Theorem absnpncan2d 45757

Description: Triangular inequality, combined with cancellation law for subtraction (applied twice). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
absnpncan2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
absnpncan2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
absnpncan2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
absnpncan2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absnpncan2d	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))

Proof of Theorem absnpncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absnpncan2d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absnpncan2d.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
4	3	abscld 15396	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ∈ ℝ)
5		absnpncan2d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6	1, 5	subcld 11500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
7	6	abscld 15396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
8	5, 2	subcld 11500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℝ)
10	7, 9	readdcld 11169	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) ∈ ℝ)
11		absnpncan2d.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 11	subcld 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
14	11, 5	subcld 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
15	14	abscld 15396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
16	13, 15	readdcld 11169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
17	16, 9	readdcld 11169	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) ∈ ℝ)
18	1, 2, 5	abs3difd 15420	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))
19	1, 5, 11	abs3difd 15420	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
20	7, 16, 9, 19	leadd1dd 11759	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) ≤ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))
21	4, 10, 17, 18, 20	letrd 11298	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031   + caddc 11036   ≤ cle 11175   − cmin 11372  abscabs 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193

This theorem is referenced by:  absnpncan3d  45762