Theorem leadd1dd 11734

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11714	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008   + caddc 11012   ≤ cle 11150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155

This theorem is referenced by:  lesub3d  11738  le2addd  11739  supaddc  12092  eluzadd  12764  rpnnen1lem5  12882  xleadd1a  13155  fzoaddel  13620  fladdz  13729  ltdifltdiv  13738  bernneq3  14138  caucvgrlem  15580  eirrlem  16113  vdwlem3  16895  vdwlem9  16901  vdwlem10  16902  2expltfac  17004  psrbagleadd1  21835  pcoass  24922  trirn  25298  minveclem2  25324  ovolfiniun  25400  ovolshftlem1  25408  unmbl  25436  uniioombllem5  25486  opnmbllem  25500  vitalilem2  25508  itg2split  25648  dvfsumlem2  25931  dvfsumlem2OLD  25932  dvfsumlem4  25934  dvfsum2  25939  fta1glem2  26072  coemullem  26153  fta1lem  26213  leibpi  26850  log2tlbnd  26853  jensenlem2  26896  harmonicubnd  26918  harmonicbnd4  26919  lgamgulmlem5  26941  lgambdd  26945  ppiub  27113  bposlem5  27197  mulog2sumlem2  27444  selberg2lem  27459  chpdifbndlem1  27462  pntrlog2bndlem2  27487  pntpbnd2  27496  pntibndlem2  27500  pntlemg  27507  pntlemk  27515  pntlemo  27516  qabvle  27534  ostth2lem3  27544  minvecolem2  30819  nndiffz1  32730  wrdt2ind  32896  cycpmco2lem6  33074  reofld  33282  cos9thpiminplylem1  33755  dya2icoseg  34251  resconn  35229  poimirlem15  37625  opnmbllem0  37646  itg2addnclem3  37663  bfplem2  37813  lcmineqlem19  42030  aks4d1p1p4  42054  aks4d1p1p7  42057  posbezout  42083  sticksstones12  42141  bcle2d  42162  pellexlem2  42813  rmygeid  42947  jm3.1lem2  43001  fzisoeu  45292  absnpncan2d  45294  absnpncan3d  45299  iccshift  45509  fsumnncl  45563  climsuselem1  45598  sumnnodd  45621  climleltrp  45667  dvbdfbdioolem2  45920  ioodvbdlimc1lem1  45922  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  dvnmul  45934  iblspltprt  45964  itgspltprt  45970  itgiccshift  45971  itgperiod  45972  stoweidlem1  45992  stoweidlem11  46002  stoweidlem14  46005  stoweidlem26  46017  stoweidlem44  46035  stirlinglem11  46075  fourierdlem10  46108  fourierdlem11  46109  fourierdlem15  46113  fourierdlem30  46128  fourierdlem42  46140  fourierdlem68  46165  fourierdlem79  46176  fourierdlem92  46189  sge0xaddlem1  46424  carageniuncllem2  46513  hoidmv1lelem1  46582  ovolval5lem1  46643  smfmullem1  46782