Theorem leadd1dd 11731

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11711	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℝcr 11005   + caddc 11009   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152

This theorem is referenced by:  lesub3d  11735  le2addd  11736  supaddc  12089  eluzadd  12761  rpnnen1lem5  12879  xleadd1a  13152  fzoaddel  13617  fladdz  13729  ltdifltdiv  13738  bernneq3  14138  caucvgrlem  15580  eirrlem  16113  vdwlem3  16895  vdwlem9  16901  vdwlem10  16902  2expltfac  17004  psrbagleadd1  21865  pcoass  24951  trirn  25327  minveclem2  25353  ovolfiniun  25429  ovolshftlem1  25437  unmbl  25465  uniioombllem5  25515  opnmbllem  25529  vitalilem2  25537  itg2split  25677  dvfsumlem2  25960  dvfsumlem2OLD  25961  dvfsumlem4  25963  dvfsum2  25968  fta1glem2  26101  coemullem  26182  fta1lem  26242  leibpi  26879  log2tlbnd  26882  jensenlem2  26925  harmonicubnd  26947  harmonicbnd4  26948  lgamgulmlem5  26970  lgambdd  26974  ppiub  27142  bposlem5  27226  mulog2sumlem2  27473  selberg2lem  27488  chpdifbndlem1  27491  pntrlog2bndlem2  27516  pntpbnd2  27525  pntibndlem2  27529  pntlemg  27536  pntlemk  27544  pntlemo  27545  qabvle  27563  ostth2lem3  27573  minvecolem2  30855  nndiffz1  32769  wrdt2ind  32934  cycpmco2lem6  33100  reofld  33308  cos9thpiminplylem1  33795  dya2icoseg  34290  resconn  35290  poimirlem15  37674  opnmbllem0  37695  itg2addnclem3  37712  bfplem2  37862  lcmineqlem19  42139  aks4d1p1p4  42163  aks4d1p1p7  42166  posbezout  42192  sticksstones12  42250  bcle2d  42271  pellexlem2  42922  rmygeid  43056  jm3.1lem2  43110  fzisoeu  45400  absnpncan2d  45402  absnpncan3d  45407  iccshift  45617  fsumnncl  45671  climsuselem1  45706  sumnnodd  45729  climleltrp  45773  dvbdfbdioolem2  46026  ioodvbdlimc1lem1  46028  ioodvbdlimc1lem2  46029  ioodvbdlimc2lem  46031  dvnmul  46040  iblspltprt  46070  itgspltprt  46076  itgiccshift  46077  itgperiod  46078  stoweidlem1  46098  stoweidlem11  46108  stoweidlem14  46111  stoweidlem26  46123  stoweidlem44  46141  stirlinglem11  46181  fourierdlem10  46214  fourierdlem11  46215  fourierdlem15  46219  fourierdlem30  46234  fourierdlem42  46246  fourierdlem68  46271  fourierdlem79  46282  fourierdlem92  46295  sge0xaddlem1  46530  carageniuncllem2  46619  hoidmv1lelem1  46688  ovolval5lem1  46749  smfmullem1  46888