![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xpnum | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The cartesian product of numerable sets is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
xpnum | โข ((๐ด โ dom card โง ๐ต โ dom card) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | isnum2 9937 | . 2 โข (๐ด โ dom card โ โ๐ฅ โ On ๐ฅ โ ๐ด) | |
2 | isnum2 9937 | . 2 โข (๐ต โ dom card โ โ๐ฆ โ On ๐ฆ โ ๐ต) | |
3 | reeanv 3218 | . . 3 โข (โ๐ฅ โ On โ๐ฆ โ On (๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (โ๐ฅ โ On ๐ฅ โ ๐ด โง โ๐ฆ โ On ๐ฆ โ ๐ต)) | |
4 | omcl 8532 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ On โง ๐ฆ โ On) โ (๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ On) | |
5 | omxpen 9071 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ On โง ๐ฆ โ On) โ (๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ (๐ฅ ร ๐ฆ)) | |
6 | xpen 9137 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ฅ ร ๐ฆ) โ (๐ด ร ๐ต)) | |
7 | entr 8999 | . . . . . . 7 โข (((๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ (๐ฅ ร ๐ฆ) โง (๐ฅ ร ๐ฆ) โ (๐ด ร ๐ต)) โ (๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ (๐ด ร ๐ต)) | |
8 | 5, 6, 7 | syl2an 595 | . . . . . 6 โข (((๐ฅ โ On โง ๐ฆ โ On) โง (๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ (๐ด ร ๐ต)) |
9 | isnumi 9938 | . . . . . 6 โข (((๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ On โง (๐ฅ ยทo ๐ฆ) โ (๐ด ร ๐ต)) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card) | |
10 | 4, 8, 9 | syl2an2r 682 | . . . . 5 โข (((๐ฅ โ On โง ๐ฆ โ On) โง (๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card) |
11 | 10 | ex 412 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ On โง ๐ฆ โ On) โ ((๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card)) |
12 | 11 | rexlimivv 3191 | . . 3 โข (โ๐ฅ โ On โ๐ฆ โ On (๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card) |
13 | 3, 12 | sylbir 234 | . 2 โข ((โ๐ฅ โ On ๐ฅ โ ๐ด โง โ๐ฆ โ On ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card) |
14 | 1, 2, 13 | syl2anb 597 | 1 โข ((๐ด โ dom card โง ๐ต โ dom card) โ (๐ด ร ๐ต) โ dom card) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โ wcel 2098 โwrex 3062 class class class wbr 5139 ร cxp 5665 dom cdm 5667 Oncon0 6355 (class class class)co 7402 ยทo comu 8460 โ cen 8933 cardccrd 9927 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-int 4942 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-oadd 8466 df-omul 8467 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-card 9931 |
This theorem is referenced by: iunfictbso 10106 znnen 16158 qnnen 16159 ptcmplem2 23901 finixpnum 36977 poimirlem32 37024 isnumbasgrplem2 42398 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |