Theorem djunum 9614

Description: The disjoint union of two numerable sets is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djunum	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ dom card)

Proof of Theorem djunum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 9366	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		cardon 9366	. . 3 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
3		oacl 8153	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ∈ On)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ∈ On
5		cardadju 9613	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))
6	5	ensymd 8553	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
7		isnumi 9368	. 2 ⊢ ((((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ∈ On ∧ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ dom card)
8	4, 6, 7	sylancr 589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5059  dom cdm 5548  Oncon0 6184  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149   +_o coa 8092   ≈ cen 8499   ⊔ cdju 9320  cardccrd 9357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-en 8503  df-dju 9323  df-card 9361

This theorem is referenced by:  unnum  9615