MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntleme Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntleme 26513
Description: Lemma for pnt 26519. Package up pntlemo 26512 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntleme.U (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntleme.K (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntleme.C (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)))) / 𝑧) ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
pntleme (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑤,𝐹   𝑦,𝑧   𝑢,𝑘,𝑦,𝑧,𝐿   𝑘,𝐾,𝑦,𝑧   𝜑,𝑣   𝑖,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑅   𝑤,𝑈,𝑧   𝑣,𝑊,𝑤,𝑧   𝑘,𝑋,𝑦,𝑧   𝑖,𝑌,𝑧   𝑘,𝑎,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧,𝐸
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐸(𝑤,𝑖)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢,𝑖,𝑎)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑖,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝑋(𝑤,𝑣,𝑢,𝑖,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑘,𝑎)

Proof of Theorem pntleme
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . 3 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . 3 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . 3 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7 pntlem1.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.u2 . . 3 (𝜑𝑈𝐴)
9 pntlem1.e . . 3 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10 pntlem1.k . . 3 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
11 pntlem1.y . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
12 pntlem1.x . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
13 pntlem1.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
14 pntlem1.w . . 3 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14pntlema 26501 . 2 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
162adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
173adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
184adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
197adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝑈 ∈ ℝ+)
208adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝑈𝐴)
2111adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
2212adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
2313adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
24 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → 𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞))
25 eqid 2738 . . . 4 ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1) = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
26 eqid 2738 . . . 4 (⌊‘(((log‘𝑣) / (log‘𝐾)) / 2)) = (⌊‘(((log‘𝑣) / (log‘𝐾)) / 2))
27 pntleme.U . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
2827adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
29 oveq1 7238 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 · 𝑦) = (𝐾 · 𝑦))
3029breq2d 5079 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐾 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)))
3130anbi2d 632 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦))))
3231anbi1d 633 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
3332rexbidv 3224 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
3433ralbidv 3119 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
35 pntleme.K . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 26500 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
3736simp2d 1145 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
3837rpxrd 12653 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ*)
39 pnfxr 10911 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
4137rpred 12652 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4241ltpnfd 12737 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < +∞)
43 lbico1 13013 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐾 < +∞) → 𝐾 ∈ (𝐾[,)+∞))
4438, 40, 42, 43syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝐾[,)+∞))
4534, 35, 44rspcdva 3551 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
4645adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
47 pntleme.C . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)))) / 𝑧) ≤ 𝐶)
4847adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)))) / 𝑧) ≤ 𝐶)
491, 16, 17, 18, 5, 6, 19, 20, 9, 10, 21, 22, 23, 14, 24, 25, 26, 28, 46, 48pntlemo 26512 . . 3 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)) → (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
5049ralrimiva 3106 . 2 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
51 oveq1 7238 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤[,)+∞) = (𝑊[,)+∞))
5251raleqdv 3337 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))))
5352rspcev 3549 . 2 ((𝑊 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑊[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
5415, 50, 53syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  wral 3062  wrex 3063   class class class wbr 5067  cmpt 5149  cfv 6397  (class class class)co 7231  0cc0 10753  1c1 10754   + caddc 10756   · cmul 10758  +∞cpnf 10888  *cxr 10890   < clt 10891  cle 10892  cmin 11086   / cdiv 11513  2c2 11909  3c3 11910  4c4 11911  cdc 12317  +crp 12610  (,)cioo 12959  [,)cico 12961  [,]cicc 12962  ...cfz 13119  cfl 13389  cexp 13659  abscabs 14821  Σcsu 15273  expce 15647  logclog 25467  ψcchp 25999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-inf2 9280  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830  ax-pre-sup 10831  ax-addf 10832  ax-mulf 10833
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-int 4874  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-se 5524  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-isom 6406  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-of 7487  df-om 7663  df-1st 7779  df-2nd 7780  df-supp 7924  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-1o 8222  df-2o 8223  df-oadd 8226  df-er 8411  df-map 8530  df-pm 8531  df-ixp 8599  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-fin 8650  df-fsupp 9010  df-fi 9051  df-sup 9082  df-inf 9083  df-oi 9150  df-dju 9541  df-card 9579  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-div 11514  df-nn 11855  df-2 11917  df-3 11918  df-4 11919  df-5 11920  df-6 11921  df-7 11922  df-8 11923  df-9 11924  df-n0 12115  df-xnn0 12187  df-z 12201  df-dec 12318  df-uz 12463  df-q 12569  df-rp 12611  df-xneg 12728  df-xadd 12729  df-xmul 12730  df-ioo 12963  df-ioc 12964  df-ico 12965  df-icc 12966  df-fz 13120  df-fzo 13263  df-fl 13391  df-mod 13467  df-seq 13599  df-exp 13660  df-fac 13864  df-bc 13893  df-hash 13921  df-shft 14654  df-cj 14686  df-re 14687  df-im 14688  df-sqrt 14822  df-abs 14823  df-limsup 15056  df-clim 15073  df-rlim 15074  df-sum 15274  df-ef 15653  df-e 15654  df-sin 15655  df-cos 15656  df-tan 15657  df-pi 15658  df-dvds 15840  df-gcd 16078  df-prm 16253  df-pc 16414  df-struct 16724  df-sets 16741  df-slot 16759  df-ndx 16769  df-base 16785  df-ress 16809  df-plusg 16839  df-mulr 16840  df-starv 16841  df-sca 16842  df-vsca 16843  df-ip 16844  df-tset 16845  df-ple 16846  df-ds 16848  df-unif 16849  df-hom 16850  df-cco 16851  df-rest 16951  df-topn 16952  df-0g 16970  df-gsum 16971  df-topgen 16972  df-pt 16973  df-prds 16976  df-xrs 17031  df-qtop 17036  df-imas 17037  df-xps 17039  df-mre 17113  df-mrc 17114  df-acs 17116  df-mgm 18138  df-sgrp 18187  df-mnd 18198  df-submnd 18243  df-mulg 18513  df-cntz 18735  df-cmn 19196  df-psmet 20379  df-xmet 20380  df-met 20381  df-bl 20382  df-mopn 20383  df-fbas 20384  df-fg 20385  df-cnfld 20388  df-top 21815  df-topon 21832  df-topsp 21854  df-bases 21867  df-cld 21940  df-ntr 21941  df-cls 21942  df-nei 22019  df-lp 22057  df-perf 22058  df-cn 22148  df-cnp 22149  df-haus 22236  df-cmp 22308  df-tx 22483  df-hmeo 22676  df-fil 22767  df-fm 22859  df-flim 22860  df-flf 22861  df-xms 23242  df-ms 23243  df-tms 23244  df-cncf 23799  df-limc 24787  df-dv 24788  df-ulm 25293  df-log 25469  df-atan 25774  df-em 25899  df-vma 26004  df-chp 26005
This theorem is referenced by:  pntlemp  26515
  Copyright terms: Public domain W3C validator