Theorem leadd2dd 11846

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11826	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11116   + caddc 11120   ≤ cle 11261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266

This theorem is used by:  le2addd  11850  difgtsumgt  12574  expmulnbnd  14291  discr1  14295  hashun2  14439  abstri  15408  iseraltlem2  15760  prmreclem4  17003  tcphcphlem1  25447  trirn  25612  nulmbl2  25748  voliunlem1  25762  uniioombllem4  25798  itg2split  25961  ulmcn  26615  abslogle  26836  emcllem2  27214  lgambdd  27254  chtublem  27428  chtub  27429  logfaclbnd  27439  bcmax  27495  chebbnd1lem2  27687  rplogsumlem1  27701  selberglem2  27763  selbergb  27766  chpdifbndlem1  27770  pntpbnd1a  27802  pntpbnd2  27804  pntibndlem2  27808  pntibndlem3  27809  pntlemg  27815  pntlemr  27819  pntlemk  27823  pntlemo  27824  ostth2lem3  27852  smcnlem  31122  minvecolem3  31301  staddi  32671  stadd3i  32673  nexple  33249  fsum2dsub  35061  resconn  35777  itg2addnc  38384  ftc1anclem8  38410  lcmineqlem22  42877  aks4d1p1p2  42897  aks4d1p1p5  42902  bcle2d  43006  aks6d1c7lem1  43007  fimgmcyc  43362  pell1qrgaplem  43660  ioodvbdlimc1lem2  46706  stoweidlem11  46785  stoweidlem26  46800  stirlinglem8  46855  stirlinglem12  46859  fourierdlem4  46885  fourierdlem10  46891  fourierdlem42  46923  fourierdlem47  46927  fourierdlem72  46952  fourierdlem79  46959  fourierdlem93  46973  fourierdlem101  46981  fourierdlem103  46983  fourierdlem104  46984  fourierdlem111  46991  hoidmv1lelem2  47366  vonioolem2  47455  vonicclem2  47458  p1lep2  48097  fmtnodvds  48356  lighneallem4a  48420