Theorem leadd2dd 11764

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   + caddc 11041   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  le2addd  11768  difgtsumgt  12466  expmulnbnd  14170  discr1  14174  hashun2  14318  abstri  15266  iseraltlem2  15618  prmreclem4  16859  tcphcphlem1  25203  trirn  25368  nulmbl2  25505  voliunlem1  25519  uniioombllem4  25555  itg2split  25718  ulmcn  26376  abslogle  26595  emcllem2  26975  lgambdd  27015  chtublem  27190  chtub  27191  logfaclbnd  27201  bcmax  27257  chebbnd1lem2  27449  rplogsumlem1  27463  selberglem2  27525  selbergb  27528  chpdifbndlem1  27532  pntpbnd1a  27564  pntpbnd2  27566  pntibndlem2  27570  pntibndlem3  27571  pntlemg  27577  pntlemr  27581  pntlemk  27585  pntlemo  27586  ostth2lem3  27614  smcnlem  30785  minvecolem3  30964  staddi  32334  stadd3i  32336  nexple  32936  fsum2dsub  34785  resconn  35462  itg2addnc  37925  ftc1anclem8  37951  lcmineqlem22  42420  aks4d1p1p2  42440  aks4d1p1p5  42445  bcle2d  42549  aks6d1c7lem1  42550  fimgmcyc  42904  pell1qrgaplem  43230  ioodvbdlimc1lem2  46290  stoweidlem11  46369  stoweidlem26  46384  stirlinglem8  46439  stirlinglem12  46443  fourierdlem4  46469  fourierdlem10  46475  fourierdlem42  46507  fourierdlem47  46511  fourierdlem72  46536  fourierdlem79  46543  fourierdlem93  46557  fourierdlem101  46565  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  fourierdlem111  46575  hoidmv1lelem2  46950  vonioolem2  47039  vonicclem2  47042  p1lep2  47660  fmtnodvds  47904  lighneallem4a  47968