Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem40 44849
Description: 𝐻 is a continuous function on any partition interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem40.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem40.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
fourierdlem40.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
fourierdlem40.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem40.nxelab (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
fourierdlem40.fcn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem40.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
fourierdlem40.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
fourierdlem40.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem40 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐹,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑋,𝑠   π‘Œ,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem40
StepHypRef Expression
1 fourierdlem40.h . . . . 5 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
21reseq1i 5975 . . . 4 (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
4 pire 25959 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ
54renegcli 11517 . . . . . . . 8 -Ο€ ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
74a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
8 elioore 13350 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
98adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1210, 11iccssred 13407 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
13 fourierdlem40.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
1412, 13sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
165, 4elicc2i 13386 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€))
1716simp2bi 1146 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -Ο€ ≀ 𝐴)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -Ο€ ≀ 𝐴)
1918adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -Ο€ ≀ 𝐴)
2015rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
21 fourierdlem40.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
2212, 21sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2322rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2423adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
25 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡))
26 ioogtlb 44194 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
2720, 24, 25, 26syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
286, 15, 9, 19, 27lelttrd 11368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -Ο€ < 𝑠)
296, 9, 28ltled 11358 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
3022adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
31 iooltub 44209 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
3220, 24, 25, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
335, 4elicc2i 13386 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ Ο€))
3433simp3bi 1147 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝐡 ≀ Ο€)
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ Ο€)
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ≀ Ο€)
379, 30, 7, 32, 36ltletrd 11370 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < Ο€)
389, 7, 37ltled 11358 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ≀ Ο€)
396, 7, 9, 29, 38eliccd 44203 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
4039ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)))
4140ssrdv 3987 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
4241resmptd 6038 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))))
43 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡)))
4443biimpac 479 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
4544adantll 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
46 fourierdlem40.nxelab . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
4746ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑠 = 0) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
4845, 47pm2.65da 815 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
4948iffalsed 4538 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
50 fourierdlem40.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
52 fourierdlem40.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5453, 9readdcld 11239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
5551, 54ffvelcdmd 7084 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
56 fourierdlem40.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
57 fourierdlem40.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
5856, 57ifcld 4573 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ ℝ)
5958adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ ℝ)
6055, 59resubcld 11638 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ℝ)
6160recnd 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ β„‚)
629recnd 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
6348neqned 2947 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 β‰  0)
6461, 62, 63divrecd 11989 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠)))
6549, 64eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠)))
6665mpteq2dva 5247 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠))))
673, 42, 663eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠))))
6855recnd 11238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
6959recnd 11238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
7068, 69negsubd 11573 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)))
7170eqcomd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)))
7271mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))))
7314, 52readdcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
7473rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7574adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7622, 52readdcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑋) ∈ ℝ)
7776rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7877adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7914recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8052recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
8179, 80addcomd 11412 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
8281adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
8315, 9, 53, 27ltadd2dd 11369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
8482, 83eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑠))
859, 30, 53, 32ltadd2dd 11369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐡))
8622recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
8780, 86addcomd 11412 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) = (𝐡 + 𝑋))
8887adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐡) = (𝐡 + 𝑋))
8985, 88breqtrd 5173 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝐡 + 𝑋))
9075, 78, 54, 84, 89eliood 44197 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))
91 fvres 6907 . . . . . . . . 9 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
9392eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
9493mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
95 ioosscn 13382 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)) βŠ† β„‚
9695a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)) βŠ† β„‚)
97 fourierdlem40.fcn . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋))–cnβ†’β„‚))
98 ioosscn 13382 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
9998a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
10096, 97, 99, 80, 90fourierdlem23 44832 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
10194, 100eqeltrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
102 0red 11213 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
10314ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1048adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
105 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
10627adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
107102, 103, 104, 105, 106lelttrd 11368 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 < 𝑠)
108107iftrued 4535 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Œ)
109108negeqd 11450 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = -π‘Œ)
110109mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Œ))
11156renegcld 11637 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -π‘Œ ∈ ℝ)
112111recnd 11238 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -π‘Œ ∈ β„‚)
113 ssid 4003 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
114113a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
11599, 112, 114constcncfg 44574 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Œ) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
116115adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Œ) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
117110, 116eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
11814rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
119118ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
12023ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
121 0red 11213 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
122 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ Β¬ 0 ≀ 𝐴)
12314adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
124 0red 11213 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
125123, 124ltnled 11357 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐴))
126122, 125mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 < 0)
127126adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 𝐴 < 0)
128 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ Β¬ 𝐡 ≀ 0)
129 0red 11213 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
13022adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
131129, 130ltnled 11357 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ (0 < 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 ≀ 0))
132128, 131mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 < 𝐡)
133132adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 < 𝐡)
134119, 120, 121, 127, 133eliood 44197 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
13546ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
136134, 135condan 816 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐡 ≀ 0)
1378adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
138 0red 11213 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
13922ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
14032adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
141 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ≀ 0)
142137, 139, 138, 140, 141ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 0)
143137, 138, 142ltnsymd 11359 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 0 < 𝑠)
144143iffalsed 4538 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Š)
145144negeqd 11450 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = -π‘Š)
146145mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Š))
14757recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚)
148147negcld 11554 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -π‘Š ∈ β„‚)
14999, 148, 114constcncfg 44574 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Š) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
150149adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Š) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
151146, 150eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
152136, 151syldan 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
153117, 152pm2.61dan 811 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
154101, 153addcncf 24952 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
15572, 154eqeltrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
156 eqid 2732 . . . 4 (𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑠)) = (𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑠))
157 1cnd 11205 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
158156cdivcncf 24428 . . . . 5 (1 ∈ β„‚ β†’ (𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((β„‚ βˆ– {0})–cnβ†’β„‚))
159157, 158syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((β„‚ βˆ– {0})–cnβ†’β„‚))
160 velsn 4643 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
16148, 160sylnibr 328 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ {0})
16262, 161eldifd 3958 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
163162ralrimiva 3146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
164 dfss3 3969 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ↔ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
165163, 164sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
1669, 63rereccld 12037 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 𝑠) ∈ ℝ)
167166recnd 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 𝑠) ∈ β„‚)
168156, 159, 165, 114, 167cncfmptssg 44573 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
169155, 168mulcncf 24954 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
17067, 169eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  Ο€cpi 16006  β€“cnβ†’ccncf 24383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  44911  fourierdlem104  44912
  Copyright terms: Public domain W3C validator