Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem40 45458
Description: 𝐻 is a continuous function on any partition interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem40.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem40.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
fourierdlem40.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
fourierdlem40.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem40.nxelab (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
fourierdlem40.fcn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem40.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
fourierdlem40.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
fourierdlem40.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem40 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐹,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑋,𝑠   π‘Œ,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem40
StepHypRef Expression
1 fourierdlem40.h . . . . 5 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
21reseq1i 5975 . . . 4 (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
4 pire 26380 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ
54renegcli 11543 . . . . . . . 8 -Ο€ ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
74a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
8 elioore 13378 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1210, 11iccssred 13435 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
13 fourierdlem40.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
1412, 13sseldd 3979 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
165, 4elicc2i 13414 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€))
1716simp2bi 1144 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -Ο€ ≀ 𝐴)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -Ο€ ≀ 𝐴)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -Ο€ ≀ 𝐴)
2015rexrd 11286 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
21 fourierdlem40.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
2212, 21sseldd 3979 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2322rexrd 11286 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2423adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
25 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡))
26 ioogtlb 44803 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
2720, 24, 25, 26syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
286, 15, 9, 19, 27lelttrd 11394 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -Ο€ < 𝑠)
296, 9, 28ltled 11384 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
3022adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
31 iooltub 44818 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
3220, 24, 25, 31syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
335, 4elicc2i 13414 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ Ο€))
3433simp3bi 1145 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝐡 ≀ Ο€)
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ Ο€)
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ≀ Ο€)
379, 30, 7, 32, 36ltletrd 11396 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < Ο€)
389, 7, 37ltled 11384 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ≀ Ο€)
396, 7, 9, 29, 38eliccd 44812 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
4039ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)))
4140ssrdv 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
4241resmptd 6038 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))))
43 eleq1 2816 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡)))
4443biimpac 478 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
4544adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
46 fourierdlem40.nxelab . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
4746ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑠 = 0) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
4845, 47pm2.65da 816 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
4948iffalsed 4535 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
50 fourierdlem40.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
52 fourierdlem40.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5352adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5453, 9readdcld 11265 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
5551, 54ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
56 fourierdlem40.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
57 fourierdlem40.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
5856, 57ifcld 4570 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ ℝ)
5958adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ ℝ)
6055, 59resubcld 11664 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ℝ)
6160recnd 11264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ β„‚)
629recnd 11264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
6348neqned 2942 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 β‰  0)
6461, 62, 63divrecd 12015 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠)))
6549, 64eqtrd 2767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠)))
6665mpteq2dva 5242 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠))))
673, 42, 663eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠))))
6855recnd 11264 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
6959recnd 11264 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
7068, 69negsubd 11599 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)))
7170eqcomd 2733 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)))
7271mpteq2dva 5242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))))
7314, 52readdcld 11265 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
7473rexrd 11286 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7574adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7622, 52readdcld 11265 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑋) ∈ ℝ)
7776rexrd 11286 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7877adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7914recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8052recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
8179, 80addcomd 11438 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
8281adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
8315, 9, 53, 27ltadd2dd 11395 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
8482, 83eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑠))
859, 30, 53, 32ltadd2dd 11395 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐡))
8622recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
8780, 86addcomd 11438 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) = (𝐡 + 𝑋))
8887adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐡) = (𝐡 + 𝑋))
8985, 88breqtrd 5168 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝐡 + 𝑋))
9075, 78, 54, 84, 89eliood 44806 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))
91 fvres 6910 . . . . . . . . 9 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
9392eqcomd 2733 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
9493mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
95 ioosscn 13410 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)) βŠ† β„‚
9695a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)) βŠ† β„‚)
97 fourierdlem40.fcn . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋))–cnβ†’β„‚))
98 ioosscn 13410 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
9998a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
10096, 97, 99, 80, 90fourierdlem23 45441 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
10194, 100eqeltrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
102 0red 11239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
10314ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1048adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
105 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
10627adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
107102, 103, 104, 105, 106lelttrd 11394 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 < 𝑠)
108107iftrued 4532 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Œ)
109108negeqd 11476 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = -π‘Œ)
110109mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Œ))
11156renegcld 11663 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -π‘Œ ∈ ℝ)
112111recnd 11264 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -π‘Œ ∈ β„‚)
113 ssid 4000 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
114113a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
11599, 112, 114constcncfg 45183 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Œ) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
116115adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Œ) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
117110, 116eqeltrd 2828 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
11814rexrd 11286 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
12023ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
121 0red 11239 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
122 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ Β¬ 0 ≀ 𝐴)
12314adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
124 0red 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
125123, 124ltnled 11383 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐴))
126122, 125mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 < 0)
127126adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 𝐴 < 0)
128 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ Β¬ 𝐡 ≀ 0)
129 0red 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
13022adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
131129, 130ltnled 11383 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ (0 < 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 ≀ 0))
132128, 131mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 < 𝐡)
133132adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 < 𝐡)
134119, 120, 121, 127, 133eliood 44806 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
13546ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
136134, 135condan 817 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐡 ≀ 0)
1378adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
138 0red 11239 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
13922ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
14032adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
141 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ≀ 0)
142137, 139, 138, 140, 141ltletrd 11396 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 0)
143137, 138, 142ltnsymd 11385 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 0 < 𝑠)
144143iffalsed 4535 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Š)
145144negeqd 11476 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = -π‘Š)
146145mpteq2dva 5242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Š))
14757recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚)
148147negcld 11580 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -π‘Š ∈ β„‚)
14999, 148, 114constcncfg 45183 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Š) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
150149adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Š) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
151146, 150eqeltrd 2828 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
152136, 151syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
153117, 152pm2.61dan 812 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
154101, 153addcncf 25359 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
15572, 154eqeltrd 2828 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
156 eqid 2727 . . . 4 (𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑠)) = (𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑠))
157 1cnd 11231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
158156cdivcncf 24828 . . . . 5 (1 ∈ β„‚ β†’ (𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((β„‚ βˆ– {0})–cnβ†’β„‚))
159157, 158syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((β„‚ βˆ– {0})–cnβ†’β„‚))
160 velsn 4640 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
16148, 160sylnibr 329 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ {0})
16262, 161eldifd 3955 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
163162ralrimiva 3141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
164 dfss3 3966 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ↔ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
165163, 164sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
1669, 63rereccld 12063 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 𝑠) ∈ ℝ)
167166recnd 11264 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 𝑠) ∈ β„‚)
168156, 159, 165, 114, 167cncfmptssg 45182 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
169155, 168mulcncf 25361 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
17067, 169eqeltrd 2828 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  (,)cioo 13348  [,]cicc 13351  Ο€cpi 16034  β€“cnβ†’ccncf 24783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  45520  fourierdlem104  45521
  Copyright terms: Public domain W3C validator