Theorem leadd1dd 11878

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11858	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155   + caddc 11159   ≤ cle 11297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302

This theorem is referenced by:  lesub3d  11882  supaddc  12236  eluzadd  12908  rpnnen1lem5  13024  xleadd1a  13296  fzoaddel  13757  fladdz  13866  ltdifltdiv  13875  bernneq3  14271  caucvgrlem  15710  eirrlem  16241  vdwlem3  17022  vdwlem9  17028  vdwlem10  17029  2expltfac  17131  psrbagleadd1  21949  pcoass  25058  trirn  25435  minveclem2  25461  ovolfiniun  25537  ovolshftlem1  25545  unmbl  25573  uniioombllem5  25623  opnmbllem  25637  vitalilem2  25645  itg2split  25785  dvfsumlem2  26068  dvfsumlem2OLD  26069  dvfsumlem4  26071  dvfsum2  26076  fta1glem2  26209  coemullem  26290  fta1lem  26350  leibpi  26986  log2tlbnd  26989  jensenlem2  27032  harmonicubnd  27054  harmonicbnd4  27055  lgamgulmlem5  27077  lgambdd  27081  ppiub  27249  bposlem5  27333  mulog2sumlem2  27580  selberg2lem  27595  chpdifbndlem1  27598  pntrlog2bndlem2  27623  pntpbnd2  27632  pntibndlem2  27636  pntlemg  27643  pntlemk  27651  pntlemo  27652  qabvle  27670  ostth2lem3  27680  minvecolem2  30895  nndiffz1  32789  wrdt2ind  32939  cycpmco2lem6  33152  reofld  33373  dya2icoseg  34280  resconn  35252  poimirlem15  37643  opnmbllem0  37664  itg2addnclem3  37681  bfplem2  37831  lcmineqlem19  42049  aks4d1p1p4  42073  aks4d1p1p7  42076  posbezout  42102  sticksstones12  42160  bcle2d  42181  metakunt2  42208  pellexlem2  42846  rmygeid  42981  jm3.1lem2  43035  fzisoeu  45317  absnpncan2d  45319  absnpncan3d  45324  leadd12dd  45333  iccshift  45536  fsumnncl  45592  climsuselem1  45627  sumnnodd  45650  climleltrp  45696  dvbdfbdioolem2  45949  ioodvbdlimc1lem1  45951  ioodvbdlimc1lem2  45952  ioodvbdlimc2lem  45954  dvnmul  45963  iblspltprt  45993  itgspltprt  45999  itgiccshift  46000  itgperiod  46001  stoweidlem1  46021  stoweidlem11  46031  stoweidlem14  46034  stoweidlem26  46046  stoweidlem44  46064  stirlinglem11  46104  fourierdlem10  46137  fourierdlem11  46138  fourierdlem15  46142  fourierdlem30  46157  fourierdlem42  46169  fourierdlem68  46194  fourierdlem79  46205  fourierdlem92  46218  sge0xaddlem1  46453  carageniuncllem2  46542  hoidmv1lelem1  46611  ovolval5lem1  46672  smfmullem1  46811