Theorem leadd1dd 11589

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11569	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   + caddc 10874   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015

This theorem is referenced by:  lesub3d  11593  supaddc  11942  rpnnen1lem5  12721  xleadd1a  12987  fzoaddel  13440  fladdz  13545  ltdifltdiv  13554  bernneq3  13946  caucvgrlem  15384  eirrlem  15913  vdwlem3  16684  vdwlem9  16690  vdwlem10  16691  2expltfac  16794  pcoass  24187  trirn  24564  minveclem2  24590  ovolfiniun  24665  ovolshftlem1  24673  unmbl  24701  uniioombllem5  24751  opnmbllem  24765  vitalilem2  24773  itg2split  24914  dvfsumlem2  25191  dvfsumlem4  25193  dvfsum2  25198  fta1glem2  25331  coemullem  25411  fta1lem  25467  leibpi  26092  log2tlbnd  26095  jensenlem2  26137  harmonicubnd  26159  harmonicbnd4  26160  lgamgulmlem5  26182  lgambdd  26186  ppiub  26352  bposlem5  26436  mulog2sumlem2  26683  selberg2lem  26698  chpdifbndlem1  26701  pntrlog2bndlem2  26726  pntpbnd2  26735  pntibndlem2  26739  pntlemg  26746  pntlemk  26754  pntlemo  26755  qabvle  26773  ostth2lem3  26783  minvecolem2  29237  nndiffz1  31107  wrdt2ind  31225  cycpmco2lem6  31398  reofld  31544  dya2icoseg  32244  resconn  33208  poimirlem15  35792  opnmbllem0  35813  itg2addnclem3  35830  bfplem2  35981  lcmineqlem19  40055  aks4d1p1p4  40079  aks4d1p1p7  40082  sticksstones12  40114  metakunt2  40126  pellexlem2  40652  rmygeid  40786  jm3.1lem2  40840  fzisoeu  42839  absnpncan2d  42841  absnpncan3d  42846  leadd12dd  42855  iccshift  43056  fsumnncl  43113  climsuselem1  43148  sumnnodd  43171  climleltrp  43217  dvbdfbdioolem2  43470  ioodvbdlimc1lem1  43472  ioodvbdlimc1lem2  43473  ioodvbdlimc2lem  43475  dvnmul  43484  iblspltprt  43514  itgspltprt  43520  itgiccshift  43521  itgperiod  43522  stoweidlem1  43542  stoweidlem11  43552  stoweidlem14  43555  stoweidlem26  43567  stoweidlem44  43585  stirlinglem11  43625  fourierdlem10  43658  fourierdlem11  43659  fourierdlem15  43663  fourierdlem30  43678  fourierdlem42  43690  fourierdlem68  43715  fourierdlem79  43726  fourierdlem92  43739  sge0xaddlem1  43971  carageniuncllem2  44060  hoidmv1lelem1  44129  ovolval5lem1  44190  smfmullem1  44325