Theorem leadd1dd 11749

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11729	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023   + caddc 11027   ≤ cle 11165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170

This theorem is referenced by:  lesub3d  11753  le2addd  11754  supaddc  12107  eluzadd  12778  rpnnen1lem5  12892  xleadd1a  13166  fzoaddel  13631  fladdz  13743  ltdifltdiv  13752  bernneq3  14152  caucvgrlem  15594  eirrlem  16127  vdwlem3  16909  vdwlem9  16915  vdwlem10  16916  2expltfac  17018  psrbagleadd1  21882  pcoass  24978  trirn  25354  minveclem2  25380  ovolfiniun  25456  ovolshftlem1  25464  unmbl  25492  uniioombllem5  25542  opnmbllem  25556  vitalilem2  25564  itg2split  25704  dvfsumlem2  25987  dvfsumlem2OLD  25988  dvfsumlem4  25990  dvfsum2  25995  fta1glem2  26128  coemullem  26209  fta1lem  26269  leibpi  26906  log2tlbnd  26909  jensenlem2  26952  harmonicubnd  26974  harmonicbnd4  26975  lgamgulmlem5  26997  lgambdd  27001  ppiub  27169  bposlem5  27253  mulog2sumlem2  27500  selberg2lem  27515  chpdifbndlem1  27518  pntrlog2bndlem2  27543  pntpbnd2  27552  pntibndlem2  27556  pntlemg  27563  pntlemk  27571  pntlemo  27572  qabvle  27590  ostth2lem3  27600  minvecolem2  30899  nndiffz1  32815  wrdt2ind  32984  cycpmco2lem6  33162  reofld  33373  cos9thpiminplylem1  33888  dya2icoseg  34383  resconn  35389  poimirlem15  37775  opnmbllem0  37796  itg2addnclem3  37813  bfplem2  37963  lcmineqlem19  42240  aks4d1p1p4  42264  aks4d1p1p7  42267  posbezout  42293  sticksstones12  42351  bcle2d  42372  pellexlem2  43014  rmygeid  43148  jm3.1lem2  43202  fzisoeu  45490  absnpncan2d  45492  absnpncan3d  45497  iccshift  45706  fsumnncl  45760  climsuselem1  45795  sumnnodd  45818  climleltrp  45862  dvbdfbdioolem2  46115  ioodvbdlimc1lem1  46117  ioodvbdlimc1lem2  46118  ioodvbdlimc2lem  46120  dvnmul  46129  iblspltprt  46159  itgspltprt  46165  itgiccshift  46166  itgperiod  46167  stoweidlem1  46187  stoweidlem11  46197  stoweidlem14  46200  stoweidlem26  46212  stoweidlem44  46230  stirlinglem11  46270  fourierdlem10  46303  fourierdlem11  46304  fourierdlem15  46308  fourierdlem30  46323  fourierdlem42  46335  fourierdlem68  46360  fourierdlem79  46371  fourierdlem92  46384  sge0xaddlem1  46619  carageniuncllem2  46708  hoidmv1lelem1  46777  ovolval5lem1  46838  smfmullem1  46977