MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntleme Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntleme 27460
Description: Lemma for pnt 27466. Package up pntlemo 27459 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
pntlem1.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
pntlem1.u2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
pntlem1.e ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
pntlem1.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
pntlem1.y (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
pntlem1.x (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
pntlem1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
pntlem1.w ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
pntleme.U (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
pntleme.K (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
pntleme.C (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘–))) ยท (logโ€˜๐‘–)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
pntleme (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ถ   ๐‘ค,๐น   ๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘˜,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ฟ   ๐‘˜,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ฃ   ๐‘–,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘ค,๐‘ˆ,๐‘ง   ๐‘ฃ,๐‘Š,๐‘ค,๐‘ง   ๐‘˜,๐‘‹,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘ง   ๐‘˜,๐‘Ž,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ธ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ต(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ท(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐‘ˆ(๐‘ฆ,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ธ(๐‘ค,๐‘–)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐พ(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘–,๐‘Ž)   ๐‘Š(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐‘‹(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘˜,๐‘Ž)

Proof of Theorem pntleme
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
2 pntlem1.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
3 pntlem1.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
4 pntlem1.l . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . 3 ๐ท = (๐ด + 1)
6 pntlem1.f . . 3 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
7 pntlem1.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
8 pntlem1.u2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
9 pntlem1.e . . 3 ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
10 pntlem1.k . . 3 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
11 pntlem1.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
12 pntlem1.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
13 pntlem1.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
14 pntlem1.w . . 3 ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14pntlema 27448 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„+)
162adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
173adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
184adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
197adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
208adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
2111adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
2212adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
2313adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
24 simpr 484 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
25 eqid 2724 . . . 4 ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1) = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1)
26 eqid 2724 . . . 4 (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘ฃ) / (logโ€˜๐พ)) / 2)) = (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘ฃ) / (logโ€˜๐พ)) / 2))
27 pntleme.U . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
2827adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
29 oveq1 7409 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) = (๐พ ยท ๐‘ฆ))
3029breq2d 5151 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)))
3130anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ))))
3231anbi1d 629 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
3332rexbidv 3170 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
3433ralbidv 3169 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
35 pntleme.K . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 27447 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง ๐พ โˆˆ โ„+ โˆง (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)))
3736simp2d 1140 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
3837rpxrd 13015 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„*)
39 pnfxr 11266 . . . . . . . 8 +โˆž โˆˆ โ„*
4039a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
4137rpred 13014 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4241ltpnfd 13099 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ < +โˆž)
43 lbico1 13376 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐พ < +โˆž) โ†’ ๐พ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
4438, 40, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
4534, 35, 44rspcdva 3605 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
4645adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
47 pntleme.C . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘–))) ยท (logโ€˜๐‘–)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐ถ)
4847adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘–))) ยท (logโ€˜๐‘–)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐ถ)
491, 16, 17, 18, 5, 6, 19, 20, 9, 10, 21, 22, 23, 14, 24, 25, 26, 28, 46, 48pntlemo 27459 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
5049ralrimiva 3138 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
51 oveq1 7409 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (๐‘ค[,)+โˆž) = (๐‘Š[,)+โˆž))
5251raleqdv 3317 . . 3 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))) โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
5352rspcev 3604 . 2 ((๐‘Š โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3)))) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
5415, 50, 53syl2anc 583 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  โˆƒwrex 3062   class class class wbr 5139   โ†ฆ cmpt 5222  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  +โˆžcpnf 11243  โ„*cxr 11245   < clt 11246   โ‰ค cle 11247   โˆ’ cmin 11442   / cdiv 11869  2c2 12265  3c3 12266  4c4 12267  cdc 12675  โ„+crp 12972  (,)cioo 13322  [,)cico 13324  [,]cicc 13325  ...cfz 13482  โŒŠcfl 13753  โ†‘cexp 14025  abscabs 15179  ฮฃcsu 15630  expce 16003  logclog 26407  ฯˆcchp 26944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-xnn0 12543  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ioc 13327  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-mod 13833  df-seq 13965  df-exp 14026  df-fac 14232  df-bc 14261  df-hash 14289  df-shft 15012  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-ef 16009  df-e 16010  df-sin 16011  df-cos 16012  df-tan 16013  df-pi 16014  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16771  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-ntr 22848  df-cls 22849  df-nei 22926  df-lp 22964  df-perf 22965  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-haus 23143  df-cmp 23215  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-cncf 24722  df-limc 25719  df-dv 25720  df-ulm 26232  df-log 26409  df-atan 26718  df-em 26844  df-vma 26949  df-chp 26950
This theorem is referenced by:  pntlemp  27462
  Copyright terms: Public domain W3C validator