Theorem leadd2dd 11759

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11739	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031   + caddc 11035   ≤ cle 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179

This theorem is referenced by:  le2addd  11763  difgtsumgt  12484  expmulnbnd  14191  discr1  14195  hashun2  14339  abstri  15287  iseraltlem2  15639  prmreclem4  16884  tcphcphlem1  25215  trirn  25380  nulmbl2  25516  voliunlem1  25530  uniioombllem4  25566  itg2split  25729  ulmcn  26380  abslogle  26598  emcllem2  26977  lgambdd  27017  chtublem  27191  chtub  27192  logfaclbnd  27202  bcmax  27258  chebbnd1lem2  27450  rplogsumlem1  27464  selberglem2  27526  selbergb  27529  chpdifbndlem1  27533  pntpbnd1a  27565  pntpbnd2  27567  pntibndlem2  27571  pntibndlem3  27572  pntlemg  27578  pntlemr  27582  pntlemk  27586  pntlemo  27587  ostth2lem3  27615  smcnlem  30786  minvecolem3  30965  staddi  32335  stadd3i  32337  nexple  32935  fsum2dsub  34770  resconn  35447  itg2addnc  38012  ftc1anclem8  38038  lcmineqlem22  42506  aks4d1p1p2  42526  aks4d1p1p5  42531  bcle2d  42635  aks6d1c7lem1  42636  fimgmcyc  42996  pell1qrgaplem  43322  ioodvbdlimc1lem2  46381  stoweidlem11  46460  stoweidlem26  46475  stirlinglem8  46530  stirlinglem12  46534  fourierdlem4  46560  fourierdlem10  46566  fourierdlem42  46598  fourierdlem47  46602  fourierdlem72  46627  fourierdlem79  46634  fourierdlem93  46648  fourierdlem101  46656  fourierdlem103  46658  fourierdlem104  46659  fourierdlem111  46666  hoidmv1lelem2  47041  vonioolem2  47130  vonicclem2  47133  p1lep2  47763  fmtnodvds  48022  lighneallem4a  48086