Theorem leadd2dd 11824

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094   + caddc 11098   ≤ cle 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244

This theorem is referenced by:  le2addd  11828  difgtsumgt  12552  expmulnbnd  14267  discr1  14271  hashun2  14415  abstri  15378  iseraltlem2  15730  prmreclem4  16974  tcphcphlem1  25394  trirn  25559  nulmbl2  25695  voliunlem1  25709  uniioombllem4  25745  itg2split  25908  ulmcn  26562  abslogle  26783  emcllem2  27161  lgambdd  27201  chtublem  27375  chtub  27376  logfaclbnd  27386  bcmax  27442  chebbnd1lem2  27634  rplogsumlem1  27648  selberglem2  27710  selbergb  27713  chpdifbndlem1  27717  pntpbnd1a  27749  pntpbnd2  27751  pntibndlem2  27755  pntibndlem3  27756  pntlemg  27762  pntlemr  27766  pntlemk  27770  pntlemo  27771  ostth2lem3  27799  smcnlem  31049  minvecolem3  31228  staddi  32598  stadd3i  32600  nexple  33177  fsum2dsub  34994  resconn  35738  itg2addnc  38345  ftc1anclem8  38371  lcmineqlem22  42837  aks4d1p1p2  42857  aks4d1p1p5  42862  bcle2d  42966  aks6d1c7lem1  42967  fimgmcyc  43322  pell1qrgaplem  43620  ioodvbdlimc1lem2  46666  stoweidlem11  46745  stoweidlem26  46760  stirlinglem8  46815  stirlinglem12  46819  fourierdlem4  46845  fourierdlem10  46851  fourierdlem42  46883  fourierdlem47  46887  fourierdlem72  46912  fourierdlem79  46919  fourierdlem93  46933  fourierdlem101  46941  fourierdlem103  46943  fourierdlem104  46944  fourierdlem111  46951  hoidmv1lelem2  47326  vonioolem2  47415  vonicclem2  47418  p1lep2  48057  fmtnodvds  48316  lighneallem4a  48380