Theorem rpnnen3lem 43491

Description: Lemma for rpnnen3 43492. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen3lem	⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem rpnnen3lem

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qbtwnre 13146	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) → ∃𝑑 ∈ ℚ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏))
2		simp2 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 ∈ ℚ)
3		simp3r 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 < 𝑏)
4		breq1 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑏 ↔ 𝑑 < 𝑏))
5	4	elrab 3631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ↔ (𝑑 ∈ ℚ ∧ 𝑑 < 𝑏))
6	2, 3, 5	sylanbrc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
7		simp11 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
8		qre 12898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ ℚ → 𝑑 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant2 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 ∈ ℝ)
10		simp3l 1209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑎 < 𝑑)
11	7, 9, 10	ltnsymd 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → ¬ 𝑑 < 𝑎)
12	11	intnand 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → ¬ (𝑑 ∈ ℚ ∧ 𝑑 < 𝑎))
13		breq1 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑎 ↔ 𝑑 < 𝑎))
14	13	elrab 3631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ↔ (𝑑 ∈ ℚ ∧ 𝑑 < 𝑎))
15	12, 14	sylnibr 331	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → ¬ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
16		nelne1 3033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ∧ ¬ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎}) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
17	6, 15, 16	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
18	17	necomd 2991	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
19	18	rexlimdv3a 3146	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) → (∃𝑑 ∈ ℚ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏}))
20	1, 19	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
21	20	3expa 1125	1 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065  {crab 3393   class class class wbr 5075  ℝcr 11032   < clt 11174  ℚcq 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894

This theorem is referenced by:  rpnnen3  43492