Theorem iscnrm3lem1 49632

Description: Lemma for iscnrm3 49650. Subspace topology is a topology. (Contributed by Zhi Wang, 3-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iscnrm3lem1	⊢ (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐽 ↾t 𝑥) ∈ Top ∧ 𝜑)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem iscnrm3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resttop 23286	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝑥) ∈ Top)
2	1	biantrurd 541	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜑 ↔ ((𝐽 ↾t 𝑥) ∈ Top ∧ 𝜑)))
3	2	ralbidva 3192	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐽 ↾t 𝑥) ∈ Top ∧ 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  (class class class)co 7411   ↾_t crest 17473  Topctop 23019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9371  df-rest 17475  df-topgen 17496  df-top 23020  df-bases 23072

This theorem is referenced by:  iscnrm3  49650