Theorem leadd2dd 11829

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109   + caddc 11113   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  12525  expmulnbnd  14198  discr1  14202  hashun2  14343  abstri  15277  iseraltlem2  15629  prmreclem4  16852  tcphcphlem1  24752  trirn  24917  nulmbl2  25053  voliunlem1  25067  uniioombllem4  25103  itg2split  25267  ulmcn  25911  abslogle  26126  emcllem2  26501  lgambdd  26541  chtublem  26714  chtub  26715  logfaclbnd  26725  bcmax  26781  chebbnd1lem2  26973  rplogsumlem1  26987  selberglem2  27049  selbergb  27052  chpdifbndlem1  27056  pntpbnd1a  27088  pntpbnd2  27090  pntibndlem2  27094  pntibndlem3  27095  pntlemg  27101  pntlemr  27105  pntlemk  27109  pntlemo  27110  ostth2lem3  27138  smcnlem  29950  minvecolem3  30129  staddi  31499  stadd3i  31501  nexple  33007  fsum2dsub  33619  resconn  34237  itg2addnc  36542  ftc1anclem8  36568  lcmineqlem22  40915  aks4d1p1p2  40935  aks4d1p1p5  40940  pell1qrgaplem  41611  leadd12dd  44026  ioodvbdlimc1lem2  44648  stoweidlem11  44727  stoweidlem26  44742  stirlinglem8  44797  stirlinglem12  44801  fourierdlem4  44827  fourierdlem10  44833  fourierdlem42  44865  fourierdlem47  44869  fourierdlem72  44894  fourierdlem79  44901  fourierdlem93  44915  fourierdlem101  44923  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem111  44933  hoidmv1lelem2  45308  vonioolem2  45397  vonicclem2  45400  p1lep2  46008  fmtnodvds  46212  lighneallem4a  46276