Theorem lo1bddrp 14882

Description: Refine o1bdd2 14898 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
lo1bdd2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lo1bdd2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
lo1bdd2.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1bdd2.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
lo1bdd2.6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lo1bddrp	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem lo1bddrp

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		lo1bdd2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		lo1bdd2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		lo1bdd2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
5		lo1bdd2.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
6		lo1bdd2.6	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵 ≤ 𝑀)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lo1bdd2 14881	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛)
8		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℝ)
9	8	recnd 10669	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℂ)
10	9	abscld 14796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
11	9	absge0d 14804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑛))
12	10, 11	ge0p1rpd 12462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
13		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	10	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
15		peano2re 10813	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑛) ∈ ℝ → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
17	13	leabsd 14774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ (abs‘𝑛))
18	14	lep1d 11571	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑛) ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
19	13, 14, 16, 17, 18	letrd 10797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
20	3	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		letr 10734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
22	20, 13, 16, 21	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
23	19, 22	mpan2d 692	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑛 → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
24	23	ralimdva 3177	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
25		brralrspcev 5126	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚)
26	12, 24, 25	syl6an 682	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚))
27	26	rexlimdva 3284	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚))
28	7, 27	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑚)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  1c1 10538   + caddc 10540   < clt 10675   ≤ cle 10676  ℝ⁺crp 12390  abscabs 14593  ≤𝑂(1)clo1 14844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-ico 12745  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-lo1 14848

This theorem is referenced by:  o1bddrp  14899  chpo1ubb  26057  pntrlog2bnd  26160