MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpnum 9975
Description: The cartesian product of numerable sets is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpnum ((๐ด โˆˆ dom card โˆง ๐ต โˆˆ dom card) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card)

Proof of Theorem xpnum
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isnum2 9969 . 2 (๐ด โˆˆ dom card โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด)
2 isnum2 9969 . 2 (๐ต โˆˆ dom card โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต)
3 reeanv 3223 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต))
4 omcl 8557 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
5 omxpen 9099 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐‘ฅ ร— ๐‘ฆ))
6 xpen 9165 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐ด ร— ๐ต))
7 entr 9027 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐‘ฅ ร— ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ฅ ร— ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐ด ร— ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐ด ร— ๐ต))
85, 6, 7syl2an 595 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐ด ร— ๐ต))
9 isnumi 9970 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐ด ร— ๐ต)) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card)
104, 8, 9syl2an2r 684 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต)) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card)
1110ex 412 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card))
1211rexlimivv 3196 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card)
133, 12sylbir 234 . 2 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card)
141, 2, 13syl2anb 597 1 ((๐ด โˆˆ dom card โˆง ๐ต โˆˆ dom card) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148   ร— cxp 5676  dom cdm 5678  Oncon0 6369  (class class class)co 7420   ยทo comu 8485   โ‰ˆ cen 8961  cardccrd 9959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-card 9963
This theorem is referenced by:  iunfictbso  10138  znnen  16189  qnnen  16190  ptcmplem2  23970  finixpnum  37078  poimirlem32  37125  isnumbasgrplem2  42528
  Copyright terms: Public domain W3C validator