Theorem leadd2dd 11769

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11749	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   + caddc 11047   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190

This theorem is referenced by:  le2addd  11773  difgtsumgt  12471  expmulnbnd  14176  discr1  14180  hashun2  14324  abstri  15273  iseraltlem2  15625  prmreclem4  16866  tcphcphlem1  25168  trirn  25333  nulmbl2  25470  voliunlem1  25484  uniioombllem4  25520  itg2split  25683  ulmcn  26341  abslogle  26560  emcllem2  26940  lgambdd  26980  chtublem  27155  chtub  27156  logfaclbnd  27166  bcmax  27222  chebbnd1lem2  27414  rplogsumlem1  27428  selberglem2  27490  selbergb  27493  chpdifbndlem1  27497  pntpbnd1a  27529  pntpbnd2  27531  pntibndlem2  27535  pntibndlem3  27536  pntlemg  27542  pntlemr  27546  pntlemk  27550  pntlemo  27551  ostth2lem3  27579  smcnlem  30676  minvecolem3  30855  staddi  32225  stadd3i  32227  nexple  32819  fsum2dsub  34591  resconn  35226  itg2addnc  37661  ftc1anclem8  37687  lcmineqlem22  42031  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p5  42056  bcle2d  42160  aks6d1c7lem1  42161  fimgmcyc  42515  pell1qrgaplem  42854  ioodvbdlimc1lem2  45923  stoweidlem11  46002  stoweidlem26  46017  stirlinglem8  46072  stirlinglem12  46076  fourierdlem4  46102  fourierdlem10  46108  fourierdlem42  46140  fourierdlem47  46144  fourierdlem72  46169  fourierdlem79  46176  fourierdlem93  46190  fourierdlem101  46198  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  fourierdlem111  46208  hoidmv1lelem2  46583  vonioolem2  46672  vonicclem2  46675  p1lep2  47294  fmtnodvds  47538  lighneallem4a  47602