Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem40 46103
Description: 𝐻 is a continuous function on any partition interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem40.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem40.a (𝜑𝐴 ∈ (-π[,]π))
fourierdlem40.b (𝜑𝐵 ∈ (-π[,]π))
fourierdlem40.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem40.nxelab (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem40.fcn (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))–cn→ℂ))
fourierdlem40.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem40.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem40.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem40 (𝜑 → (𝐻 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐹,𝑠   𝑊,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem40
StepHypRef Expression
1 fourierdlem40.h . . . . 5 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
21reseq1i 5996 . . . 4 (𝐻 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵))
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
4 pire 26515 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
54renegcli 11568 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ∈ ℝ)
74a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ ℝ)
8 elioore 13414 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℝ)
1210, 11iccssred 13471 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
13 fourierdlem40.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (-π[,]π))
1412, 13sseldd 3996 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
165, 4elicc2i 13450 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
1716simp2bi 1145 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ 𝐴)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ≤ 𝐴)
2015rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21 fourierdlem40.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (-π[,]π))
2212, 21sseldd 3996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2322rexrd 11309 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2423adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
26 ioogtlb 45448 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
2720, 24, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
286, 15, 9, 19, 27lelttrd 11417 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π < 𝑠)
296, 9, 28ltled 11407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ≤ 𝑠)
3022adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31 iooltub 45463 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
3220, 24, 25, 31syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
335, 4elicc2i 13450 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐵𝐵 ≤ π))
3433simp3bi 1146 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (-π[,]π) → 𝐵 ≤ π)
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ≤ π)
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ≤ π)
379, 30, 7, 32, 36ltletrd 11419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < π)
389, 7, 37ltled 11407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≤ π)
396, 7, 9, 29, 38eliccd 45457 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
4039ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ (-π[,]π)))
4140ssrdv 4001 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
4241resmptd 6060 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))))
43 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
4443biimpac 478 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4544adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
46 fourierdlem40.nxelab . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4746ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4845, 47pm2.65da 817 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
4948iffalsed 4542 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
50 fourierdlem40.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
52 fourierdlem40.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5352adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
5453, 9readdcld 11288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
5551, 54ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
56 fourierdlem40.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
57 fourierdlem40.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
5856, 57ifcld 4577 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5958adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
6055, 59resubcld 11689 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
6160recnd 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
629recnd 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
6348neqned 2945 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
6461, 62, 63divrecd 12044 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠)))
6549, 64eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠)))
6665mpteq2dva 5248 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))))
673, 42, 663eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → (𝐻 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))))
6855recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
6959recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
7068, 69negsubd 11624 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
7170eqcomd 2741 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
7271mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))))
7314, 52readdcld 11288 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
7473rexrd 11309 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7574adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7622, 52readdcld 11288 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
7776rexrd 11309 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7877adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7914recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8052recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
8179, 80addcomd 11461 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
8281adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
8315, 9, 53, 27ltadd2dd 11418 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
8482, 83eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑠))
859, 30, 53, 32ltadd2dd 11418 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
8622recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8780, 86addcomd 11461 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
8887adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
8985, 88breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝐵 + 𝑋))
9075, 78, 54, 84, 89eliood 45451 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))
91 fvres 6926 . . . . . . . . 9 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
9392eqcomd 2741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)))
9493mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠))))
95 ioosscn 13446 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℂ
9695a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℂ)
97 fourierdlem40.fcn . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))–cn→ℂ))
98 ioosscn 13446 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
9998a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
10096, 97, 99, 80, 90fourierdlem23 46086 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10194, 100eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
102 0red 11262 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
10314ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1048adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
105 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
10627adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
107102, 103, 104, 105, 106lelttrd 11417 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑠)
108107iftrued 4539 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
109108negeqd 11500 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = -𝑌)
110109mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌))
11156renegcld 11688 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝑌 ∈ ℝ)
112111recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑌 ∈ ℂ)
113 ssid 4018 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
114113a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
11599, 112, 114constcncfg 45828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
116115adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
117110, 116eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11814rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
119118ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12023ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
121 0red 11262 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
122 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 0 ≤ 𝐴)
12314adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
124 0red 11262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
125123, 124ltnled 11406 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
126122, 125mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 0)
127126adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐴 < 0)
128 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → ¬ 𝐵 ≤ 0)
129 0red 11262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
13022adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
131129, 130ltnled 11406 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
132128, 131mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 < 𝐵)
133132adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 < 𝐵)
134119, 120, 121, 127, 133eliood 45451 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
13546ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
136134, 135condan 818 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 0)
1378adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
138 0red 11262 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
13922ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
14032adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
141 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ≤ 0)
142137, 139, 138, 140, 141ltletrd 11419 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 0)
143137, 138, 142ltnsymd 11408 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 < 𝑠)
144143iffalsed 4542 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑊)
145144negeqd 11500 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = -𝑊)
146145mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊))
14757recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
148147negcld 11605 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝑊 ∈ ℂ)
14999, 148, 114constcncfg 45828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
150149adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
151146, 150eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
152136, 151syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
153117, 152pm2.61dan 813 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
154101, 153addcncf 25492 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
15572, 154eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
156 eqid 2735 . . . 4 (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) = (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠))
157 1cnd 11254 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
158156cdivcncf 24961 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
159157, 158syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
160 velsn 4647 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
16148, 160sylnibr 329 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
16262, 161eldifd 3974 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
163162ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
164 dfss3 3984 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
165163, 164sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
1669, 63rereccld 12092 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑠) ∈ ℝ)
167166recnd 11287 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑠) ∈ ℂ)
168156, 159, 165, 114, 167cncfmptssg 45827 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
169155, 168mulcncf 25494 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
17067, 169eqeltrd 2839 1 (𝜑 → (𝐻 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cdif 3960  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  πcpi 16099  cnccncf 24916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166
  Copyright terms: Public domain W3C validator