MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmulgt12d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmulgt12d 12854
Description: Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
rpgecld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
Assertion
Ref Expression
ltmulgt12d (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ด ยท ๐ต)))

Proof of Theorem ltmulgt12d
StepHypRef Expression
1 rpgecld.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
21rpred 12818 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 rpgecld.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
41rpgt0d 12821 . 2 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)
5 ltmulgt12 11882 . 2 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (1 < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ด ยท ๐ต)))
62, 3, 4, 5syl3anc 1371 1 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ด ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  โ„cr 10916  0cc0 10917  1c1 10918   ยท cmul 10922   < clt 11055  โ„+crp 12776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-ltxr 11060  df-sub 11253  df-neg 11254  df-rp 12777
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator