MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omcl 8536
Description: Closure law for ordinal multiplication. Proposition 8.16 of [TakeutiZaring] p. 57. Remark 2.8 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
omcl ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)

Proof of Theorem omcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo โˆ…))
21eleq1d 2819 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ On))
3 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
43eleq1d 2819 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On))
5 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ))
65eleq1d 2819 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ On))
7 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐ต))
87eleq1d 2819 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On))
9 om0 8517 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
10 0elon 6419 . . . 4 โˆ… โˆˆ On
119, 10eqeltrdi 2842 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ On)
12 oacl 8535 . . . . . . 7 (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โˆˆ On)
1312expcom 415 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โˆˆ On))
1413adantr 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โˆˆ On))
15 omsuc 8526 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
1615eleq1d 2819 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†” ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โˆˆ On))
1714, 16sylibrd 259 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ On))
1817expcom 415 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ On)))
19 vex 3479 . . . . . 6 ๐‘ฅ โˆˆ V
20 iunon 8339 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
2119, 20mpan 689 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
22 omlim 8533 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
2319, 22mpanr1 702 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
2423eleq1d 2819 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On))
2521, 24imbitrrid 245 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On))
2625expcom 415 . . 3 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On)))
272, 4, 6, 8, 11, 18, 26tfinds3 7854 . 2 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On))
2827impcom 409 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475  โˆ…c0 4323  โˆช ciun 4998  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367  (class class class)co 7409   +o coa 8463   ยทo comu 8464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-oadd 8470  df-omul 8471
This theorem is referenced by:  oecl  8537  omordi  8566  omord2  8567  omcan  8569  omword  8570  omwordri  8572  om00  8575  om00el  8576  omlimcl  8578  odi  8579  omass  8580  oneo  8581  omeulem1  8582  omeulem2  8583  omopth2  8584  oeoelem  8598  oeoe  8599  oeeui  8602  oaabs2  8648  omxpenlem  9073  omxpen  9074  cantnfle  9666  cantnflt  9667  cantnflem1d  9683  cantnflem1  9684  cantnflem3  9686  cantnflem4  9687  cnfcomlem  9694  xpnum  9946  infxpenc  10013  dfac12lem2  10139  onexomgt  41990  omlimcl2  41991  onexlimgt  41992  onexoegt  41993  oaomoecl  42028  oaabsb  42044  dflim5  42079  omabs2  42082  naddwordnexlem0  42147  naddwordnexlem1  42148  naddwordnexlem3  42150  oawordex3  42151  naddwordnexlem4  42152
  Copyright terms: Public domain W3C validator