Theorem leadd2dd 11802

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11782	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072   + caddc 11076   ≤ cle 11217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222

This theorem is referenced by:  le2addd  11806  difgtsumgt  12534  expmulnbnd  14248  discr1  14252  hashun2  14396  abstri  15358  iseraltlem2  15710  prmreclem4  16955  tcphcphlem1  25297  trirn  25462  nulmbl2  25598  voliunlem1  25612  uniioombllem4  25648  itg2split  25811  ulmcn  26462  abslogle  26683  emcllem2  27061  lgambdd  27101  chtublem  27275  chtub  27276  logfaclbnd  27286  bcmax  27342  chebbnd1lem2  27534  rplogsumlem1  27548  selberglem2  27610  selbergb  27613  chpdifbndlem1  27617  pntpbnd1a  27649  pntpbnd2  27651  pntibndlem2  27655  pntibndlem3  27656  pntlemg  27662  pntlemr  27666  pntlemk  27670  pntlemo  27671  ostth2lem3  27699  smcnlem  30900  minvecolem3  31079  staddi  32449  stadd3i  32451  nexple  33035  fsum2dsub  34901  resconn  35596  itg2addnc  38173  ftc1anclem8  38199  lcmineqlem22  42667  aks4d1p1p2  42687  aks4d1p1p5  42692  bcle2d  42796  aks6d1c7lem1  42797  fimgmcyc  43152  pell1qrgaplem  43450  ioodvbdlimc1lem2  46506  stoweidlem11  46585  stoweidlem26  46600  stirlinglem8  46655  stirlinglem12  46659  fourierdlem4  46685  fourierdlem10  46691  fourierdlem42  46723  fourierdlem47  46727  fourierdlem72  46752  fourierdlem79  46759  fourierdlem93  46773  fourierdlem101  46781  fourierdlem103  46783  fourierdlem104  46784  fourierdlem111  46791  hoidmv1lelem2  47166  vonioolem2  47255  vonicclem2  47258  p1lep2  47894  fmtnodvds  48153  lighneallem4a  48217