Theorem leadd1dd 11759

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11739	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7362  ℝcr 11032   + caddc 11036   ≤ cle 11175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180

This theorem is referenced by:  lesub3d  11763  le2addd  11764  supaddc  12118  eluzadd  12812  rpnnen1lem5  12926  xleadd1a  13200  fzoaddel  13667  fladdz  13779  ltdifltdiv  13788  bernneq3  14188  caucvgrlem  15630  eirrlem  16166  vdwlem3  16949  vdwlem9  16955  vdwlem10  16956  2expltfac  17058  psrbagleadd1  21922  pcoass  25005  trirn  25381  minveclem2  25407  ovolfiniun  25482  ovolshftlem1  25490  unmbl  25518  uniioombllem5  25568  opnmbllem  25582  vitalilem2  25590  itg2split  25730  dvfsumlem2  26008  dvfsumlem4  26010  dvfsum2  26015  fta1glem2  26148  coemullem  26229  fta1lem  26288  leibpi  26923  log2tlbnd  26926  jensenlem2  26969  harmonicubnd  26991  harmonicbnd4  26992  lgamgulmlem5  27014  lgambdd  27018  ppiub  27185  bposlem5  27269  mulog2sumlem2  27516  selberg2lem  27531  chpdifbndlem1  27534  pntrlog2bndlem2  27559  pntpbnd2  27568  pntibndlem2  27572  pntlemg  27579  pntlemk  27587  pntlemo  27588  qabvle  27606  ostth2lem3  27616  minvecolem2  30965  nndiffz1  32878  wrdt2ind  33032  cycpmco2lem6  33211  reofld  33422  cos9thpiminplylem1  33946  dya2icoseg  34441  resconn  35448  poimirlem15  37974  opnmbllem0  37995  itg2addnclem3  38012  bfplem2  38162  lcmineqlem19  42504  aks4d1p1p4  42528  aks4d1p1p7  42531  posbezout  42557  sticksstones12  42615  bcle2d  42636  pellexlem2  43280  rmygeid  43414  jm3.1lem2  43468  fzisoeu  45755  absnpncan2d  45757  absnpncan3d  45762  iccshift  45970  fsumnncl  46024  climsuselem1  46059  sumnnodd  46082  climleltrp  46126  dvbdfbdioolem2  46379  ioodvbdlimc1lem1  46381  ioodvbdlimc1lem2  46382  ioodvbdlimc2lem  46384  dvnmul  46393  iblspltprt  46423  itgspltprt  46429  itgiccshift  46430  itgperiod  46431  stoweidlem1  46451  stoweidlem11  46461  stoweidlem14  46464  stoweidlem26  46476  stoweidlem44  46494  stirlinglem11  46534  fourierdlem10  46567  fourierdlem11  46568  fourierdlem15  46572  fourierdlem30  46587  fourierdlem42  46599  fourierdlem68  46624  fourierdlem79  46635  fourierdlem92  46648  sge0xaddlem1  46883  carageniuncllem2  46972  hoidmv1lelem1  47041  ovolval5lem1  47102  smfmullem1  47241