Theorem rpnnen3lem 44231

Description: Lemma for rpnnen3 44232. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen3lem	⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem rpnnen3lem

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qbtwnre 13356	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) → ∃𝑑 ∈ ℚ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏))
2		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 ∈ ℚ)
3		simp3r 1221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 < 𝑏)
4		breq1 5109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑏 ↔ 𝑑 < 𝑏))
5	4	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ↔ (𝑑 ∈ ℚ ∧ 𝑑 < 𝑏))
6	2, 3, 5	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
7		simp11 1222	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
8		qre 13107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ ℚ → 𝑑 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑑 ∈ ℝ)
10		simp3l 1220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → 𝑎 < 𝑑)
11	7, 9, 10	ltnsymd 11486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → ¬ 𝑑 < 𝑎)
12	11	intnand 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → ¬ (𝑑 ∈ ℚ ∧ 𝑑 < 𝑎))
13		breq1 5109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑎 ↔ 𝑑 < 𝑎))
14	13	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ↔ (𝑑 ∈ ℚ ∧ 𝑑 < 𝑎))
15	12, 14	sylnibr 332	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → ¬ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
16		nelne1 3056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ∧ ¬ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎}) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
17	6, 15, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
18	17	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ ℚ ∧ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏)) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
19	18	rexlimdv3a 3171	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) → (∃𝑑 ∈ ℚ (𝑎 < 𝑑 ∧ 𝑑 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏}))
20	1, 19	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
21	20	3expa 1136	1 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416   class class class wbr 5106  ℝcr 11226   < clt 11370  ℚcq 13102

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103

This theorem is used by:  rpnnen3  44232