![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xpnum | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The cartesian product of numerable sets is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
xpnum | โข ((๐ด โ dom card โง ๐ต โ dom card) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | isnum2 9969 | . 2 โข (๐ด โ dom card โ โ๐ฅ โ On ๐ฅ โ ๐ด) | |
2 | isnum2 9969 | . 2 โข (๐ต โ dom card โ โ๐ฆ โ On ๐ฆ โ ๐ต) | |
3 | reeanv 3223 | . . 3 โข (โ๐ฅ โ On โ๐ฆ โ On (๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (โ๐ฅ โ On ๐ฅ โ ๐ด โง โ๐ฆ โ On ๐ฆ โ ๐ต)) | |
4 | omcl 8557 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ On โง ๐ฆ โ On) โ (๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ On) | |
5 | omxpen 9099 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ On โง ๐ฆ โ On) โ (๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ (๐ฅ ร ๐ฆ)) | |
6 | xpen 9165 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ฅ ร ๐ฆ) โ (๐ด ร ๐ต)) | |
7 | entr 9027 | . . . . . . 7 โข (((๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ (๐ฅ ร ๐ฆ) โง (๐ฅ ร ๐ฆ) โ (๐ด ร ๐ต)) โ (๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ (๐ด ร ๐ต)) | |
8 | 5, 6, 7 | syl2an 595 | . . . . . 6 โข (((๐ฅ โ On โง ๐ฆ โ On) โง (๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ (๐ด ร ๐ต)) |
9 | isnumi 9970 | . . . . . 6 โข (((๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ On โง (๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ (๐ด ร ๐ต)) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card) | |
10 | 4, 8, 9 | syl2an2r 684 | . . . . 5 โข (((๐ฅ โ On โง ๐ฆ โ On) โง (๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card) |
11 | 10 | ex 412 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ On โง ๐ฆ โ On) โ ((๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card)) |
12 | 11 | rexlimivv 3196 | . . 3 โข (โ๐ฅ โ On โ๐ฆ โ On (๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card) |
13 | 3, 12 | sylbir 234 | . 2 โข ((โ๐ฅ โ On ๐ฅ โ ๐ด โง โ๐ฆ โ On ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card) |
14 | 1, 2, 13 | syl2anb 597 | 1 โข ((๐ด โ dom card โง ๐ต โ dom card) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โ wcel 2099 โwrex 3067 class class class wbr 5148 ร cxp 5676 dom cdm 5678 Oncon0 6369 (class class class)co 7420 ยทo comu 8485 โ cen 8961 cardccrd 9959 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-1o 8487 df-oadd 8491 df-omul 8492 df-er 8725 df-en 8965 df-dom 8966 df-card 9963 |
This theorem is referenced by: iunfictbso 10138 znnen 16189 qnnen 16190 ptcmplem2 23970 finixpnum 37078 poimirlem32 37125 isnumbasgrplem2 42528 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |