Theorem leadd2dd 11876

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11856	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   + caddc 11156   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  12577  expmulnbnd  14271  discr1  14275  hashun2  14419  abstri  15366  iseraltlem2  15716  prmreclem4  16953  tcphcphlem1  25283  trirn  25448  nulmbl2  25585  voliunlem1  25599  uniioombllem4  25635  itg2split  25799  ulmcn  26457  abslogle  26675  emcllem2  27055  lgambdd  27095  chtublem  27270  chtub  27271  logfaclbnd  27281  bcmax  27337  chebbnd1lem2  27529  rplogsumlem1  27543  selberglem2  27605  selbergb  27608  chpdifbndlem1  27612  pntpbnd1a  27644  pntpbnd2  27646  pntibndlem2  27650  pntibndlem3  27651  pntlemg  27657  pntlemr  27661  pntlemk  27665  pntlemo  27666  ostth2lem3  27694  smcnlem  30726  minvecolem3  30905  staddi  32275  stadd3i  32277  nexple  33990  fsum2dsub  34601  resconn  35231  itg2addnc  37661  ftc1anclem8  37687  lcmineqlem22  42032  aks4d1p1p2  42052  aks4d1p1p5  42057  bcle2d  42161  aks6d1c7lem1  42162  fimgmcyc  42521  pell1qrgaplem  42861  leadd12dd  45267  ioodvbdlimc1lem2  45888  stoweidlem11  45967  stoweidlem26  45982  stirlinglem8  46037  stirlinglem12  46041  fourierdlem4  46067  fourierdlem10  46073  fourierdlem42  46105  fourierdlem47  46109  fourierdlem72  46134  fourierdlem79  46141  fourierdlem93  46155  fourierdlem101  46163  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  fourierdlem111  46173  hoidmv1lelem2  46548  vonioolem2  46637  vonicclem2  46640  p1lep2  47250  fmtnodvds  47469  lighneallem4a  47533