Theorem lruneq 28308

Description: If two surreals share a birthday, then the union of their left and right sets are equal. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lruneq	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ (bday‘𝑋) = (bday‘𝑌)) → ((L‘𝑋) ∪ (R‘𝑋)) = ((L‘𝑌) ∪ (R‘𝑌)))

Proof of Theorem lruneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6896	. . 3 ⊢ ((bday‘𝑋) = (bday‘𝑌) → (O‘(bday‘𝑋)) = (O‘(bday‘𝑌)))
2	1	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ (bday‘𝑋) = (bday‘𝑌)) → (O‘(bday‘𝑋)) = (O‘(bday‘𝑌)))
3		lrold 28298	. 2 ⊢ ((L‘𝑋) ∪ (R‘𝑋)) = (O‘(bday‘𝑋))
4		lrold 28298	. 2 ⊢ ((L‘𝑌) ∪ (R‘𝑌)) = (O‘(bday‘𝑌))
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2823	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ (bday‘𝑋) = (bday‘𝑌)) → ((L‘𝑋) ∪ (R‘𝑋)) = ((L‘𝑌) ∪ (R‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ∪ cun 4152  ‘cfv 6547  Nocsur 28012  bdaycbday 28014  Ocold 28224  Lcleft 28226  Rcright 28227

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-1o 8490  df-2o 8491  df-no 28015  df-lts 28016  df-bday 28017  df-slts 28159  df-cuts 28161  df-made 28228  df-old 28229  df-left 28231  df-right 28232

This theorem is used by:  ltslpss  28309  leslss  28310