Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem78 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem78 43980
Description: 𝐺 is continuous when restricted on an interval not containing 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem78.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem78.a (𝜑𝐴 ∈ (-π[,]π))
fourierdlem78.b (𝜑𝐵 ∈ (-π[,]π))
fourierdlem78.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem78.nxelab (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem78.fcn (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))–cn→ℂ))
fourierdlem78.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem78.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem78.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem78.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem78.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem78.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem78.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem78.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem78 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐹,𝑠   𝑁,𝑠   𝑊,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑈(𝑠)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑠)   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem78
StepHypRef Expression
1 fourierdlem78.g . . . . 5 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
32reseq1d 5909 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
4 pire 25695 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
54renegcli 11361 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ∈ ℝ)
74a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ ℝ)
8 elioore 13188 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
98adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℝ)
1210, 11iccssred 13245 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
13 fourierdlem78.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (-π[,]π))
1412, 13sseldd 3931 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
165, 4elicc2i 13224 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
1716simp2bi 1145 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ 𝐴)
1918adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ≤ 𝐴)
2015rexrd 11104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21 fourierdlem78.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (-π[,]π))
2212, 21sseldd 3931 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2322rexrd 11104 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2423adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
26 ioogtlb 43288 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
2720, 24, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
286, 15, 9, 19, 27lelttrd 11212 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π < 𝑠)
296, 9, 28ltled 11202 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ≤ 𝑠)
3022adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31 iooltub 43303 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
3220, 24, 25, 31syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
335, 4elicc2i 13224 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐵𝐵 ≤ π))
3433simp3bi 1146 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (-π[,]π) → 𝐵 ≤ π)
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ≤ π)
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ≤ π)
379, 30, 7, 32, 36ltletrd 11214 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < π)
389, 7, 37ltled 11202 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≤ π)
396, 7, 9, 29, 38eliccd 43297 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
4039ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ (-π[,]π)))
4140ssrdv 3936 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
4241resmptd 5967 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
433, 42eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
44 0red 11057 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
45 fourierdlem78.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
47 fourierdlem78.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4948, 9readdcld 11083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
5046, 49ffvelcdmd 7001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
51 fourierdlem78.y . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
52 fourierdlem78.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
5351, 52ifcld 4516 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5550, 54resubcld 11482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
56 eleq1 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5756biimpac 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
5857adantll 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
59 fourierdlem78.nxelab . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6059ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6158, 60pm2.65da 814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
6261neqned 2947 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
6355, 9, 62redivcld 11882 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) ∈ ℝ)
6444, 63ifcld 4516 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
65 fourierdlem78.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6665fvmpt2 6925 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6739, 64, 66syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6867, 64eqeltrd 2837 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
69 1red 11055 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
70 2re 12126 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
729rehalfcld 12299 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
7372resincld 15928 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
7471, 73remulcld 11084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
7571recnd 11082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
7673recnd 11082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
77 2ne0 12156 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
79 fourierdlem44 43947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
8039, 62, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
8175, 76, 78, 80mulne0d 11706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
829, 74, 81redivcld 11882 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
8369, 82ifcld 4516 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
84 fourierdlem78.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8584fvmpt2 6925 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8639, 83, 85syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8786, 83eqeltrd 2837 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
8868, 87remulcld 11084 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
89 fourierdlem78.u . . . . . . . 8 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
9089fvmpt2 6925 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
9139, 88, 90syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
9291, 88eqeltrd 2837 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
93 fourierdlem78.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
9493adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9571, 78rereccld 11881 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
9694, 95readdcld 11083 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9796, 9remulcld 11084 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
9897resincld 15928 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
99 fourierdlem78.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
10099fvmpt2 6925 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
10139, 98, 100syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
102101, 98eqeltrd 2837 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
10392, 102remulcld 11084 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
104 eqid 2736 . . . 4 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
105103, 104fmptd 7027 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
106 ax-resscn 11007 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
107106a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10891mpteq2dva 5186 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑈𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
10961iffalsed 4481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
11055recnd 11082 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
1119recnd 11082 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
112110, 111, 62divrecd 11833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠)))
11367, 109, 1123eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠)))
114113mpteq2dva 5186 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))))
11550recnd 11082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
11654recnd 11082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
117115, 116negsubd 11417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
118117eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
119118mpteq2dva 5186 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))))
12014, 47readdcld 11083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
121120rexrd 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
12322, 47readdcld 11083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
124123rexrd 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
125124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
12614recnd 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
12747recnd 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
128126, 127addcomd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
129128adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
13015, 9, 48, 27ltadd2dd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
131129, 130eqbrtrd 5108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑠))
1329, 30, 48, 32ltadd2dd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
13322recnd 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
134127, 133addcomd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
135134adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
136132, 135breqtrd 5112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝐵 + 𝑋))
137122, 125, 49, 131, 136eliood 43291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))
138 fvres 6830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
140139eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)))
141140mpteq2dva 5186 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠))))
142 ioosscn 13220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℂ
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℂ)
144 fourierdlem78.fcn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))–cn→ℂ))
145 ioosscn 13220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
147143, 144, 146, 127, 137fourierdlem23 43926 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
148141, 147eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
149 0red 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
15014ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1518adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
152 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
15327adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
154149, 150, 151, 152, 153lelttrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑠)
155154iftrued 4478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
156155negeqd 11294 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = -𝑌)
157156mpteq2dva 5186 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌))
15851renegcld 11481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -𝑌 ∈ ℝ)
159158recnd 11082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -𝑌 ∈ ℂ)
160 ssid 3952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ⊆ ℂ
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
162146, 159, 161constcncfg 43668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
163162adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
164157, 163eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
165 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝜑)
16614rexrd 11104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
167166ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16823ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
169 0red 11057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
170 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 0 ≤ 𝐴)
17114adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
172 0red 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
173171, 172ltnled 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
174170, 173mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 0)
175174adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐴 < 0)
176 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → ¬ 𝐵 ≤ 0)
177 0red 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
17822adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
179177, 178ltnled 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
180176, 179mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 < 𝐵)
181180adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 < 𝐵)
182167, 168, 169, 175, 181eliood 43291 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18359ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
184182, 183condan 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 0)
1858adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
186 0red 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
18722ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18832adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
189 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ≤ 0)
190185, 187, 186, 188, 189ltletrd 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 0)
191185, 186, 190ltnsymd 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 < 𝑠)
192191iffalsed 4481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑊)
193192negeqd 11294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = -𝑊)
194193mpteq2dva 5186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊))
19552recnd 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
196195negcld 11398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -𝑊 ∈ ℂ)
197146, 196, 161constcncfg 43668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
198197adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
199194, 198eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
200165, 184, 199syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
201164, 200pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
202148, 201addcncf 24688 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
203119, 202eqeltrd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
204 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) = (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠))
205 1cnd 11049 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
206204cdivcncf 24164 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
208 velsn 4586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
20961, 208sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
210111, 209eldifd 3907 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
211210ralrimiva 3139 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
212 dfss3 3918 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
213211, 212sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
2149, 62rereccld 11881 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑠) ∈ ℝ)
215214recnd 11082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑠) ∈ ℂ)
216204, 207, 213, 161, 215cncfmptssg 43667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
217203, 216mulcncf 24690 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
218114, 217eqeltrd 2837 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
21961iffalsed 4481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
22074recnd 11082 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
221111, 220, 81divrecd 11833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
22286, 219, 2213eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) = (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
223222mpteq2dva 5186 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
224219, 221eqtr2d 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
225224mpteq2dva 5186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
226 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
227 cncfss 24142 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
228106, 160, 227mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ)
229226fourierdlem62 43964 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
230229a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
231228, 230sselid 3928 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
23283recnd 11082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
233226, 231, 41, 161, 232cncfmptssg 43667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
234225, 233eqeltrd 2837 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
235223, 234eqeltrd 2837 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
236218, 235mulcncf 24690 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
237108, 236eqeltrd 2837 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑈𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
238101mpteq2dva 5186 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑆𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
239 sincn 25683 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
240239a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
241 halfre 12266 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
242241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
24393, 242readdcld 11083 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
244243recnd 11082 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
245146, 244, 161constcncfg 43668 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
246146, 161idcncfg 43669 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
247245, 246mulcncf 24690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
248240, 247cncfmpt1f 24157 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
249238, 248eqeltrd 2837 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑆𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
250237, 249mulcncf 24690 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
251 cncfcdm 24141 . . . 4 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
252107, 250, 251syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
253105, 252mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
25443, 253eqeltrd 2837 1 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  cdif 3893  wss 3896  ifcif 4470  {csn 4570   class class class wbr 5086  cmpt 5169  cres 5609  wf 6461  cfv 6465  (class class class)co 7316  cc 10948  cr 10949  0cc0 10950  1c1 10951   + caddc 10953   · cmul 10955  *cxr 11087   < clt 11088  cle 11089  cmin 11284  -cneg 11285   / cdiv 11711  2c2 12107  (,)cioo 13158  [,]cicc 13161  sincsin 15849  πcpi 15852  cnccncf 24119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028  ax-addf 11029  ax-mulf 11030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-2o 8346  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-ixp 8735  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fsupp 9205  df-fi 9246  df-sup 9277  df-inf 9278  df-oi 9345  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-q 12768  df-rp 12810  df-xneg 12927  df-xadd 12928  df-xmul 12929  df-ioo 13162  df-ioc 13163  df-ico 13164  df-icc 13165  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-fl 13591  df-mod 13669  df-seq 13801  df-exp 13862  df-fac 14067  df-bc 14096  df-hash 14124  df-shft 14854  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-limsup 15256  df-clim 15273  df-rlim 15274  df-sum 15474  df-ef 15853  df-sin 15855  df-cos 15856  df-pi 15858  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-ip 17054  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-hom 17060  df-cco 17061  df-rest 17207  df-topn 17208  df-0g 17226  df-gsum 17227  df-topgen 17228  df-pt 17229  df-prds 17232  df-xrs 17287  df-qtop 17292  df-imas 17293  df-xps 17295  df-mre 17369  df-mrc 17370  df-acs 17372  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-submnd 18505  df-mulg 18774  df-cntz 18996  df-cmn 19460  df-psmet 20669  df-xmet 20670  df-met 20671  df-bl 20672  df-mopn 20673  df-fbas 20674  df-fg 20675  df-cnfld 20678  df-top 22123  df-topon 22140  df-topsp 22162  df-bases 22176  df-cld 22250  df-ntr 22251  df-cls 22252  df-nei 22329  df-lp 22367  df-perf 22368  df-cn 22458  df-cnp 22459  df-t1 22545  df-haus 22546  df-cmp 22618  df-tx 22793  df-hmeo 22986  df-fil 23077  df-fm 23169  df-flim 23170  df-flf 23171  df-xms 23553  df-ms 23554  df-tms 23555  df-cncf 24121  df-limc 25110  df-dv 25111
This theorem is referenced by:  fourierdlem88  43990
  Copyright terms: Public domain W3C validator