MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpnum 9943
Description: The cartesian product of numerable sets is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpnum ((๐ด โˆˆ dom card โˆง ๐ต โˆˆ dom card) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card)

Proof of Theorem xpnum
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isnum2 9937 . 2 (๐ด โˆˆ dom card โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด)
2 isnum2 9937 . 2 (๐ต โˆˆ dom card โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต)
3 reeanv 3218 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต))
4 omcl 8532 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
5 omxpen 9071 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐‘ฅ ร— ๐‘ฆ))
6 xpen 9137 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐ด ร— ๐ต))
7 entr 8999 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐‘ฅ ร— ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ฅ ร— ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐ด ร— ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐ด ร— ๐ต))
85, 6, 7syl2an 595 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐ด ร— ๐ต))
9 isnumi 9938 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) โ‰ˆ (๐ด ร— ๐ต)) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card)
104, 8, 9syl2an2r 682 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต)) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card)
1110ex 412 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card))
1211rexlimivv 3191 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card)
133, 12sylbir 234 . 2 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐‘ฅ โ‰ˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On ๐‘ฆ โ‰ˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card)
141, 2, 13syl2anb 597 1 ((๐ด โˆˆ dom card โˆง ๐ต โˆˆ dom card) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062   class class class wbr 5139   ร— cxp 5665  dom cdm 5667  Oncon0 6355  (class class class)co 7402   ยทo comu 8460   โ‰ˆ cen 8933  cardccrd 9927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-card 9931
This theorem is referenced by:  iunfictbso  10106  znnen  16158  qnnen  16159  ptcmplem2  23901  finixpnum  36977  poimirlem32  37024  isnumbasgrplem2  42398
  Copyright terms: Public domain W3C validator