Theorem leadd1dd 11778

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11758	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  ℝcr 11059   + caddc 11063   ≤ cle 11199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204

This theorem is referenced by:  lesub3d  11782  supaddc  12131  eluzadd  12801  rpnnen1lem5  12915  xleadd1a  13182  fzoaddel  13635  fladdz  13740  ltdifltdiv  13749  bernneq3  14144  caucvgrlem  15569  eirrlem  16097  vdwlem3  16866  vdwlem9  16872  vdwlem10  16873  2expltfac  16976  pcoass  24424  trirn  24801  minveclem2  24827  ovolfiniun  24902  ovolshftlem1  24910  unmbl  24938  uniioombllem5  24988  opnmbllem  25002  vitalilem2  25010  itg2split  25151  dvfsumlem2  25428  dvfsumlem4  25430  dvfsum2  25435  fta1glem2  25568  coemullem  25648  fta1lem  25704  leibpi  26329  log2tlbnd  26332  jensenlem2  26374  harmonicubnd  26396  harmonicbnd4  26397  lgamgulmlem5  26419  lgambdd  26423  ppiub  26589  bposlem5  26673  mulog2sumlem2  26920  selberg2lem  26935  chpdifbndlem1  26938  pntrlog2bndlem2  26963  pntpbnd2  26972  pntibndlem2  26976  pntlemg  26983  pntlemk  26991  pntlemo  26992  qabvle  27010  ostth2lem3  27020  minvecolem2  29880  nndiffz1  31757  wrdt2ind  31877  cycpmco2lem6  32050  reofld  32207  dya2icoseg  32966  resconn  33927  poimirlem15  36166  opnmbllem0  36187  itg2addnclem3  36204  bfplem2  36355  lcmineqlem19  40577  aks4d1p1p4  40601  aks4d1p1p7  40604  sticksstones12  40639  metakunt2  40651  pellexlem2  41211  rmygeid  41346  jm3.1lem2  41400  fzisoeu  43655  absnpncan2d  43657  absnpncan3d  43662  leadd12dd  43671  iccshift  43876  fsumnncl  43933  climsuselem1  43968  sumnnodd  43991  climleltrp  44037  dvbdfbdioolem2  44290  ioodvbdlimc1lem1  44292  ioodvbdlimc1lem2  44293  ioodvbdlimc2lem  44295  dvnmul  44304  iblspltprt  44334  itgspltprt  44340  itgiccshift  44341  itgperiod  44342  stoweidlem1  44362  stoweidlem11  44372  stoweidlem14  44375  stoweidlem26  44387  stoweidlem44  44405  stirlinglem11  44445  fourierdlem10  44478  fourierdlem11  44479  fourierdlem15  44483  fourierdlem30  44498  fourierdlem42  44510  fourierdlem68  44535  fourierdlem79  44546  fourierdlem92  44559  sge0xaddlem1  44794  carageniuncllem2  44883  hoidmv1lelem1  44952  ovolval5lem1  45013  smfmullem1  45152