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Theorem fourierdlem78 40919
Description: 𝐺 is continuous when restricted on an interval not containing 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem78.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem78.a (𝜑𝐴 ∈ (-π[,]π))
fourierdlem78.b (𝜑𝐵 ∈ (-π[,]π))
fourierdlem78.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem78.nxelab (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem78.fcn (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))–cn→ℂ))
fourierdlem78.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem78.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem78.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem78.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem78.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem78.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem78.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem78.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem78 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐹,𝑠   𝑁,𝑠   𝑊,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑈(𝑠)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑠)   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem78
StepHypRef Expression
1 fourierdlem78.g . . . . 5 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
32reseq1d 5534 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
4 pire 24432 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
54renegcli 10545 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ∈ ℝ)
74a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ ℝ)
8 elioore 12411 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
98adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℝ)
1210, 11iccssred 40249 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
13 fourierdlem78.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (-π[,]π))
1412, 13sseldd 3754 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1514adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
165, 4elicc2i 12445 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
1716simp2bi 1140 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ 𝐴)
1918adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ≤ 𝐴)
2015rexrd 10292 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21 fourierdlem78.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (-π[,]π))
2212, 21sseldd 3754 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2322rexrd 10292 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2423adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
26 ioogtlb 40239 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
2720, 24, 25, 26syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
286, 15, 9, 19, 27lelttrd 10398 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π < 𝑠)
296, 9, 28ltled 10388 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ≤ 𝑠)
3022adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31 iooltub 40256 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
3220, 24, 25, 31syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
335, 4elicc2i 12445 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐵𝐵 ≤ π))
3433simp3bi 1141 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (-π[,]π) → 𝐵 ≤ π)
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ≤ π)
3635adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ≤ π)
379, 30, 7, 32, 36ltletrd 10400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < π)
389, 7, 37ltled 10388 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≤ π)
396, 7, 9, 29, 38eliccd 40248 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
4039ex 397 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ (-π[,]π)))
4140ssrdv 3759 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
4241resmptd 5594 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
433, 42eqtrd 2805 . 2 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
44 0red 10244 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
45 fourierdlem78.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
4645adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
47 fourierdlem78.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4847adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4948, 9readdcld 10272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
5046, 49ffvelrnd 6504 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
51 fourierdlem78.y . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
52 fourierdlem78.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
5351, 52ifcld 4271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5453adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5550, 54resubcld 10661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
56 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5756biimpac 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
5857adantll 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
59 fourierdlem78.nxelab . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6059ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6158, 60pm2.65da 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
6261neqned 2950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
6355, 9, 62redivcld 11056 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) ∈ ℝ)
6444, 63ifcld 4271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
65 fourierdlem78.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6665fvmpt2 6434 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6739, 64, 66syl2anc 567 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6867, 64eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
69 1red 10258 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
70 2re 11293 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
729rehalfcld 11482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
7372resincld 15080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
7471, 73remulcld 10273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
7571recnd 10271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
7673recnd 10271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
77 2ne0 11316 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
79 fourierdlem44 40886 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
8039, 62, 79syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
8175, 76, 78, 80mulne0d 10882 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
829, 74, 81redivcld 11056 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
8369, 82ifcld 4271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
84 fourierdlem78.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8584fvmpt2 6434 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8639, 83, 85syl2anc 567 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8786, 83eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
8868, 87remulcld 10273 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
89 fourierdlem78.u . . . . . . . 8 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
9089fvmpt2 6434 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
9139, 88, 90syl2anc 567 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
9291, 88eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
93 fourierdlem78.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
9493adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9571, 78rereccld 11055 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
9694, 95readdcld 10272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9796, 9remulcld 10273 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
9897resincld 15080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
99 fourierdlem78.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
10099fvmpt2 6434 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
10139, 98, 100syl2anc 567 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
102101, 98eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
10392, 102remulcld 10273 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
104 eqid 2771 . . . 4 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
105103, 104fmptd 6528 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
106 ax-resscn 10196 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
107106a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10891mpteq2dva 4879 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑈𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
10961iffalsed 4237 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
11055recnd 10271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
1119recnd 10271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
112110, 111, 62divrecd 11007 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠)))
11367, 109, 1123eqtrd 2809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠)))
114113mpteq2dva 4879 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))))
11550recnd 10271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
11654recnd 10271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
117115, 116negsubd 10601 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
118117eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
119118mpteq2dva 4879 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))))
12014, 47readdcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
121120rexrd 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
122121adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
12322, 47readdcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
124123rexrd 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
125124adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
12614recnd 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
12747recnd 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
128126, 127addcomd 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
129128adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
13015, 9, 48, 27ltadd2dd 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
131129, 130eqbrtrd 4809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑠))
1329, 30, 48, 32ltadd2dd 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
13322recnd 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
134127, 133addcomd 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
135134adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
136132, 135breqtrd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝐵 + 𝑋))
137122, 125, 49, 131, 136eliood 40242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))
138 fvres 6349 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
140139eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)))
141140mpteq2dva 4879 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠))))
142 ioosscn 40238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℂ
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℂ)
144 fourierdlem78.fcn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))–cn→ℂ))
145 ioosscn 40238 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
147143, 144, 146, 127, 137fourierdlem23 40865 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
148141, 147eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
149 0red 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
15014ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1518adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
152 simplr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
15327adantlr 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
154149, 150, 151, 152, 153lelttrd 10398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑠)
155154iftrued 4234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
156155negeqd 10478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = -𝑌)
157156mpteq2dva 4879 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌))
15851renegcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -𝑌 ∈ ℝ)
159158recnd 10271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -𝑌 ∈ ℂ)
160 ssid 3774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ⊆ ℂ
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
162146, 159, 161constcncfg 40603 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
163162adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
164157, 163eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
165 simpl 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝜑)
16614rexrd 10292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
167166ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16823ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
169 0red 10244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
170 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 0 ≤ 𝐴)
17114adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
172 0red 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
173171, 172ltnled 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
174170, 173mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 0)
175174adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐴 < 0)
176 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → ¬ 𝐵 ≤ 0)
177 0red 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
17822adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
179177, 178ltnled 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
180176, 179mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 < 𝐵)
181180adantlr 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 < 𝐵)
182167, 168, 169, 175, 181eliood 40242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18359ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
184182, 183condan 812 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 0)
1858adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
186 0red 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
18722ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18832adantlr 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
189 simplr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ≤ 0)
190185, 187, 186, 188, 189ltletrd 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 0)
191185, 186, 190ltnsymd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 < 𝑠)
192191iffalsed 4237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑊)
193192negeqd 10478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = -𝑊)
194193mpteq2dva 4879 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊))
19552recnd 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
196195negcld 10582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -𝑊 ∈ ℂ)
197146, 196, 161constcncfg 40603 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
198197adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
199194, 198eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
200165, 184, 199syl2anc 567 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
201164, 200pm2.61dan 807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
202148, 201addcncf 40605 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
203119, 202eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
204 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) = (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠))
205 1cnd 10259 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
206204cdivcncf 22941 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
208 velsn 4333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
20961, 208sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
210111, 209eldifd 3735 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
211210ralrimiva 3115 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
212 dfss3 3742 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
213211, 212sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
2149, 62rereccld 11055 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑠) ∈ ℝ)
215214recnd 10271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑠) ∈ ℂ)
216204, 207, 213, 161, 215cncfmptssg 40602 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
217203, 216mulcncf 23435 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
218114, 217eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
21961iffalsed 4237 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
22074recnd 10271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
221111, 220, 81divrecd 11007 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
22286, 219, 2213eqtrd 2809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) = (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
223222mpteq2dva 4879 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
224219, 221eqtr2d 2806 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
225224mpteq2dva 4879 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
226 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
227 cncfss 22923 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
228106, 160, 227mp2an 666 . . . . . . . . . . 11 ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ)
229226fourierdlem62 40903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
230229a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
231228, 230sseldi 3751 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
23283recnd 10271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
233226, 231, 41, 161, 232cncfmptssg 40602 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
234225, 233eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
235223, 234eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
236218, 235mulcncf 23435 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
237108, 236eqeltrd 2850 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑈𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
238101mpteq2dva 4879 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑆𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
239 sincn 24419 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
240239a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
241 halfre 11449 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
242241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
24393, 242readdcld 10272 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
244243recnd 10271 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
245146, 244, 161constcncfg 40603 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
246146, 161idcncfg 40604 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
247245, 246mulcncf 23435 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
248240, 247cncfmpt1f 22937 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
249238, 248eqeltrd 2850 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑆𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
250237, 249mulcncf 23435 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
251 cncffvrn 22922 . . . 4 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
252107, 250, 251syl2anc 567 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
253105, 252mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
25443, 253eqeltrd 2850 1 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  cdif 3721  wss 3724  ifcif 4226  {csn 4317   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cres 5252  wf 6028  cfv 6032  (class class class)co 6794  cc 10137  cr 10138  0cc0 10139  1c1 10140   + caddc 10142   · cmul 10144  *cxr 10276   < clt 10277  cle 10278  cmin 10469  -cneg 10470   / cdiv 10887  2c2 11273  (,)cioo 12381  [,]cicc 12384  sincsin 15001  πcpi 15004  cnccncf 22900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217  ax-addf 10218  ax-mulf 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-supp 7448  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-ixp 8064  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12037  df-xneg 12152  df-xadd 12153  df-xmul 12154  df-ioo 12385  df-ioc 12386  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-fl 12802  df-mod 12878  df-seq 13010  df-exp 13069  df-fac 13266  df-bc 13295  df-hash 13323  df-shft 14016  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-limsup 14411  df-clim 14428  df-rlim 14429  df-sum 14626  df-ef 15005  df-sin 15007  df-cos 15008  df-pi 15010  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-starv 16165  df-sca 16166  df-vsca 16167  df-ip 16168  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-unif 16174  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16292  df-topn 16293  df-0g 16311  df-gsum 16312  df-topgen 16313  df-pt 16314  df-prds 16317  df-xrs 16371  df-qtop 16376  df-imas 16377  df-xps 16379  df-mre 16455  df-mrc 16456  df-acs 16458  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-mulg 17750  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-psmet 19954  df-xmet 19955  df-met 19956  df-bl 19957  df-mopn 19958  df-fbas 19959  df-fg 19960  df-cnfld 19963  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-t1 21340  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23851  df-dv 23852
This theorem is referenced by:  fourierdlem88  40929
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