Theorem leadd1dd 11856

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   + caddc 11137   ≤ cle 11275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280

This theorem is referenced by:  lesub3d  11860  le2addd  11861  supaddc  12214  eluzadd  12886  rpnnen1lem5  13002  xleadd1a  13274  fzoaddel  13738  fladdz  13847  ltdifltdiv  13856  bernneq3  14254  caucvgrlem  15694  eirrlem  16227  vdwlem3  17008  vdwlem9  17014  vdwlem10  17015  2expltfac  17117  psrbagleadd1  21893  pcoass  24980  trirn  25357  minveclem2  25383  ovolfiniun  25459  ovolshftlem1  25467  unmbl  25495  uniioombllem5  25545  opnmbllem  25559  vitalilem2  25567  itg2split  25707  dvfsumlem2  25990  dvfsumlem2OLD  25991  dvfsumlem4  25993  dvfsum2  25998  fta1glem2  26131  coemullem  26212  fta1lem  26272  leibpi  26909  log2tlbnd  26912  jensenlem2  26955  harmonicubnd  26977  harmonicbnd4  26978  lgamgulmlem5  27000  lgambdd  27004  ppiub  27172  bposlem5  27256  mulog2sumlem2  27503  selberg2lem  27518  chpdifbndlem1  27521  pntrlog2bndlem2  27546  pntpbnd2  27555  pntibndlem2  27559  pntlemg  27566  pntlemk  27574  pntlemo  27575  qabvle  27593  ostth2lem3  27603  minvecolem2  30861  nndiffz1  32768  wrdt2ind  32934  cycpmco2lem6  33147  reofld  33364  cos9thpiminplylem1  33821  dya2icoseg  34314  resconn  35273  poimirlem15  37664  opnmbllem0  37685  itg2addnclem3  37702  bfplem2  37852  lcmineqlem19  42065  aks4d1p1p4  42089  aks4d1p1p7  42092  posbezout  42118  sticksstones12  42176  bcle2d  42197  pellexlem2  42828  rmygeid  42963  jm3.1lem2  43017  fzisoeu  45309  absnpncan2d  45311  absnpncan3d  45316  iccshift  45527  fsumnncl  45581  climsuselem1  45616  sumnnodd  45639  climleltrp  45685  dvbdfbdioolem2  45938  ioodvbdlimc1lem1  45940  ioodvbdlimc1lem2  45941  ioodvbdlimc2lem  45943  dvnmul  45952  iblspltprt  45982  itgspltprt  45988  itgiccshift  45989  itgperiod  45990  stoweidlem1  46010  stoweidlem11  46020  stoweidlem14  46023  stoweidlem26  46035  stoweidlem44  46053  stirlinglem11  46093  fourierdlem10  46126  fourierdlem11  46127  fourierdlem15  46131  fourierdlem30  46146  fourierdlem42  46158  fourierdlem68  46183  fourierdlem79  46194  fourierdlem92  46207  sge0xaddlem1  46442  carageniuncllem2  46531  hoidmv1lelem1  46600  ovolval5lem1  46661  smfmullem1  46800