Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqwvfourb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqwvfourb 41083
Description: Fourier series 𝐵 coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfourb.t 𝑇 = (2 · π)
sqwvfourb.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfourb.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
sqwvfourb (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem sqwvfourb
StepHypRef Expression
1 pire 24502 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 10596 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 0re 10295 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 40132 . . . . . . 7 -π < 0
72, 5, 6ltleii 10414 . . . . . 6 -π ≤ 0
8 pipos 24504 . . . . . . 7 0 < π
95, 1, 8ltleii 10414 . . . . . 6 0 ≤ π
102, 1elicc2i 12441 . . . . . 6 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1441 . . . . 5 0 ∈ (-π[,]π)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13 elioore 12407 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
1413adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 1re 10293 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
1615renegcli 10596 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
1715, 16ifcli 4289 . . . . . . 7 if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
18 sqwvfourb.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1918fvmpt2 6480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
2014, 17, 19sylancl 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
2117a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
2221recnd 10322 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ)
2320, 22eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
24 sqwvfourb.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2524nncnd 11292 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2625adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2714recnd 10322 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2826, 27mulcld 10314 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℂ)
2928sincld 15142 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
3023, 29mulcld 10314 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
31 elioore 12407 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3231, 17, 19sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
34 sqwvfourb.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 · π)
35 2rp 12033 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
36 pirp 24505 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
37 rpmulcl 12053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℝ+
3934, 38eqeltri 2840 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
4131, 40modcld 12882 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42 picn 24503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℂ
43422timesi 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) = (π + π)
4434, 43eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (π + π)
4544oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
462recni 10308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℂ
4746, 42, 42addassi 10304 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
4842negidi 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π + -π) = 0
4942, 46, 48addcomli 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π + π) = 0
5049oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π + π) + π) = (0 + π)
5142addid2i 10478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + π) = π
5250, 51eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = π
5345, 47, 523eqtr2ri 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 π = (-π + 𝑇)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
56 2re 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5756, 1remulcli 10310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℝ
5834, 57eqeltri 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
602rexri 10351 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ*
61 0xr 10340 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
62 ioogtlb 40359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
6360, 61, 62mp3an12 1575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
6455, 31, 59, 63ltadd1dd 10892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
6554, 64eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
6658recni 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ ℂ
6766mulid2i 10299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝑇) = 𝑇
6867eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 · 𝑇)
6968oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
7069oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
7131, 59readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
72 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
7472, 33, 71, 73, 65lttrd 10452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
7572, 71, 74ltled 10439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
76 iooltub 40375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
7760, 61, 76mp3an12 1575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
7831, 72, 59, 77ltadd1dd 10892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
7959recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
8079addid2d 10491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
8178, 80breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
82 modid 12903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
8371, 40, 75, 81, 82syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
84 1zzd 11655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
85 modcyc 12913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8631, 40, 84, 85syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8770, 83, 863eqtr3a 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8865, 87breqtrd 4835 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
8933, 41, 88ltnsymd 10440 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
9089iffalsed 4254 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
9132, 90eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = -1)
9291adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝐹𝑥) = -1)
9392oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
9493mpteq2dva 4903 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))))
95 neg1cn 11393 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
9695a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
9724nnred 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
9897adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9931adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10098, 99remulcld 10324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101100resincld 15155 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102 ioossicc 12461 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
103102a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
104 ioombl 23623 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ∈ dom vol
105104a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
10697adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107 iccssre 12457 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
1082, 5, 107mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]0) ⊆ ℝ
109108sseli 3757 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110109adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111106, 110remulcld 10324 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112111resincld 15155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113 0red 10297 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114 sincn 24489 . . . . . . . . . 10 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116 ax-resscn 10246 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
117108, 116sstri 3770 . . . . . . . . . . . 12 (-π[,]0) ⊆ ℂ
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
119 ssid 3783 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
121118, 25, 120constcncfg 40722 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
122118, 120idcncfg 40723 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
123121, 122mulcncf 23504 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124115, 123cncfmpt1f 22995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125 cniccibl 23898 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
1263, 113, 124, 125syl3anc 1490 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
127103, 105, 112, 126iblss 23862 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
12896, 101, 127iblmulc2 23888 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
12994, 128eqeltrd 2844 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
13060a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ*)
1311rexri 10351 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ*
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
133 elioore 12407 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
1342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
135 0red 10297 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
1366a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
137 ioogtlb 40359 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
13861, 131, 137mp3an12 1575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
139134, 135, 133, 136, 138lttrd 10452 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑥)
140 iooltub 40375 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
14161, 131, 140mp3an12 1575 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
142130, 132, 133, 139, 141eliood 40362 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
143142, 20sylan2 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
14439a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
145135, 133, 138ltled 10439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
1461a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
14758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
148 2timesgt 40140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
14936, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π < (2 · π)
150149, 34breqtrri 4836 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < 𝑇
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
152133, 146, 147, 141, 151lttrd 10452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
153 modid 12903 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
154133, 144, 145, 152, 153syl22anc 867 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
155154, 141eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
156155iftrued 4251 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
157156adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
158143, 157eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹𝑥) = 1)
159158oveq1d 6857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
160142, 29sylan2 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
161160mulid2d 10312 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
162159, 161eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
163162mpteq2dva 4903 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
164 ioossicc 12461 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
165164a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
166 ioombl 23623 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
167166a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
16897adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
169 iccssre 12457 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1705, 1, 169mp2an 683 . . . . . . . . . 10 (0[,]π) ⊆ ℝ
171170sseli 3757 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
172171adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
173168, 172remulcld 10324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
174173resincld 15155 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
175170, 116sstri 3770 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℂ
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
177176, 25, 120constcncfg 40722 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178176, 120idcncfg 40723 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179177, 178mulcncf 23504 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180115, 179cncfmpt1f 22995 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
181 cniccibl 23898 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
182113, 4, 180, 181syl3anc 1490 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
183165, 167, 174, 182iblss 23862 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
184163, 183eqeltrd 2844 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
1853, 4, 12, 30, 129, 184itgsplitioo 23895 . . 3 (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186185oveq1d 6857 . 2 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
18791oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
188187adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
18960a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
190131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ*)
19131, 72, 33, 77, 73lttrd 10452 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < π)
192189, 190, 31, 63, 191eliood 40362 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
193192, 29sylan2 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
194193mulm1d 10736 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
195188, 194eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
196195itgeq2dv 23839 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
197101, 127itgneg 23861 . . . . . 6 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
19824nnne0d 11322 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1997a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ 0)
20025, 198, 3, 113, 199itgsincmulx 40827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
20124nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
202 cosknegpi 40718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
20425mul01d 10489 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
205204fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = (cos‘0))
206 cos0 15162 . . . . . . . . . . . . 13 (cos‘0) = 1
207205, 206syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = 1)
208203, 207oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1))
209 1m1e0 11344 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
210 iftrue 4249 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = 1)
211210oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (1 − 1))
212 iftrue 4249 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = 0)
213209, 211, 2123eqtr4a 2825 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
214 iffalse 4252 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = -1)
215214oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (-1 − 1))
216 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
217 negdi2 10593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
218216, 216, 217mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(1 + 1) = (-1 − 1)
219218eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 − 1) = -(1 + 1)
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1 − 1) = -(1 + 1))
221 iffalse 4252 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -2)
222 1p1e2 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
223222negeqi 10528 . . . . . . . . . . . . . 14 -(1 + 1) = -2
224221, 223syl6reqr 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -(1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
225215, 220, 2243eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
226213, 225pm2.61i 176 . . . . . . . . . . 11 (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2)
227208, 226syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
228227oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
229200, 228eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
230229negeqd 10529 . . . . . . 7 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
231 0cn 10285 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
232 2cn 11347 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
233232negcli 10603 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ ℂ
234231, 233ifcli 4289 . . . . . . . . 9 if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ
235234a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ)
236235, 25, 198divnegd 11068 . . . . . . 7 (𝜑 → -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
237 neg0 10581 . . . . . . . . . . 11 -0 = 0
238212negeqd 10529 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -0)
239 iftrue 4249 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 0)
240237, 238, 2393eqtr4a 2825 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
241232negnegi 10605 . . . . . . . . . . 11 --2 = 2
242221negeqd 10529 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = --2)
243 iffalse 4252 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 2)
244241, 242, 2433eqtr4a 2825 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
245240, 244pm2.61i 176 . . . . . . . . 9 -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
246245oveq1i 6852 . . . . . . . 8 (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)
247246a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
248230, 236, 2473eqtrd 2803 . . . . . 6 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
249196, 197, 2483eqtr2d 2805 . . . . 5 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
250133, 17, 19sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
251250, 156eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = 1)
252251oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
253252adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
254253, 161eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
255254itgeq2dv 23839 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
2569a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ π)
25725, 198, 113, 4, 256itgsincmulx 40827 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁))
258 coskpi2 40715 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
259201, 258syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
260207, 259oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)))
261210oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − 1))
262209, 261, 2393eqtr4a 2825 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
263214oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − -1))
264216, 216subnegi 10614 . . . . . . . . . . 11 (1 − -1) = (1 + 1)
265264a1i 11 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − -1) = (1 + 1))
266243, 222syl6reqr 2818 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
267263, 265, 2663eqtrd 2803 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
268262, 267pm2.61i 176 . . . . . . . 8 (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
269260, 268syl6eq 2815 . . . . . . 7 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
270269oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
271255, 257, 2703eqtrd 2803 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
272249, 271oveq12d 6860 . . . 4 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
273231, 232ifcli 4289 . . . . . 6 if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ
274273a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ)
275274, 274, 25, 198divdird 11093 . . . 4 (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
276239, 239oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (0 + 0))
277 00id 10465 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
278276, 277syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 0)
279278oveq1d 6857 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
280279adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
28125, 198div0d 11054 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
282281adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
283 iftrue 4249 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = 0)
284283eqcomd 2771 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
285284adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
286280, 282, 2853eqtrd 2803 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
287243, 243oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (2 + 2))
288 2p2e4 11414 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
289287, 288syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 4)
290289oveq1d 6857 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (4 / 𝑁))
291 iffalse 4252 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = (4 / 𝑁))
292290, 291eqtr4d 2802 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
293292adantl 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
294286, 293pm2.61dan 847 . . . 4 (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
295272, 275, 2943eqtr2d 2805 . . 3 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
296295oveq1d 6857 . 2 (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π))
297283oveq1d 6857 . . . . 5 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
298297adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
2995, 8gtneii 10403 . . . . . 6 π ≠ 0
30042, 299div0i 11013 . . . . 5 (0 / π) = 0
301300a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / π) = 0)
302 iftrue 4249 . . . . . 6 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = 0)
303302eqcomd 2771 . . . . 5 (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
304303adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
305298, 301, 3043eqtrd 2803 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
306291oveq1d 6857 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
307306adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
308 4cn 11358 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
309308a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
31042a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ℂ)
311299a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ≠ 0)
312309, 25, 310, 198, 311divdiv1d 11086 . . . . 5 (𝜑 → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
313312adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
314 iffalse 4252 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = (4 / (𝑁 · π)))
315314eqcomd 2771 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
316315adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
317307, 313, 3163eqtrd 2803 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
318305, 317pm2.61dan 847 . 2 (𝜑 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
319186, 296, 3183eqtrd 2803 1 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wss 3732  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  4c4 11329  cz 11624  +crp 12028  (,)cioo 12377  [,]cicc 12380   mod cmo 12876  sincsin 15076  cosccos 15077  πcpi 15079  cdvds 15265  cnccncf 22958  volcvol 23521  𝐿1cibl 23675  citg 23676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-symdif 4005  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-dvds 15266  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679  df-ibl 23680  df-itg 23681  df-0p 23728  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  fouriersw  41085
  Copyright terms: Public domain W3C validator