Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmatb 37171
Description: An element covered by the lattice unit, when conjoined with an atom, equals zero iff the atom is not under it. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmat.l = (le‘𝐾)
lhpmat.m = (meet‘𝐾)
lhpmat.z 0 = (0.‘𝐾)
lhpmat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 0 ))

Proof of Theorem lhpmatb
StepHypRef Expression
1 lhpmat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 lhpmat.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
3 lhpmat.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
4 lhpmat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 lhpmat.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5lhpmat 37170 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = 0 )
76anassrs 470 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → (𝑃 𝑊) = 0 )
8 hlatl 36500 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
98ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝐾 ∈ AtLat)
10 simplr 767 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝑃𝐴)
113, 4atn0 36448 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃0 )
1211necomd 3074 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 0𝑃)
139, 10, 12syl2anc 586 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 0𝑃)
14 neeq1 3081 . . . . 5 ((𝑃 𝑊) = 0 → ((𝑃 𝑊) ≠ 𝑃0𝑃))
1514adantl 484 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → ((𝑃 𝑊) ≠ 𝑃0𝑃))
1613, 15mpbird 259 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → (𝑃 𝑊) ≠ 𝑃)
17 hllat 36503 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1817ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝐾 ∈ Lat)
19 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 4atbase 36429 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2110, 20syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2219, 5lhpbase 37138 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2322ad3antlr 729 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2419, 1, 2latleeqm1 17692 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 𝑃))
2518, 21, 23, 24syl3anc 1367 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → (𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 𝑃))
2625necon3bbid 3056 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) ≠ 𝑃))
2716, 26mpbird 259 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → ¬ 𝑃 𝑊)
287, 27impbida 799 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019   class class class wbr 5069  cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  lecple 16575  meetcmee 17558  0.cp0 17650  Latclat 17658  Atomscatm 36403  AtLatcal 36404  HLchlt 36490  LHypclh 37124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-lat 17659  df-covers 36406  df-ats 36407  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491  df-lhyp 37128
This theorem is referenced by:  cdlemh  37957
  Copyright terms: Public domain W3C validator