Theorem leadd1dd 11875

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11855	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   + caddc 11156   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299

This theorem is referenced by:  lesub3d  11879  supaddc  12233  eluzadd  12905  rpnnen1lem5  13021  xleadd1a  13292  fzoaddel  13753  fladdz  13862  ltdifltdiv  13871  bernneq3  14267  caucvgrlem  15706  eirrlem  16237  vdwlem3  17017  vdwlem9  17023  vdwlem10  17024  2expltfac  17127  psrbagleadd1  21966  pcoass  25071  trirn  25448  minveclem2  25474  ovolfiniun  25550  ovolshftlem1  25558  unmbl  25586  uniioombllem5  25636  opnmbllem  25650  vitalilem2  25658  itg2split  25799  dvfsumlem2  26082  dvfsumlem2OLD  26083  dvfsumlem4  26085  dvfsum2  26090  fta1glem2  26223  coemullem  26304  fta1lem  26364  leibpi  27000  log2tlbnd  27003  jensenlem2  27046  harmonicubnd  27068  harmonicbnd4  27069  lgamgulmlem5  27091  lgambdd  27095  ppiub  27263  bposlem5  27347  mulog2sumlem2  27594  selberg2lem  27609  chpdifbndlem1  27612  pntrlog2bndlem2  27637  pntpbnd2  27646  pntibndlem2  27650  pntlemg  27657  pntlemk  27665  pntlemo  27666  qabvle  27684  ostth2lem3  27694  minvecolem2  30904  nndiffz1  32795  wrdt2ind  32923  cycpmco2lem6  33134  reofld  33352  dya2icoseg  34259  resconn  35231  poimirlem15  37622  opnmbllem0  37643  itg2addnclem3  37660  bfplem2  37810  lcmineqlem19  42029  aks4d1p1p4  42053  aks4d1p1p7  42056  posbezout  42082  sticksstones12  42140  bcle2d  42161  metakunt2  42188  pellexlem2  42818  rmygeid  42953  jm3.1lem2  43007  fzisoeu  45251  absnpncan2d  45253  absnpncan3d  45258  leadd12dd  45267  iccshift  45471  fsumnncl  45528  climsuselem1  45563  sumnnodd  45586  climleltrp  45632  dvbdfbdioolem2  45885  ioodvbdlimc1lem1  45887  ioodvbdlimc1lem2  45888  ioodvbdlimc2lem  45890  dvnmul  45899  iblspltprt  45929  itgspltprt  45935  itgiccshift  45936  itgperiod  45937  stoweidlem1  45957  stoweidlem11  45967  stoweidlem14  45970  stoweidlem26  45982  stoweidlem44  46000  stirlinglem11  46040  fourierdlem10  46073  fourierdlem11  46074  fourierdlem15  46078  fourierdlem30  46093  fourierdlem42  46105  fourierdlem68  46130  fourierdlem79  46141  fourierdlem92  46154  sge0xaddlem1  46389  carageniuncllem2  46478  hoidmv1lelem1  46547  ovolval5lem1  46608  smfmullem1  46747