MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem met1stc 23134
Description: The topology generated by a metric space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
met1stc (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)

Proof of Theorem met1stc
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopntop 23053 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
31mopnuni 23054 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
43eleq2d 2901 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋𝑥 𝐽))
54biimpar 481 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥𝑋)
6 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝑋)
8 nnrp 12400 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
98adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
109rpreccld 12441 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1110rpxrd 12432 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ*)
121blopn 23113 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
136, 7, 11, 12syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
1413fmpttd 6871 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ⟶𝐽)
1514frnd 6511 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ⊆ 𝐽)
16 nnex 11643 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
1716mptex 6978 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ V
1817rnex 7613 . . . . . . 7 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ V
1918elpw 4527 . . . . . 6 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ 𝒫 𝐽 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ⊆ 𝐽)
2015, 19sylibr 237 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ 𝒫 𝐽)
21 omelon 9107 . . . . . . . . 9 ω ∈ On
22 nnenom 13355 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
2322ensymi 8556 . . . . . . . . 9 ω ≈ ℕ
24 isnumi 9373 . . . . . . . . 9 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
2521, 23, 24mp2an 691 . . . . . . . 8 ℕ ∈ dom card
26 ovex 7183 . . . . . . . . . 10 (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)) ∈ V
27 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))
2826, 27fnmpti 6481 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) Fn ℕ
29 dffn4 6588 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) Fn ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ–onto→ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))))
3028, 29mpbi 233 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ–onto→ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))
31 fodomnum 9482 . . . . . . . 8 (ℕ ∈ dom card → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ–onto→ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ℕ))
3225, 30, 31mp2 9 . . . . . . 7 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ℕ
33 domentr 8565 . . . . . . 7 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω)
3432, 22, 33mp2an 691 . . . . . 6 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω
3534a1i 11 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω)
36 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → 𝑧𝐽)
38 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → 𝑥𝑧)
391mopni2 23106 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝐽𝑥𝑧) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
41 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
42 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑥𝑋)
43 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℕ)
4443nnrpd 12429 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
4544rpreccld 12441 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
46 blcntr 23026 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)))
4741, 42, 45, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)))
4845rpxrd 12432 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ*)
49 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5049rpxrd 12432 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
51 nnrecre 11679 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
5251ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
5349rpred 12431 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
54 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) < 𝑟)
5552, 53, 54ltled 10787 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) ≤ 𝑟)
56 ssbl 23036 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((1 / 𝑦) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (1 / 𝑦) ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
5741, 42, 48, 50, 55, 56syl221anc 1378 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
58 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
5957, 58sstrd 3964 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧)
6047, 59jca 515 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧))
61 elrp 12391 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+ ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟))
62 nnrecl 11895 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < 𝑟)
6361, 62sylbi 220 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < 𝑟)
6463ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < 𝑟)
6560, 64reximddv 3268 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧))
6640, 65rexlimddv 3284 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧))
67 ovexd 7185 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∈ V)
68 vex 3484 . . . . . . . . . 10 𝑤 ∈ V
69 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑦))
7069oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)) = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)))
7170cbvmptv 5156 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)))
7271elrnmpt 5816 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦))))
7368, 72mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → (𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦))))
74 eleq2 2904 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) → (𝑥𝑤𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦))))
75 sseq1 3979 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) → (𝑤𝑧 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧))
7674, 75anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) → ((𝑥𝑤𝑤𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧)))
7776adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ 𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦))) → ((𝑥𝑤𝑤𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧)))
7867, 73, 77rexxfr2d 5300 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧)))
7966, 78mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧))
8079expr 460 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑧𝐽) → (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))
8180ralrimiva 3177 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))
82 breq1 5056 . . . . . . 7 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → (𝑦 ≼ ω ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω))
83 rexeq 3398 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → (∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))
8483imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → ((𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧)) ↔ (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧))))
8584ralbidv 3192 . . . . . . 7 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧)) ↔ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧))))
8682, 85anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → ((𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))) ↔ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))))
8786rspcev 3610 . . . . 5 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))))
8820, 35, 81, 87syl12anc 835 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))))
895, 88syldan 594 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))))
9089ralrimiva 3177 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 𝐽𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))))
91 eqid 2824 . . 3 𝐽 = 𝐽
9291is1stc2 22053 . 2 (𝐽 ∈ 1stω ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧)))))
932, 90, 92sylanbrc 586 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  Vcvv 3481  wss 3920  𝒫 cpw 4523   cuni 4825   class class class wbr 5053  cmpt 5133  dom cdm 5543  ran crn 5544  Oncon0 6179   Fn wfn 6339  ontowfo 6342  cfv 6344  (class class class)co 7150  ωcom 7575  cen 8503  cdom 8504  cardccrd 9362  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537  *cxr 10673   < clt 10674  cle 10675   / cdiv 11296  cn 11637  +crp 12389  ∞Metcxmet 20533  ballcbl 20535  MetOpencmopn 20538  Topctop 21504  1stωc1stc 22048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-sup 8904  df-inf 8905  df-card 9366  df-acn 9369  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-topgen 16720  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557  df-1stc 22050
This theorem is referenced by:  metelcls  23915  metcnp4  23920  metcn4  23921
  Copyright terms: Public domain W3C validator