Theorem 2re 12286

Description: The number 2 is real. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
2re	⊢ 2 ∈ ℝ

Proof of Theorem 2re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12275	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
2		1re 11214	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	2, 2	readdcli 11229	. 2 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
4	1, 3	eqeltri 2830	1 ⊢ 2 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  2c2 12267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-2 12275

This theorem is referenced by:  2cnALT  12288  3re  12292  2ne0  12316  3pos  12317  2lt3  12384  1lt3  12385  2lt4  12387  1lt4  12388  2lt5  12391  2lt6  12396  1lt6  12397  2lt7  12402  1lt7  12403  2lt8  12409  1lt8  12410  2lt9  12417  1lt9  12418  1le2  12421  2rene0  12423  halfre  12426  halfgt0  12428  halflt1  12430  rehalfcl  12438  halfpos2  12441  halfnneg2  12443  addltmul  12448  nominpos  12449  avglt1  12450  avglt2  12451  div4p1lem1div2  12467  nn0lele2xi  12527  nn0n0n1ge2b  12540  nn0ge2m1nn  12541  nn0le2is012  12626  halfnz  12640  3halfnz  12641  2lt10  12815  1lt10  12816  eluz4eluz2  12869  uzuzle23  12873  uz3m2nn  12875  2rp  12979  xnn0n0n1ge2b  13111  fztpval  13563  fz0to4untppr  13604  fzo0to42pr  13719  flhalf  13795  fldiv4p1lem1div2  13800  2txmodxeq0  13896  expubnd  14142  expmulnbnd  14198  nn0opthlem2  14229  faclbnd2  14251  faclbnd4lem1  14253  faclbnd5  14258  4bc2eq6  14289  hashgt23el  14384  hashfun  14397  hashge2el2dif  14441  hashge2el2difr  14442  wrdlenge2n0  14502  f1oun2prg  14868  01sqrexlem7  15195  sqrt4  15219  sqrt2gt1lt2  15221  abstri  15277  sqreulem  15306  amgm2  15316  caucvgrlem  15619  climcndslem1  15795  climcndslem2  15796  climcnds  15797  efcllem  16021  ege2le3  16033  ef01bndlem  16127  cos01bnd  16129  cos2bnd  16131  cos01gt0  16134  sin02gt0  16135  sincos2sgn  16137  sin4lt0  16138  eirrlem  16147  egt2lt3  16149  epos  16150  ene1  16153  sqrt2re  16193  mod2eq1n2dvds  16290  oddge22np1  16292  evennn2n  16294  nn0o1gt2  16324  nno  16325  nn0o  16326  nnoddm1d2  16329  bitsp1o  16374  bitsfzolem  16375  bitsfzo  16376  bitsfi  16378  6gcd4e2  16480  2mulprm  16630  ge2nprmge4  16638  isprm7  16645  3lcm2e6  16668  prmreclem2  16850  prmreclem6  16854  4sqlem11  16888  4sqlem12  16889  prmgaplem7  16990  2expltfac  17026  plusgndxnmulrndx  17242  starvndxnplusgndx  17250  scandxnplusgndx  17262  vscandxnplusgndx  17267  ipndxnplusgndx  17278  tsetndxnplusgndx  17302  plendxnplusgndx  17316  dsndxnplusgndx  17335  slotsdifunifndx  17346  oppgtsetOLD  19219  efgredleme  19611  mgpscaOLD  19996  mgptsetOLD  19998  mgpdsOLD  20001  rmodislmodOLD  20541  cnfldfunALTOLD  20958  zringndrg  21038  chfacfscmul0  22360  chfacfpmmul0  22364  psmetge0  23818  xmetge0  23850  bl2in  23906  metnrmlem3  24377  iihalf1  24447  iihalf2  24449  pcoass  24540  tcphcphlem1  24752  csbren  24916  trirn  24917  minveclem2  24943  minveclem4  24949  pjthlem1  24954  ovolunlem1a  25013  dyadss  25111  opnmbllem  25118  vitalilem2  25126  vitalilem4  25128  mbfi1fseqlem5  25237  lhop1lem  25530  aaliou3lem2  25856  aaliou3lem8  25858  pilem2  25964  pilem3  25965  pipos  25970  sinhalfpilem  25973  sincosq1lem  26007  sincosq4sgn  26011  tangtx  26015  sinq12gt0  26017  sincos4thpi  26023  tan4thpi  26024  sincos6thpi  26025  sineq0  26033  cos02pilt1  26035  cosq34lt1  26036  cosordlem  26039  cos0pilt1  26041  tanord1  26046  efif1olem1  26051  efif1olem2  26052  efif1olem4  26054  efif1o  26055  efifo  26056  2irrexpq  26239  cxpcn3lem  26255  root1id  26262  root1eq1  26263  root1cj  26264  cxpeq  26265  2logb9irr  26300  2logb3irr  26302  ang180lem1  26314  ang180lem2  26315  chordthmlem2  26338  1cubrlem  26346  atancj  26415  atantan  26428  atanbndlem  26430  atans2  26436  leibpi  26447  log2tlbnd  26450  log2ublem2  26452  log2ub  26454  divsqrtsumlem  26484  harmonicbnd3  26512  zetacvg  26519  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem3  26535  lgamgulmlem4  26536  lgamgulmlem6  26538  lgamucov  26542  basellem1  26585  basellem2  26586  basellem3  26587  basellem5  26589  chtdif  26662  ppidif  26667  ppinncl  26678  chtrpcl  26679  ppieq0  26680  ppiltx  26681  ppiublem1  26705  ppiub  26707  chpeq0  26711  chteq0  26712  chtublem  26714  chtub  26715  chpval2  26721  chpub  26723  mersenne  26730  perfectlem1  26732  perfectlem2  26733  dchrptlem1  26767  dchrptlem2  26768  bcmono  26780  bclbnd  26783  bpos1lem  26785  bposlem1  26787  bposlem2  26788  bposlem3  26789  bposlem4  26790  bposlem5  26791  bposlem6  26792  bposlem7  26793  bposlem8  26794  bposlem9  26795  lgslem1  26800  lgsdirprm  26834  gausslemma2dlem0c  26861  gausslemma2dlem1a  26868  gausslemma2dlem2  26870  gausslemma2dlem3  26871  lgseisenlem1  26878  lgseisenlem2  26879  lgseisenlem3  26880  lgseisen  26882  lgsquadlem1  26883  lgsquadlem2  26884  m1lgs  26891  2lgslem1a1  26892  2lgslem1a2  26893  2lgslem1c  26896  2lgslem4  26909  2sqlem11  26932  2sq2  26936  2sqreultlem  26950  2sqreunnltlem  26953  chebbnd1lem1  26972  chebbnd1lem2  26973  chebbnd1lem3  26974  chebbnd1  26975  chtppilimlem1  26976  chtppilimlem2  26977  chtppilim  26978  chto1ub  26979  chebbnd2  26980  chto1lb  26981  chpchtlim  26982  chpo1ub  26983  chpo1ubb  26984  rplogsumlem1  26987  rplogsumlem2  26988  dchrisumlem2  26993  dchrisumlem3  26994  dchrvmasumiflem1  27004  dchrisum0fno1  27014  dchrisum0re  27016  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2  27021  rplogsum  27030  mulog2sumlem1  27037  mulog2sumlem2  27038  log2sumbnd  27047  selberglem2  27049  selbergb  27052  selberg2b  27055  chpdifbndlem1  27056  logdivbnd  27059  selberg3lem1  27060  selberg3  27062  selberg4lem1  27063  selberg4  27064  pntrmax  27067  pntrsumbnd2  27070  selberg3r  27072  selberg4r  27073  selberg34r  27074  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem3  27082  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntrlog2bndlem6  27086  pntrlog2bnd  27087  pntpbnd1a  27088  pntpbnd1  27089  pntpbnd2  27090  pntpbnd  27091  pntibndlem2  27094  pntibndlem3  27095  pntibnd  27096  pntlemb  27100  pntlemg  27101  pntlemh  27102  pntlemr  27105  pntlemk  27109  pntlemo  27110  pnt2  27116  pnt  27117  ostth2lem1  27121  ostth3  27141  slotsinbpsd  27692  slotslnbpsd  27693  istrkg3ld  27712  tgldimor  27753  trgcgrg  27766  tgcgr4  27782  axlowdimlem6  28205  axlowdimlem16  28215  axlowdimlem17  28216  axlowdim  28219  upgrfi  28351  umgrupgr  28363  umgrislfupgrlem  28382  umgrislfupgr  28383  lfgrnloop  28385  usgruspgr  28438  usgrislfuspgr  28444  lfuhgr1v0e  28511  usgrexmpldifpr  28515  usgrexmplef  28516  nbusgrvtxm1  28636  vdegp1bi  28794  upgrewlkle2  28863  lfgrwlkprop  28944  upgr2pthnlp  28989  usgr2pthlem  29020  pthdlem1  29023  wwlksm1edg  29135  wwlksnextwrd  29151  wwlksnextfun  29152  wwlksnextinj  29153  wwlksnextproplem3  29165  clwlkclwwlklem2a1  29245  clwlkclwwlklem2a2  29246  clwlkclwwlklem2fv1  29248  clwlkclwwlklem2fv2  29249  clwlkclwwlklem2a4  29250  clwlkclwwlklem2a  29251  clwlkclwwlklem2  29253  clwlkclwwlk2  29256  clwlkclwwlkf  29261  clwwlkext2edg  29309  konigsbergiedgw  29501  konigsbergssiedgw  29503  konigsberglem1  29505  konigsberglem2  29506  konigsberglem3  29507  konigsberg  29510  frgrreggt1  29646  ex-pss  29681  ex-res  29694  ex-fv  29696  ex-fl  29700  ex-mod  29702  ex-abs  29708  nrt2irr  29726  ipidsq  29963  minvecolem2  30128  minvecolem4  30133  normlem7  30369  norm-ii-i  30390  norm3lemt  30405  normpar2i  30409  bcsiALT  30432  pjhthlem1  30644  opsqrlem6  31398  cdj3lem1  31687  addltmulALT  31699  threehalves  32081  pfx1s2  32105  wrdt2ind  32117  oppgleOLD  32131  cyc3conja  32316  resvplusgOLD  32450  drngidlhash  32552  sqsscirc1  32888  nexple  33007  dya2iocucvr  33283  omssubadd  33299  oddpwdc  33353  eulerpartlemgc  33361  fibp1  33400  coinfliplem  33477  coinflipspace  33479  ballotlem2  33487  signstfveq0  33588  prodfzo03  33615  hgt750lemd  33660  logdivsqrle  33662  hgt750lem  33663  hgt750lem2  33664  hgt750leme  33670  lfuhgr2  34109  usgrcyclgt2v  34122  acycgr2v  34141  subfacp1lem1  34170  subfacp1lem5  34175  subfacval3  34180  problem2  34651  problem5  34654  circum  34659  nn0prpwlem  35207  dnibndlem10  35363  knoppcnlem2  35370  knoppcnlem4  35372  knoppcnlem10  35378  unbdqndv2lem1  35385  knoppndvlem1  35388  knoppndvlem10  35397  knoppndvlem11  35398  knoppndvlem12  35399  knoppndvlem14  35401  knoppndvlem15  35402  knoppndvlem17  35404  knoppndvlem18  35405  knoppndvlem19  35406  knoppndvlem20  35407  knoppndvlem21  35408  cnndvlem1  35413  taupi  36204  iccioo01  36208  relowlpssretop  36245  sin2h  36478  cos2h  36479  tan2h  36480  poimirlem7  36495  poimirlem9  36497  opnmbllem0  36524  mblfinlem1  36525  mblfinlem2  36526  itg2addnclem  36539  isbnd2  36651  isbnd3  36652  heiborlem7  36685  12gcd5e1  40868  lcm2un  40879  lcmineqlem19  40912  lcmineqlem20  40913  lcmineqlem22  40915  3lexlogpow5ineq2  40920  3lexlogpow5ineq4  40921  3lexlogpow5ineq3  40922  3lexlogpow2ineq1  40923  3lexlogpow2ineq2  40924  3lexlogpow5ineq5  40925  aks4d1lem1  40927  aks4d1p1p3  40934  aks4d1p1p2  40935  aks4d1p1p4  40936  aks4d1p1p6  40938  aks4d1p1p7  40939  aks4d1p1p5  40940  aks4d1p1  40941  aks4d1p2  40942  aks4d1p3  40943  aks4d1p5  40945  aks4d1p6  40946  aks4d1p7d1  40947  aks4d1p7  40948  aks4d1p8  40952  aks4d1p9  40953  2np3bcnp1  40960  2ap1caineq  40961  2xp3dxp2ge1d  41022  oexpreposd  41212  remul02  41278  sn-0ne2  41279  remul01  41280  flt4lem7  41401  rabren3dioph  41553  pellexlem2  41568  pellexlem5  41571  pell14qrgapw  41614  pellfundex  41624  rmspecsqrtnq  41644  jm2.24nn  41698  jm2.17a  41699  jm2.17b  41700  jm2.17c  41701  acongrep  41719  acongeq  41722  jm2.22  41734  jm2.23  41735  jm2.20nn  41736  jm3.1lem2  41757  expdiophlem1  41760  sqrtcval  42392  imo72b2lem0  42917  mnringaddgdOLD  42977  lhe4.4ex1a  43088  isosctrlem1ALT  43695  sineq0ALT  43698  lt3addmuld  44011  suplesup  44049  infleinflem2  44081  infleinf  44082  sumnnodd  44346  0ellimcdiv  44365  sinaover2ne0  44584  stoweidlem13  44729  stoweidlem14  44730  stoweidlem26  44742  stoweidlem49  44765  stoweidlem52  44768  wallispilem4  44784  wallispilem5  44785  wallispi  44786  wallispi2lem1  44787  wallispi2lem2  44788  wallispi2  44789  stirlinglem1  44790  stirlinglem3  44792  stirlinglem5  44794  stirlinglem6  44795  stirlinglem7  44796  stirlinglem10  44799  stirlinglem11  44800  stirlinglem15  44804  stirlingr  44806  dirker2re  44808  dirkerval2  44810  dirkerre  44811  dirkerper  44812  dirkertrigeqlem1  44814  dirkertrigeqlem3  44816  dirkercncflem1  44819  dirkercncflem2  44820  dirkercncflem4  44822  fourierdlem24  44847  fourierdlem43  44866  fourierdlem44  44867  fourierdlem57  44879  fourierdlem58  44880  fourierdlem62  44884  fourierdlem66  44888  fourierdlem68  44890  fourierdlem72  44894  fourierdlem76  44898  fourierdlem78  44900  fourierdlem79  44901  fourierdlem94  44916  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem111  44933  fourierdlem113  44935  sqwvfoura  44944  sqwvfourb  44945  fourierswlem  44946  fouriersw  44947  etransclem23  44973  salexct2  45055  salexct3  45058  salgencntex  45059  salgensscntex  45060  sge0ad2en  45147  ovnsubaddlem1  45286  smfmullem4  45510  smf2id  45517  2leaddle2  46006  p1lep2  46008  fmtnoge3  46198  fmtnof1  46203  fmtnoprmfac2lem1  46234  fmtno4prmfac  46240  fmtno4prm  46243  2pwp1prm  46257  31prm  46265  sfprmdvdsmersenne  46271  lighneallem2  46274  lighneallem4a  46276  lighneallem4b  46277  requad01  46289  requad1  46290  requad2  46291  dfodd4  46327  nn0o1gt2ALTV  46362  nnoALTV  46363  nn0oALTV  46364  nn0e  46365  nneven  46366  perfectALTVlem1  46389  perfectALTVlem2  46390  341fppr2  46402  9fppr8  46405  fpprel2  46409  nfermltl2rev  46411  gbowgt5  46430  sbgoldbalt  46449  sgoldbeven3prm  46451  mogoldbb  46453  nnsum3primes4  46456  nnsum3primesgbe  46460  nnsum3primesle9  46462  nnsum4primesodd  46464  nnsum4primesoddALTV  46465  wtgoldbnnsum4prm  46470  bgoldbnnsum3prm  46472  cznnring  46854  ply1mulgsumlem2  47068  zlmodzxznm  47178  zlmodzxzldeplem  47179  difmodm1lt  47208  nn0eo  47214  flnn0div2ge  47219  rege1logbzge0  47245  fldivexpfllog2  47251  logbpw2m1  47253  fllog2  47254  blenpw2m1  47265  nnpw2blen  47266  nnolog2flm1  47276  blennngt2o2  47278  dig2nn1st  47291  dig2nn0  47297  dig2bits  47300  dignn0flhalflem1  47301  dignn0flhalflem2  47302  dignn0flhalf  47304  nn0sumshdiglemA  47305  ackval42  47382  rrx2xpref1o  47404  itscnhlc0yqe  47445  itsclquadb  47462  2itscp  47467  itscnhlinecirc02p  47471  sepfsepc  47560