Theorem leadd2dd 11879

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11859	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155   + caddc 11159   ≤ cle 11297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  12581  expmulnbnd  14275  discr1  14279  hashun2  14423  abstri  15370  iseraltlem2  15720  prmreclem4  16958  tcphcphlem1  25270  trirn  25435  nulmbl2  25572  voliunlem1  25586  uniioombllem4  25622  itg2split  25785  ulmcn  26443  abslogle  26661  emcllem2  27041  lgambdd  27081  chtublem  27256  chtub  27257  logfaclbnd  27267  bcmax  27323  chebbnd1lem2  27515  rplogsumlem1  27529  selberglem2  27591  selbergb  27594  chpdifbndlem1  27598  pntpbnd1a  27630  pntpbnd2  27632  pntibndlem2  27636  pntibndlem3  27637  pntlemg  27643  pntlemr  27647  pntlemk  27651  pntlemo  27652  ostth2lem3  27680  smcnlem  30717  minvecolem3  30896  staddi  32266  stadd3i  32268  nexple  32834  fsum2dsub  34623  resconn  35252  itg2addnc  37682  ftc1anclem8  37708  lcmineqlem22  42052  aks4d1p1p2  42072  aks4d1p1p5  42077  bcle2d  42181  aks6d1c7lem1  42182  fimgmcyc  42549  pell1qrgaplem  42889  leadd12dd  45333  ioodvbdlimc1lem2  45952  stoweidlem11  46031  stoweidlem26  46046  stirlinglem8  46101  stirlinglem12  46105  fourierdlem4  46131  fourierdlem10  46137  fourierdlem42  46169  fourierdlem47  46173  fourierdlem72  46198  fourierdlem79  46205  fourierdlem93  46219  fourierdlem101  46227  fourierdlem103  46229  fourierdlem104  46230  fourierdlem111  46237  hoidmv1lelem2  46612  vonioolem2  46701  vonicclem2  46704  p1lep2  47317  fmtnodvds  47536  lighneallem4a  47600