fourierdlem78 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem78 46105

Description: 𝐺 is continuous when restricted on an interval not containing 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem78.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem78.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
fourierdlem78.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (-π[,]π))
fourierdlem78.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem78.nxelab	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem78.fcn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))–cn→ℂ))
fourierdlem78.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem78.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem78.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem78.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem78.u	⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
fourierdlem78.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem78.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem78.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem78	⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑠 𝐵,𝑠 𝐹,𝑠 𝑁,𝑠 𝑊,𝑠 𝑋,𝑠 𝑌,𝑠 𝜑,𝑠 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑠) 𝑈(𝑠) 𝐺(𝑠) 𝐻(𝑠) 𝐾(𝑠)

**Proof of Theorem fourierdlem78**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem78.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))))
3	2	reseq1d 6008	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
4		pire 26518	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
5	4	renegcli 11597	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ∈ ℝ)
7	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ ℝ)
8		elioore 13437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
11	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
12	10, 11	iccssred 13494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
13		fourierdlem78.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
14	12, 13	sseldd 4009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	5, 4	elicc2i 13473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
17	16	simp2bi 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -π ≤ 𝐴)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ≤ 𝐴)
20	15	rexrd 11340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
21		fourierdlem78.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (-π[,]π))
22	12, 21	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
26		ioogtlb 45413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
27	20, 24, 25, 26	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
28	6, 15, 9, 19, 27	lelttrd 11448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π < 𝑠)
29	6, 9, 28	ltled 11438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ≤ 𝑠)
30	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31		iooltub 45428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
32	20, 24, 25, 31	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
33	5, 4	elicc2i 13473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ π))
34	33	simp3bi 1147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (-π[,]π) → 𝐵 ≤ π)
35	21, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ π)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ≤ π)
37	9, 30, 7, 32, 36	ltletrd 11450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < π)
38	9, 7, 37	ltled 11438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≤ π)
39	6, 7, 9, 29, 38	eliccd 45422	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
40	39	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ (-π[,]π)))
41	40	ssrdv 4014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
42	41	resmptd 6069	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))))
43	3, 42	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))))
44		0red 11293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
45		fourierdlem78.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
47		fourierdlem78.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
49	48, 9	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
50	46, 49	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
51		fourierdlem78.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
52		fourierdlem78.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
53	51, 52	ifcld 4594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
55	50, 54	resubcld 11718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
56		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
57	56	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
58	57	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
59		fourierdlem78.nxelab	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
60	59	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
61	58, 60	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
62	61	neqned 2953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
63	55, 9, 62	redivcld 12122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) ∈ ℝ)
64	44, 63	ifcld 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
65		fourierdlem78.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
66	65	fvmpt2 7040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
67	39, 64, 66	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
68	67, 64	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻‘𝑠) ∈ ℝ)
69		1red 11291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
70		2re 12367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
72	9	rehalfcld 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
73	72	resincld 16191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
74	71, 73	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
75	71	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
76	73	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
77		2ne0 12397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
79		fourierdlem44 46072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
80	39, 62, 79	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
81	75, 76, 78, 80	mulne0d 11942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
82	9, 74, 81	redivcld 12122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
83	69, 82	ifcld 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
84		fourierdlem78.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
85	84	fvmpt2 7040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
86	39, 83, 85	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
87	86, 83	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℝ)
88	68, 87	remulcld 11320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ)
89		fourierdlem78.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
90	89	fvmpt2 7040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
91	39, 88, 90	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
92	91, 88	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
93		fourierdlem78.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑁 ∈ ℝ)
95	71, 78	rereccld 12121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
96	94, 95	readdcld 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
97	96, 9	remulcld 11320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
98	97	resincld 16191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
99		fourierdlem78.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
100	99	fvmpt2 7040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
101	39, 98, 100	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
102	101, 98	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑆‘𝑠) ∈ ℝ)
103	92, 102	remulcld 11320	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ)
104		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
105	103, 104	fmptd 7148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
106		ax-resscn 11241	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
107	106	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
108	91	mpteq2dva 5266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑈‘𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))))
109	61	iffalsed 4559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
110	55	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
111	9	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
112	110, 111, 62	divrecd 12073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠)))
113	67, 109, 112	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠)))
114	113	mpteq2dva 5266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻‘𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))))
115	50	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
116	54	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
117	115, 116	negsubd 11653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
118	117	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
119	118	mpteq2dva 5266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))))
120	14, 47	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
121	120	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ^*)
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ^*)
123	22, 47	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
124	123	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ^*)
125	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ^*)
126	14	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
127	47	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
128	126, 127	addcomd 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
129	128	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
130	15, 9, 48, 27	ltadd2dd 11449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
131	129, 130	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑠))
132	9, 30, 48, 32	ltadd2dd 11449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
133	22	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
134	127, 133	addcomd 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
135	134	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
136	132, 135	breqtrd 5192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝐵 + 𝑋))
137	122, 125, 49, 131, 136	eliood 45416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))
138		fvres 6939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
139	137, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
140	139	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)))
141	140	mpteq2dva 5266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠))))
142		ioosscn 13469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℂ
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℂ)
144		fourierdlem78.fcn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))–cn→ℂ))
145		ioosscn 13469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
147	143, 144, 146, 127, 137	fourierdlem23 46051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
148	141, 147	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
149		0red 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
150	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
151	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
152		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
153	27	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
154	149, 150, 151, 152, 153	lelttrd 11448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑠)
155	154	iftrued 4556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
156	155	negeqd 11530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = -𝑌)
157	156	mpteq2dva 5266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌))
158	51	renegcld 11717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -𝑌 ∈ ℝ)
159	158	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -𝑌 ∈ ℂ)
160		ssid 4031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
162	146, 159, 161	constcncfg 45793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
163	162	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
164	157, 163	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
165		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝜑)
166	14	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
167	166	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
168	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
169		0red 11293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
170		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 0 ≤ 𝐴)
171	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
172		0red 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
173	171, 172	ltnled 11437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
174	170, 173	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 0)
175	174	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐴 < 0)
176		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → ¬ 𝐵 ≤ 0)
177		0red 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
178	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
179	177, 178	ltnled 11437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
180	176, 179	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 < 𝐵)
181	180	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 < 𝐵)
182	167, 168, 169, 175, 181	eliood 45416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
183	59	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
184	182, 183	condan 817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 0)
185	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
186		0red 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
187	22	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
188	32	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
189		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ≤ 0)
190	185, 187, 186, 188, 189	ltletrd 11450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 0)
191	185, 186, 190	ltnsymd 11439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 < 𝑠)
192	191	iffalsed 4559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑊)
193	192	negeqd 11530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = -𝑊)
194	193	mpteq2dva 5266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊))
195	52	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂ)
196	195	negcld 11634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -𝑊 ∈ ℂ)
197	146, 196, 161	constcncfg 45793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
198	197	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
199	194, 198	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
200	165, 184, 199	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
201	164, 200	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
202	148, 201	addcncf 25497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
203	119, 202	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
204		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) = (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠))
205		1cnd 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
206	204	cdivcncf 24966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
207	205, 206	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
208		velsn 4664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
209	61, 208	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
210	111, 209	eldifd 3987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
211	210	ralrimiva 3152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
212		dfss3 3997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
213	211, 212	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
214	9, 62	rereccld 12121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑠) ∈ ℝ)
215	214	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑠) ∈ ℂ)
216	204, 207, 213, 161, 215	cncfmptssg 45792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
217	203, 216	mulcncf 25499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
218	114, 217	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻‘𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
219	61	iffalsed 4559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
220	74	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
221	111, 220, 81	divrecd 12073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
222	86, 219, 221	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾‘𝑠) = (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
223	222	mpteq2dva 5266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾‘𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
224	219, 221	eqtr2d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
225	224	mpteq2dva 5266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
226		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
227		cncfss 24944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
228	106, 160, 227	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ)
229	226	fourierdlem62 46089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
231	228, 230	sselid 4006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
232	83	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
233	226, 231, 41, 161, 232	cncfmptssg 45792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
234	225, 233	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
235	223, 234	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾‘𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
236	218, 235	mulcncf 25499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
237	108, 236	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑈‘𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
238	101	mpteq2dva 5266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑆‘𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
239		sincn 26506	. . . . . . . 8 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
240	239	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
241		halfre 12507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
243	93, 242	readdcld 11319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
244	243	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
245	146, 244, 161	constcncfg 45793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
246	146, 161	idcncfg 45794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
247	245, 246	mulcncf 25499	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
248	240, 247	cncfmpt1f 24959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
249	238, 248	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑆‘𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
250	237, 249	mulcncf 25499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
251		cncfcdm 24943	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
252	107, 250, 251	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
253	105, 252	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
254	43, 253	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ∀wral 3067 ∖ cdif 3973 ⊆ wss 3976 ifcif 4548 {csn 4648 class class class wbr 5166 ↦ cmpt 5249 ↾ cres 5702 ⟶wf 6569 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 · cmul 11189 ℝ^*cxr 11323 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11520 -cneg 11521 / cdiv 11947 2c2 12348 (,)cioo 13407 [,]cicc 13410 sincsin 16111 πcpi 16114 –cn→ccncf 24921

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-inf2 9710 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262 ax-addf 11263

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-tp 4653 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-iin 5018 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-se 5653 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-isom 6582 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-of 7714 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-supp 8202 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-2o 8523 df-er 8763 df-map 8886 df-pm 8887 df-ixp 8956 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-fsupp 9432 df-fi 9480 df-sup 9511 df-inf 9512 df-oi 9579 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-5 12359 df-6 12360 df-7 12361 df-8 12362 df-9 12363 df-n0 12554 df-z 12640 df-dec 12759 df-uz 12904 df-q 13014 df-rp 13058 df-xneg 13175 df-xadd 13176 df-xmul 13177 df-ioo 13411 df-ioc 13412 df-ico 13413 df-icc 13414 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-fl 13843 df-mod 13921 df-seq 14053 df-exp 14113 df-fac 14323 df-bc 14352 df-hash 14380 df-shft 15116 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-limsup 15517 df-clim 15534 df-rlim 15535 df-sum 15735 df-ef 16115 df-sin 16117 df-cos 16118 df-pi 16120 df-struct 17194 df-sets 17211 df-slot 17229 df-ndx 17241 df-base 17259 df-ress 17288 df-plusg 17324 df-mulr 17325 df-starv 17326 df-sca 17327 df-vsca 17328 df-ip 17329 df-tset 17330 df-ple 17331 df-ds 17333 df-unif 17334 df-hom 17335 df-cco 17336 df-rest 17482 df-topn 17483 df-0g 17501 df-gsum 17502 df-topgen 17503 df-pt 17504 df-prds 17507 df-xrs 17562 df-qtop 17567 df-imas 17568 df-xps 17570 df-mre 17644 df-mrc 17645 df-acs 17647 df-mgm 18678 df-sgrp 18757 df-mnd 18773 df-submnd 18819 df-mulg 19108 df-cntz 19357 df-cmn 19824 df-psmet 21379 df-xmet 21380 df-met 21381 df-bl 21382 df-mopn 21383 df-fbas 21384 df-fg 21385 df-cnfld 21388 df-top 22921 df-topon 22938 df-topsp 22960 df-bases 22974 df-cld 23048 df-ntr 23049 df-cls 23050 df-nei 23127 df-lp 23165 df-perf 23166 df-cn 23256 df-cnp 23257 df-t1 23343 df-haus 23344 df-cmp 23416 df-tx 23591 df-hmeo 23784 df-fil 23875 df-fm 23967 df-flim 23968 df-flf 23969 df-xms 24351 df-ms 24352 df-tms 24353 df-cncf 24923 df-limc 25921 df-dv 25922

This theorem is referenced by: fourierdlem88 46115

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