Theorem icopnfsup 13848

Description: An upper set of reals is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icopnfsup	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → sup((𝐴[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem icopnfsup

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11284	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
4		nltpnft 13161	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5	4	necon2abid 2978	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
6	5	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
7		lbico1 13396	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)+∞))
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)+∞))
9	8	ne0d 4331	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴[,)+∞) ≠ ∅)
10		df-ico 13348	. . 3 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
11		idd 24	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 < +∞ → 𝑤 < +∞))
12		xrltle 13146	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 < +∞ → 𝑤 ≤ +∞))
13		xrltle 13146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
14		idd 24	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
15	10, 11, 12, 13, 14	ixxub 13363	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴[,)+∞) ≠ ∅) → sup((𝐴[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
16	1, 3, 9, 15	syl3anc 1369	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → sup((𝐴[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∅c0 4318   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  supcsup 9449  +∞cpnf 11261  ℝ^*cxr 11263   < clt 11264   ≤ cle 11265  [,)cico 13344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-ico 13348

This theorem is referenced by:  dvfsumrlimge0  25939  dvfsumrlim2  25941  limsupresico  45001  liminfresico  45072