Theorem lsubswap23d 42296

Description: Swap the second and third variables in an equation with subtraction on the left, converting it into an addition.

EDITORIAL: The label for this theorem is questionable. Do not move until it would have 7 uses: current additional uses: (none). (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsubswap23d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
lsubswap23d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
lsubswap23d.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lsubswap23d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem lsubswap23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsubswap23d.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		lsubswap23d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 𝐶)
3		lsubswap23d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3, 1	subcld 11599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 4	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6	3, 1, 2	lsubrotld 42294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)
7	6	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
8	1, 5, 7	mvrraddd 11654	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132   + caddc 11137   − cmin 11471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473

This theorem is referenced by: (None)