Theorem rpnnen3lem 43013

Description: Lemma for rpnnen3 43014. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen3lem	⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem rpnnen3lem

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qbtwnre 13135	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) → ∃𝑑 ∈ ℚ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏))
2		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 ∈ ℚ)
3		simp3r 1203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 < 𝑏)
4		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑏 ↔ 𝑑 < 𝑏))
5	4	elrab 3656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ↔ (𝑑 ∈ ℚ ∧ 𝑑 < 𝑏))
6	2, 3, 5	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
7		simp11 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
8		qre 12888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ ℚ → 𝑑 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 ∈ ℝ)
10		simp3l 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑎 < 𝑑)
11	7, 9, 10	ltnsymd 11299	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → ¬ 𝑑 < 𝑎)
12	11	intnand 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → ¬ (𝑑 ∈ ℚ ∧ 𝑑 < 𝑎))
13		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑎 ↔ 𝑑 < 𝑎))
14	13	elrab 3656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ↔ (𝑑 ∈ ℚ ∧ 𝑑 < 𝑎))
15	12, 14	sylnibr 329	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → ¬ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
16		nelne1 3022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ∧ ¬ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎}) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
17	6, 15, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
18	17	necomd 2980	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
19	18	rexlimdv3a 3138	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) → (∃𝑑 ∈ ℚ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏}))
20	1, 19	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
21	20	3expa 1118	1 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3402   class class class wbr 5102  ℝcr 11043   < clt 11184  ℚcq 12883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884

This theorem is referenced by:  rpnnen3  43014