Theorem signsvtp 34774

Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvt.b	⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvtp	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
2	1	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3		signsvf.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4		signsvf.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5		signsvf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		signsv.p	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7		signsv.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
8		signsv.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
9		signsv.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
10	6, 7, 8, 9	signsvfn 34773	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
11	3, 4, 5, 10	syl21anc 843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
12	2, 11	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
13	12	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14		0red 11145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
15	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
16	15	eldifad 3902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
17	6, 7, 8, 9	signstf 34757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ)
18		wrdf 14478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸):(0..^(♯‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑇‘𝐸):(0..^(♯‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
20		eldifsn 4726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
21	3, 20	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
22	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
23		lennncl 14494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
24		fzo0end 13711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
26	6, 7, 8, 9	signstlen 34758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇‘𝐸)) = (♯‘𝐸))
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (♯‘(𝑇‘𝐸)) = (♯‘𝐸))
28	27	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (0..^(♯‘(𝑇‘𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸)))
29	25, 28	eleqtrrd 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑇‘𝐸))))
30	19, 29	ffvelcdmd 7033	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
31	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	30, 31	remulcld 11173	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
33		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
34		signsvt.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
35		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
36	35	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
37	36	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
38	34, 37	eqtri 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
39	38, 30	eqeltrid 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40	39	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
41	31	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcomd 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
43	33, 42	breqtrrd 5107	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
44	38	oveq1i 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
45	43, 44	breqtrdi 5120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴))
46	14, 32, 45	ltnsymd 11293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ¬ (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
47	46	iffalsed 4472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 0)
48	47	oveq2d 7379	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉‘𝐸) + 0))
49	6, 7, 8, 9	signsvvf 34770	. . . . . 6 ⊢ 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
50	49	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
51	50, 16	ffvelcdmd 7033	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℕ0)
52	51	nn0cnd 12498	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℂ)
53	52	addridd 11344	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉‘𝐸) + 0) = (𝑉‘𝐸))
54	13, 48, 53	3eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3887  ∅c0 4268  ifcif 4461  {csn 4562  {cpr 4564  {ctp 4566  ⟨cop 4568   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   − cmin 11375  -cneg 11376  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ...cfz 13459  ..^cfzo 13606  ♯chash 14290  Word cword 14473   ++ cconcat 14530  ⟨“cs1 14556  sgncsgn 15046  Σcsu 15646  ndxcnx 17161  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218   Σ_g cgsu 17401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-word 14474  df-lsw 14523  df-concat 14531  df-s1 14557  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-sgn 15047  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mulg 19042  df-cntz 19290

This theorem is referenced by:  signsvfpn  34776