Theorem rngqiprngho 21210

Description: 𝐹 is a homomorphism of non-unital rings. (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngho	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, ∼   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngho

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rng2idlring.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rng2idlring.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rng2idlring.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8		rngqiprngim.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9		rngqiprngim.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10		rngqiprngim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
11		rngqiprngim.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	rngqiprng 21203	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Rng)
13		rngqiprngim.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13	rngqiprngghm 21206	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13	rngqiprnglin 21209	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑏)))
16	14, 15	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑏))))
17		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
18	5, 6, 17	isrnghm 20326	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑃) ↔ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑃 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(.r‘𝑃)(𝐹‘𝑏)))))
19	1, 12, 16, 18	syl21anbrc 1345	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ⟨cop 4583   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  [cec 8623  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  ._rcmulr 17162   /_s cqus 17409   ×_s cxps 17410   ~_QG cqg 19001   GrpHom cghm 19091  Rngcrng 20037  1_rcur 20066  Ringcrg 20118   RngHom crnghm 20319  2Idealc2idl 21156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-imas 17412  df-qus 17413  df-xps 17414  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19092  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-rnghm 20321  df-subrng 20431  df-lss 20835  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-2idl 21157

This theorem is referenced by:  rngqiprngim  21211