Theorem leadd1dd 11828

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11808	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  (class class class)co 7411  ℝcr 11099   + caddc 11103   ≤ cle 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249

This theorem is referenced by:  lesub3d  11832  le2addd  11833  supaddc  12182  eluzadd  12891  rpnnen1lem5  13005  xleadd1a  13279  fzoaddel  13746  fladdz  13858  ltdifltdiv  13867  bernneq3  14267  caucvgrlem  15724  eirrlem  16260  vdwlem3  17043  vdwlem9  17049  vdwlem10  17050  2expltfac  17152  psrbagleadd1  22047  pcoass  25152  trirn  25528  minveclem2  25554  ovolfiniun  25629  ovolshftlem1  25637  unmbl  25665  uniioombllem5  25715  opnmbllem  25729  vitalilem2  25737  itg2split  25877  dvfsumlem2  26155  dvfsumlem4  26157  dvfsum2  26162  fta1glem2  26295  coemullem  26376  fta1lem  26437  leibpi  27073  log2tlbnd  27076  jensenlem2  27118  harmonicubnd  27140  harmonicbnd4  27141  lgamgulmlem5  27163  lgambdd  27167  ppiub  27334  bposlem5  27418  mulog2sumlem2  27665  selberg2lem  27680  chpdifbndlem1  27683  pntrlog2bndlem2  27708  pntpbnd2  27717  pntibndlem2  27721  pntlemg  27728  pntlemk  27736  pntlemo  27737  qabvle  27755  ostth2lem3  27765  minvecolem2  31168  nndiffz1  33072  wrdt2ind  33214  cycpmco2lem6  33392  reofld  33606  cos9thpiminplylem1  34117  dya2icoseg  34612  resconn  35671  poimirlem15  38209  opnmbllem0  38230  itg2addnclem3  38247  bfplem2  38397  lcmineqlem19  42739  aks4d1p1p4  42763  aks4d1p1p7  42766  posbezout  42792  sticksstones12  42850  bcle2d  42871  pellexlem2  43484  rmygeid  43618  jm3.1lem2  43672  fzisoeu  45946  absnpncan2d  45948  absnpncan3d  45953  iccshift  46161  fsumnncl  46215  climsuselem1  46250  sumnnodd  46273  climleltrp  46317  dvbdfbdioolem2  46570  ioodvbdlimc1lem1  46572  ioodvbdlimc1lem2  46573  ioodvbdlimc2lem  46575  dvnmul  46584  iblspltprt  46614  itgspltprt  46620  itgiccshift  46621  itgperiod  46622  stoweidlem1  46642  stoweidlem11  46652  stoweidlem14  46655  stoweidlem26  46667  stoweidlem44  46685  stirlinglem11  46725  fourierdlem10  46758  fourierdlem11  46759  fourierdlem15  46763  fourierdlem30  46778  fourierdlem42  46790  fourierdlem68  46815  fourierdlem79  46826  fourierdlem92  46839  sge0xaddlem1  47074  carageniuncllem2  47163  hoidmv1lelem1  47232  ovolval5lem1  47293  smfmullem1  47432