Theorem leadd2dd 11760

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11740	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  ℝcr 11032   + caddc 11036   ≤ cle 11175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180

This theorem is referenced by:  le2addd  11764  difgtsumgt  12485  expmulnbnd  14192  discr1  14196  hashun2  14340  abstri  15288  iseraltlem2  15640  prmreclem4  16885  tcphcphlem1  25224  trirn  25389  nulmbl2  25525  voliunlem1  25539  uniioombllem4  25575  itg2split  25738  ulmcn  26386  abslogle  26604  emcllem2  26982  lgambdd  27022  chtublem  27196  chtub  27197  logfaclbnd  27207  bcmax  27263  chebbnd1lem2  27455  rplogsumlem1  27469  selberglem2  27531  selbergb  27534  chpdifbndlem1  27538  pntpbnd1a  27570  pntpbnd2  27572  pntibndlem2  27576  pntibndlem3  27577  pntlemg  27583  pntlemr  27587  pntlemk  27591  pntlemo  27592  ostth2lem3  27620  smcnlem  30790  minvecolem3  30969  staddi  32339  stadd3i  32341  nexple  32940  fsum2dsub  34803  resconn  35489  itg2addnc  38056  ftc1anclem8  38082  lcmineqlem22  42550  aks4d1p1p2  42570  aks4d1p1p5  42575  bcle2d  42679  aks6d1c7lem1  42680  fimgmcyc  43035  pell1qrgaplem  43333  ioodvbdlimc1lem2  46389  stoweidlem11  46468  stoweidlem26  46483  stirlinglem8  46538  stirlinglem12  46542  fourierdlem4  46568  fourierdlem10  46574  fourierdlem42  46606  fourierdlem47  46610  fourierdlem72  46635  fourierdlem79  46642  fourierdlem93  46656  fourierdlem101  46664  fourierdlem103  46666  fourierdlem104  46667  fourierdlem111  46674  hoidmv1lelem2  47049  vonioolem2  47138  vonicclem2  47141  p1lep2  47777  fmtnodvds  48036  lighneallem4a  48100