Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvtp 31507
Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvt.b 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
Assertion
Ref Expression
signsvtp ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐹) = (𝑉𝐸))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtp
StepHypRef Expression
1 signsvf.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
21fveq2d 6503 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3 signsvf.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4 signsvf.0 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5 signsvf.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 signsv.p . . . . . 6 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7 signsv.w . . . . . 6 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
8 signsv.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
9 signsv.v . . . . . 6 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
106, 7, 8, 9signsvfn 31506 . . . . 5 (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
113, 4, 5, 10syl21anc 825 . . . 4 (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
122, 11eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
1312adantr 473 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14 0red 10443 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
153adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
1615eldifad 3841 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
176, 7, 8, 9signstf 31488 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸) ∈ Word ℝ)
18 wrdf 13677 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸):(0..^(♯‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑇𝐸):(0..^(♯‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
20 eldifsn 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
213, 20sylib 210 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
2221adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
23 lennncl 13695 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
24 fzo0end 12944 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
266, 7, 8, 9signstlen 31489 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇𝐸)) = (♯‘𝐸))
2716, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (♯‘(𝑇𝐸)) = (♯‘𝐸))
2827oveq2d 6992 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (0..^(♯‘(𝑇𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸)))
2925, 28eleqtrrd 2869 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑇𝐸))))
3019, 29ffvelrnd 6677 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
315adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3230, 31remulcld 10470 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
33 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
34 signsvt.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
35 signsvf.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (♯‘𝐸)
3635oveq1i 6986 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
3736fveq2i 6502 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
3834, 37eqtri 2802 . . . . . . . . . 10 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
3938, 30syl5eqel 2870 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 10468 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4131recnd 10468 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4240, 41mulcomd 10461 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
4333, 42breqtrrd 4957 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
4438oveq1i 6986 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
4543, 44syl6breq 4970 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴))
4614, 32, 45ltnsymd 10589 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ¬ (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
4746iffalsed 4361 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 0)
4847oveq2d 6992 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉𝐸) + 0))
496, 7, 8, 9signsvvf 31503 . . . . . 6 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
5049a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
5150, 16ffvelrnd 6677 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐸) ∈ ℕ0)
5251nn0cnd 11769 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐸) ∈ ℂ)
5352addid1d 10640 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉𝐸) + 0) = (𝑉𝐸))
5413, 48, 533eqtrd 2818 1 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐹) = (𝑉𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  cdif 3826  c0 4178  ifcif 4350  {csn 4441  {cpr 4443  {ctp 4445  cop 4447   class class class wbr 4929  cmpt 5008  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  cmpo 6978  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   < clt 10474  cmin 10670  -cneg 10671  cn 11439  0cn0 11707  ...cfz 12708  ..^cfzo 12849  chash 13505  Word cword 13672   ++ cconcat 13733  ⟨“cs1 13758  sgncsgn 14306  Σcsu 14903  ndxcnx 16336  Basecbs 16339  +gcplusg 16421   Σg cgsu 16570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-word 13673  df-lsw 13726  df-concat 13734  df-s1 13759  df-substr 13804  df-pfx 13853  df-sgn 14307  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-plusg 16434  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mulg 18012  df-cntz 18218
This theorem is referenced by:  signsvfpn  31509
  Copyright terms: Public domain W3C validator