Theorem leadd2dd 11590

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11570	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   + caddc 10874   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  12286  expmulnbnd  13950  discr1  13954  hashun2  14098  abstri  15042  iseraltlem2  15394  prmreclem4  16620  tcphcphlem1  24399  trirn  24564  nulmbl2  24700  voliunlem1  24714  uniioombllem4  24750  itg2split  24914  ulmcn  25558  abslogle  25773  emcllem2  26146  lgambdd  26186  chtublem  26359  chtub  26360  logfaclbnd  26370  bcmax  26426  chebbnd1lem2  26618  rplogsumlem1  26632  selberglem2  26694  selbergb  26697  chpdifbndlem1  26701  pntpbnd1a  26733  pntpbnd2  26735  pntibndlem2  26739  pntibndlem3  26740  pntlemg  26746  pntlemr  26750  pntlemk  26754  pntlemo  26755  ostth2lem3  26783  smcnlem  29059  minvecolem3  29238  staddi  30608  stadd3i  30610  nexple  31977  fsum2dsub  32587  resconn  33208  itg2addnc  35831  ftc1anclem8  35857  lcmineqlem22  40058  aks4d1p1p2  40078  aks4d1p1p5  40083  pell1qrgaplem  40695  leadd12dd  42855  ioodvbdlimc1lem2  43473  stoweidlem11  43552  stoweidlem26  43567  stirlinglem8  43622  stirlinglem12  43626  fourierdlem4  43652  fourierdlem10  43658  fourierdlem42  43690  fourierdlem47  43694  fourierdlem72  43719  fourierdlem79  43726  fourierdlem93  43740  fourierdlem101  43748  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem111  43758  hoidmv1lelem2  44130  vonioolem2  44219  vonicclem2  44222  p1lep2  44792  fmtnodvds  44996  lighneallem4a  45060