Theorem leadd1dd 11254

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536   + caddc 10540   ≤ cle 10676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681

This theorem is referenced by:  lesub3d  11258  supaddc  11608  rpnnen1lem5  12381  xleadd1a  12647  fzoaddel  13091  fladdz  13196  ltdifltdiv  13205  bernneq3  13593  caucvgrlem  15029  eirrlem  15557  vdwlem3  16319  vdwlem9  16325  vdwlem10  16326  2expltfac  16426  pcoass  23628  trirn  24003  minveclem2  24029  ovolfiniun  24102  ovolshftlem1  24110  unmbl  24138  uniioombllem5  24188  opnmbllem  24202  vitalilem2  24210  itg2split  24350  dvfsumlem2  24624  dvfsumlem4  24626  dvfsum2  24631  fta1glem2  24760  coemullem  24840  fta1lem  24896  leibpi  25520  log2tlbnd  25523  jensenlem2  25565  harmonicubnd  25587  harmonicbnd4  25588  lgamgulmlem5  25610  lgambdd  25614  ppiub  25780  bposlem5  25864  mulog2sumlem2  26111  selberg2lem  26126  chpdifbndlem1  26129  pntrlog2bndlem2  26154  pntpbnd2  26163  pntibndlem2  26167  pntlemg  26174  pntlemk  26182  pntlemo  26183  qabvle  26201  ostth2lem3  26211  minvecolem2  28652  nndiffz1  30509  wrdt2ind  30627  cycpmco2lem6  30773  reofld  30913  dya2icoseg  31535  resconn  32493  poimirlem15  34922  opnmbllem0  34943  itg2addnclem3  34960  bfplem2  35116  pellexlem2  39476  rmygeid  39610  jm3.1lem2  39664  fzisoeu  41616  absnpncan2d  41618  absnpncan3d  41623  leadd12dd  41633  iccshift  41843  fsumnncl  41901  climsuselem1  41937  sumnnodd  41960  climleltrp  42006  dvbdfbdioolem2  42263  ioodvbdlimc1lem1  42265  ioodvbdlimc1lem2  42266  ioodvbdlimc2lem  42268  dvnmul  42277  iblspltprt  42307  itgspltprt  42313  itgiccshift  42314  itgperiod  42315  stoweidlem1  42335  stoweidlem11  42345  stoweidlem14  42348  stoweidlem26  42360  stoweidlem44  42378  stirlinglem11  42418  fourierdlem10  42451  fourierdlem11  42452  fourierdlem15  42456  fourierdlem30  42471  fourierdlem42  42483  fourierdlem68  42508  fourierdlem79  42519  fourierdlem92  42532  sge0xaddlem1  42764  carageniuncllem2  42853  hoidmv1lelem1  42922  ovolval5lem1  42983  smfmullem1  43115