MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1bdd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1bdd2 15350
Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval 𝐴 ∩ (-∞, 𝑦) by a function 𝑀(𝑦), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1bdd2.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
o1bdd2.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
o1bdd2.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
o1bdd2.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
o1bdd2.5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
o1bdd2.6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
o1bdd2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem o1bdd2
StepHypRef Expression
1 o1bdd2.1 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 o1bdd2.2 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 o1bdd2.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
43abscld 15248 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5 o1bdd2.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
63lo1o12 15342 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
75, 6mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1))
8 o1bdd2.5 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
9 o1bdd2.6 . 2 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑀)
101, 2, 4, 7, 8, 9lo1bdd2 15333 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  wss 3898   class class class wbr 5093  cmpt 5176  cfv 6480  cc 10971  cr 10972   < clt 11111  cle 11112  abscabs 15045  𝑂(1)co1 15295  ≤𝑂(1)clo1 15296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-pm 8690  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-sup 9300  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-rp 12833  df-ico 13187  df-seq 13824  df-exp 13885  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-o1 15299  df-lo1 15300
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator