Theorem leadd1dd 11904

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11884	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   + caddc 11187   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  lesub3d  11908  supaddc  12262  eluzadd  12932  rpnnen1lem5  13046  xleadd1a  13315  fzoaddel  13769  fladdz  13876  ltdifltdiv  13885  bernneq3  14280  caucvgrlem  15721  eirrlem  16252  vdwlem3  17030  vdwlem9  17036  vdwlem10  17037  2expltfac  17140  psrbagleadd1  21971  pcoass  25076  trirn  25453  minveclem2  25479  ovolfiniun  25555  ovolshftlem1  25563  unmbl  25591  uniioombllem5  25641  opnmbllem  25655  vitalilem2  25663  itg2split  25804  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dvfsumlem4  26090  dvfsum2  26095  fta1glem2  26228  coemullem  26309  fta1lem  26367  leibpi  27003  log2tlbnd  27006  jensenlem2  27049  harmonicubnd  27071  harmonicbnd4  27072  lgamgulmlem5  27094  lgambdd  27098  ppiub  27266  bposlem5  27350  mulog2sumlem2  27597  selberg2lem  27612  chpdifbndlem1  27615  pntrlog2bndlem2  27640  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntlemg  27660  pntlemk  27668  pntlemo  27669  qabvle  27687  ostth2lem3  27697  minvecolem2  30907  nndiffz1  32791  wrdt2ind  32920  cycpmco2lem6  33124  reofld  33337  dya2icoseg  34242  resconn  35214  poimirlem15  37595  opnmbllem0  37616  itg2addnclem3  37633  bfplem2  37783  lcmineqlem19  42004  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p1p7  42031  posbezout  42057  sticksstones12  42115  bcle2d  42136  metakunt2  42163  pellexlem2  42786  rmygeid  42921  jm3.1lem2  42975  fzisoeu  45215  absnpncan2d  45217  absnpncan3d  45222  leadd12dd  45231  iccshift  45436  fsumnncl  45493  climsuselem1  45528  sumnnodd  45551  climleltrp  45597  dvbdfbdioolem2  45850  ioodvbdlimc1lem1  45852  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  dvnmul  45864  iblspltprt  45894  itgspltprt  45900  itgiccshift  45901  itgperiod  45902  stoweidlem1  45922  stoweidlem11  45932  stoweidlem14  45935  stoweidlem26  45947  stoweidlem44  45965  stirlinglem11  46005  fourierdlem10  46038  fourierdlem11  46039  fourierdlem15  46043  fourierdlem30  46058  fourierdlem42  46070  fourierdlem68  46095  fourierdlem79  46106  fourierdlem92  46119  sge0xaddlem1  46354  carageniuncllem2  46443  hoidmv1lelem1  46512  ovolval5lem1  46573  smfmullem1  46712