Theorem leadd1dd 11759

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11739	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  ℝcr 11032   + caddc 11036   ≤ cle 11175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180

This theorem is referenced by:  lesub3d  11763  le2addd  11764  supaddc  12118  eluzadd  12812  rpnnen1lem5  12926  xleadd1a  13200  fzoaddel  13667  fladdz  13779  ltdifltdiv  13788  bernneq3  14188  caucvgrlem  15630  eirrlem  16166  vdwlem3  16949  vdwlem9  16955  vdwlem10  16956  2expltfac  17058  psrbagleadd1  21907  pcoass  25013  trirn  25389  minveclem2  25415  ovolfiniun  25490  ovolshftlem1  25498  unmbl  25526  uniioombllem5  25576  opnmbllem  25590  vitalilem2  25598  itg2split  25738  dvfsumlem2  26016  dvfsumlem4  26018  dvfsum2  26023  fta1glem2  26156  coemullem  26237  fta1lem  26295  leibpi  26928  log2tlbnd  26931  jensenlem2  26973  harmonicubnd  26995  harmonicbnd4  26996  lgamgulmlem5  27018  lgambdd  27022  ppiub  27189  bposlem5  27273  mulog2sumlem2  27520  selberg2lem  27535  chpdifbndlem1  27538  pntrlog2bndlem2  27563  pntpbnd2  27572  pntibndlem2  27576  pntlemg  27583  pntlemk  27591  pntlemo  27592  qabvle  27610  ostth2lem3  27620  minvecolem2  30968  nndiffz1  32882  wrdt2ind  33036  cycpmco2lem6  33216  reofld  33430  cos9thpiminplylem1  33978  dya2icoseg  34473  resconn  35489  poimirlem15  38017  opnmbllem0  38038  itg2addnclem3  38055  bfplem2  38205  lcmineqlem19  42547  aks4d1p1p4  42571  aks4d1p1p7  42574  posbezout  42600  sticksstones12  42658  bcle2d  42679  pellexlem2  43290  rmygeid  43424  jm3.1lem2  43478  fzisoeu  45762  absnpncan2d  45764  absnpncan3d  45769  iccshift  45977  fsumnncl  46031  climsuselem1  46066  sumnnodd  46089  climleltrp  46133  dvbdfbdioolem2  46386  ioodvbdlimc1lem1  46388  ioodvbdlimc1lem2  46389  ioodvbdlimc2lem  46391  dvnmul  46400  iblspltprt  46430  itgspltprt  46436  itgiccshift  46437  itgperiod  46438  stoweidlem1  46458  stoweidlem11  46468  stoweidlem14  46471  stoweidlem26  46483  stoweidlem44  46501  stirlinglem11  46541  fourierdlem10  46574  fourierdlem11  46575  fourierdlem15  46579  fourierdlem30  46594  fourierdlem42  46606  fourierdlem68  46631  fourierdlem79  46642  fourierdlem92  46655  sge0xaddlem1  46890  carageniuncllem2  46979  hoidmv1lelem1  47048  ovolval5lem1  47109  smfmullem1  47248