Theorem leadd2dd 11520

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   + caddc 10805   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  12216  expmulnbnd  13878  discr1  13882  hashun2  14026  abstri  14970  iseraltlem2  15322  prmreclem4  16548  tcphcphlem1  24304  trirn  24469  nulmbl2  24605  voliunlem1  24619  uniioombllem4  24655  itg2split  24819  ulmcn  25463  abslogle  25678  emcllem2  26051  lgambdd  26091  chtublem  26264  chtub  26265  logfaclbnd  26275  bcmax  26331  chebbnd1lem2  26523  rplogsumlem1  26537  selberglem2  26599  selbergb  26602  chpdifbndlem1  26606  pntpbnd1a  26638  pntpbnd2  26640  pntibndlem2  26644  pntibndlem3  26645  pntlemg  26651  pntlemr  26655  pntlemk  26659  pntlemo  26660  ostth2lem3  26688  smcnlem  28960  minvecolem3  29139  staddi  30509  stadd3i  30511  nexple  31877  fsum2dsub  32487  resconn  33108  itg2addnc  35758  ftc1anclem8  35784  lcmineqlem22  39986  aks4d1p1p2  40006  aks4d1p1p5  40011  pell1qrgaplem  40611  leadd12dd  42745  ioodvbdlimc1lem2  43363  stoweidlem11  43442  stoweidlem26  43457  stirlinglem8  43512  stirlinglem12  43516  fourierdlem4  43542  fourierdlem10  43548  fourierdlem42  43580  fourierdlem47  43584  fourierdlem72  43609  fourierdlem79  43616  fourierdlem93  43630  fourierdlem101  43638  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem111  43648  hoidmv1lelem2  44020  vonioolem2  44109  vonicclem2  44112  p1lep2  44680  fmtnodvds  44884  lighneallem4a  44948