Theorem signsvtp 34617

Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvt.b	⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvtp	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
2	1	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3		signsvf.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4		signsvf.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5		signsvf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		signsv.p	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7		signsv.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
8		signsv.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
9		signsv.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
10	6, 7, 8, 9	signsvfn 34616	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
11	3, 4, 5, 10	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
12	2, 11	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
13	12	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14		0red 11122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
15	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
16	15	eldifad 3910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
17	6, 7, 8, 9	signstf 34600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ)
18		wrdf 14427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸):(0..^(♯‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑇‘𝐸):(0..^(♯‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
20		eldifsn 4737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
21	3, 20	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
23		lennncl 14443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
24		fzo0end 13660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
26	6, 7, 8, 9	signstlen 34601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇‘𝐸)) = (♯‘𝐸))
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (♯‘(𝑇‘𝐸)) = (♯‘𝐸))
28	27	oveq2d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (0..^(♯‘(𝑇‘𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸)))
29	25, 28	eleqtrrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑇‘𝐸))))
30	19, 29	ffvelcdmd 7024	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
31	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	30, 31	remulcld 11149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
34		signsvt.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
35		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
36	35	oveq1i 7362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
37	36	fveq2i 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
38	34, 37	eqtri 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
39	38, 30	eqeltrid 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40	39	recnd 11147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
41	31	recnd 11147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcomd 11140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
43	33, 42	breqtrrd 5121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
44	38	oveq1i 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
45	43, 44	breqtrdi 5134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴))
46	14, 32, 45	ltnsymd 11269	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ¬ (((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
47	46	iffalsed 4485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 0)
48	47	oveq2d 7368	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉‘𝐸) + 0))
49	6, 7, 8, 9	signsvvf 34613	. . . . . 6 ⊢ 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
50	49	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
51	50, 16	ffvelcdmd 7024	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℕ0)
52	51	nn0cnd 12451	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℂ)
53	52	addridd 11320	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉‘𝐸) + 0) = (𝑉‘𝐸))
54	13, 48, 53	3eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3895  ∅c0 4282  ifcif 4474  {csn 4575  {cpr 4577  {ctp 4579  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   < clt 11153   − cmin 11351  -cneg 11352  ℕcn 12132  ℕ₀cn0 12388  ...cfz 13409  ..^cfzo 13556  ♯chash 14239  Word cword 14422   ++ cconcat 14479  ⟨“cs1 14505  sgncsgn 14995  Σcsu 15595  ndxcnx 17106  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163   Σ_g cgsu 17346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-word 14423  df-lsw 14472  df-concat 14480  df-s1 14506  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-sgn 14996  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-sum 15596  df-struct 17060  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-plusg 17176  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mulg 18983  df-cntz 19231

This theorem is referenced by:  signsvfpn  34619