Theorem leadd2dd 11779

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  ℝcr 11059   + caddc 11063   ≤ cle 11199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  12475  expmulnbnd  14148  discr1  14152  hashun2  14293  abstri  15227  iseraltlem2  15579  prmreclem4  16802  tcphcphlem1  24636  trirn  24801  nulmbl2  24937  voliunlem1  24951  uniioombllem4  24987  itg2split  25151  ulmcn  25795  abslogle  26010  emcllem2  26383  lgambdd  26423  chtublem  26596  chtub  26597  logfaclbnd  26607  bcmax  26663  chebbnd1lem2  26855  rplogsumlem1  26869  selberglem2  26931  selbergb  26934  chpdifbndlem1  26938  pntpbnd1a  26970  pntpbnd2  26972  pntibndlem2  26976  pntibndlem3  26977  pntlemg  26983  pntlemr  26987  pntlemk  26991  pntlemo  26992  ostth2lem3  27020  smcnlem  29702  minvecolem3  29881  staddi  31251  stadd3i  31253  nexple  32697  fsum2dsub  33309  resconn  33927  itg2addnc  36205  ftc1anclem8  36231  lcmineqlem22  40580  aks4d1p1p2  40600  aks4d1p1p5  40605  pell1qrgaplem  41254  leadd12dd  43671  ioodvbdlimc1lem2  44293  stoweidlem11  44372  stoweidlem26  44387  stirlinglem8  44442  stirlinglem12  44446  fourierdlem4  44472  fourierdlem10  44478  fourierdlem42  44510  fourierdlem47  44514  fourierdlem72  44539  fourierdlem79  44546  fourierdlem93  44560  fourierdlem101  44568  fourierdlem103  44570  fourierdlem104  44571  fourierdlem111  44578  hoidmv1lelem2  44953  vonioolem2  45042  vonicclem2  45045  p1lep2  45652  fmtnodvds  45856  lighneallem4a  45920