Theorem leadd2dd 11829

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝcr 11099   + caddc 11103   ≤ cle 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249

This theorem is referenced by:  le2addd  11833  difgtsumgt  12557  expmulnbnd  14271  discr1  14275  hashun2  14419  abstri  15382  iseraltlem2  15734  prmreclem4  16979  tcphcphlem1  25363  trirn  25528  nulmbl2  25664  voliunlem1  25678  uniioombllem4  25714  itg2split  25877  ulmcn  26528  abslogle  26749  emcllem2  27127  lgambdd  27167  chtublem  27341  chtub  27342  logfaclbnd  27352  bcmax  27408  chebbnd1lem2  27600  rplogsumlem1  27614  selberglem2  27676  selbergb  27679  chpdifbndlem1  27683  pntpbnd1a  27715  pntpbnd2  27717  pntibndlem2  27721  pntibndlem3  27722  pntlemg  27728  pntlemr  27732  pntlemk  27736  pntlemo  27737  ostth2lem3  27765  smcnlem  30990  minvecolem3  31169  staddi  32539  stadd3i  32541  nexple  33118  fsum2dsub  34939  resconn  35637  itg2addnc  38213  ftc1anclem8  38239  lcmineqlem22  42707  aks4d1p1p2  42727  aks4d1p1p5  42732  bcle2d  42836  aks6d1c7lem1  42837  fimgmcyc  43194  pell1qrgaplem  43492  ioodvbdlimc1lem2  46538  stoweidlem11  46617  stoweidlem26  46632  stirlinglem8  46687  stirlinglem12  46691  fourierdlem4  46717  fourierdlem10  46723  fourierdlem42  46755  fourierdlem47  46759  fourierdlem72  46784  fourierdlem79  46791  fourierdlem93  46805  fourierdlem101  46813  fourierdlem103  46815  fourierdlem104  46816  fourierdlem111  46823  hoidmv1lelem2  47198  vonioolem2  47287  vonicclem2  47290  p1lep2  47926  fmtnodvds  48185  lighneallem4a  48249