Theorem leadd2dd 11836

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11816	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  ℝcr 11115   + caddc 11119   ≤ cle 11256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  12532  expmulnbnd  14205  discr1  14209  hashun2  14350  abstri  15284  iseraltlem2  15636  prmreclem4  16859  tcphcphlem1  25083  trirn  25248  nulmbl2  25385  voliunlem1  25399  uniioombllem4  25435  itg2split  25599  ulmcn  26250  abslogle  26466  emcllem2  26843  lgambdd  26883  chtublem  27058  chtub  27059  logfaclbnd  27069  bcmax  27125  chebbnd1lem2  27317  rplogsumlem1  27331  selberglem2  27393  selbergb  27396  chpdifbndlem1  27400  pntpbnd1a  27432  pntpbnd2  27434  pntibndlem2  27438  pntibndlem3  27439  pntlemg  27445  pntlemr  27449  pntlemk  27453  pntlemo  27454  ostth2lem3  27482  smcnlem  30384  minvecolem3  30563  staddi  31933  stadd3i  31935  nexple  33472  fsum2dsub  34084  resconn  34702  itg2addnc  37008  ftc1anclem8  37034  lcmineqlem22  41384  aks4d1p1p2  41404  aks4d1p1p5  41409  pell1qrgaplem  42076  leadd12dd  44487  ioodvbdlimc1lem2  45109  stoweidlem11  45188  stoweidlem26  45203  stirlinglem8  45258  stirlinglem12  45262  fourierdlem4  45288  fourierdlem10  45294  fourierdlem42  45326  fourierdlem47  45330  fourierdlem72  45355  fourierdlem79  45362  fourierdlem93  45376  fourierdlem101  45384  fourierdlem103  45386  fourierdlem104  45387  fourierdlem111  45394  hoidmv1lelem2  45769  vonioolem2  45858  vonicclem2  45861  p1lep2  46469  fmtnodvds  46673  lighneallem4a  46737