MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbico1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbico1 12477
Description: The lower bound belongs to a closed-below, open-above interval. See lbicc2 12539. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
lbico1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem lbico1
StepHypRef Expression
1 simp1 1167 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrleid 12231 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
323ad2ant1 1164 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐴)
4 simp3 1169 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
5 elico1 12467 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴 < 𝐵)))
653adant3 1163 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴 < 𝐵)))
71, 3, 4, 6mpbir3and 1443 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1108  wcel 2157   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364  [,)cico 12426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-ico 12430
This theorem is referenced by:  icopnfsup  12919  metustid  22687  ioombl  23673  dchrvmasumlem2  25539  pntleme  25649  sxbrsigalem0  30849  icoreunrn  33705  dvasin  33984  dvacos  33985  limcresioolb  40619  xlimmnfvlem1  40802  fourierdlem93  41159
  Copyright terms: Public domain W3C validator