Theorem leadd2dd 11756

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11736	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028   + caddc 11032   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  le2addd  11760  difgtsumgt  12481  expmulnbnd  14188  discr1  14192  hashun2  14336  abstri  15284  iseraltlem2  15636  prmreclem4  16881  tcphcphlem1  25220  trirn  25385  nulmbl2  25521  voliunlem1  25535  uniioombllem4  25571  itg2split  25734  ulmcn  26382  abslogle  26600  emcllem2  26978  lgambdd  27018  chtublem  27192  chtub  27193  logfaclbnd  27203  bcmax  27259  chebbnd1lem2  27451  rplogsumlem1  27465  selberglem2  27527  selbergb  27530  chpdifbndlem1  27534  pntpbnd1a  27566  pntpbnd2  27568  pntibndlem2  27572  pntibndlem3  27573  pntlemg  27579  pntlemr  27583  pntlemk  27587  pntlemo  27588  ostth2lem3  27616  smcnlem  30786  minvecolem3  30965  staddi  32335  stadd3i  32337  nexple  32936  fsum2dsub  34791  resconn  35474  itg2addnc  38041  ftc1anclem8  38067  lcmineqlem22  42535  aks4d1p1p2  42555  aks4d1p1p5  42560  bcle2d  42664  aks6d1c7lem1  42665  fimgmcyc  43020  pell1qrgaplem  43318  ioodvbdlimc1lem2  46375  stoweidlem11  46454  stoweidlem26  46469  stirlinglem8  46524  stirlinglem12  46528  fourierdlem4  46554  fourierdlem10  46560  fourierdlem42  46592  fourierdlem47  46596  fourierdlem72  46621  fourierdlem79  46628  fourierdlem93  46642  fourierdlem101  46650  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierdlem111  46660  hoidmv1lelem2  47035  vonioolem2  47124  vonicclem2  47127  p1lep2  47763  fmtnodvds  48022  lighneallem4a  48086