Theorem leadd2dd 11931

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11911	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℝcr 11199   + caddc 11203   ≤ cle 11344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349

This theorem is used by:  le2addd  11935  difgtsumgt  12659  expmulnbnd  14379  discr1  14383  hashun2  14527  abstri  15498  iseraltlem2  15850  prmreclem4  17097  tcphcphlem1  25556  trirn  25721  nulmbl2  25857  voliunlem1  25871  uniioombllem4  25907  itg2split  26070  ulmcn  26726  abslogle  26946  emcllem2  27324  lgambdd  27364  chtublem  27538  chtub  27539  logfaclbnd  27549  bcmax  27605  chebbnd1lem2  27797  rplogsumlem1  27811  selberglem2  27873  selbergb  27876  chpdifbndlem1  27880  pntpbnd1a  27912  pntpbnd2  27914  pntibndlem2  27918  pntibndlem3  27919  pntlemg  27925  pntlemr  27929  pntlemk  27933  pntlemo  27934  ostth2lem3  27962  smcnlem  31299  minvecolem3  31478  staddi  32848  stadd3i  32850  nexple  33424  fsum2dsub  35236  resconn  36011  itg2addnc  38592  ftc1anclem8  38618  lcmineqlem22  43100  aks4d1p1p2  43120  aks4d1p1p5  43125  bcle2d  43229  aks6d1c7lem1  43230  fimgmcyc  43598  pell1qrgaplem  43879  ioodvbdlimc1lem2  46941  stoweidlem11  47020  stoweidlem26  47035  stirlinglem8  47090  stirlinglem12  47094  fourierdlem4  47120  fourierdlem10  47126  fourierdlem42  47158  fourierdlem47  47162  fourierdlem72  47187  fourierdlem79  47194  fourierdlem93  47208  fourierdlem101  47216  fourierdlem103  47218  fourierdlem104  47219  fourierdlem111  47226  hoidmv1lelem2  47601  vonioolem2  47690  vonicclem2  47693  p1lep2  48369  fmtnodvds  48628  lighneallem4a  48692