MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem met1stc 23128
Description: The topology generated by a metric space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
met1stc (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)

Proof of Theorem met1stc
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopntop 23047 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
31mopnuni 23048 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
43eleq2d 2875 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋𝑥 𝐽))
54biimpar 481 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥𝑋)
6 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝑋)
8 nnrp 12388 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
98adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
109rpreccld 12429 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1110rpxrd 12420 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ*)
121blopn 23107 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
136, 7, 11, 12syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
1413fmpttd 6856 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ⟶𝐽)
1514frnd 6494 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ⊆ 𝐽)
16 nnex 11631 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
1716mptex 6963 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ V
1817rnex 7599 . . . . . . 7 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ V
1918elpw 4501 . . . . . 6 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ 𝒫 𝐽 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ⊆ 𝐽)
2015, 19sylibr 237 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ 𝒫 𝐽)
21 omelon 9093 . . . . . . . . 9 ω ∈ On
22 nnenom 13343 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
2322ensymi 8542 . . . . . . . . 9 ω ≈ ℕ
24 isnumi 9359 . . . . . . . . 9 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
2521, 23, 24mp2an 691 . . . . . . . 8 ℕ ∈ dom card
26 ovex 7168 . . . . . . . . . 10 (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)) ∈ V
27 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))
2826, 27fnmpti 6463 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) Fn ℕ
29 dffn4 6571 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) Fn ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ–onto→ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))))
3028, 29mpbi 233 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ–onto→ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))
31 fodomnum 9468 . . . . . . . 8 (ℕ ∈ dom card → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ–onto→ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ℕ))
3225, 30, 31mp2 9 . . . . . . 7 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ℕ
33 domentr 8551 . . . . . . 7 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω)
3432, 22, 33mp2an 691 . . . . . 6 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω
3534a1i 11 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω)
36 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → 𝑧𝐽)
38 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → 𝑥𝑧)
391mopni2 23100 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝐽𝑥𝑧) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
41 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
42 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑥𝑋)
43 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℕ)
4443nnrpd 12417 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
4544rpreccld 12429 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
46 blcntr 23020 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)))
4741, 42, 45, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)))
4845rpxrd 12420 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ*)
49 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5049rpxrd 12420 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
51 nnrecre 11667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
5251ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
5349rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
54 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) < 𝑟)
5552, 53, 54ltled 10777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) ≤ 𝑟)
56 ssbl 23030 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((1 / 𝑦) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (1 / 𝑦) ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
5741, 42, 48, 50, 55, 56syl221anc 1378 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
58 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
5957, 58sstrd 3925 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧)
6047, 59jca 515 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧))
61 elrp 12379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+ ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟))
62 nnrecl 11883 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < 𝑟)
6361, 62sylbi 220 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < 𝑟)
6463ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < 𝑟)
6560, 64reximddv 3234 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧))
6640, 65rexlimddv 3250 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧))
67 ovexd 7170 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∈ V)
68 vex 3444 . . . . . . . . . 10 𝑤 ∈ V
69 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑦))
7069oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)) = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)))
7170cbvmptv 5133 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)))
7271elrnmpt 5792 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦))))
7368, 72mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → (𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦))))
74 eleq2 2878 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) → (𝑥𝑤𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦))))
75 sseq1 3940 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) → (𝑤𝑧 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧))
7674, 75anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) → ((𝑥𝑤𝑤𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧)))
7776adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ 𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦))) → ((𝑥𝑤𝑤𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧)))
7867, 73, 77rexxfr2d 5277 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧)))
7966, 78mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧))
8079expr 460 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑧𝐽) → (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))
8180ralrimiva 3149 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))
82 breq1 5033 . . . . . . 7 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → (𝑦 ≼ ω ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω))
83 rexeq 3359 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → (∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))
8483imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → ((𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧)) ↔ (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧))))
8584ralbidv 3162 . . . . . . 7 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧)) ↔ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧))))
8682, 85anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → ((𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))) ↔ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))))
8786rspcev 3571 . . . . 5 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))))
8820, 35, 81, 87syl12anc 835 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))))
895, 88syldan 594 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))))
9089ralrimiva 3149 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 𝐽𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))))
91 eqid 2798 . . 3 𝐽 = 𝐽
9291is1stc2 22047 . 2 (𝐽 ∈ 1stω ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧)))))
932, 90, 92sylanbrc 586 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  wrex 3107  Vcvv 3441  wss 3881  𝒫 cpw 4497   cuni 4800   class class class wbr 5030  cmpt 5110  dom cdm 5519  ran crn 5520  Oncon0 6159   Fn wfn 6319  ontowfo 6322  cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560  cen 8489  cdom 8490  cardccrd 9348  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665   / cdiv 11286  cn 11625  +crp 12377  ∞Metcxmet 20076  ballcbl 20078  MetOpencmopn 20081  Topctop 21498  1stωc1stc 22042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-1stc 22044
This theorem is referenced by:  metelcls  23909  metcnp4  23914  metcn4  23915
  Copyright terms: Public domain W3C validator