Theorem isrnghmmul 20385

Description: A function is a non-unital ring homomorphism iff it preserves both addition and multiplication. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrnghmmul.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
isrnghmmul.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
isrnghmmul	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MgmHom 𝑁))))

Proof of Theorem isrnghmmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2725	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2725	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
4	1, 2, 3	isrnghm 20384	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)))))
5		isrnghmmul.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
6	5	rngmgp 20100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑀 ∈ Smgrp)
7		sgrpmgm 18683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Smgrp → 𝑀 ∈ Mgm)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑀 ∈ Mgm)
9		isrnghmmul.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)
10	9	rngmgp 20100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑁 ∈ Smgrp)
11		sgrpmgm 18683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ Smgrp → 𝑁 ∈ Mgm)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑁 ∈ Mgm)
13	8, 12	anim12i 611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) → (𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm))
14		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
15	1, 14	ghmf 19178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
16	13, 15	anim12i 611	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆)) → ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆)))
17	16	biantrurd 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)) ↔ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)))))
18		anass 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦))) ↔ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)))))
19	17, 18	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦))))))
20	5, 1	mgpbas 20084	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
21	9, 14	mgpbas 20084	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑁)
22	5, 2	mgpplusg 20082	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
23	9, 3	mgpplusg 20082	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘𝑁)
24	20, 21, 22, 23	ismgmhm 18655	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MgmHom 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)))))
25	19, 24	bitr4di 288	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝐹 ∈ (𝑀 MgmHom 𝑁)))
26	25	pm5.32da 577	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) → ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MgmHom 𝑁))))
27	26	pm5.32i 573	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)))) ↔ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MgmHom 𝑁))))
28	4, 27	bitri 274	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MgmHom 𝑁))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233  Mgmcmgm 18597   MgmHom cmgmhm 18649  Smgrpcsgrp 18677   GrpHom cghm 19171  mulGrpcmgp 20078  Rngcrng 20096   RngHom crnghm 20377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mgmhm 18651  df-sgrp 18678  df-ghm 19172  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-rnghm 20379

This theorem is referenced by:  rnghmmgmhm  20386  rnghmval2  20387  rnghmf1o  20395  rnghmco  20400  idrnghm  20401  rhmisrnghm  20423  c0rnghm  20476