MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntleme Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntleme 26956
Description: Lemma for pnt 26962. Package up pntlemo 26955 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntleme.U (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntleme.K (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntleme.C (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)))) / 𝑧) ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
pntleme (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑤,𝐹   𝑦,𝑧   𝑢,𝑘,𝑦,𝑧,𝐿   𝑘,𝐾,𝑦,𝑧   𝜑,𝑣   𝑖,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑅   𝑤,𝑈,𝑧   𝑣,𝑊,𝑤,𝑧   𝑘,𝑋,𝑦,𝑧   𝑖,𝑌,𝑧   𝑘,𝑎,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧,𝐸
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐸(𝑤,𝑖)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢,𝑖,𝑎)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑖,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝑋(𝑤,𝑣,𝑢,𝑖,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑘,𝑎)

Proof of Theorem pntleme
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . 3 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . 3 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . 3 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7 pntlem1.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.u2 . . 3 (𝜑𝑈𝐴)
9 pntlem1.e . . 3 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10 pntlem1.k . . 3 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
11 pntlem1.y . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
12 pntlem1.x . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
13 pntlem1.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
14 pntlem1.w . . 3 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14pntlema 26944 . 2 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
162adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
173adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
184adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
197adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝑈 ∈ ℝ+)
208adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝑈𝐴)
2111adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
2212adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
2313adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
24 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞))
25 eqid 2736 . . . 4 ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1) = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
26 eqid 2736 . . . 4 (⌊‘(((log‘𝑣) / (log‘𝐾)) / 2)) = (⌊‘(((log‘𝑣) / (log‘𝐾)) / 2))
27 pntleme.U . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
2827adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
29 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 · 𝑦) = (𝐾 · 𝑦))
3029breq2d 5117 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐾 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)))
3130anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦))))
3231anbi1d 630 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
3332rexbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
3433ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
35 pntleme.K . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 26943 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
3736simp2d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
3837rpxrd 12958 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ*)
39 pnfxr 11209 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
4137rpred 12957 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4241ltpnfd 13042 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < +∞)
43 lbico1 13318 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐾 < +∞) → 𝐾 ∈ (𝐾[,)+∞))
4438, 40, 42, 43syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝐾[,)+∞))
4534, 35, 44rspcdva 3582 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
4645adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
47 pntleme.C . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)))) / 𝑧) ≤ 𝐶)
4847adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)))) / 𝑧) ≤ 𝐶)
491, 16, 17, 18, 5, 6, 19, 20, 9, 10, 21, 22, 23, 14, 24, 25, 26, 28, 46, 48pntlemo 26955 . . 3 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
5049ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
51 oveq1 7364 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤[,)+∞) = (𝑊[,)+∞))
5251raleqdv 3313 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))))
5352rspcev 3581 . 2 ((𝑊 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
5415, 50, 53syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  cdc 12618  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  cfl 13695  cexp 13967  abscabs 15119  Σcsu 15570  expce 15944  logclog 25910  ψcchp 26442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ulm 25736  df-log 25912  df-atan 26217  df-em 26342  df-vma 26447  df-chp 26448
This theorem is referenced by:  pntlemp  26958
  Copyright terms: Public domain W3C validator