Theorem leadd2dd 11793

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067   + caddc 11071   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  le2addd  11797  difgtsumgt  12495  expmulnbnd  14200  discr1  14204  hashun2  14348  abstri  15297  iseraltlem2  15649  prmreclem4  16890  tcphcphlem1  25135  trirn  25300  nulmbl2  25437  voliunlem1  25451  uniioombllem4  25487  itg2split  25650  ulmcn  26308  abslogle  26527  emcllem2  26907  lgambdd  26947  chtublem  27122  chtub  27123  logfaclbnd  27133  bcmax  27189  chebbnd1lem2  27381  rplogsumlem1  27395  selberglem2  27457  selbergb  27460  chpdifbndlem1  27464  pntpbnd1a  27496  pntpbnd2  27498  pntibndlem2  27502  pntibndlem3  27503  pntlemg  27509  pntlemr  27513  pntlemk  27517  pntlemo  27518  ostth2lem3  27546  smcnlem  30626  minvecolem3  30805  staddi  32175  stadd3i  32177  nexple  32769  fsum2dsub  34598  resconn  35233  itg2addnc  37668  ftc1anclem8  37694  lcmineqlem22  42038  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p1p5  42063  bcle2d  42167  aks6d1c7lem1  42168  fimgmcyc  42522  pell1qrgaplem  42861  ioodvbdlimc1lem2  45930  stoweidlem11  46009  stoweidlem26  46024  stirlinglem8  46079  stirlinglem12  46083  fourierdlem4  46109  fourierdlem10  46115  fourierdlem42  46147  fourierdlem47  46151  fourierdlem72  46176  fourierdlem79  46183  fourierdlem93  46197  fourierdlem101  46205  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem111  46215  hoidmv1lelem2  46590  vonioolem2  46679  vonicclem2  46682  p1lep2  47298  fmtnodvds  47542  lighneallem4a  47606