Theorem leadd2dd 11938

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11918	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206   + caddc 11210   ≤ cle 11351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356

This theorem is used by:  le2addd  11942  difgtsumgt  12666  expmulnbnd  14386  discr1  14390  hashun2  14534  abstri  15507  iseraltlem2  15859  prmreclem4  17106  tcphcphlem1  25565  trirn  25730  nulmbl2  25866  voliunlem1  25880  uniioombllem4  25916  itg2split  26079  ulmcn  26735  abslogle  26955  emcllem2  27333  lgambdd  27373  chtublem  27547  chtub  27548  logfaclbnd  27558  bcmax  27614  chebbnd1lem2  27806  rplogsumlem1  27820  selberglem2  27882  selbergb  27885  chpdifbndlem1  27889  pntpbnd1a  27921  pntpbnd2  27923  pntibndlem2  27927  pntibndlem3  27928  pntlemg  27934  pntlemr  27938  pntlemk  27942  pntlemo  27943  ostth2lem3  27971  smcnlem  31308  minvecolem3  31487  staddi  32857  stadd3i  32859  nexple  33474  fsum2dsub  35286  resconn  36129  itg2addnc  38729  ftc1anclem8  38755  lcmineqlem22  43237  aks4d1p1p2  43257  aks4d1p1p5  43262  bcle2d  43366  aks6d1c7lem1  43367  fimgmcyc  43735  pell1qrgaplem  44017  ioodvbdlimc1lem2  47078  stoweidlem11  47157  stoweidlem26  47172  stirlinglem8  47227  stirlinglem12  47231  fourierdlem4  47257  fourierdlem10  47263  fourierdlem42  47295  fourierdlem47  47299  fourierdlem72  47324  fourierdlem79  47331  fourierdlem93  47345  fourierdlem101  47353  fourierdlem103  47355  fourierdlem104  47356  fourierdlem111  47363  hoidmv1lelem2  47738  vonioolem2  47827  vonicclem2  47830  p1lep2  48506  fmtnodvds  48765  lighneallem4a  48829