Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leadd12dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leadd12dd 45267
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
leadd12dd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
leadd12dd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
leadd12dd.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
leadd12dd.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
leadd12dd.ac (𝜑𝐴𝐶)
leadd12dd.bd (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
leadd12dd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem leadd12dd
StepHypRef Expression
1 leadd12dd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 leadd12dd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 11288 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 leadd12dd.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
54, 2readdcld 11288 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6 leadd12dd.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
74, 6readdcld 11288 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8 leadd12dd.ac . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
91, 4, 2, 8leadd1dd 11875 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10 leadd12dd.bd . . 3 (𝜑𝐵𝐷)
112, 6, 4, 10leadd2dd 11876 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
123, 5, 7, 9, 11letrd 11416 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152   + caddc 11156  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299
This theorem is referenced by:  sge0xaddlem1  46389  hoidmvlelem2  46552  hspmbllem2  46583  smfmullem1  46747
  Copyright terms: Public domain W3C validator