Theorem leadd2dd 11750

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11730	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023   + caddc 11027   ≤ cle 11165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170

This theorem is referenced by:  le2addd  11754  difgtsumgt  12452  expmulnbnd  14156  discr1  14160  hashun2  14304  abstri  15252  iseraltlem2  15604  prmreclem4  16845  tcphcphlem1  25189  trirn  25354  nulmbl2  25491  voliunlem1  25505  uniioombllem4  25541  itg2split  25704  ulmcn  26362  abslogle  26581  emcllem2  26961  lgambdd  27001  chtublem  27176  chtub  27177  logfaclbnd  27187  bcmax  27243  chebbnd1lem2  27435  rplogsumlem1  27449  selberglem2  27511  selbergb  27514  chpdifbndlem1  27518  pntpbnd1a  27550  pntpbnd2  27552  pntibndlem2  27556  pntibndlem3  27557  pntlemg  27563  pntlemr  27567  pntlemk  27571  pntlemo  27572  ostth2lem3  27600  smcnlem  30721  minvecolem3  30900  staddi  32270  stadd3i  32272  nexple  32874  fsum2dsub  34713  resconn  35389  itg2addnc  37814  ftc1anclem8  37840  lcmineqlem22  42243  aks4d1p1p2  42263  aks4d1p1p5  42268  bcle2d  42372  aks6d1c7lem1  42373  fimgmcyc  42731  pell1qrgaplem  43057  ioodvbdlimc1lem2  46118  stoweidlem11  46197  stoweidlem26  46212  stirlinglem8  46267  stirlinglem12  46271  fourierdlem4  46297  fourierdlem10  46303  fourierdlem42  46335  fourierdlem47  46339  fourierdlem72  46364  fourierdlem79  46371  fourierdlem93  46385  fourierdlem101  46393  fourierdlem103  46395  fourierdlem104  46396  fourierdlem111  46403  hoidmv1lelem2  46778  vonioolem2  46867  vonicclem2  46870  p1lep2  47488  fmtnodvds  47732  lighneallem4a  47796