Theorem leadd1dd 11832

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   + caddc 11115   ≤ cle 11253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258

This theorem is referenced by:  lesub3d  11836  supaddc  12185  eluzadd  12855  rpnnen1lem5  12969  xleadd1a  13236  fzoaddel  13689  fladdz  13794  ltdifltdiv  13803  bernneq3  14198  caucvgrlem  15623  eirrlem  16151  vdwlem3  16920  vdwlem9  16926  vdwlem10  16927  2expltfac  17030  pcoass  24771  trirn  25148  minveclem2  25174  ovolfiniun  25250  ovolshftlem1  25258  unmbl  25286  uniioombllem5  25336  opnmbllem  25350  vitalilem2  25358  itg2split  25499  dvfsumlem2  25779  dvfsumlem4  25781  dvfsum2  25786  fta1glem2  25919  coemullem  25999  fta1lem  26056  leibpi  26683  log2tlbnd  26686  jensenlem2  26728  harmonicubnd  26750  harmonicbnd4  26751  lgamgulmlem5  26773  lgambdd  26777  ppiub  26943  bposlem5  27027  mulog2sumlem2  27274  selberg2lem  27289  chpdifbndlem1  27292  pntrlog2bndlem2  27317  pntpbnd2  27326  pntibndlem2  27330  pntlemg  27337  pntlemk  27345  pntlemo  27346  qabvle  27364  ostth2lem3  27374  minvecolem2  30395  nndiffz1  32264  wrdt2ind  32384  cycpmco2lem6  32560  reofld  32729  dya2icoseg  33574  resconn  34535  gg-dvfsumlem2  35469  poimirlem15  36806  opnmbllem0  36827  itg2addnclem3  36844  bfplem2  36994  lcmineqlem19  41218  aks4d1p1p4  41242  aks4d1p1p7  41245  sticksstones12  41280  metakunt2  41292  pellexlem2  41870  rmygeid  42005  jm3.1lem2  42059  fzisoeu  44308  absnpncan2d  44310  absnpncan3d  44315  leadd12dd  44324  iccshift  44529  fsumnncl  44586  climsuselem1  44621  sumnnodd  44644  climleltrp  44690  dvbdfbdioolem2  44943  ioodvbdlimc1lem1  44945  ioodvbdlimc1lem2  44946  ioodvbdlimc2lem  44948  dvnmul  44957  iblspltprt  44987  itgspltprt  44993  itgiccshift  44994  itgperiod  44995  stoweidlem1  45015  stoweidlem11  45025  stoweidlem14  45028  stoweidlem26  45040  stoweidlem44  45058  stirlinglem11  45098  fourierdlem10  45131  fourierdlem11  45132  fourierdlem15  45136  fourierdlem30  45151  fourierdlem42  45163  fourierdlem68  45188  fourierdlem79  45199  fourierdlem92  45212  sge0xaddlem1  45447  carageniuncllem2  45536  hoidmv1lelem1  45605  ovolval5lem1  45666  smfmullem1  45805