Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1bddrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1bddrp 14894
 Description: Refine o1bdd2 14910 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
lo1bdd2.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lo1bdd2.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
lo1bdd2.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1bdd2.5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
lo1bdd2.6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵𝑀)
Assertion
Ref Expression
lo1bddrp (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem lo1bddrp
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 lo1bdd2.2 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 lo1bdd2.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 lo1bdd2.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
5 lo1bdd2.5 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
6 lo1bdd2.6 . . 3 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵𝑀)
71, 2, 3, 4, 5, 6lo1bdd2 14893 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑛)
8 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℝ)
98recnd 10676 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℂ)
109abscld 14808 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
119absge0d 14816 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑛))
1210, 11ge0p1rpd 12469 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
13 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
1410adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
15 peano2re 10820 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑛) ∈ ℝ → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
1713leabsd 14786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ (abs‘𝑛))
1814lep1d 11578 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝑛) ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
1913, 14, 16, 17, 18letrd 10804 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
203adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
21 letr 10741 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2220, 13, 16, 21syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2319, 22mpan2d 693 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑛𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2423ralimdva 3144 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑛 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
25 brralrspcev 5094 . . . 4 ((((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚)
2612, 24, 25syl6an 683 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚))
2726rexlimdva 3244 . 2 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚))
287, 27mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℝcr 10543  1c1 10545   + caddc 10547   < clt 10682   ≤ cle 10683  ℝ+crp 12397  abscabs 14605  ≤𝑂(1)clo1 14856 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-pm 8410  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-ico 12752  df-seq 13385  df-exp 13446  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-lo1 14860 This theorem is referenced by:  o1bddrp  14911  chpo1ubb  26109  pntrlog2bnd  26212
 Copyright terms: Public domain W3C validator