MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0bd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subeq0bd 11644
Description: If two complex numbers are equal, their difference is zero. Consequence of subeq0ad 11585. Converse of subeq0d 11583. Contrapositive of subne0ad 11586. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subeq0bd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
subeq0bd.2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
subeq0bd (𝜑 → (𝐴𝐵) = 0)

Proof of Theorem subeq0bd
StepHypRef Expression
1 subeq0bd.2 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
2 subeq0bd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31, 2eqeltrrd 2828 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
42, 3subeq0ad 11585 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
51, 4mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7405  cc 11110  0cc0 11112  cmin 11448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450
This theorem is referenced by:  sylow1lem1  19518  rrxmvallem  25287  rrxmetlem  25290  dv11cn  25889  coeeulem  26113  plyexmo  26203  chordthmlem3  26721  atantayl2  26825  2sqmod  27324  addsq2nreurex  27332  axcontlem2  28731  ipasslem8  30599  bj-subcom  36696  lsubcom23d  41746  int-addsimpd  43500  bcc0  43672  dvbdfbdioolem2  45214  volioc  45257  etransclem14  45533  etransclem35  45554  ovolval2lem  45928  sharhght  46150  itschlc0yqe  47718
  Copyright terms: Public domain W3C validator