Theorem leadd2dd 11854

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11834	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11124   + caddc 11128   ≤ cle 11269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274

This theorem is used by:  le2addd  11858  difgtsumgt  12582  expmulnbnd  14300  discr1  14304  hashun2  14448  abstri  15419  iseraltlem2  15771  prmreclem4  17012  tcphcphlem1  25464  trirn  25629  nulmbl2  25765  voliunlem1  25779  uniioombllem4  25815  itg2split  25978  ulmcn  26636  abslogle  26856  emcllem2  27234  lgambdd  27274  chtublem  27448  chtub  27449  logfaclbnd  27459  bcmax  27515  chebbnd1lem2  27707  rplogsumlem1  27721  selberglem2  27783  selbergb  27786  chpdifbndlem1  27790  pntpbnd1a  27822  pntpbnd2  27824  pntibndlem2  27828  pntibndlem3  27829  pntlemg  27835  pntlemr  27839  pntlemk  27843  pntlemo  27844  ostth2lem3  27872  smcnlem  31179  minvecolem3  31358  staddi  32728  stadd3i  32730  nexple  33304  fsum2dsub  35116  resconn  35826  itg2addnc  38424  ftc1anclem8  38450  lcmineqlem22  42917  aks4d1p1p2  42937  aks4d1p1p5  42942  bcle2d  43046  aks6d1c7lem1  43047  fimgmcyc  43417  pell1qrgaplem  43715  ioodvbdlimc1lem2  46761  stoweidlem11  46840  stoweidlem26  46855  stirlinglem8  46910  stirlinglem12  46914  fourierdlem4  46940  fourierdlem10  46946  fourierdlem42  46978  fourierdlem47  46982  fourierdlem72  47007  fourierdlem79  47014  fourierdlem93  47028  fourierdlem101  47036  fourierdlem103  47038  fourierdlem104  47039  fourierdlem111  47046  hoidmv1lelem2  47421  vonioolem2  47510  vonicclem2  47513  p1lep2  48189  fmtnodvds  48448  lighneallem4a  48512