Theorem iunon 8273

Description: The indexed union of a set of ordinal numbers 𝐵(𝑥) is an ordinal number. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunon	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ On)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iunon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun3g 5918	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ On → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
3		mptexg 7170	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
4		rnexg 7847	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	rnmptss 7070	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ On → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ On)
8		ssonuni 7728	. . . 4 ⊢ (ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V → (ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ On → ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ On))
9	8	imp 406	. . 3 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ On) → ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ On)
10	5, 7, 9	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ On) → ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ On)
11	2, 10	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  ∪ ciun 4934   ↦ cmpt 5167  ran crn 5626  Oncon0 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501

This theorem is referenced by:  oacl  8464  omcl  8465  oecl  8466  rankuni2b  9771  rankval4  9785  alephon  9985  cfsmolem  10186  hsmexlem5  10346  inar1  10692  bdayiun  27924  rankval4b  35262  ofoafg  43803