Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem78 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem78 41064
Description: 𝐺 is continuous when restricted on an interval not containing 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem78.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem78.a (𝜑𝐴 ∈ (-π[,]π))
fourierdlem78.b (𝜑𝐵 ∈ (-π[,]π))
fourierdlem78.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem78.nxelab (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem78.fcn (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))–cn→ℂ))
fourierdlem78.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem78.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem78.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem78.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem78.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem78.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem78.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem78.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem78 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐹,𝑠   𝑁,𝑠   𝑊,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑈(𝑠)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑠)   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem78
StepHypRef Expression
1 fourierdlem78.g . . . . 5 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
32reseq1d 5566 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
4 pire 24518 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
54renegcli 10601 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ∈ ℝ)
74a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ ℝ)
8 elioore 12414 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
98adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℝ)
1210, 11iccssred 40395 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
13 fourierdlem78.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (-π[,]π))
1412, 13sseldd 3764 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1514adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
165, 4elicc2i 12448 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
1716simp2bi 1176 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ 𝐴)
1918adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ≤ 𝐴)
2015rexrd 10347 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21 fourierdlem78.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (-π[,]π))
2212, 21sseldd 3764 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2322rexrd 10347 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2423adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
26 ioogtlb 40385 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
2720, 24, 25, 26syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
286, 15, 9, 19, 27lelttrd 10454 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π < 𝑠)
296, 9, 28ltled 10444 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ≤ 𝑠)
3022adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31 iooltub 40401 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
3220, 24, 25, 31syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
335, 4elicc2i 12448 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐵𝐵 ≤ π))
3433simp3bi 1177 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (-π[,]π) → 𝐵 ≤ π)
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ≤ π)
3635adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ≤ π)
379, 30, 7, 32, 36ltletrd 10456 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < π)
389, 7, 37ltled 10444 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≤ π)
396, 7, 9, 29, 38eliccd 40394 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
4039ex 401 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ (-π[,]π)))
4140ssrdv 3769 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
4241resmptd 5631 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
433, 42eqtrd 2799 . 2 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
44 0red 10301 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
45 fourierdlem78.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
47 fourierdlem78.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4948, 9readdcld 10327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
5046, 49ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
51 fourierdlem78.y . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
52 fourierdlem78.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
5351, 52ifcld 4290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5550, 54resubcld 10717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
56 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5756biimpac 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
5857adantll 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
59 fourierdlem78.nxelab . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6059ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6158, 60pm2.65da 851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
6261neqned 2944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
6355, 9, 62redivcld 11112 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) ∈ ℝ)
6444, 63ifcld 4290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
65 fourierdlem78.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6665fvmpt2 6484 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6739, 64, 66syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6867, 64eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
69 1red 10298 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
70 2re 11351 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
729rehalfcld 11530 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
7372resincld 15171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
7471, 73remulcld 10328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
7571recnd 10326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
7673recnd 10326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
77 2ne0 11388 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
79 fourierdlem44 41031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
8039, 62, 79syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
8175, 76, 78, 80mulne0d 10938 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
829, 74, 81redivcld 11112 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
8369, 82ifcld 4290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
84 fourierdlem78.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8584fvmpt2 6484 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8639, 83, 85syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8786, 83eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
8868, 87remulcld 10328 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
89 fourierdlem78.u . . . . . . . 8 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
9089fvmpt2 6484 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
9139, 88, 90syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
9291, 88eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
93 fourierdlem78.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
9493adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9571, 78rereccld 11111 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
9694, 95readdcld 10327 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9796, 9remulcld 10328 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
9897resincld 15171 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
99 fourierdlem78.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
10099fvmpt2 6484 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
10139, 98, 100syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
102101, 98eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
10392, 102remulcld 10328 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
104 eqid 2765 . . . 4 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
105103, 104fmptd 6578 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
106 ax-resscn 10250 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
107106a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10891mpteq2dva 4905 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑈𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
10961iffalsed 4256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
11055recnd 10326 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
1119recnd 10326 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
112110, 111, 62divrecd 11063 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠)))
11367, 109, 1123eqtrd 2803 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠)))
114113mpteq2dva 4905 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))))
11550recnd 10326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
11654recnd 10326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
117115, 116negsubd 10657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
118117eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
119118mpteq2dva 4905 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))))
12014, 47readdcld 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
121120rexrd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
12322, 47readdcld 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
124123rexrd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
125124adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
12614recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
12747recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
128126, 127addcomd 10497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
129128adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
13015, 9, 48, 27ltadd2dd 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
131129, 130eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑠))
1329, 30, 48, 32ltadd2dd 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
13322recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
134127, 133addcomd 10497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
135134adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
136132, 135breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝐵 + 𝑋))
137122, 125, 49, 131, 136eliood 40388 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))
138 fvres 6398 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
140139eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)))
141140mpteq2dva 4905 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠))))
142 ioosscn 40384 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℂ
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℂ)
144 fourierdlem78.fcn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))–cn→ℂ))
145 ioosscn 40384 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
147143, 144, 146, 127, 137fourierdlem23 41010 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
148141, 147eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
149 0red 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
15014ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1518adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
152 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
15327adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
154149, 150, 151, 152, 153lelttrd 10454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑠)
155154iftrued 4253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
156155negeqd 10534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = -𝑌)
157156mpteq2dva 4905 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌))
15851renegcld 10716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -𝑌 ∈ ℝ)
159158recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -𝑌 ∈ ℂ)
160 ssid 3785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ⊆ ℂ
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
162146, 159, 161constcncfg 40748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
163162adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
164157, 163eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
165 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝜑)
16614rexrd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
167166ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16823ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
169 0red 10301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
170 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 0 ≤ 𝐴)
17114adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
172 0red 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
173171, 172ltnled 10443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
174170, 173mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 0)
175174adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐴 < 0)
176 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → ¬ 𝐵 ≤ 0)
177 0red 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
17822adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
179177, 178ltnled 10443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
180176, 179mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 < 𝐵)
181180adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 < 𝐵)
182167, 168, 169, 175, 181eliood 40388 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18359ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
184182, 183condan 852 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 0)
1858adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
186 0red 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
18722ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18832adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
189 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ≤ 0)
190185, 187, 186, 188, 189ltletrd 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 0)
191185, 186, 190ltnsymd 10445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 < 𝑠)
192191iffalsed 4256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑊)
193192negeqd 10534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = -𝑊)
194193mpteq2dva 4905 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊))
19552recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
196195negcld 10638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -𝑊 ∈ ℂ)
197146, 196, 161constcncfg 40748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
198197adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
199194, 198eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
200165, 184, 199syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
201164, 200pm2.61dan 847 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
202148, 201addcncf 40750 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
203119, 202eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
204 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) = (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠))
205 1cnd 10292 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
206204cdivcncf 23015 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
208 velsn 4352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
20961, 208sylnibr 320 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
210111, 209eldifd 3745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
211210ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
212 dfss3 3752 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
213211, 212sylibr 225 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
2149, 62rereccld 11111 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑠) ∈ ℝ)
215214recnd 10326 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑠) ∈ ℂ)
216204, 207, 213, 161, 215cncfmptssg 40747 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
217203, 216mulcncf 23520 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
218114, 217eqeltrd 2844 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
21961iffalsed 4256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
22074recnd 10326 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
221111, 220, 81divrecd 11063 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
22286, 219, 2213eqtrd 2803 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) = (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
223222mpteq2dva 4905 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
224219, 221eqtr2d 2800 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
225224mpteq2dva 4905 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
226 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
227 cncfss 22997 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
228106, 160, 227mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ)
229226fourierdlem62 41048 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
230229a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
231228, 230sseldi 3761 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
23283recnd 10326 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
233226, 231, 41, 161, 232cncfmptssg 40747 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
234225, 233eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
235223, 234eqeltrd 2844 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
236218, 235mulcncf 23520 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
237108, 236eqeltrd 2844 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑈𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
238101mpteq2dva 4905 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑆𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
239 sincn 24505 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
240239a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
241 halfre 11497 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
242241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
24393, 242readdcld 10327 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
244243recnd 10326 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
245146, 244, 161constcncfg 40748 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
246146, 161idcncfg 40749 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
247245, 246mulcncf 23520 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
248240, 247cncfmpt1f 23011 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
249238, 248eqeltrd 2844 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑆𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
250237, 249mulcncf 23520 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
251 cncffvrn 22996 . . . 4 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
252107, 250, 251syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
253105, 252mpbird 248 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
25443, 253eqeltrd 2844 1 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  cdif 3731  wss 3734  ifcif 4245  {csn 4336   class class class wbr 4811  cmpt 4890  cres 5281  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  cmin 10525  -cneg 10526   / cdiv 10943  2c2 11332  (,)cioo 12384  [,]cicc 12387  sincsin 15092  πcpi 15095  cnccncf 22974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528  df-div 10944  df-nn 11280  df-2 11340  df-3 11341  df-4 11342  df-5 11343  df-6 11344  df-7 11345  df-8 11346  df-9 11347  df-n0 11544  df-z 11630  df-dec 11747  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12153  df-xadd 12154  df-xmul 12155  df-ioo 12388  df-ioc 12389  df-ico 12390  df-icc 12391  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13272  df-bc 13301  df-hash 13329  df-shft 14108  df-cj 14140  df-re 14141  df-im 14142  df-sqrt 14276  df-abs 14277  df-limsup 14503  df-clim 14520  df-rlim 14521  df-sum 14718  df-ef 15096  df-sin 15098  df-cos 15099  df-pi 15101  df-struct 16148  df-ndx 16149  df-slot 16150  df-base 16152  df-sets 16153  df-ress 16154  df-plusg 16243  df-mulr 16244  df-starv 16245  df-sca 16246  df-vsca 16247  df-ip 16248  df-tset 16249  df-ple 16250  df-ds 16252  df-unif 16253  df-hom 16254  df-cco 16255  df-rest 16365  df-topn 16366  df-0g 16384  df-gsum 16385  df-topgen 16386  df-pt 16387  df-prds 16390  df-xrs 16444  df-qtop 16449  df-imas 16450  df-xps 16452  df-mre 16528  df-mrc 16529  df-acs 16531  df-mgm 17524  df-sgrp 17566  df-mnd 17577  df-submnd 17618  df-mulg 17824  df-cntz 18029  df-cmn 18477  df-psmet 20027  df-xmet 20028  df-met 20029  df-bl 20030  df-mopn 20031  df-fbas 20032  df-fg 20033  df-cnfld 20036  df-top 20994  df-topon 21011  df-topsp 21033  df-bases 21046  df-cld 21119  df-ntr 21120  df-cls 21121  df-nei 21198  df-lp 21236  df-perf 21237  df-cn 21327  df-cnp 21328  df-t1 21414  df-haus 21415  df-cmp 21486  df-tx 21661  df-hmeo 21854  df-fil 21945  df-fm 22037  df-flim 22038  df-flf 22039  df-xms 22420  df-ms 22421  df-tms 22422  df-cncf 22976  df-limc 23937  df-dv 23938
This theorem is referenced by:  fourierdlem88  41074
  Copyright terms: Public domain W3C validator