MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0bd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subeq0bd 11058
Description: If two complex numbers are equal, their difference is zero. Consequence of subeq0ad 10999. Converse of subeq0d 10997. Contrapositive of subne0ad 11000. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subeq0bd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
subeq0bd.2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
subeq0bd (𝜑 → (𝐴𝐵) = 0)

Proof of Theorem subeq0bd
StepHypRef Expression
1 subeq0bd.2 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
2 subeq0bd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31, 2eqeltrrd 2912 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
42, 3subeq0ad 10999 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
51, 4mpbird 259 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1531  wcel 2108  (class class class)co 7148  cc 10527  0cc0 10529  cmin 10862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864
This theorem is referenced by:  sylow1lem1  18715  rrxmvallem  23999  rrxmetlem  24002  dv11cn  24590  coeeulem  24806  plyexmo  24894  chordthmlem3  25404  atantayl2  25508  2sqmod  26004  addsq2nreurex  26012  axcontlem2  26743  ipasslem8  28606  bj-subcom  34581  int-addsimpd  40519  bcc0  40663  dvbdfbdioolem2  42204  volioc  42247  etransclem14  42524  etransclem35  42545  ovolval2lem  42916  sharhght  43113  itschlc0yqe  44738
  Copyright terms: Public domain W3C validator