Theorem lo1bddrp 15718

Description: Refine o1bdd2 15734 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
lo1bdd2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lo1bdd2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
lo1bdd2.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1bdd2.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
lo1bdd2.6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lo1bddrp	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem lo1bddrp

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		lo1bdd2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		lo1bdd2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		lo1bdd2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
5		lo1bdd2.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
6		lo1bdd2.6	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵 ≤ 𝑀)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lo1bdd2 15717	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛)
8		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11361	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℂ)
10	9	abscld 15632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
11	9	absge0d 15640	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑛))
12	10, 11	ge0p1rpd 13218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
13		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
15		peano2re 11507	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑛) ∈ ℝ → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
17	13	leabsd 15608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ (abs‘𝑛))
18	14	lep1d 12272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑛) ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
19	13, 14, 16, 17, 18	letrd 11491	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
20	3	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		letr 11428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
22	20, 13, 16, 21	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
23	19, 22	mpan2d 707	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑛 → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
24	23	ralimdva 3178	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
25		brralrspcev 5168	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚)
26	12, 24, 25	syl6an 697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚))
27	26	rexlimdva 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚))
28	7, 27	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  1c1 11225   + caddc 11227   < clt 11367   ≤ cle 11368  ℝ⁺crp 13144  abscabs 15427  ≤𝑂(1)clo1 15680

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-ico 13506  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-lo1 15684

This theorem is used by:  o1bddrp  15735  chpo1ubb  27835  pntrlog2bnd  27938