Theorem lo1bddrp 15473

Description: Refine o1bdd2 15489 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
lo1bdd2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lo1bdd2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
lo1bdd2.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1bdd2.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
lo1bdd2.6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lo1bddrp	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem lo1bddrp

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		lo1bdd2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		lo1bdd2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		lo1bdd2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
5		lo1bdd2.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
6		lo1bdd2.6	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵 ≤ 𝑀)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lo1bdd2 15472	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛)
8		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℂ)
10	9	abscld 15387	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
11	9	absge0d 15395	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑛))
12	10, 11	ge0p1rpd 13050	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
13		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
15		peano2re 11391	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑛) ∈ ℝ → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
17	13	leabsd 15365	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ (abs‘𝑛))
18	14	lep1d 12149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑛) ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
19	13, 14, 16, 17, 18	letrd 11375	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
20	3	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		letr 11312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
22	20, 13, 16, 21	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
23	19, 22	mpan2d 692	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑛 → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
24	23	ralimdva 3167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
25		brralrspcev 5208	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚)
26	12, 24, 25	syl6an 682	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚))
27	26	rexlimdva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚))
28	7, 27	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℝ⁺crp 12978  abscabs 15185  ≤𝑂(1)clo1 15435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-lo1 15439

This theorem is referenced by:  o1bddrp  15490  chpo1ubb  27208  pntrlog2bnd  27311