlem1  27155  signsply0  32430  iblidicc  32472  ftc2re  32478  iccsconn  33110  iccllysconn  33112  cvmliftlem10  33156  ivthALT  34451  sin2h  35694  cos2h  35695  mblfinlem2  35742  ftc1cnnclem  35775  ftc1cnnc  35776  ftc1anclem7  35783  ftc1anc  35785  ftc2nc  35786  areacirclem2  35793  areacirclem3  35794  areacirclem4  35795  areacirc  35797  iccbnd  35925  icccmpALT  35926  arearect  40962  areaquad  40963  lhe4.4ex1a  41836  lefldiveq  42721  itgsin0pilem1  43381  ibliccsinexp  43382  iblioosinexp  43384  itgsinexplem1  43385  itgsinexp  43386  iblspltprt  43404  fourierdlem5  43543  fourierdlem9  43547  fourierdlem18  43556  fourierdlem24  43562  fourierdlem62  43599  fourierdlem66  43603  fourierdlem74  43611  fourierdlem75  43612  fourierdlem83  43620  fourierdlem87  43624  fourierdlem93  43630  fourierdlem95  43632  fourierdlem102  43639  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem112  43649  fourierdlem114  43651  sqwvfoura  43659  sqwvfourb  43660