Theorem rpnnen3lem 40853

Description: Lemma for rpnnen3 40854. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen3lem	⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem rpnnen3lem

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qbtwnre 12933	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) → ∃𝑑 ∈ ℚ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏))
2		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 ∈ ℚ)
3		simp3r 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 < 𝑏)
4		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑏 ↔ 𝑑 < 𝑏))
5	4	elrab 3624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ↔ (𝑑 ∈ ℚ ∧ 𝑑 < 𝑏))
6	2, 3, 5	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
7		simp11 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
8		qre 12693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ ℚ → 𝑑 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 ∈ ℝ)
10		simp3l 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑎 < 𝑑)
11	7, 9, 10	ltnsymd 11124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → ¬ 𝑑 < 𝑎)
12	11	intnand 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → ¬ (𝑑 ∈ ℚ ∧ 𝑑 < 𝑎))
13		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑎 ↔ 𝑑 < 𝑎))
14	13	elrab 3624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ↔ (𝑑 ∈ ℚ ∧ 𝑑 < 𝑎))
15	12, 14	sylnibr 329	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → ¬ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
16		nelne1 3041	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ∧ ¬ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎}) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
17	6, 15, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
18	17	necomd 2999	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
19	18	rexlimdv3a 3215	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) → (∃𝑑 ∈ ℚ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏}))
20	1, 19	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
21	20	3expa 1117	1 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  {crab 3068   class class class wbr 5074  ℝcr 10870   < clt 11009  ℚcq 12688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689

This theorem is referenced by:  rpnnen3  40854