Theorem leadd2dd 11735

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11715	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008   + caddc 11012   ≤ cle 11150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155

This theorem is referenced by:  le2addd  11739  difgtsumgt  12437  expmulnbnd  14142  discr1  14146  hashun2  14290  abstri  15238  iseraltlem2  15590  prmreclem4  16831  tcphcphlem1  25133  trirn  25298  nulmbl2  25435  voliunlem1  25449  uniioombllem4  25485  itg2split  25648  ulmcn  26306  abslogle  26525  emcllem2  26905  lgambdd  26945  chtublem  27120  chtub  27121  logfaclbnd  27131  bcmax  27187  chebbnd1lem2  27379  rplogsumlem1  27393  selberglem2  27455  selbergb  27458  chpdifbndlem1  27462  pntpbnd1a  27494  pntpbnd2  27496  pntibndlem2  27500  pntibndlem3  27501  pntlemg  27507  pntlemr  27511  pntlemk  27515  pntlemo  27516  ostth2lem3  27544  smcnlem  30641  minvecolem3  30820  staddi  32190  stadd3i  32192  nexple  32789  fsum2dsub  34575  resconn  35223  itg2addnc  37658  ftc1anclem8  37684  lcmineqlem22  42027  aks4d1p1p2  42047  aks4d1p1p5  42052  bcle2d  42156  aks6d1c7lem1  42157  fimgmcyc  42511  pell1qrgaplem  42850  ioodvbdlimc1lem2  45917  stoweidlem11  45996  stoweidlem26  46011  stirlinglem8  46066  stirlinglem12  46070  fourierdlem4  46096  fourierdlem10  46102  fourierdlem42  46134  fourierdlem47  46138  fourierdlem72  46163  fourierdlem79  46170  fourierdlem93  46184  fourierdlem101  46192  fourierdlem103  46194  fourierdlem104  46195  fourierdlem111  46202  hoidmv1lelem2  46577  vonioolem2  46666  vonicclem2  46669  p1lep2  47288  fmtnodvds  47532  lighneallem4a  47596