Theorem signsvtp 31507

Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvt.b	⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvtp	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
2	1	fveq2d 6503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3		signsvf.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4		signsvf.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5		signsvf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		signsv.p	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7		signsv.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
8		signsv.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
9		signsv.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
10	6, 7, 8, 9	signsvfn 31506	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
11	3, 4, 5, 10	syl21anc 825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
12	2, 11	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
13	12	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14		0red 10443	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
15	3	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
16	15	eldifad 3841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
17	6, 7, 8, 9	signstf 31488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ)
18		wrdf 13677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸):(0..^(♯‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑇‘𝐸):(0..^(♯‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
20		eldifsn 4593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
21	3, 20	sylib 210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
22	21	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
23		lennncl 13695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
24		fzo0end 12944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
26	6, 7, 8, 9	signstlen 31489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇‘𝐸)) = (♯‘𝐸))
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (♯‘(𝑇‘𝐸)) = (♯‘𝐸))
28	27	oveq2d 6992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (0..^(♯‘(𝑇‘𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸)))
29	25, 28	eleqtrrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑇‘𝐸))))
30	19, 29	ffvelrnd 6677	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
31	5	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	30, 31	remulcld 10470	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
33		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
34		signsvt.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
35		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
36	35	oveq1i 6986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
37	36	fveq2i 6502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
38	34, 37	eqtri 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
39	38, 30	syl5eqel 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40	39	recnd 10468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
41	31	recnd 10468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcomd 10461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
43	33, 42	breqtrrd 4957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
44	38	oveq1i 6986	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
45	43, 44	syl6breq 4970	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴))
46	14, 32, 45	ltnsymd 10589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ¬ (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
47	46	iffalsed 4361	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 0)
48	47	oveq2d 6992	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉‘𝐸) + 0))
49	6, 7, 8, 9	signsvvf 31503	. . . . . 6 ⊢ 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
50	49	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
51	50, 16	ffvelrnd 6677	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℕ0)
52	51	nn0cnd 11769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℂ)
53	52	addid1d 10640	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉‘𝐸) + 0) = (𝑉‘𝐸))
54	13, 48, 53	3eqtrd 2818	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967   ∖ cdif 3826  ∅c0 4178  ifcif 4350  {csn 4441  {cpr 4443  {ctp 4445  ⟨cop 4447   class class class wbr 4929   ↦ cmpt 5008  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ∈ cmpo 6978  ℝcr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   < clt 10474   − cmin 10670  -cneg 10671  ℕcn 11439  ℕ₀cn0 11707  ...cfz 12708  ..^cfzo 12849  ♯chash 13505  Word cword 13672   ++ cconcat 13733  ⟨“cs1 13758  sgncsgn 14306  Σcsu 14903  ndxcnx 16336  Basecbs 16339  +_gcplusg 16421   Σ_g cgsu 16570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-word 13673  df-lsw 13726  df-concat 13734  df-s1 13759  df-substr 13804  df-pfx 13853  df-sgn 14307  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-plusg 16434  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mulg 18012  df-cntz 18218

This theorem is referenced by:  signsvfpn  31509