Theorem leadd1dd 11764

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   + caddc 11041   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  lesub3d  11768  le2addd  11769  supaddc  12123  eluzadd  12817  rpnnen1lem5  12931  xleadd1a  13205  fzoaddel  13672  fladdz  13784  ltdifltdiv  13793  bernneq3  14193  caucvgrlem  15635  eirrlem  16171  vdwlem3  16954  vdwlem9  16960  vdwlem10  16961  2expltfac  17063  psrbagleadd1  21908  pcoass  24991  trirn  25367  minveclem2  25393  ovolfiniun  25468  ovolshftlem1  25476  unmbl  25504  uniioombllem5  25554  opnmbllem  25568  vitalilem2  25576  itg2split  25716  dvfsumlem2  25994  dvfsumlem4  25996  dvfsum2  26001  fta1glem2  26134  coemullem  26215  fta1lem  26273  leibpi  26906  log2tlbnd  26909  jensenlem2  26951  harmonicubnd  26973  harmonicbnd4  26974  lgamgulmlem5  26996  lgambdd  27000  ppiub  27167  bposlem5  27251  mulog2sumlem2  27498  selberg2lem  27513  chpdifbndlem1  27516  pntrlog2bndlem2  27541  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntlemg  27561  pntlemk  27569  pntlemo  27570  qabvle  27588  ostth2lem3  27598  minvecolem2  30946  nndiffz1  32859  wrdt2ind  33013  cycpmco2lem6  33192  reofld  33403  cos9thpiminplylem1  33926  dya2icoseg  34421  resconn  35428  poimirlem15  37956  opnmbllem0  37977  itg2addnclem3  37994  bfplem2  38144  lcmineqlem19  42486  aks4d1p1p4  42510  aks4d1p1p7  42513  posbezout  42539  sticksstones12  42597  bcle2d  42618  pellexlem2  43258  rmygeid  43392  jm3.1lem2  43446  fzisoeu  45733  absnpncan2d  45735  absnpncan3d  45740  iccshift  45948  fsumnncl  46002  climsuselem1  46037  sumnnodd  46060  climleltrp  46104  dvbdfbdioolem2  46357  ioodvbdlimc1lem1  46359  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  dvnmul  46371  iblspltprt  46401  itgspltprt  46407  itgiccshift  46408  itgperiod  46409  stoweidlem1  46429  stoweidlem11  46439  stoweidlem14  46442  stoweidlem26  46454  stoweidlem44  46472  stirlinglem11  46512  fourierdlem10  46545  fourierdlem11  46546  fourierdlem15  46550  fourierdlem30  46565  fourierdlem42  46577  fourierdlem68  46602  fourierdlem79  46613  fourierdlem92  46626  sge0xaddlem1  46861  carageniuncllem2  46950  hoidmv1lelem1  47019  ovolval5lem1  47080  smfmullem1  47219