Theorem leadd2dd 11857

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   + caddc 11137   ≤ cle 11275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280

This theorem is referenced by:  le2addd  11861  difgtsumgt  12559  expmulnbnd  14258  discr1  14262  hashun2  14406  abstri  15354  iseraltlem2  15704  prmreclem4  16944  tcphcphlem1  25192  trirn  25357  nulmbl2  25494  voliunlem1  25508  uniioombllem4  25544  itg2split  25707  ulmcn  26365  abslogle  26584  emcllem2  26964  lgambdd  27004  chtublem  27179  chtub  27180  logfaclbnd  27190  bcmax  27246  chebbnd1lem2  27438  rplogsumlem1  27452  selberglem2  27514  selbergb  27517  chpdifbndlem1  27521  pntpbnd1a  27553  pntpbnd2  27555  pntibndlem2  27559  pntibndlem3  27560  pntlemg  27566  pntlemr  27570  pntlemk  27574  pntlemo  27575  ostth2lem3  27603  smcnlem  30683  minvecolem3  30862  staddi  32232  stadd3i  32234  nexple  32828  fsum2dsub  34644  resconn  35273  itg2addnc  37703  ftc1anclem8  37729  lcmineqlem22  42068  aks4d1p1p2  42088  aks4d1p1p5  42093  bcle2d  42197  aks6d1c7lem1  42198  fimgmcyc  42524  pell1qrgaplem  42863  ioodvbdlimc1lem2  45928  stoweidlem11  46007  stoweidlem26  46022  stirlinglem8  46077  stirlinglem12  46081  fourierdlem4  46107  fourierdlem10  46113  fourierdlem42  46145  fourierdlem47  46149  fourierdlem72  46174  fourierdlem79  46181  fourierdlem93  46195  fourierdlem101  46203  fourierdlem103  46205  fourierdlem104  46206  fourierdlem111  46213  hoidmv1lelem2  46588  vonioolem2  46677  vonicclem2  46680  p1lep2  47296  fmtnodvds  47525  lighneallem4a  47589