Theorem infpwfidom 10088

Description: The collection of finite subsets of a set dominates the set. (We use the weaker sethood assumption (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V because this theorem also implies that 𝐴 is a set if 𝒫 𝐴 ∩ Fin is.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infpwfidom	⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V → 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Proof of Theorem infpwfidom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snelpwi 5412	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑥} ∈ 𝒫 𝐴)
2		snfi 9055	. . . 4 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑥} ∈ Fin)
4	1, 3	elind 4146	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑥} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5		sneqbg 4803	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ({𝑥} = {𝑦} ↔ 𝑥 = 𝑦))
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ({𝑥} = {𝑦} ↔ 𝑥 = 𝑦))
7	4, 6	dom2 9006	1 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V → 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∩ cin 3898  𝒫 cpw 4557  {csn 4584   class class class wbr 5103   ≼ cdom 8955  Fincfn 8957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7867  df-1o 8460  df-en 8958  df-dom 8959  df-fin 8961

This theorem is used by:  infpwfien  10122  ttukeylem1  10568  canthnum  10715