Theorem icopnfsup 13773

Description: An upper set of reals is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icopnfsup	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → sup((𝐴[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem icopnfsup

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11175	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
4		nltpnft 13067	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5	4	necon2abid 2971	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
6	5	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
7		lbico1 13304	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)+∞))
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)+∞))
9	8	ne0d 4291	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴[,)+∞) ≠ ∅)
10		df-ico 13255	. . 3 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
11		idd 24	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 < +∞ → 𝑤 < +∞))
12		xrltle 13052	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 < +∞ → 𝑤 ≤ +∞))
13		xrltle 13052	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
14		idd 24	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
15	10, 11, 12, 13, 14	ixxub 13270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴[,)+∞) ≠ ∅) → sup((𝐴[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
16	1, 3, 9, 15	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → sup((𝐴[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282   class class class wbr 5095  (class class class)co 7354  supcsup 9333  +∞cpnf 11152  ℝ^*cxr 11154   < clt 11155   ≤ cle 11156  [,)cico 13251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-q 12851  df-ico 13255

This theorem is referenced by:  dvfsumrlimge0  25967  dvfsumrlim2  25969  limsupresico  45825  liminfresico  45896