Theorem iccssre 13406

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13389	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1470	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3989	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109   ≤ cle 11249  [,]cicc 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-icc 13331

This theorem is referenced by:  iccssred  13411  iccsupr  13419  iccsplit  13462  iccshftri  13464  iccshftli  13466  iccdili  13468  icccntri  13470  unitssre  13476  supicc  13478  supiccub  13479  supicclub  13480  icccld  24283  iccntr  24337  icccmplem2  24339  icccmplem3  24340  icccmp  24341  retopconn  24345  iccconn  24346  cnmpopc  24444  iihalf1cn  24448  iihalf2cn  24450  icoopnst  24455  iocopnst  24456  icchmeo  24457  xrhmeo  24462  icccvx  24466  cnheiborlem  24470  htpycc  24496  pcocn  24533  pcohtpylem  24535  pcopt  24538  pcopt2  24539  pcoass  24540  pcorevlem  24542  ivthlem2  24969  ivthlem3  24970  ivthicc  24975  evthicc  24976  ovolficcss  24986  ovolicc1  25033  ovolicc2  25039  ovolicc  25040  iccmbl  25083  ovolioo  25085  dyadss  25111  volcn  25123  volivth  25124  vitalilem2  25126  vitalilem4  25128  mbfimaicc  25148  mbfi1fseqlem4  25236  itgioo  25333  rollelem  25506  rolle  25507  cmvth  25508  mvth  25509  dvlip  25510  c1liplem1  25513  c1lip1  25514  c1lip3  25516  dvgt0lem1  25519  dvgt0lem2  25520  dvgt0  25521  dvlt0  25522  dvge0  25523  dvle  25524  dvivthlem1  25525  dvivth  25527  dvne0  25528  lhop1lem  25530  dvcvx  25537  dvfsumle  25538  dvfsumge  25539  dvfsumabs  25540  ftc1lem1  25552  ftc1a  25554  ftc1lem4  25556  ftc1lem5  25557  ftc1lem6  25558  ftc1  25559  ftc1cn  25560  ftc2  25561  ftc2ditglem  25562  ftc2ditg  25563  itgparts  25564  itgsubstlem  25565  itgpowd  25567  aalioulem3  25847  reeff1olem  25958  efcvx  25961  pilem3  25965  pige3ALT  26029  sinord  26043  recosf1o  26044  resinf1o  26045  efif1olem4  26054  asinrecl  26407  acosrecl  26408  emre  26510  pntlem3  27112  ttgcontlem1  28142  signsply0  33562  iblidicc  33604  ftc2re  33610  iccsconn  34239  iccllysconn  34241  cvmliftlem10  34285  gg-iihalf1cn  35167  gg-iihalf2cn  35168  gg-icchmeo  35170  ivthALT  35220  sin2h  36478  cos2h  36479  mblfinlem2  36526  ftc1cnnclem  36559  ftc1cnnc  36560  ftc1anclem7  36567  ftc1anc  36569  ftc2nc  36570  areacirclem2  36577  areacirclem3  36578  areacirclem4  36579  areacirc  36581  iccbnd  36708  icccmpALT  36709  arearect  41964  areaquad  41965  lhe4.4ex1a  43088  lefldiveq  44002  itgsin0pilem1  44666  ibliccsinexp  44667  iblioosinexp  44669  itgsinexplem1  44670  itgsinexp  44671  iblspltprt  44689  fourierdlem5  44828  fourierdlem9  44832  fourierdlem18  44841  fourierdlem24  44847  fourierdlem62  44884  fourierdlem66  44888  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem83  44905  fourierdlem87  44909  fourierdlem93  44915  fourierdlem95  44917  fourierdlem102  44924  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem112  44934  fourierdlem114  44936  sqwvfoura  44944  sqwvfourb  44945