Theorem leadd2dd 11732

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11712	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℝcr 11005   + caddc 11009   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152

This theorem is referenced by:  le2addd  11736  difgtsumgt  12434  expmulnbnd  14142  discr1  14146  hashun2  14290  abstri  15238  iseraltlem2  15590  prmreclem4  16831  tcphcphlem1  25162  trirn  25327  nulmbl2  25464  voliunlem1  25478  uniioombllem4  25514  itg2split  25677  ulmcn  26335  abslogle  26554  emcllem2  26934  lgambdd  26974  chtublem  27149  chtub  27150  logfaclbnd  27160  bcmax  27216  chebbnd1lem2  27408  rplogsumlem1  27422  selberglem2  27484  selbergb  27487  chpdifbndlem1  27491  pntpbnd1a  27523  pntpbnd2  27525  pntibndlem2  27529  pntibndlem3  27530  pntlemg  27536  pntlemr  27540  pntlemk  27544  pntlemo  27545  ostth2lem3  27573  smcnlem  30677  minvecolem3  30856  staddi  32226  stadd3i  32228  nexple  32827  fsum2dsub  34620  resconn  35290  itg2addnc  37724  ftc1anclem8  37750  lcmineqlem22  42153  aks4d1p1p2  42173  aks4d1p1p5  42178  bcle2d  42282  aks6d1c7lem1  42283  fimgmcyc  42637  pell1qrgaplem  42976  ioodvbdlimc1lem2  46040  stoweidlem11  46119  stoweidlem26  46134  stirlinglem8  46189  stirlinglem12  46193  fourierdlem4  46219  fourierdlem10  46225  fourierdlem42  46257  fourierdlem47  46261  fourierdlem72  46286  fourierdlem79  46293  fourierdlem93  46307  fourierdlem101  46315  fourierdlem103  46317  fourierdlem104  46318  fourierdlem111  46325  hoidmv1lelem2  46700  vonioolem2  46789  vonicclem2  46792  p1lep2  47410  fmtnodvds  47654  lighneallem4a  47718