Theorem leadd2dd 11831

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11811	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   + caddc 11115   ≤ cle 11251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  12527  expmulnbnd  14200  discr1  14204  hashun2  14345  abstri  15279  iseraltlem2  15631  prmreclem4  16854  tcphcphlem1  24759  trirn  24924  nulmbl2  25060  voliunlem1  25074  uniioombllem4  25110  itg2split  25274  ulmcn  25918  abslogle  26133  emcllem2  26508  lgambdd  26548  chtublem  26721  chtub  26722  logfaclbnd  26732  bcmax  26788  chebbnd1lem2  26980  rplogsumlem1  26994  selberglem2  27056  selbergb  27059  chpdifbndlem1  27063  pntpbnd1a  27095  pntpbnd2  27097  pntibndlem2  27101  pntibndlem3  27102  pntlemg  27108  pntlemr  27112  pntlemk  27116  pntlemo  27117  ostth2lem3  27145  smcnlem  29988  minvecolem3  30167  staddi  31537  stadd3i  31539  nexple  33076  fsum2dsub  33688  resconn  34306  itg2addnc  36628  ftc1anclem8  36654  lcmineqlem22  41001  aks4d1p1p2  41021  aks4d1p1p5  41026  pell1qrgaplem  41693  leadd12dd  44105  ioodvbdlimc1lem2  44727  stoweidlem11  44806  stoweidlem26  44821  stirlinglem8  44876  stirlinglem12  44880  fourierdlem4  44906  fourierdlem10  44912  fourierdlem42  44944  fourierdlem47  44948  fourierdlem72  44973  fourierdlem79  44980  fourierdlem93  44994  fourierdlem101  45002  fourierdlem103  45004  fourierdlem104  45005  fourierdlem111  45012  hoidmv1lelem2  45387  vonioolem2  45476  vonicclem2  45479  p1lep2  46087  fmtnodvds  46291  lighneallem4a  46355