Theorem leadd1dd 11833

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  ℝcr 11112   + caddc 11116   ≤ cle 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259

This theorem is referenced by:  lesub3d  11837  supaddc  12186  eluzadd  12856  rpnnen1lem5  12970  xleadd1a  13237  fzoaddel  13690  fladdz  13795  ltdifltdiv  13804  bernneq3  14199  caucvgrlem  15624  eirrlem  16152  vdwlem3  16921  vdwlem9  16927  vdwlem10  16928  2expltfac  17031  pcoass  24772  trirn  25149  minveclem2  25175  ovolfiniun  25251  ovolshftlem1  25259  unmbl  25287  uniioombllem5  25337  opnmbllem  25351  vitalilem2  25359  itg2split  25500  dvfsumlem2  25777  dvfsumlem4  25779  dvfsum2  25784  fta1glem2  25917  coemullem  25997  fta1lem  26053  leibpi  26680  log2tlbnd  26683  jensenlem2  26725  harmonicubnd  26747  harmonicbnd4  26748  lgamgulmlem5  26770  lgambdd  26774  ppiub  26940  bposlem5  27024  mulog2sumlem2  27271  selberg2lem  27286  chpdifbndlem1  27289  pntrlog2bndlem2  27314  pntpbnd2  27323  pntibndlem2  27327  pntlemg  27334  pntlemk  27342  pntlemo  27343  qabvle  27361  ostth2lem3  27371  minvecolem2  30392  nndiffz1  32261  wrdt2ind  32381  cycpmco2lem6  32557  reofld  32726  dya2icoseg  33571  resconn  34532  gg-dvfsumlem2  35470  poimirlem15  36807  opnmbllem0  36828  itg2addnclem3  36845  bfplem2  36995  lcmineqlem19  41219  aks4d1p1p4  41243  aks4d1p1p7  41246  sticksstones12  41281  metakunt2  41293  pellexlem2  41871  rmygeid  42006  jm3.1lem2  42060  fzisoeu  44310  absnpncan2d  44312  absnpncan3d  44317  leadd12dd  44326  iccshift  44531  fsumnncl  44588  climsuselem1  44623  sumnnodd  44646  climleltrp  44692  dvbdfbdioolem2  44945  ioodvbdlimc1lem1  44947  ioodvbdlimc1lem2  44948  ioodvbdlimc2lem  44950  dvnmul  44959  iblspltprt  44989  itgspltprt  44995  itgiccshift  44996  itgperiod  44997  stoweidlem1  45017  stoweidlem11  45027  stoweidlem14  45030  stoweidlem26  45042  stoweidlem44  45060  stirlinglem11  45100  fourierdlem10  45133  fourierdlem11  45134  fourierdlem15  45138  fourierdlem30  45153  fourierdlem42  45165  fourierdlem68  45190  fourierdlem79  45201  fourierdlem92  45214  sge0xaddlem1  45449  carageniuncllem2  45538  hoidmv1lelem1  45607  ovolval5lem1  45668  smfmullem1  45807