Theorem leadd2dd 11905

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   + caddc 11187   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  12606  expmulnbnd  14284  discr1  14288  hashun2  14432  abstri  15379  iseraltlem2  15731  prmreclem4  16966  tcphcphlem1  25288  trirn  25453  nulmbl2  25590  voliunlem1  25604  uniioombllem4  25640  itg2split  25804  ulmcn  26460  abslogle  26678  emcllem2  27058  lgambdd  27098  chtublem  27273  chtub  27274  logfaclbnd  27284  bcmax  27340  chebbnd1lem2  27532  rplogsumlem1  27546  selberglem2  27608  selbergb  27611  chpdifbndlem1  27615  pntpbnd1a  27647  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntibndlem3  27654  pntlemg  27660  pntlemr  27664  pntlemk  27668  pntlemo  27669  ostth2lem3  27697  smcnlem  30729  minvecolem3  30908  staddi  32278  stadd3i  32280  nexple  33973  fsum2dsub  34584  resconn  35214  itg2addnc  37634  ftc1anclem8  37660  lcmineqlem22  42007  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p5  42032  bcle2d  42136  aks6d1c7lem1  42137  fimgmcyc  42489  pell1qrgaplem  42829  leadd12dd  45231  ioodvbdlimc1lem2  45853  stoweidlem11  45932  stoweidlem26  45947  stirlinglem8  46002  stirlinglem12  46006  fourierdlem4  46032  fourierdlem10  46038  fourierdlem42  46070  fourierdlem47  46074  fourierdlem72  46099  fourierdlem79  46106  fourierdlem93  46120  fourierdlem101  46128  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem111  46138  hoidmv1lelem2  46513  vonioolem2  46602  vonicclem2  46605  p1lep2  47215  fmtnodvds  47418  lighneallem4a  47482