MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd2dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leadd2dd 11777
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
leadd2dd (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4leadd2d 11757 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
61, 5mpbid 231 1 (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cr 11057   + caddc 11061  cle 11197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202
This theorem is referenced by:  difgtsumgt  12473  expmulnbnd  14145  discr1  14149  hashun2  14290  abstri  15222  iseraltlem2  15574  prmreclem4  16798  tcphcphlem1  24615  trirn  24780  nulmbl2  24916  voliunlem1  24930  uniioombllem4  24966  itg2split  25130  ulmcn  25774  abslogle  25989  emcllem2  26362  lgambdd  26402  chtublem  26575  chtub  26576  logfaclbnd  26586  bcmax  26642  chebbnd1lem2  26834  rplogsumlem1  26848  selberglem2  26910  selbergb  26913  chpdifbndlem1  26917  pntpbnd1a  26949  pntpbnd2  26951  pntibndlem2  26955  pntibndlem3  26956  pntlemg  26962  pntlemr  26966  pntlemk  26970  pntlemo  26971  ostth2lem3  26999  smcnlem  29681  minvecolem3  29860  staddi  31230  stadd3i  31232  nexple  32648  fsum2dsub  33260  resconn  33880  itg2addnc  36161  ftc1anclem8  36187  lcmineqlem22  40536  aks4d1p1p2  40556  aks4d1p1p5  40561  pell1qrgaplem  41225  leadd12dd  43624  ioodvbdlimc1lem2  44247  stoweidlem11  44326  stoweidlem26  44341  stirlinglem8  44396  stirlinglem12  44400  fourierdlem4  44426  fourierdlem10  44432  fourierdlem42  44464  fourierdlem47  44468  fourierdlem72  44493  fourierdlem79  44500  fourierdlem93  44514  fourierdlem101  44522  fourierdlem103  44524  fourierdlem104  44525  fourierdlem111  44532  hoidmv1lelem2  44907  vonioolem2  44996  vonicclem2  44999  p1lep2  45606  fmtnodvds  45810  lighneallem4a  45874
  Copyright terms: Public domain W3C validator