Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmatb 40287
Description: An element covered by the lattice unity, when conjoined with an atom, equals zero iff the atom is not under it. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmat.l = (le‘𝐾)
lhpmat.m = (meet‘𝐾)
lhpmat.z 0 = (0.‘𝐾)
lhpmat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 0 ))

Proof of Theorem lhpmatb
StepHypRef Expression
1 lhpmat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 lhpmat.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
3 lhpmat.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
4 lhpmat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 lhpmat.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5lhpmat 40286 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = 0 )
76anassrs 467 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → (𝑃 𝑊) = 0 )
8 hlatl 39616 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
98ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝐾 ∈ AtLat)
10 simplr 768 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝑃𝐴)
113, 4atn0 39564 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃0 )
1211necomd 2987 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 0𝑃)
139, 10, 12syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 0𝑃)
14 neeq1 2994 . . . . 5 ((𝑃 𝑊) = 0 → ((𝑃 𝑊) ≠ 𝑃0𝑃))
1514adantl 481 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → ((𝑃 𝑊) ≠ 𝑃0𝑃))
1613, 15mpbird 257 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → (𝑃 𝑊) ≠ 𝑃)
17 hllat 39619 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1817ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝐾 ∈ Lat)
19 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 4atbase 39545 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2110, 20syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2219, 5lhpbase 40254 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2322ad3antlr 731 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2419, 1, 2latleeqm1 18390 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 𝑃))
2518, 21, 23, 24syl3anc 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → (𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 𝑃))
2625necon3bbid 2969 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) ≠ 𝑃))
2716, 26mpbird 257 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → ¬ 𝑃 𝑊)
287, 27impbida 800 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1541  wcel 2113  wne 2932   class class class wbr 5098  cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  meetcmee 18235  0.cp0 18344  Latclat 18354  Atomscatm 39519  AtLatcal 39520  HLchlt 39606  LHypclh 40240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-lat 18355  df-covers 39522  df-ats 39523  df-atl 39554  df-cvlat 39578  df-hlat 39607  df-lhyp 40244
This theorem is referenced by:  cdlemh  41073
  Copyright terms: Public domain W3C validator