Theorem lo1bddrp 15482

Description: Refine o1bdd2 15498 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
lo1bdd2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lo1bdd2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
lo1bdd2.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1bdd2.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
lo1bdd2.6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lo1bddrp	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem lo1bddrp

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		lo1bdd2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		lo1bdd2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		lo1bdd2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
5		lo1bdd2.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
6		lo1bdd2.6	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵 ≤ 𝑀)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lo1bdd2 15481	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛)
8		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℂ)
10	9	abscld 15396	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
11	9	absge0d 15404	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑛))
12	10, 11	ge0p1rpd 13011	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
13		simplr 775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	10	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
15		peano2re 11315	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑛) ∈ ℝ → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
17	13	leabsd 15372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ (abs‘𝑛))
18	14	lep1d 12082	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑛) ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
19	13, 14, 16, 17, 18	letrd 11299	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
20	3	adantlr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		letr 11236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
22	20, 13, 16, 21	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
23	19, 22	mpan2d 701	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑛 → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
24	23	ralimdva 3153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
25		brralrspcev 5134	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚)
26	12, 24, 25	syl6an 691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚))
27	26	rexlimdva 3142	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚))
28	7, 27	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℝcr 11033  1c1 11035   + caddc 11037   < clt 11175   ≤ cle 11176  ℝ⁺crp 12937  abscabs 15191  ≤𝑂(1)clo1 15444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-lo1 15448

This theorem is referenced by:  o1bddrp  15499  chpo1ubb  27465  pntrlog2bnd  27568