MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntleme Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntleme 26994
Description: Lemma for pnt 27000. Package up pntlemo 26993 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
pntlem1.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
pntlem1.u2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
pntlem1.e ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
pntlem1.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
pntlem1.y (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
pntlem1.x (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
pntlem1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
pntlem1.w ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
pntleme.U (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
pntleme.K (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
pntleme.C (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘–))) ยท (logโ€˜๐‘–)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
pntleme (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ถ   ๐‘ค,๐น   ๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘˜,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ฟ   ๐‘˜,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ฃ   ๐‘–,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘ค,๐‘ˆ,๐‘ง   ๐‘ฃ,๐‘Š,๐‘ค,๐‘ง   ๐‘˜,๐‘‹,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘ง   ๐‘˜,๐‘Ž,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ธ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ต(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ท(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐‘ˆ(๐‘ฆ,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ธ(๐‘ค,๐‘–)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐พ(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘–,๐‘Ž)   ๐‘Š(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐‘‹(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘˜,๐‘Ž)

Proof of Theorem pntleme
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
2 pntlem1.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
3 pntlem1.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
4 pntlem1.l . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . 3 ๐ท = (๐ด + 1)
6 pntlem1.f . . 3 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
7 pntlem1.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
8 pntlem1.u2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
9 pntlem1.e . . 3 ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
10 pntlem1.k . . 3 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
11 pntlem1.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
12 pntlem1.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
13 pntlem1.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
14 pntlem1.w . . 3 ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14pntlema 26982 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„+)
162adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
173adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
184adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
197adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
208adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
2111adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
2212adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
2313adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
24 simpr 486 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
25 eqid 2732 . . . 4 ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1) = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1)
26 eqid 2732 . . . 4 (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘ฃ) / (logโ€˜๐พ)) / 2)) = (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘ฃ) / (logโ€˜๐พ)) / 2))
27 pntleme.U . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
2827adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
29 oveq1 7370 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) = (๐พ ยท ๐‘ฆ))
3029breq2d 5123 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)))
3130anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ))))
3231anbi1d 631 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
3332rexbidv 3172 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
3433ralbidv 3171 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
35 pntleme.K . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 26981 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง ๐พ โˆˆ โ„+ โˆง (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)))
3736simp2d 1144 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
3837rpxrd 12968 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„*)
39 pnfxr 11219 . . . . . . . 8 +โˆž โˆˆ โ„*
4039a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
4137rpred 12967 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4241ltpnfd 13052 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ < +โˆž)
43 lbico1 13329 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐พ < +โˆž) โ†’ ๐พ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
4438, 40, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
4534, 35, 44rspcdva 3584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
4645adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
47 pntleme.C . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘–))) ยท (logโ€˜๐‘–)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐ถ)
4847adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘–))) ยท (logโ€˜๐‘–)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐ถ)
491, 16, 17, 18, 5, 6, 19, 20, 9, 10, 21, 22, 23, 14, 24, 25, 26, 28, 46, 48pntlemo 26993 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
5049ralrimiva 3140 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
51 oveq1 7370 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (๐‘ค[,)+โˆž) = (๐‘Š[,)+โˆž))
5251raleqdv 3312 . . 3 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))) โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
5352rspcev 3583 . 2 ((๐‘Š โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3)))) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
5415, 50, 53syl2anc 585 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5111   โ†ฆ cmpt 5194  โ€˜cfv 6502  (class class class)co 7363  0cc0 11061  1c1 11062   + caddc 11064   ยท cmul 11066  +โˆžcpnf 11196  โ„*cxr 11198   < clt 11199   โ‰ค cle 11200   โˆ’ cmin 11395   / cdiv 11822  2c2 12218  3c3 12219  4c4 12220  cdc 12628  โ„+crp 12925  (,)cioo 13275  [,)cico 13277  [,]cicc 13278  ...cfz 13435  โŒŠcfl 13706  โ†‘cexp 13978  abscabs 15132  ฮฃcsu 15583  expce 15956  logclog 25948  ฯˆcchp 26480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5248  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-inf2 9587  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139  ax-addf 11140  ax-mulf 11141
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4872  df-int 4914  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7623  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8099  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-2o 8419  df-oadd 8422  df-er 8656  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8844  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-fsupp 9314  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9456  df-dju 9847  df-card 9885  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-div 11823  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-4 12228  df-5 12229  df-6 12230  df-7 12231  df-8 12232  df-9 12233  df-n0 12424  df-xnn0 12496  df-z 12510  df-dec 12629  df-uz 12774  df-q 12884  df-rp 12926  df-xneg 13043  df-xadd 13044  df-xmul 13045  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13436  df-fzo 13579  df-fl 13708  df-mod 13786  df-seq 13918  df-exp 13979  df-fac 14185  df-bc 14214  df-hash 14242  df-shft 14965  df-cj 14997  df-re 14998  df-im 14999  df-sqrt 15133  df-abs 15134  df-limsup 15366  df-clim 15383  df-rlim 15384  df-sum 15584  df-ef 15962  df-e 15963  df-sin 15964  df-cos 15965  df-tan 15966  df-pi 15967  df-dvds 16149  df-gcd 16387  df-prm 16560  df-pc 16721  df-struct 17031  df-sets 17048  df-slot 17066  df-ndx 17078  df-base 17096  df-ress 17125  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-hom 17172  df-cco 17173  df-rest 17319  df-topn 17320  df-0g 17338  df-gsum 17339  df-topgen 17340  df-pt 17341  df-prds 17344  df-xrs 17399  df-qtop 17404  df-imas 17405  df-xps 17407  df-mre 17481  df-mrc 17482  df-acs 17484  df-mgm 18512  df-sgrp 18561  df-mnd 18572  df-submnd 18617  df-mulg 18888  df-cntz 19112  df-cmn 19579  df-psmet 20826  df-xmet 20827  df-met 20828  df-bl 20829  df-mopn 20830  df-fbas 20831  df-fg 20832  df-cnfld 20835  df-top 22281  df-topon 22298  df-topsp 22320  df-bases 22334  df-cld 22408  df-ntr 22409  df-cls 22410  df-nei 22487  df-lp 22525  df-perf 22526  df-cn 22616  df-cnp 22617  df-haus 22704  df-cmp 22776  df-tx 22951  df-hmeo 23144  df-fil 23235  df-fm 23327  df-flim 23328  df-flf 23329  df-xms 23711  df-ms 23712  df-tms 23713  df-cncf 24279  df-limc 25268  df-dv 25269  df-ulm 25774  df-log 25950  df-atan 26255  df-em 26380  df-vma 26485  df-chp 26486
This theorem is referenced by:  pntlemp  26996
  Copyright terms: Public domain W3C validator