Theorem subeq0bd 11671

Description: If two complex numbers are equal, their difference is zero. Consequence of subeq0ad 11612. Converse of subeq0d 11610. Contrapositive of subne0ad 11613. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subeq0bd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subeq0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subeq0bd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 0)

Proof of Theorem subeq0bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subeq0bd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		subeq0bd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	subeq0ad 11612	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  0cc0 11137   − cmin 11474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-ltxr 11282  df-sub 11476

This theorem is referenced by:  sylow1lem1  19585  rrxmvallem  25375  rrxmetlem  25378  dv11cn  25977  coeeulem  26200  plyexmo  26292  chordthmlem3  26814  atantayl2  26918  2sqmod  27417  addsq2nreurex  27425  axcontlem2  28911  ipasslem8  30785  ccatws1f1o  32881  constrrtlc1  33717  constrrtlc2  33718  constrrtcc  33720  bj-subcom  37284  int-addsimpd  44165  bcc0  44331  dvbdfbdioolem2  45916  volioc  45959  etransclem14  46235  etransclem35  46256  ovolval2lem  46630  sharhght  46852  itschlc0yqe  48654