Theorem leadd2dd 11769

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11749	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   + caddc 11047   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190

This theorem is referenced by:  le2addd  11773  difgtsumgt  12471  expmulnbnd  14176  discr1  14180  hashun2  14324  abstri  15273  iseraltlem2  15625  prmreclem4  16866  tcphcphlem1  25111  trirn  25276  nulmbl2  25413  voliunlem1  25427  uniioombllem4  25463  itg2split  25626  ulmcn  26284  abslogle  26503  emcllem2  26883  lgambdd  26923  chtublem  27098  chtub  27099  logfaclbnd  27109  bcmax  27165  chebbnd1lem2  27357  rplogsumlem1  27371  selberglem2  27433  selbergb  27436  chpdifbndlem1  27440  pntpbnd1a  27472  pntpbnd2  27474  pntibndlem2  27478  pntibndlem3  27479  pntlemg  27485  pntlemr  27489  pntlemk  27493  pntlemo  27494  ostth2lem3  27522  smcnlem  30599  minvecolem3  30778  staddi  32148  stadd3i  32150  nexple  32742  fsum2dsub  34571  resconn  35206  itg2addnc  37641  ftc1anclem8  37667  lcmineqlem22  42011  aks4d1p1p2  42031  aks4d1p1p5  42036  bcle2d  42140  aks6d1c7lem1  42141  fimgmcyc  42495  pell1qrgaplem  42834  ioodvbdlimc1lem2  45903  stoweidlem11  45982  stoweidlem26  45997  stirlinglem8  46052  stirlinglem12  46056  fourierdlem4  46082  fourierdlem10  46088  fourierdlem42  46120  fourierdlem47  46124  fourierdlem72  46149  fourierdlem79  46156  fourierdlem93  46170  fourierdlem101  46178  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  fourierdlem111  46188  hoidmv1lelem2  46563  vonioolem2  46652  vonicclem2  46655  p1lep2  47274  fmtnodvds  47518  lighneallem4a  47582