Theorem leadd2dd 11255

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536   + caddc 10540   ≤ cle 10676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  11951  expmulnbnd  13597  discr1  13601  hashun2  13745  abstri  14690  iseraltlem2  15039  prmreclem4  16255  tcphcphlem1  23838  trirn  24003  nulmbl2  24137  voliunlem1  24151  uniioombllem4  24187  itg2split  24350  ulmcn  24987  abslogle  25201  emcllem2  25574  lgambdd  25614  chtublem  25787  chtub  25788  logfaclbnd  25798  bcmax  25854  chebbnd1lem2  26046  rplogsumlem1  26060  selberglem2  26122  selbergb  26125  chpdifbndlem1  26129  pntpbnd1a  26161  pntpbnd2  26163  pntibndlem2  26167  pntibndlem3  26168  pntlemg  26174  pntlemr  26178  pntlemk  26182  pntlemo  26183  ostth2lem3  26211  smcnlem  28474  minvecolem3  28653  staddi  30023  stadd3i  30025  nexple  31268  fsum2dsub  31878  resconn  32493  itg2addnc  34961  ftc1anclem8  34989  pell1qrgaplem  39490  leadd12dd  41604  ioodvbdlimc1lem2  42237  stoweidlem11  42316  stoweidlem26  42331  stirlinglem8  42386  stirlinglem12  42390  fourierdlem4  42416  fourierdlem10  42422  fourierdlem42  42454  fourierdlem47  42458  fourierdlem72  42483  fourierdlem79  42490  fourierdlem93  42504  fourierdlem101  42512  fourierdlem103  42514  fourierdlem104  42515  fourierdlem111  42522  hoidmv1lelem2  42894  vonioolem2  42983  vonicclem2  42986  p1lep2  43520  fmtnodvds  43726  lighneallem4a  43793