Theorem signsvtp 35258

Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvt.b	⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvtp	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝐵(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   ⨣ (𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑗, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signsvtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
2	1	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3		signsvf.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4		signsvf.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5		signsvf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		signsv.p	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7		signsv.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
8		signsv.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
9		signsv.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
10	6, 7, 8, 9	signsvfn 35257	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
11	3, 4, 5, 10	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
12	2, 11	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
13	12	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14		0red 11314	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
15	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
16	15	eldifad 4051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
17	6, 7, 8, 9	signstf 35241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ)
18		wrdf 14666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸):(0..^(♯‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
19	16, 17, 18	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑇‘𝐸):(0..^(♯‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
20		eldifsn 4744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
21	3, 20	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
23		lennncl 14682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
24		fzo0end 13896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
25	22, 23, 24	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
26	6, 7, 8, 9	signstlen 35242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇‘𝐸)) = (♯‘𝐸))
27	16, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (♯‘(𝑇‘𝐸)) = (♯‘𝐸))
28	27	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (0..^(♯‘(𝑇‘𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸)))
29	25, 28	eleqtrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑇‘𝐸))))
30	19, 29	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
31	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	30, 31	remulcld 11342	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
33		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
34		signsvt.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
35		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
36	35	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
37	36	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
38	34, 37	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
39	38, 30	eqeltrid 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40	39	recnd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
41	31	recnd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcomd 11333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
43	33, 42	breqtrrd 5132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
44	38	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
45	43, 44	breqtrdi 5145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴))
46	14, 32, 45	ltnsymd 11462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ¬ (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
47	46	iffalsed 4492	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 0)
48	47	oveq2d 7436	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉‘𝐸) + 0))
49	6, 7, 8, 9	signsvvf 35254	. . . . . 6 ⊢ 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
50	49	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
51	50, 16	ffvelcdmd 7085	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℕ0)
52	51	nn0cnd 12672	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℂ)
53	52	addridd 11513	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉‘𝐸) + 0) = (𝑉‘𝐸))
54	13, 48, 53	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  ifcif 4481  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   < clt 11346   − cmin 11544   -cneg 11545  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  ...cfz 13642  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  Word cword 14661   ++ cconcat 14718  ⟨“cs1 14745  sgncsgn 15244  Σcsu 15858  ndxcnx 17376  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433   Σ_g cgsu 17616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-word 14662  df-lsw 14711  df-concat 14719  df-s1 14746  df-substr 14793  df-pfx 14825  df-sgn 15245  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-sum 15859  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-plusg 17446  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mulg 19283  df-cntz 19536

This theorem is used by:  signsvfpn  35260