Theorem subeq0bd 11570

Description: If two complex numbers are equal, their difference is zero. Consequence of subeq0ad 11509. Converse of subeq0d 11507. Contrapositive of subne0ad 11510. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subeq0bd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subeq0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subeq0bd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 0)

Proof of Theorem subeq0bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subeq0bd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		subeq0bd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	subeq0ad 11509	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032   − cmin 11371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178  df-sub 11373

This theorem is referenced by:  sylow1lem1  19567  rrxmvallem  25384  rrxmetlem  25387  dv11cn  25981  coeeulem  26202  plyexmo  26293  chordthmlem3  26814  atantayl2  26918  2sqmod  27416  addsq2nreurex  27424  axcontlem2  29051  ipasslem8  30926  ccatws1f1o  33029  constrrtlc1  33895  constrrtlc2  33896  constrrtcc  33898  bj-subcom  37641  int-addsimpd  44623  bcc0  44788  dvbdfbdioolem2  46378  volioc  46421  etransclem14  46697  etransclem35  46718  ovolval2lem  47092  sharhght  47314  itschlc0yqe  49251