MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntleme Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntleme 27535
Description: Lemma for pnt 27541. Package up pntlemo 27534 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
pntlem1.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
pntlem1.u2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
pntlem1.e ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
pntlem1.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
pntlem1.y (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
pntlem1.x (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
pntlem1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
pntlem1.w ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
pntleme.U (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
pntleme.K (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
pntleme.C (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘–))) ยท (logโ€˜๐‘–)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
pntleme (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ถ   ๐‘ค,๐น   ๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘˜,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ฟ   ๐‘˜,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ฃ   ๐‘–,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘ค,๐‘ˆ,๐‘ง   ๐‘ฃ,๐‘Š,๐‘ค,๐‘ง   ๐‘˜,๐‘‹,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘ง   ๐‘˜,๐‘Ž,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ธ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ต(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ท(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐‘ˆ(๐‘ฆ,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ธ(๐‘ค,๐‘–)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐พ(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘–,๐‘Ž)   ๐‘Š(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐‘‹(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘˜,๐‘Ž)

Proof of Theorem pntleme
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
2 pntlem1.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
3 pntlem1.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
4 pntlem1.l . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . 3 ๐ท = (๐ด + 1)
6 pntlem1.f . . 3 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
7 pntlem1.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
8 pntlem1.u2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
9 pntlem1.e . . 3 ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
10 pntlem1.k . . 3 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
11 pntlem1.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
12 pntlem1.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
13 pntlem1.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
14 pntlem1.w . . 3 ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14pntlema 27523 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„+)
162adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
173adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
184adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
197adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
208adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
2111adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
2212adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
2313adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
24 simpr 484 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
25 eqid 2728 . . . 4 ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1) = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1)
26 eqid 2728 . . . 4 (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘ฃ) / (logโ€˜๐พ)) / 2)) = (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘ฃ) / (logโ€˜๐พ)) / 2))
27 pntleme.U . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
2827adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
29 oveq1 7422 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) = (๐พ ยท ๐‘ฆ))
3029breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)))
3130anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ))))
3231anbi1d 630 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
3332rexbidv 3174 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
3433ralbidv 3173 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
35 pntleme.K . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 27522 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง ๐พ โˆˆ โ„+ โˆง (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)))
3736simp2d 1141 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
3837rpxrd 13044 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„*)
39 pnfxr 11293 . . . . . . . 8 +โˆž โˆˆ โ„*
4039a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
4137rpred 13043 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4241ltpnfd 13128 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ < +โˆž)
43 lbico1 13405 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐พ < +โˆž) โ†’ ๐พ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
4438, 40, 42, 43syl3anc 1369 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
4534, 35, 44rspcdva 3609 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
4645adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
47 pntleme.C . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘–))) ยท (logโ€˜๐‘–)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐ถ)
4847adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘–))) ยท (logโ€˜๐‘–)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐ถ)
491, 16, 17, 18, 5, 6, 19, 20, 9, 10, 21, 22, 23, 14, 24, 25, 26, 28, 46, 48pntlemo 27534 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
5049ralrimiva 3142 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
51 oveq1 7422 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (๐‘ค[,)+โˆž) = (๐‘Š[,)+โˆž))
5251raleqdv 3321 . . 3 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))) โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
5352rspcev 3608 . 2 ((๐‘Š โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3)))) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
5415, 50, 53syl2anc 583 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3057  โˆƒwrex 3066   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138  +โˆžcpnf 11270  โ„*cxr 11272   < clt 11273   โ‰ค cle 11274   โˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  2c2 12292  3c3 12293  4c4 12294  cdc 12702  โ„+crp 13001  (,)cioo 13351  [,)cico 13353  [,]cicc 13354  ...cfz 13511  โŒŠcfl 13782  โ†‘cexp 14053  abscabs 15208  ฮฃcsu 15659  expce 16032  logclog 26482  ฯˆcchp 27019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-e 16039  df-sin 16040  df-cos 16041  df-tan 16042  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-prm 16637  df-pc 16800  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19018  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-lp 23034  df-perf 23035  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-haus 23213  df-cmp 23285  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-fm 23836  df-flim 23837  df-flf 23838  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-cncf 24792  df-limc 25789  df-dv 25790  df-ulm 26307  df-log 26484  df-atan 26793  df-em 26919  df-vma 27024  df-chp 27025
This theorem is referenced by:  pntlemp  27537
  Copyright terms: Public domain W3C validator