Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem40 44474
Description: 𝐻 is a continuous function on any partition interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem40.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem40.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
fourierdlem40.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
fourierdlem40.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem40.nxelab (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
fourierdlem40.fcn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem40.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
fourierdlem40.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
fourierdlem40.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem40 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐹,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑋,𝑠   π‘Œ,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem40
StepHypRef Expression
1 fourierdlem40.h . . . . 5 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
21reseq1i 5934 . . . 4 (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
4 pire 25831 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ
54renegcli 11467 . . . . . . . 8 -Ο€ ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
74a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
8 elioore 13300 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
98adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1210, 11iccssred 13357 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
13 fourierdlem40.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
1412, 13sseldd 3946 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1514adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
165, 4elicc2i 13336 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€))
1716simp2bi 1147 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -Ο€ ≀ 𝐴)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -Ο€ ≀ 𝐴)
1918adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -Ο€ ≀ 𝐴)
2015rexrd 11210 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
21 fourierdlem40.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
2212, 21sseldd 3946 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2322rexrd 11210 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2423adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
25 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡))
26 ioogtlb 43819 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
2720, 24, 25, 26syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
286, 15, 9, 19, 27lelttrd 11318 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -Ο€ < 𝑠)
296, 9, 28ltled 11308 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
3022adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
31 iooltub 43834 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
3220, 24, 25, 31syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
335, 4elicc2i 13336 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ Ο€))
3433simp3bi 1148 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝐡 ≀ Ο€)
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ Ο€)
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ≀ Ο€)
379, 30, 7, 32, 36ltletrd 11320 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < Ο€)
389, 7, 37ltled 11308 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ≀ Ο€)
396, 7, 9, 29, 38eliccd 43828 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
4039ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)))
4140ssrdv 3951 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
4241resmptd 5995 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))))
43 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡)))
4443biimpac 480 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
4544adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
46 fourierdlem40.nxelab . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
4746ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑠 = 0) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
4845, 47pm2.65da 816 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
4948iffalsed 4498 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
50 fourierdlem40.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
5150adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
52 fourierdlem40.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5352adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5453, 9readdcld 11189 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
5551, 54ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
56 fourierdlem40.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
57 fourierdlem40.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
5856, 57ifcld 4533 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ ℝ)
5958adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ ℝ)
6055, 59resubcld 11588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ℝ)
6160recnd 11188 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ β„‚)
629recnd 11188 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
6348neqned 2947 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 β‰  0)
6461, 62, 63divrecd 11939 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠)))
6549, 64eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠)))
6665mpteq2dva 5206 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠))))
673, 42, 663eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠))))
6855recnd 11188 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
6959recnd 11188 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
7068, 69negsubd 11523 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)))
7170eqcomd 2739 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)))
7271mpteq2dva 5206 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))))
7314, 52readdcld 11189 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
7473rexrd 11210 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7574adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7622, 52readdcld 11189 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑋) ∈ ℝ)
7776rexrd 11210 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7877adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑋) ∈ ℝ*)
7914recnd 11188 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8052recnd 11188 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
8179, 80addcomd 11362 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
8281adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
8315, 9, 53, 27ltadd2dd 11319 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
8482, 83eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑠))
859, 30, 53, 32ltadd2dd 11319 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐡))
8622recnd 11188 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
8780, 86addcomd 11362 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) = (𝐡 + 𝑋))
8887adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐡) = (𝐡 + 𝑋))
8985, 88breqtrd 5132 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝐡 + 𝑋))
9075, 78, 54, 84, 89eliood 43822 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))
91 fvres 6862 . . . . . . . . 9 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
9392eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
9493mpteq2dva 5206 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
95 ioosscn 13332 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)) βŠ† β„‚
9695a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)) βŠ† β„‚)
97 fourierdlem40.fcn . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋))–cnβ†’β„‚))
98 ioosscn 13332 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
9998a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
10096, 97, 99, 80, 90fourierdlem23 44457 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐡 + 𝑋)))β€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
10194, 100eqeltrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
102 0red 11163 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
10314ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1048adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
105 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
10627adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
107102, 103, 104, 105, 106lelttrd 11318 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 < 𝑠)
108107iftrued 4495 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Œ)
109108negeqd 11400 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = -π‘Œ)
110109mpteq2dva 5206 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Œ))
11156renegcld 11587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -π‘Œ ∈ ℝ)
112111recnd 11188 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -π‘Œ ∈ β„‚)
113 ssid 3967 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
114113a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
11599, 112, 114constcncfg 44199 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Œ) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
116115adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Œ) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
117110, 116eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
11814rexrd 11210 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
12023ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
121 0red 11163 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
122 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ Β¬ 0 ≀ 𝐴)
12314adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
124 0red 11163 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
125123, 124ltnled 11307 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐴))
126122, 125mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 < 0)
127126adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 𝐴 < 0)
128 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ Β¬ 𝐡 ≀ 0)
129 0red 11163 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
13022adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
131129, 130ltnled 11307 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ (0 < 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 ≀ 0))
132128, 131mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 < 𝐡)
133132adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 < 𝐡)
134119, 120, 121, 127, 133eliood 43822 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
13546ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐡 ≀ 0) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
136134, 135condan 817 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐡 ≀ 0)
1378adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
138 0red 11163 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
13922ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
14032adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
141 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ≀ 0)
142137, 139, 138, 140, 141ltletrd 11320 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 0)
143137, 138, 142ltnsymd 11309 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 0 < 𝑠)
144143iffalsed 4498 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Š)
145144negeqd 11400 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = -π‘Š)
146145mpteq2dva 5206 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Š))
14757recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚)
148147negcld 11504 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -π‘Š ∈ β„‚)
14999, 148, 114constcncfg 44199 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Š) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
150149adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -π‘Š) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
151146, 150eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 0) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
152136, 151syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
153117, 152pm2.61dan 812 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
154101, 153addcncf 24824 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
15572, 154eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
156 eqid 2733 . . . 4 (𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑠)) = (𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑠))
157 1cnd 11155 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
158156cdivcncf 24300 . . . . 5 (1 ∈ β„‚ β†’ (𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((β„‚ βˆ– {0})–cnβ†’β„‚))
159157, 158syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((β„‚ βˆ– {0})–cnβ†’β„‚))
160 velsn 4603 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
16148, 160sylnibr 329 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ {0})
16262, 161eldifd 3922 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
163162ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
164 dfss3 3933 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ↔ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
165163, 164sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
1669, 63rereccld 11987 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 𝑠) ∈ ℝ)
167166recnd 11188 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 𝑠) ∈ β„‚)
168156, 159, 165, 114, 167cncfmptssg 44198 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
169155, 168mulcncf 24826 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) Β· (1 / 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
17067, 169eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  (,)cioo 13270  [,]cicc 13273  Ο€cpi 15954  β€“cnβ†’ccncf 24255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  44536  fourierdlem104  44537
  Copyright terms: Public domain W3C validator