Theorem iccssre 13170

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1468	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3928	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3888   class class class wbr 5075  (class class class)co 7284  ℝcr 10879   ≤ cle 11019  [,]cicc 13091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-icc 13095

This theorem is referenced by:  iccssred  13175  iccsupr  13183  iccsplit  13226  iccshftri  13228  iccshftli  13230  iccdili  13232  icccntri  13234  unitssre  13240  supicc  13242  supiccub  13243  supicclub  13244  icccld  23939  iccntr  23993  icccmplem2  23995  icccmplem3  23996  icccmp  23997  retopconn  24001  iccconn  24002  cnmpopc  24100  iihalf1cn  24104  iihalf2cn  24106  icoopnst  24111  iocopnst  24112  icchmeo  24113  xrhmeo  24118  icccvx  24122  cnheiborlem  24126  htpycc  24152  pcocn  24189  pcohtpylem  24191  pcopt  24194  pcopt2  24195  pcoass  24196  pcorevlem  24198  ivthlem2  24625  ivthlem3  24626  ivthicc  24631  evthicc  24632  ovolficcss  24642  ovolicc1  24689  ovolicc2  24695  ovolicc  24696  iccmbl  24739  ovolioo  24741  dyadss  24767  volcn  24779  volivth  24780  vitalilem2  24782  vitalilem4  24784  mbfimaicc  24804  mbfi1fseqlem4  24892  itgioo  24989  rollelem  25162  rolle  25163  cmvth  25164  mvth  25165  dvlip  25166  c1liplem1  25169  c1lip1  25170  c1lip3  25172  dvgt0lem1  25175  dvgt0lem2  25176  dvgt0  25177  dvlt0  25178  dvge0  25179  dvle  25180  dvivthlem1  25181  dvivth  25183  dvne0  25184  lhop1lem  25186  dvcvx  25193  dvfsumle  25194  dvfsumge  25195  dvfsumabs  25196  ftc1lem1  25208  ftc1a  25210  ftc1lem4  25212  ftc1lem5  25213  ftc1lem6  25214  ftc1  25215  ftc1cn  25216  ftc2  25217  ftc2ditglem  25218  ftc2ditg  25219  itgparts  25220  itgsubstlem  25221  itgpowd  25223  aalioulem3  25503  reeff1olem  25614  efcvx  25617  pilem3  25621  pige3ALT  25685  sinord  25699  recosf1o  25700  resinf1o  25701  efif1olem4  25710  asinrecl  26061  acosrecl  26062  emre  26164  pntlem3  26766  ttgcontlem1  27261  signsply0  32539  iblidicc  32581  ftc2re  32587  iccsconn  33219  iccllysconn  33221  cvmliftlem10  33265  ivthALT  34533  sin2h  35776  cos2h  35777  mblfinlem2  35824  ftc1cnnclem  35857  ftc1cnnc  35858  ftc1anclem7  35865  ftc1anc  35867  ftc2nc  35868  areacirclem2  35875  areacirclem3  35876  areacirclem4  35877  areacirc  35879  iccbnd  36007  icccmpALT  36008  arearect  41053  areaquad  41054  lhe4.4ex1a  41954  lefldiveq  42838  itgsin0pilem1  43498  ibliccsinexp  43499  iblioosinexp  43501  itgsinexplem1  43502  itgsinexp  43503  iblspltprt  43521  fourierdlem5  43660  fourierdlem9  43664  fourierdlem18  43673  fourierdlem24  43679  fourierdlem62  43716  fourierdlem66  43720  fourierdlem74  43728  fourierdlem75  43729  fourierdlem83  43737  fourierdlem87  43741  fourierdlem93  43747  fourierdlem95  43749  fourierdlem102  43756  fourierdlem103  43757  fourierdlem104  43758  fourierdlem112  43766  fourierdlem114  43768  sqwvfoura  43776  sqwvfourb  43777