Theorem 2re 12246

Description: The number 2 is real. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
2re	⊢ 2 ∈ ℝ

Proof of Theorem 2re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12235	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
2		1re 11135	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	2, 2	readdcli 11151	. 2 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
4	1, 3	eqeltri 2835	1 ⊢ 2 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032  2c2 12227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-iota 6441  df-fv 6493  df-ov 7359  df-2 12235

This theorem is referenced by:  2cnALT  12248  3re  12252  3pos  12277  2lt3  12339  1lt3  12340  2lt4  12342  1lt4  12343  2lt5  12346  2lt6  12351  1lt6  12352  2lt7  12357  1lt7  12358  2lt8  12364  1lt8  12365  2lt9  12372  1lt9  12373  1le2  12376  2rene0  12378  halfre  12381  halfgt0  12383  halflt1  12385  rehalfcl  12395  halfpos2  12397  halfnneg2  12399  addltmul  12404  nominpos  12405  avglt1  12406  avglt2  12407  div4p1lem1div2  12423  nn0lele2xi  12484  nn0n0n1ge2b  12497  nn0ge2m1nn  12498  nn0le2is012  12584  halfnz  12598  3halfnz  12599  2lt10  12773  1lt10  12774  uzuzle23  12825  uzuzle24  12826  uz3m2nn  12835  2rp  12938  ge2halflem1  13050  xnn0n0n1ge2b  13074  fztpval  13531  fz0to4untppr  13575  fz0to5un2tp  13576  fzo0to42pr  13699  flhalf  13780  fldiv4p1lem1div2  13785  2txmodxeq0  13884  expubnd  14131  expmulnbnd  14188  nn0opthlem2  14222  faclbnd2  14244  faclbnd4lem1  14246  faclbnd5  14251  4bc2eq6  14282  hashgt23el  14377  hashfun  14390  hashge2el2dif  14433  hashge2el2difr  14434  hash3tpde  14446  wrdlenge2n0  14505  f1oun2prg  14870  01sqrexlem7  15201  sqrt4  15225  sqrt2gt1lt2  15227  abstri  15284  sqreulem  15313  amgm2  15323  caucvgrlem  15626  climcndslem1  15805  climcndslem2  15806  climcnds  15807  efcllem  16033  ege2le3  16046  ef01bndlem  16142  cos01bnd  16144  cos2bnd  16146  cos01gt0  16149  sin02gt0  16150  sincos2sgn  16152  sin4lt0  16153  eirrlem  16162  egt2lt3  16164  epos  16165  ene1  16168  sqrt2re  16208  mod2eq1n2dvds  16307  oddge22np1  16309  evennn2n  16311  nn0o1gt2  16341  nno  16342  nn0o  16343  nnoddm1d2  16346  bitsp1o  16393  bitsfzolem  16394  bitsfzo  16395  bitsfi  16397  6gcd4e2  16498  2mulprm  16653  ge2nprmge4  16662  isprm7  16669  3lcm2e6  16693  prmreclem2  16879  prmreclem6  16883  4sqlem11  16917  4sqlem12  16918  prmgaplem7  17019  2expltfac  17054  plusgndxnmulrndx  17251  starvndxnplusgndx  17259  scandxnplusgndx  17271  vscandxnplusgndx  17276  ipndxnplusgndx  17287  tsetndxnplusgndx  17311  plendxnplusgndx  17325  dsndxnplusgndx  17344  slotsdifunifndx  17355  efgredleme  19709  zringndrg  21443  chfacfscmul0  22841  chfacfpmmul0  22845  psmetge0  24295  xmetge0  24327  bl2in  24383  metnrmlem3  24845  iihalf1  24916  iihalf2  24918  pcoass  25009  tcphcphlem1  25220  csbren  25384  trirn  25385  minveclem2  25411  minveclem4  25417  pjthlem1  25422  ovolunlem1a  25481  dyadss  25579  opnmbllem  25586  vitalilem2  25594  vitalilem4  25596  mbfi1fseqlem5  25704  lhop1lem  25998  aaliou3lem2  26327  aaliou3lem8  26329  pilem2  26435  pilem3  26436  pipos  26441  sinhalfpilem  26445  sincosq1lem  26479  sincosq4sgn  26483  tangtx  26487  sinq12gt0  26489  sincos4thpi  26495  tan4thpi  26496  tan4thpiOLD  26497  sincos6thpi  26498  sineq0  26506  cos02pilt1  26508  cosq34lt1  26509  cosordlem  26512  cos0pilt1  26514  tanord1  26519  efif1olem1  26524  efif1olem2  26525  efif1olem4  26527  efif1o  26528  efifo  26529  2irrexpq  26713  cxpcn3lem  26729  root1id  26736  root1eq1  26737  root1cj  26738  cxpeq  26739  2logb9irr  26777  2logb3irr  26779  ang180lem1  26791  ang180lem2  26792  chordthmlem2  26815  1cubrlem  26823  atancj  26892  atantan  26905  atanbndlem  26907  atans2  26913  leibpi  26924  log2tlbnd  26927  log2ublem2  26929  log2ub  26931  divsqrtsumlem  26961  harmonicbnd3  26989  zetacvg  26996  lgamgulmlem2  27011  lgamgulmlem3  27012  lgamgulmlem4  27013  lgamgulmlem6  27015  lgamucov  27019  basellem1  27062  basellem2  27063  basellem3  27064  basellem5  27066  chtdif  27139  ppidif  27144  ppinncl  27155  chtrpcl  27156  ppieq0  27157  ppiltx  27158  ppiublem1  27183  ppiub  27185  chpeq0  27189  chteq0  27190  chtublem  27192  chtub  27193  chpval2  27199  chpub  27201  mersenne  27208  perfectlem1  27210  perfectlem2  27211  dchrptlem1  27245  dchrptlem2  27246  bcmono  27258  bclbnd  27261  bpos1lem  27263  bposlem1  27265  bposlem2  27266  bposlem3  27267  bposlem4  27268  bposlem5  27269  bposlem6  27270  bposlem7  27271  bposlem8  27272  bposlem9  27273  lgslem1  27278  lgsdirprm  27312  gausslemma2dlem0c  27339  gausslemma2dlem1a  27346  gausslemma2dlem2  27348  gausslemma2dlem3  27349  lgseisenlem1  27356  lgseisenlem2  27357  lgseisenlem3  27358  lgseisen  27360  lgsquadlem1  27361  lgsquadlem2  27362  m1lgs  27369  2lgslem1a1  27370  2lgslem1a2  27371  2lgslem1c  27374  2lgslem4  27387  2sqlem11  27410  2sq2  27414  2sqreultlem  27428  2sqreunnltlem  27431  chebbnd1lem1  27450  chebbnd1lem2  27451  chebbnd1lem3  27452  chebbnd1  27453  chtppilimlem1  27454  chtppilimlem2  27455  chtppilim  27456  chto1ub  27457  chebbnd2  27458  chto1lb  27459  chpchtlim  27460  chpo1ub  27461  chpo1ubb  27462  rplogsumlem1  27465  rplogsumlem2  27466  dchrisumlem2  27471  dchrisumlem3  27472  dchrvmasumiflem1  27482  dchrisum0fno1  27492  dchrisum0re  27494  dchrisum0lem1b  27496  dchrisum0lem1  27497  dchrisum0lem2  27499  rplogsum  27508  mulog2sumlem1  27515  mulog2sumlem2  27516  log2sumbnd  27525  selberglem2  27527  selbergb  27530  selberg2b  27533  chpdifbndlem1  27534  logdivbnd  27537  selberg3lem1  27538  selberg3  27540  selberg4lem1  27541  selberg4  27542  pntrmax  27545  pntrsumbnd2  27548  selberg3r  27550  selberg4r  27551  selberg34r  27552  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem3  27560  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem5  27562  pntrlog2bndlem6  27564  pntrlog2bnd  27565  pntpbnd1a  27566  pntpbnd1  27567  pntpbnd2  27568  pntpbnd  27569  pntibndlem2  27572  pntibndlem3  27573  pntibnd  27574  pntlemb  27578  pntlemg  27579  pntlemh  27580  pntlemr  27583  pntlemk  27587  pntlemo  27588  pnt2  27594  pnt  27595  ostth2lem1  27599  ostth3  27619  slotsinbpsd  28527  slotslnbpsd  28528  istrkg3ld  28547  tgldimor  28588  trgcgrg  28601  tgcgr4  28617  axlowdimlem6  29034  axlowdimlem16  29044  axlowdimlem17  29045  axlowdim  29048  upgrfi  29178  umgrupgr  29190  umgrislfupgrlem  29209  umgrislfupgr  29210  lfgrnloop  29212  usgruspgr  29267  usgrislfuspgr  29274  lfuhgr1v0e  29341  usgrexmpldifpr  29345  usgrexmplef  29346  nbusgrvtxm1  29466  vdegp1bi  29624  upgrewlkle2  29693  lfgrwlkprop  29772  upgr2pthnlp  29818  usgr2pthlem  29849  pthdlem1  29852  wwlksm1edg  29967  wwlksnextwrd  29983  wwlksnextfun  29984  wwlksnextinj  29985  wwlksnextproplem3  29997  clwlkclwwlklem2a1  30080  clwlkclwwlklem2a2  30081  clwlkclwwlklem2fv1  30083  clwlkclwwlklem2fv2  30084  clwlkclwwlklem2a4  30085  clwlkclwwlklem2a  30086  clwlkclwwlklem2  30088  clwlkclwwlk2  30091  clwlkclwwlkf  30096  clwwlkext2edg  30144  konigsbergiedgw  30336  konigsbergssiedgw  30338  konigsberglem1  30340  konigsberglem2  30341  konigsberglem3  30342  konigsberg  30345  frgrreggt1  30481  ex-pss  30516  ex-res  30529  ex-fv  30531  ex-fl  30535  ex-mod  30537  ex-abs  30543  nrt2irr  30561  ipidsq  30799  minvecolem2  30964  minvecolem4  30969  normlem7  31205  norm-ii-i  31226  norm3lemt  31241  normpar2i  31245  bcsiALT  31268  pjhthlem1  31480  opsqrlem6  32234  cdj3lem1  32523  addltmulALT  32535  nexple  32936  2exple2exp  32937  threehalves  32993  pfx1s2  33018  wrdt2ind  33032  cyc3conja  33238  drngidlhash  33517  evl1deg3  33661  rtelextdg2lem  33910  fldext2chn  33912  constraddcl  33946  iconstr  33950  2sqr3minply  33964  2sqr3nconstr  33965  cos9thpinconstrlem1  33973  cos9thpinconstrlem2  33974  sqsscirc1  34092  dya2iocucvr  34468  omssubadd  34484  oddpwdc  34538  eulerpartlemgc  34546  fibp1  34585  coinfliplem  34663  coinflipspace  34665  ballotlem2  34673  signstfveq0  34761  prodfzo03  34787  hgt750lemd  34832  logdivsqrle  34834  hgt750lem  34835  hgt750lem2  34836  hgt750leme  34842  lfuhgr2  35347  usgrcyclgt2v  35359  acycgr2v  35378  subfacp1lem1  35407  subfacp1lem5  35412  subfacval3  35417  problem2  35894  problem5  35897  circum  35902  nn0prpwlem  36550  dnibndlem10  36793  knoppcnlem2  36800  knoppcnlem4  36802  knoppcnlem10  36808  unbdqndv2lem1  36815  knoppndvlem1  36818  knoppndvlem10  36827  knoppndvlem11  36828  knoppndvlem12  36829  knoppndvlem14  36831  knoppndvlem15  36832  knoppndvlem17  36834  knoppndvlem18  36835  knoppndvlem19  36836  knoppndvlem20  36837  knoppndvlem21  36838  cnndvlem1  36843  taupi  37683  iccioo01  37689  relowlpssretop  37726  sin2h  37977  cos2h  37978  tan2h  37979  poimirlem7  37994  poimirlem9  37996  opnmbllem0  38023  mblfinlem1  38024  mblfinlem2  38025  itg2addnclem  38038  isbnd2  38150  isbnd3  38151  heiborlem7  38184  12gcd5e1  42488  lcm2un  42499  lcmineqlem19  42532  lcmineqlem20  42533  lcmineqlem22  42535  3lexlogpow5ineq2  42540  3lexlogpow5ineq4  42541  3lexlogpow5ineq3  42542  3lexlogpow2ineq1  42543  3lexlogpow2ineq2  42544  3lexlogpow5ineq5  42545  aks4d1lem1  42547  aks4d1p1p3  42554  aks4d1p1p2  42555  aks4d1p1p4  42556  aks4d1p1p6  42558  aks4d1p1p7  42559  aks4d1p1p5  42560  aks4d1p1  42561  aks4d1p2  42562  aks4d1p3  42563  aks4d1p5  42565  aks4d1p6  42566  aks4d1p7d1  42567  aks4d1p7  42568  aks4d1p8  42572  aks4d1p9  42573  posbezout  42585  aks6d1c3  42608  2np3bcnp1  42629  2ap1caineq  42630  aks6d1c6lem4  42658  aks6d1c7lem1  42665  aks6d1c7lem2  42666  oexpreposd  42799  asin1half  42834  remul02  42882  sn-0ne2  42883  remul01  42884  flt4lem7  43109  rabren3dioph  43260  pellexlem2  43275  pellexlem5  43278  pell14qrgapw  43321  pellfundex  43331  rmspecsqrtnq  43351  jm2.24nn  43404  jm2.17a  43405  jm2.17b  43406  jm2.17c  43407  acongrep  43425  acongeq  43428  jm2.22  43440  jm2.23  43441  jm2.20nn  43442  jm3.1lem2  43463  expdiophlem1  43466  sqrtcval  44085  imo72b2lem0  44609  lhe4.4ex1a  44773  isosctrlem1ALT  45377  sineq0ALT  45380  lt3addmuld  45749  suplesup  45784  infleinflem2  45815  infleinf  45816  sumnnodd  46075  0ellimcdiv  46092  sinaover2ne0  46311  stoweidlem13  46456  stoweidlem14  46457  stoweidlem26  46469  stoweidlem49  46492  stoweidlem52  46495  wallispilem4  46511  wallispilem5  46512  wallispi  46513  wallispi2lem1  46514  wallispi2lem2  46515  wallispi2  46516  stirlinglem1  46517  stirlinglem3  46519  stirlinglem5  46521  stirlinglem6  46522  stirlinglem7  46523  stirlinglem10  46526  stirlinglem11  46527  stirlinglem15  46531  stirlingr  46533  dirker2re  46535  dirkerval2  46537  dirkerre  46538  dirkerper  46539  dirkertrigeqlem1  46541  dirkertrigeqlem3  46543  dirkercncflem1  46546  dirkercncflem2  46547  dirkercncflem4  46549  fourierdlem24  46574  fourierdlem43  46593  fourierdlem44  46594  fourierdlem57  46606  fourierdlem58  46607  fourierdlem62  46611  fourierdlem66  46615  fourierdlem68  46617  fourierdlem72  46621  fourierdlem76  46625  fourierdlem78  46627  fourierdlem79  46628  fourierdlem94  46643  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierdlem111  46660  fourierdlem113  46662  sqwvfoura  46671  sqwvfourb  46672  fourierswlem  46673  fouriersw  46674  etransclem23  46700  salexct2  46782  salexct3  46785  salgencntex  46786  salgensscntex  46787  sge0ad2en  46874  ovnsubaddlem1  47013  smfmullem4  47237  smf2id  47244  nthrucw  47331  goldrarr  47344  goldrapos  47346  2leaddle2  47761  p1lep2  47763  2ltceilhalf  47795  ceilhalfgt1  47796  2tceilhalfelfzo1  47799  rehalfge1  47802  ceilhalfnn  47803  ceil5half3  47809  difmodm1lt  47828  2timesltsq  47841  2timesltsqm1  47842  fmtnoge3  48008  fmtnof1  48013  fmtnoprmfac2lem1  48044  fmtno4prmfac  48050  fmtno4prm  48053  2pwp1prm  48067  31prm  48075  sfprmdvdsmersenne  48081  lighneallem2  48084  lighneallem4a  48086  lighneallem4b  48087  nprmdvdsfacm1lem2  48099  nprmdvdsfacm1lem4  48101  ppivalnnnprmge6  48104  requad01  48112  requad1  48113  requad2  48114  dfodd4  48150  nn0o1gt2ALTV  48185  nnoALTV  48186  nn0oALTV  48187  nn0e  48188  nneven  48189  perfectALTVlem1  48212  perfectALTVlem2  48213  341fppr2  48225  9fppr8  48228  fpprel2  48232  nfermltl2rev  48234  gbowgt5  48253  sbgoldbalt  48272  sgoldbeven3prm  48274  mogoldbb  48276  nnsum3primes4  48279  nnsum3primesgbe  48283  nnsum3primesle9  48285  nnsum4primesodd  48287  nnsum4primesoddALTV  48288  wtgoldbnnsum4prm  48293  bgoldbnnsum3prm  48295  cycl3grtri  48438  usgrexmpl1lem  48512  usgrexmpl2lem  48517  usgrexmpl2nb2  48524  usgrexmpl2nb3  48525  usgrexmpl2nb4  48526  usgrexmpl2nb5  48527  usgrexmpl2trifr  48528  gpgprismgrusgra  48549  gpg5nbgrvtx13starlem2  48563  gpg3nbgrvtx0  48567  gpg3kgrtriexlem1  48574  cznnring  48753  ply1mulgsumlem2  48878  zlmodzxznm  48988  zlmodzxzldeplem  48989  nn0eo  49019  flnn0div2ge  49024  rege1logbzge0  49050  fldivexpfllog2  49056  logbpw2m1  49058  fllog2  49059  blenpw2m1  49070  nnpw2blen  49071  nnolog2flm1  49081  blennngt2o2  49083  dig2nn1st  49096  dig2nn0  49102  dig2bits  49105  dignn0flhalflem1  49106  dignn0flhalflem2  49107  dignn0flhalf  49109  nn0sumshdiglemA  49110  ackval42  49187  rrx2xpref1o  49209  itscnhlc0yqe  49250  itsclquadb  49267  2itscp  49272  itscnhlinecirc02p  49276  sepfsepc  49418