Theorem lhpmatb 39634

Description: An element covered by the lattice unity, when conjoined with an atom, equals zero iff the atom is not under it. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpmat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmatb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ))

Proof of Theorem lhpmatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpmat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		lhpmat.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		lhpmat.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		lhpmat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		lhpmat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	lhpmat 39633	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 )
7	6	anassrs 466	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) → (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 )
8		hlatl 38962	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
9	8	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ) → 𝐾 ∈ AtLat)
10		simplr 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ) → 𝑃 ∈ 𝐴)
11	3, 4	atn0 38910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 0 )
12	11	necomd 2985	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ≠ 𝑃)
13	9, 10, 12	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ) → 0 ≠ 𝑃)
14		neeq1 2992	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∧ 𝑊) = 0 → ((𝑃 ∧ 𝑊) ≠ 𝑃 ↔ 0 ≠ 𝑃))
15	14	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ) → ((𝑃 ∧ 𝑊) ≠ 𝑃 ↔ 0 ≠ 𝑃))
16	13, 15	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ) → (𝑃 ∧ 𝑊) ≠ 𝑃)
17		hllat 38965	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
18	17	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ) → 𝐾 ∈ Lat)
19		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 4	atbase 38891	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
21	10, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
22	19, 5	lhpbase 39601	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
23	22	ad3antlr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
24	19, 1, 2	latleeqm1 18462	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝑃 ∧ 𝑊) = 𝑃))
25	18, 21, 23, 24	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝑃 ∧ 𝑊) = 𝑃))
26	25	necon3bbid 2967	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝑃 ∧ 𝑊) ≠ 𝑃))
27	16, 26	mpbird 256	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
28	7, 27	impbida 799	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  meetcmee 18307  0.cp0 18418  Latclat 18426  Atomscatm 38865  AtLatcal 38866  HLchlt 38952  LHypclh 39587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-lat 18427  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-lhyp 39591

This theorem is referenced by:  cdlemh  40420