Theorem leadd2dd 11752

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11732	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025   + caddc 11029   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  le2addd  11756  difgtsumgt  12454  expmulnbnd  14158  discr1  14162  hashun2  14306  abstri  15254  iseraltlem2  15606  prmreclem4  16847  tcphcphlem1  25191  trirn  25356  nulmbl2  25493  voliunlem1  25507  uniioombllem4  25543  itg2split  25706  ulmcn  26364  abslogle  26583  emcllem2  26963  lgambdd  27003  chtublem  27178  chtub  27179  logfaclbnd  27189  bcmax  27245  chebbnd1lem2  27437  rplogsumlem1  27451  selberglem2  27513  selbergb  27516  chpdifbndlem1  27520  pntpbnd1a  27552  pntpbnd2  27554  pntibndlem2  27558  pntibndlem3  27559  pntlemg  27565  pntlemr  27569  pntlemk  27573  pntlemo  27574  ostth2lem3  27602  smcnlem  30772  minvecolem3  30951  staddi  32321  stadd3i  32323  nexple  32925  fsum2dsub  34764  resconn  35440  itg2addnc  37875  ftc1anclem8  37901  lcmineqlem22  42304  aks4d1p1p2  42324  aks4d1p1p5  42329  bcle2d  42433  aks6d1c7lem1  42434  fimgmcyc  42789  pell1qrgaplem  43115  ioodvbdlimc1lem2  46176  stoweidlem11  46255  stoweidlem26  46270  stirlinglem8  46325  stirlinglem12  46329  fourierdlem4  46355  fourierdlem10  46361  fourierdlem42  46393  fourierdlem47  46397  fourierdlem72  46422  fourierdlem79  46429  fourierdlem93  46443  fourierdlem101  46451  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fourierdlem111  46461  hoidmv1lelem2  46836  vonioolem2  46925  vonicclem2  46928  p1lep2  47546  fmtnodvds  47790  lighneallem4a  47854