Theorem leadd2dd 11765

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11745	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   + caddc 11041   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  le2addd  11769  difgtsumgt  12490  expmulnbnd  14197  discr1  14201  hashun2  14345  abstri  15293  iseraltlem2  15645  prmreclem4  16890  tcphcphlem1  25202  trirn  25367  nulmbl2  25503  voliunlem1  25517  uniioombllem4  25553  itg2split  25716  ulmcn  26364  abslogle  26582  emcllem2  26960  lgambdd  27000  chtublem  27174  chtub  27175  logfaclbnd  27185  bcmax  27241  chebbnd1lem2  27433  rplogsumlem1  27447  selberglem2  27509  selbergb  27512  chpdifbndlem1  27516  pntpbnd1a  27548  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntibndlem3  27555  pntlemg  27561  pntlemr  27565  pntlemk  27569  pntlemo  27570  ostth2lem3  27598  smcnlem  30768  minvecolem3  30947  staddi  32317  stadd3i  32319  nexple  32917  fsum2dsub  34751  resconn  35428  itg2addnc  37995  ftc1anclem8  38021  lcmineqlem22  42489  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p5  42514  bcle2d  42618  aks6d1c7lem1  42619  fimgmcyc  42979  pell1qrgaplem  43301  ioodvbdlimc1lem2  46360  stoweidlem11  46439  stoweidlem26  46454  stirlinglem8  46509  stirlinglem12  46513  fourierdlem4  46539  fourierdlem10  46545  fourierdlem42  46577  fourierdlem47  46581  fourierdlem72  46606  fourierdlem79  46613  fourierdlem93  46627  fourierdlem101  46635  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem111  46645  hoidmv1lelem2  47020  vonioolem2  47109  vonicclem2  47112  p1lep2  47748  fmtnodvds  48007  lighneallem4a  48071