MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfsup 13232
Description: An upper set of reals is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
icopnfsup ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → sup((𝐴[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem icopnfsup
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 485 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 pnfxr 10694 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
4 nltpnft 12556 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
54necon2abid 3058 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
65biimpar 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
7 lbico1 12790 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)+∞))
81, 3, 6, 7syl3anc 1367 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)+∞))
98ne0d 4300 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴[,)+∞) ≠ ∅)
10 df-ico 12743 . . 3 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
11 idd 24 . . 3 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 < +∞ → 𝑤 < +∞))
12 xrltle 12541 . . 3 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 < +∞ → 𝑤 ≤ +∞))
13 xrltle 12541 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
14 idd 24 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑤𝐴𝑤))
1510, 11, 12, 13, 14ixxub 12758 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴[,)+∞) ≠ ∅) → sup((𝐴[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
161, 3, 9, 15syl3anc 1367 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → sup((𝐴[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  c0 4290   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  supcsup 8903  +∞cpnf 10671  *cxr 10673   < clt 10674  cle 10675  [,)cico 12739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-ico 12743
This theorem is referenced by:  dvfsumrlimge0  24626  dvfsumrlim2  24628  limsupresico  41981  liminfresico  42052
  Copyright terms: Public domain W3C validator