MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omcl 8535
Description: Closure law for ordinal multiplication. Proposition 8.16 of [TakeutiZaring] p. 57. Remark 2.8 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
omcl ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)

Proof of Theorem omcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo โˆ…))
21eleq1d 2818 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ On))
3 oveq2 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
43eleq1d 2818 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On))
5 oveq2 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ))
65eleq1d 2818 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ On))
7 oveq2 7416 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐ต))
87eleq1d 2818 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On))
9 om0 8516 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
10 0elon 6418 . . . 4 โˆ… โˆˆ On
119, 10eqeltrdi 2841 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ On)
12 oacl 8534 . . . . . . 7 (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โˆˆ On)
1312expcom 414 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โˆˆ On))
1413adantr 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โˆˆ On))
15 omsuc 8525 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
1615eleq1d 2818 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†” ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โˆˆ On))
1714, 16sylibrd 258 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ On))
1817expcom 414 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ On)))
19 vex 3478 . . . . . 6 ๐‘ฅ โˆˆ V
20 iunon 8338 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
2119, 20mpan 688 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
22 omlim 8532 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
2319, 22mpanr1 701 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
2423eleq1d 2818 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On))
2521, 24imbitrrid 245 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On))
2625expcom 414 . . 3 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On)))
272, 4, 6, 8, 11, 18, 26tfinds3 7853 . 2 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On))
2827impcom 408 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474  โˆ…c0 4322  โˆช ciun 4997  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  (class class class)co 7408   +o coa 8462   ยทo comu 8463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-oadd 8469  df-omul 8470
This theorem is referenced by:  oecl  8536  omordi  8565  omord2  8566  omcan  8568  omword  8569  omwordri  8571  om00  8574  om00el  8575  omlimcl  8577  odi  8578  omass  8579  oneo  8580  omeulem1  8581  omeulem2  8582  omopth2  8583  oeoelem  8597  oeoe  8598  oeeui  8601  oaabs2  8647  omxpenlem  9072  omxpen  9073  cantnfle  9665  cantnflt  9666  cantnflem1d  9682  cantnflem1  9683  cantnflem3  9685  cantnflem4  9686  cnfcomlem  9693  xpnum  9945  infxpenc  10012  dfac12lem2  10138  onexomgt  41980  omlimcl2  41981  onexlimgt  41982  onexoegt  41983  oaomoecl  42018  oaabsb  42034  dflim5  42069  omabs2  42072  naddwordnexlem0  42137  naddwordnexlem1  42138  naddwordnexlem3  42140  oawordex3  42141  naddwordnexlem4  42142
  Copyright terms: Public domain W3C validator