Theorem ltmulgt11d 13065

Description: Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltmulgt11d	⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐵 · 𝐴)))

Proof of Theorem ltmulgt11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13030	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	1	rpgt0d 13033	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5		ltmulgt11 12044	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (1 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐵 · 𝐴)))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1389	1 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐵 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7390  ℝcr 11065  0cc0 11066  1c1 11067   · cmul 11071   < clt 11209  ℝ⁺crp 12986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-ltxr 11214  df-sub 11409  df-neg 11410  df-rp 12987

This theorem is referenced by:  aks4d1p8  42664