Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvtp 34577
Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvt.b 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
Assertion
Ref Expression
signsvtp ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐹) = (𝑉𝐸))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtp
StepHypRef Expression
1 signsvf.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
21fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3 signsvf.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4 signsvf.0 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5 signsvf.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 signsv.p . . . . . 6 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7 signsv.w . . . . . 6 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
8 signsv.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
9 signsv.v . . . . . 6 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
106, 7, 8, 9signsvfn 34576 . . . . 5 (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
113, 4, 5, 10syl21anc 838 . . . 4 (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
122, 11eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
1312adantr 480 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14 0red 11262 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
153adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
1615eldifad 3975 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
176, 7, 8, 9signstf 34560 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸) ∈ Word ℝ)
18 wrdf 14554 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸):(0..^(♯‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑇𝐸):(0..^(♯‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
20 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
213, 20sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
23 lennncl 14569 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
24 fzo0end 13794 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
266, 7, 8, 9signstlen 34561 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇𝐸)) = (♯‘𝐸))
2716, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (♯‘(𝑇𝐸)) = (♯‘𝐸))
2827oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (0..^(♯‘(𝑇𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸)))
2925, 28eleqtrrd 2842 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑇𝐸))))
3019, 29ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
315adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3230, 31remulcld 11289 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
33 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
34 signsvt.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
35 signsvf.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (♯‘𝐸)
3635oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
3736fveq2i 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
3834, 37eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
3938, 30eqeltrid 2843 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4131recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4240, 41mulcomd 11280 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
4333, 42breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
4438oveq1i 7441 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
4543, 44breqtrdi 5189 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴))
4614, 32, 45ltnsymd 11408 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ¬ (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
4746iffalsed 4542 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 0)
4847oveq2d 7447 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉𝐸) + 0))
496, 7, 8, 9signsvvf 34573 . . . . . 6 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
5049a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
5150, 16ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐸) ∈ ℕ0)
5251nn0cnd 12587 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐸) ∈ ℂ)
5352addridd 11459 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉𝐸) + 0) = (𝑉𝐸))
5413, 48, 533eqtrd 2779 1 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐹) = (𝑉𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635  cop 4637   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cmin 11490  -cneg 11491  cn 12264  0cn0 12524  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630  sgncsgn 15122  Σcsu 15719  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-sgn 15123  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mulg 19099  df-cntz 19348
This theorem is referenced by:  signsvfpn  34579
  Copyright terms: Public domain W3C validator