Theorem mvrraddd 11608

Description: Move the right term in a sum on the RHS to the LHS, deduction form. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrraddd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mvrraddd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mvrraddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mvrraddd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem mvrraddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrraddd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
2	1	oveq1d 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶))
3		mvrraddd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mvrraddd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	3, 4	pncand 11554	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐵)
6	2, 5	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7393  ℂcc 11090   + caddc 11095   − cmin 11426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-sub 11428

This theorem is referenced by:  mvrladdd  11609  binom1dif  15761  bpolydiflem  15980  fsumcube  15986  pcoass  24469  ftc1lem4  25485  aaliou3lem8  25787  asinsin  26324  harmonicbnd4  26442  wilthlem2  26500  ftalem1  26504  bcp1ctr  26709  2sqblem  26861  pntrlog2bndlem6  27013  cycpmco2lem3  32158  cycpmco2lem6  32161  cycpmco2  32163  iwrdsplit  33215  tgoldbachgtde  33501  ftc1cnnclem  36361  raddcom12d  40975  dffltz  41156  flt4lem5elem  41173  fmtnodvds  45982  itcovalt2lem1  47007