MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8alem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac8alem 9965
Description: Lemma for dfac8a 9966. If the power set of a set has a choice function, then the set is numerable. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac8alem.2 𝐹 = recs(𝐺)
dfac8alem.3 𝐺 = (𝑓 ∈ V ↦ (𝑔‘(𝐴 ∖ ran 𝑓)))
Assertion
Ref Expression
dfac8alem (𝐴𝐶 → (∃𝑔𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ dom card))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑦,𝐴   𝐶,𝑔   𝑓,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦,𝑓)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem dfac8alem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3463 . . 3 (𝐴𝐶𝐴 ∈ V)
2 difss 4091 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ⊆ 𝐴
3 elpw2g 5301 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ⊆ 𝐴))
42, 3mpbiri 257 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ∈ 𝒫 𝐴)
5 neeq1 3006 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) → (𝑦 ≠ ∅ ↔ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅))
6 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) → (𝑔𝑦) = (𝑔‘(𝐴 ∖ (𝐹𝑥))))
7 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) → 𝑦 = (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)))
86, 7eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝑔‘(𝐴 ∖ (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥))))
95, 8imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) → ((𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ↔ ((𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅ → (𝑔‘(𝐴 ∖ (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)))))
109rspcv 3577 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ∈ 𝒫 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅ → (𝑔‘(𝐴 ∖ (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)))))
114, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅ → (𝑔‘(𝐴 ∖ (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)))))
12113imp 1111 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ∧ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅) → (𝑔‘(𝐴 ∖ (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)))
13 dfac8alem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = recs(𝐺)
1413tfr2 8344 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ On → (𝐹𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
1513tfr1 8343 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 Fn On
16 fnfun 6602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 Fun 𝐹
18 vex 3449 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
19 resfunexg 7165 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ V) → (𝐹𝑥) ∈ V)
2017, 18, 19mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑥) ∈ V
21 rneq 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ran 𝑓 = ran (𝐹𝑥))
22 df-ima 5646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝑥) = ran (𝐹𝑥)
2321, 22eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ran 𝑓 = (𝐹𝑥))
2423difeq2d 4082 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (𝐴 ∖ ran 𝑓) = (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)))
2524fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (𝑔‘(𝐴 ∖ ran 𝑓)) = (𝑔‘(𝐴 ∖ (𝐹𝑥))))
26 dfac8alem.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑓 ∈ V ↦ (𝑔‘(𝐴 ∖ ran 𝑓)))
27 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔‘(𝐴 ∖ (𝐹𝑥))) ∈ V
2825, 26, 27fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ∈ V → (𝐺‘(𝐹𝑥)) = (𝑔‘(𝐴 ∖ (𝐹𝑥))))
2920, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐺‘(𝐹𝑥)) = (𝑔‘(𝐴 ∖ (𝐹𝑥)))
3014, 29eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ On → (𝐹𝑥) = (𝑔‘(𝐴 ∖ (𝐹𝑥))))
3130eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ On → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑔‘(𝐴 ∖ (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥))))
3212, 31syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ∧ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅) → (𝑥 ∈ On → (𝐹𝑥) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥))))
33323expia 1121 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦)) → ((𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ On → (𝐹𝑥) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)))))
3433com23 86 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦)) → (𝑥 ∈ On → ((𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅ → (𝐹𝑥) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)))))
3534ralrimiv 3142 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ On ((𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅ → (𝐹𝑥) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥))))
3635ex 413 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ On ((𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅ → (𝐹𝑥) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)))))
3715tz7.49c 8392 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ On ((𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅ → (𝐹𝑥) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥)))) → ∃𝑥 ∈ On (𝐹𝑥):𝑥1-1-onto𝐴)
3837ex 413 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ On ((𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅ → (𝐹𝑥) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥))) → ∃𝑥 ∈ On (𝐹𝑥):𝑥1-1-onto𝐴))
3918f1oen 8913 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥):𝑥1-1-onto𝐴𝑥𝐴)
40 isnumi 9882 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
4139, 40sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝐹𝑥):𝑥1-1-onto𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
4241rexlimiva 3144 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ On (𝐹𝑥):𝑥1-1-onto𝐴𝐴 ∈ dom card)
4338, 42syl6 35 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ On ((𝐴 ∖ (𝐹𝑥)) ≠ ∅ → (𝐹𝑥) ∈ (𝐴 ∖ (𝐹𝑥))) → 𝐴 ∈ dom card))
4436, 43syld 47 . . 3 (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ dom card))
451, 44syl 17 . 2 (𝐴𝐶 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ dom card))
4645exlimdv 1936 1 (𝐴𝐶 → (∃𝑔𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ dom card))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  Oncon0 6317  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  recscrecs 8316  cen 8880  cardccrd 9871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-en 8884  df-card 9875
This theorem is referenced by:  dfac8a  9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator