Theorem isrnghmmul 20515

Description: A function is a non-unital ring homomorphism iff it preserves both addition and multiplication. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrnghmmul.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
isrnghmmul.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
isrnghmmul	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MgmHom 𝑁))))

Proof of Theorem isrnghmmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
4	1, 2, 3	isrnghm 20514	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)))))
5		isrnghmmul.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
6	5	rngmgp 20225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑀 ∈ Smgrp)
7		sgrpmgm 18772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Smgrp → 𝑀 ∈ Mgm)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑀 ∈ Mgm)
9		isrnghmmul.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)
10	9	rngmgp 20225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑁 ∈ Smgrp)
11		sgrpmgm 18772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ Smgrp → 𝑁 ∈ Mgm)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑁 ∈ Mgm)
13	8, 12	anim12i 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) → (𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm))
14		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
15	1, 14	ghmf 19281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
16	13, 15	anim12i 624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆)) → ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆)))
17	16	biantrurd 541	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)) ↔ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)))))
18		anass 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦))) ↔ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)))))
19	17, 18	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦))))))
20	5, 1	mgpbas 20212	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
21	9, 14	mgpbas 20212	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑁)
22	5, 2	mgpplusg 20211	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
23	9, 3	mgpplusg 20211	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘𝑁)
24	20, 21, 22, 23	ismgmhm 18744	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MgmHom 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)))))
25	19, 24	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝐹 ∈ (𝑀 MgmHom 𝑁)))
26	25	pm5.32da 589	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) → ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MgmHom 𝑁))))
27	26	pm5.32i 584	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑦)))) ↔ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MgmHom 𝑁))))
28	4, 27	bitri 278	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MgmHom 𝑁))))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  Mgmcmgm 18686   MgmHom cmgmhm 18738  Smgrpcsgrp 18766   GrpHom cghm 19274  mulGrpcmgp 20207  Rngcrng 20221   RngHom crnghm 20507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-mgmhm 18740  df-sgrp 18767  df-ghm 19275  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-rnghm 20509

This theorem is referenced by:  rnghmmgmhm  20516  rnghmval2  20517  rnghmf1o  20525  rnghmco  20530  idrnghm  20531  rhmisrnghm  20553  c0rnghm  20611