Theorem leadd2dd 11971

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11951	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238   + caddc 11242   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388

This theorem is used by:  le2addd  11975  difgtsumgt  12699  expmulnbnd  14420  discr1  14424  hashun2  14568  abstri  15541  iseraltlem2  15894  prmreclem4  17141  tcphcphlem1  25611  trirn  25776  nulmbl2  25912  voliunlem1  25926  uniioombllem4  25962  itg2split  26125  ulmcn  26783  abslogle  27003  emcllem2  27381  lgambdd  27421  chtublem  27595  chtub  27596  logfaclbnd  27606  bcmax  27662  chebbnd1lem2  27854  rplogsumlem1  27868  selberglem2  27930  selbergb  27933  chpdifbndlem1  27937  pntpbnd1a  27969  pntpbnd2  27971  pntibndlem2  27975  pntibndlem3  27976  pntlemg  27982  pntlemr  27986  pntlemk  27990  pntlemo  27991  ostth2lem3  28019  smcnlem  31356  minvecolem3  31535  staddi  32905  stadd3i  32907  nexple  33520  fsum2dsub  35347  resconn  36219  itg2addnc  38860  ftc1anclem8  38886  lcmineqlem22  43366  aks4d1p1p2  43386  aks4d1p1p5  43391  bcle2d  43495  aks6d1c7lem1  43496  fimgmcyc  43864  pell1qrgaplem  44146  ioodvbdlimc1lem2  47215  stoweidlem11  47294  stoweidlem26  47309  stirlinglem8  47364  stirlinglem12  47368  fourierdlem4  47394  fourierdlem10  47400  fourierdlem42  47432  fourierdlem47  47436  fourierdlem72  47461  fourierdlem79  47468  fourierdlem93  47482  fourierdlem101  47490  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  fourierdlem111  47500  hoidmv1lelem2  47875  vonioolem2  47964  vonicclem2  47967  p1lep2  48643  fmtnodvds  48902  lighneallem4a  48966