Theorem leadd1dd 11930

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11910	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11199   + caddc 11203   ≤ cle 11344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349

This theorem is used by:  lesub3d  11934  le2addd  11935  supaddc  12284  eluzadd  12994  rpnnen1lem5  13109  xleadd1a  13383  fzoaddel  13852  fladdz  13965  ltdifltdiv  13974  bernneq3  14375  caucvgrlem  15840  eirrlem  16372  vdwlem3  17161  vdwlem9  17167  vdwlem10  17168  2expltfac  17270  psrbagleadd1  22236  pcoass  25345  trirn  25721  minveclem2  25747  ovolfiniun  25822  ovolshftlem1  25830  unmbl  25858  uniioombllem5  25908  opnmbllem  25922  vitalilem2  25930  itg2split  26070  dvfsumlem2  26347  dvfsumlem4  26349  dvfsum2  26354  fta1glem2  26487  coemullem  26569  fta1lem  26628  leibpi  27270  log2tlbnd  27273  jensenlem2  27315  harmonicubnd  27337  harmonicbnd4  27338  lgamgulmlem5  27360  lgambdd  27364  ppiub  27531  bposlem5  27615  mulog2sumlem2  27862  selberg2lem  27877  chpdifbndlem1  27880  pntrlog2bndlem2  27905  pntpbnd2  27914  pntibndlem2  27918  pntlemg  27925  pntlemk  27933  pntlemo  27934  qabvle  27952  ostth2lem3  27962  minvecolem2  31477  nndiffz1  33378  wrdt2ind  33516  cycpmco2lem6  33692  reofld  33904  cos9thpiminplylem1  34414  dya2icoseg  34909  resconn  36011  poimirlem15  38554  opnmbllem0  38575  itg2addnclem3  38592  bfplem2  38758  lcmineqlem19  43098  aks4d1p1p4  43122  aks4d1p1p7  43125  posbezout  43151  sticksstones12  43209  bcle2d  43230  pellexlem2  43837  rmygeid  43971  jm3.1lem2  44025  fzisoeu  46316  absnpncan2d  46318  absnpncan3d  46323  iccshift  46530  fsumnncl  46584  climsuselem1  46619  sumnnodd  46642  climleltrp  46686  dvbdfbdioolem2  46939  ioodvbdlimc1lem1  46941  ioodvbdlimc1lem2  46942  ioodvbdlimc2lem  46944  dvnmul  46953  iblspltprt  46983  itgspltprt  46989  itgiccshift  46990  itgperiod  46991  stoweidlem1  47011  stoweidlem11  47021  stoweidlem14  47024  stoweidlem26  47036  stoweidlem44  47054  stirlinglem11  47094  fourierdlem10  47127  fourierdlem11  47128  fourierdlem15  47132  fourierdlem30  47147  fourierdlem42  47159  fourierdlem68  47184  fourierdlem79  47195  fourierdlem92  47208  sge0xaddlem1  47443  carageniuncllem2  47532  hoidmv1lelem1  47601  ovolval5lem1  47662  smfmullem1  47801