Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqwvfourb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqwvfourb 46244
Description: Fourier series 𝐵 coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfourb.t 𝑇 = (2 · π)
sqwvfourb.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfourb.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
sqwvfourb (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem sqwvfourb
StepHypRef Expression
1 pire 26500 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 11570 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 0re 11263 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 45292 . . . . . . 7 -π < 0
72, 5, 6ltleii 11384 . . . . . 6 -π ≤ 0
8 pipos 26502 . . . . . . 7 0 < π
95, 1, 8ltleii 11384 . . . . . 6 0 ≤ π
102, 1elicc2i 13453 . . . . . 6 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1342 . . . . 5 0 ∈ (-π[,]π)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13 elioore 13417 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 1re 11261 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
1615renegcli 11570 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
1715, 16ifcli 4573 . . . . . . 7 if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
18 sqwvfourb.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1918fvmpt2 7027 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
2014, 17, 19sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
2117a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
2221recnd 11289 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ)
2320, 22eqeltrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
24 sqwvfourb.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2524nncnd 12282 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2714recnd 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2826, 27mulcld 11281 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℂ)
2928sincld 16166 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
3023, 29mulcld 11281 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
31 elioore 13417 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3231, 17, 19sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
34 sqwvfourb.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 · π)
35 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
36 pirp 26503 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
37 rpmulcl 13058 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℝ+
3934, 38eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
4131, 40modcld 13915 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42 picn 26501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℂ
43422timesi 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) = (π + π)
4434, 43eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (π + π)
4544oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
462recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℂ
4746, 42, 42addassi 11271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
4842negidi 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π + -π) = 0
4942, 46, 48addcomli 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π + π) = 0
5049oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π + π) + π) = (0 + π)
5142addlidi 11449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + π) = π
5250, 51eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = π
5345, 47, 523eqtr2ri 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 π = (-π + 𝑇)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
56 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5756, 1remulcli 11277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℝ
5834, 57eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
602rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ*
61 0xr 11308 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
62 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
6360, 61, 62mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
6455, 31, 59, 63ltadd1dd 11874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
6554, 64eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
6658recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ ℂ
6766mullidi 11266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝑇) = 𝑇
6867eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 · 𝑇)
6968oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
7069oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
7131, 59readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
72 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
7472, 33, 71, 73, 65lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
7572, 71, 74ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
76 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
7760, 61, 76mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
7831, 72, 59, 77ltadd1dd 11874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
7959recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
8079addlidd 11462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
8178, 80breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
82 modid 13936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
8371, 40, 75, 81, 82syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
84 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
85 modcyc 13946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8631, 40, 84, 85syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8770, 83, 863eqtr3a 2801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8865, 87breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
8933, 41, 88ltnsymd 11410 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
9089iffalsed 4536 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
9132, 90eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = -1)
9291adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝐹𝑥) = -1)
9392oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
9493mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))))
95 neg1cn 12380 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
9695a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
9724nnred 12281 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
9897adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9931adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10098, 99remulcld 11291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101100resincld 16179 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102 ioossicc 13473 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
103102a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
104 ioombl 25600 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ∈ dom vol
105104a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
10697adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107 iccssre 13469 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
1082, 5, 107mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]0) ⊆ ℝ
109108sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111106, 110remulcld 11291 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112111resincld 16179 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113 0red 11264 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114 sincn 26488 . . . . . . . . . 10 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
117108, 116sstri 3993 . . . . . . . . . . . 12 (-π[,]0) ⊆ ℂ
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
119 ssid 4006 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
121118, 25, 120constcncfg 45887 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
122118, 120idcncfg 45888 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
123121, 122mulcncf 25480 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124115, 123cncfmpt1f 24940 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125 cniccibl 25876 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
1263, 113, 124, 125syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
127103, 105, 112, 126iblss 25840 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
12896, 101, 127iblmulc2 25866 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
12994, 128eqeltrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
13060a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ*)
1311rexri 11319 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ*
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
133 elioore 13417 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
1342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
135 0red 11264 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
1366a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
137 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
13861, 131, 137mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
139134, 135, 133, 136, 138lttrd 11422 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑥)
140 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
14161, 131, 140mp3an12 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
142130, 132, 133, 139, 141eliood 45511 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
143142, 20sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
14439a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
145135, 133, 138ltled 11409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
1461a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
14758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
148 2timesgt 45300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
14936, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π < (2 · π)
150149, 34breqtrri 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < 𝑇
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
152133, 146, 147, 141, 151lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
153 modid 13936 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
154133, 144, 145, 152, 153syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
155154, 141eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
156155iftrued 4533 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
157156adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
158143, 157eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹𝑥) = 1)
159158oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
160142, 29sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
161160mullidd 11279 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
162159, 161eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
163162mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
164 ioossicc 13473 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
165164a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
166 ioombl 25600 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
167166a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
16897adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
169 iccssre 13469 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1705, 1, 169mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (0[,]π) ⊆ ℝ
171170sseli 3979 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
172171adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
173168, 172remulcld 11291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
174173resincld 16179 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
175170, 116sstri 3993 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℂ
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
177176, 25, 120constcncfg 45887 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178176, 120idcncfg 45888 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179177, 178mulcncf 25480 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180115, 179cncfmpt1f 24940 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
181 cniccibl 25876 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
182113, 4, 180, 181syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
183165, 167, 174, 182iblss 25840 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
184163, 183eqeltrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
1853, 4, 12, 30, 129, 184itgsplitioo 25873 . . 3 (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186185oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
18791oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
188187adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
18960a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
190131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ*)
19131, 72, 33, 77, 73lttrd 11422 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < π)
192189, 190, 31, 63, 191eliood 45511 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
193192, 29sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
194193mulm1d 11715 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
195188, 194eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
196195itgeq2dv 25817 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
197101, 127itgneg 25839 . . . . . 6 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
19824nnne0d 12316 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1997a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ 0)
20025, 198, 3, 113, 199itgsincmulx 45989 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
20124nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
202 cosknegpi 45884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
20425mul01d 11460 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
205204fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = (cos‘0))
206 cos0 16186 . . . . . . . . . . . . 13 (cos‘0) = 1
207205, 206eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = 1)
208203, 207oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1))
209 1m1e0 12338 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
210 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = 1)
211210oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (1 − 1))
212 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = 0)
213209, 211, 2123eqtr4a 2803 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
214 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = -1)
215214oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (-1 − 1))
216 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
217 negdi2 11567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
218216, 216, 217mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(1 + 1) = (-1 − 1)
219218eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 − 1) = -(1 + 1)
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1 − 1) = -(1 + 1))
221 1p1e2 12391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
222221negeqi 11501 . . . . . . . . . . . . . 14 -(1 + 1) = -2
223 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -2)
224222, 223eqtr4id 2796 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -(1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
225215, 220, 2243eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
226213, 225pm2.61i 182 . . . . . . . . . . 11 (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2)
227208, 226eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
228227oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
229200, 228eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
230229negeqd 11502 . . . . . . 7 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
231 0cn 11253 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
232 2cn 12341 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
233232negcli 11577 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ ℂ
234231, 233ifcli 4573 . . . . . . . . 9 if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ
235234a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ)
236235, 25, 198divnegd 12056 . . . . . . 7 (𝜑 → -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
237 neg0 11555 . . . . . . . . . . 11 -0 = 0
238212negeqd 11502 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -0)
239 iftrue 4531 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 0)
240237, 238, 2393eqtr4a 2803 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
241232negnegi 11579 . . . . . . . . . . 11 --2 = 2
242223negeqd 11502 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = --2)
243 iffalse 4534 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 2)
244241, 242, 2433eqtr4a 2803 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
245240, 244pm2.61i 182 . . . . . . . . 9 -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
246245oveq1i 7441 . . . . . . . 8 (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)
247246a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
248230, 236, 2473eqtrd 2781 . . . . . 6 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
249196, 197, 2483eqtr2d 2783 . . . . 5 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
250133, 17, 19sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
251250, 156eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = 1)
252251oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
253252adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
254253, 161eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
255254itgeq2dv 25817 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
2569a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ π)
25725, 198, 113, 4, 256itgsincmulx 45989 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁))
258 coskpi2 45881 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
259201, 258syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
260207, 259oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)))
261210oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − 1))
262209, 261, 2393eqtr4a 2803 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
263214oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − -1))
264216, 216subnegi 11588 . . . . . . . . . . 11 (1 − -1) = (1 + 1)
265264a1i 11 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − -1) = (1 + 1))
266221, 243eqtr4id 2796 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
267263, 265, 2663eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
268262, 267pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
269260, 268eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
270269oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
271255, 257, 2703eqtrd 2781 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
272249, 271oveq12d 7449 . . . 4 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
273231, 232ifcli 4573 . . . . . 6 if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ
274273a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ)
275274, 274, 25, 198divdird 12081 . . . 4 (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
276239, 239oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (0 + 0))
277 00id 11436 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
278276, 277eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 0)
279278oveq1d 7446 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
280279adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
28125, 198div0d 12042 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
282281adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
283 iftrue 4531 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = 0)
284283eqcomd 2743 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
285284adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
286280, 282, 2853eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
287243, 243oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (2 + 2))
288 2p2e4 12401 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
289287, 288eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 4)
290289oveq1d 7446 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (4 / 𝑁))
291 iffalse 4534 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = (4 / 𝑁))
292290, 291eqtr4d 2780 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
293292adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
294286, 293pm2.61dan 813 . . . 4 (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
295272, 275, 2943eqtr2d 2783 . . 3 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
296295oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π))
297283oveq1d 7446 . . . . 5 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
298297adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
2995, 8gtneii 11373 . . . . . 6 π ≠ 0
30042, 299div0i 12001 . . . . 5 (0 / π) = 0
301300a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / π) = 0)
302 iftrue 4531 . . . . . 6 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = 0)
303302eqcomd 2743 . . . . 5 (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
304303adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
305298, 301, 3043eqtrd 2781 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
306291oveq1d 7446 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
307306adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
308 4cn 12351 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
309308a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
31042a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ℂ)
311299a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ≠ 0)
312309, 25, 310, 198, 311divdiv1d 12074 . . . . 5 (𝜑 → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
313312adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
314 iffalse 4534 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = (4 / (𝑁 · π)))
315314eqcomd 2743 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
316315adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
317307, 313, 3163eqtrd 2781 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
318305, 317pm2.61dan 813 . 2 (𝜑 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
319186, 296, 3183eqtrd 2781 1 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  4c4 12323  cz 12613  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390   mod cmo 13909  sincsin 16099  cosccos 16100  πcpi 16102  cdvds 16290  cnccncf 24902  volcvol 25498  𝐿1cibl 25652  citg 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  fouriersw  46246
  Copyright terms: Public domain W3C validator