Theorem leadd1dd 11519

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11499	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   + caddc 10805   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946

This theorem is referenced by:  lesub3d  11523  supaddc  11872  rpnnen1lem5  12650  xleadd1a  12916  fzoaddel  13368  fladdz  13473  ltdifltdiv  13482  bernneq3  13874  caucvgrlem  15312  eirrlem  15841  vdwlem3  16612  vdwlem9  16618  vdwlem10  16619  2expltfac  16722  pcoass  24093  trirn  24469  minveclem2  24495  ovolfiniun  24570  ovolshftlem1  24578  unmbl  24606  uniioombllem5  24656  opnmbllem  24670  vitalilem2  24678  itg2split  24819  dvfsumlem2  25096  dvfsumlem4  25098  dvfsum2  25103  fta1glem2  25236  coemullem  25316  fta1lem  25372  leibpi  25997  log2tlbnd  26000  jensenlem2  26042  harmonicubnd  26064  harmonicbnd4  26065  lgamgulmlem5  26087  lgambdd  26091  ppiub  26257  bposlem5  26341  mulog2sumlem2  26588  selberg2lem  26603  chpdifbndlem1  26606  pntrlog2bndlem2  26631  pntpbnd2  26640  pntibndlem2  26644  pntlemg  26651  pntlemk  26659  pntlemo  26660  qabvle  26678  ostth2lem3  26688  minvecolem2  29138  nndiffz1  31009  wrdt2ind  31127  cycpmco2lem6  31300  reofld  31446  dya2icoseg  32144  resconn  33108  poimirlem15  35719  opnmbllem0  35740  itg2addnclem3  35757  bfplem2  35908  lcmineqlem19  39983  aks4d1p1p4  40007  aks4d1p1p7  40010  sticksstones12  40042  metakunt2  40054  pellexlem2  40568  rmygeid  40702  jm3.1lem2  40756  fzisoeu  42729  absnpncan2d  42731  absnpncan3d  42736  leadd12dd  42745  iccshift  42946  fsumnncl  43003  climsuselem1  43038  sumnnodd  43061  climleltrp  43107  dvbdfbdioolem2  43360  ioodvbdlimc1lem1  43362  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  dvnmul  43374  iblspltprt  43404  itgspltprt  43410  itgiccshift  43411  itgperiod  43412  stoweidlem1  43432  stoweidlem11  43442  stoweidlem14  43445  stoweidlem26  43457  stoweidlem44  43475  stirlinglem11  43515  fourierdlem10  43548  fourierdlem11  43549  fourierdlem15  43553  fourierdlem30  43568  fourierdlem42  43580  fourierdlem68  43605  fourierdlem79  43616  fourierdlem92  43629  sge0xaddlem1  43861  carageniuncllem2  43950  hoidmv1lelem1  44019  ovolval5lem1  44080  smfmullem1  44212