sqwvfourb - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sqwvfourb 46584

Description: Fourier series 𝐵 coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sqwvfourb.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
sqwvfourb.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfourb.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
sqwvfourb	⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑁 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝑇(𝑥) 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem sqwvfourb**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26434	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11454	. . . . 5 ⊢ -π ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
4	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
5		0re 11146	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		negpilt0 45640	. . . . . . 7 ⊢ -π < 0
7	2, 5, 6	ltleii 11268	. . . . . 6 ⊢ -π ≤ 0
8		pipos 26436	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
9	5, 1, 8	ltleii 11268	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
10	2, 1	elicc2i 13340	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
11	5, 7, 9, 10	mpbir3an 1343	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (-π[,]π)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13		elioore 13303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		1re 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16	15	renegcli 11454	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
17	15, 16	ifcli 4529	. . . . . . 7 ⊢ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
18		sqwvfourb.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
19	18	fvmpt2 6961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
20	14, 17, 19	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
21	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ)
23	20, 22	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
24		sqwvfourb.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nncnd 12173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
27	14	recnd 11172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
28	26, 27	mulcld 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℂ)
29	28	sincld 16067	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
30	23, 29	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
31		elioore 13303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	31, 17, 19	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
33	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
34		sqwvfourb.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
35		2rp 12922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36		pirp 26438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ⁺
37		rpmulcl 12942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ π ∈ ℝ⁺) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
38	35, 36, 37	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ⁺
39	34, 38	eqeltri 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ⁺
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
41	31, 40	modcld 13807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42		picn 26435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π ∈ ℂ
43	42	2timesi 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · π) = (π + π)
44	34, 43	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = (π + π)
45	44	oveq2i 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
46	2	recni 11158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -π ∈ ℂ
47	46, 42, 42	addassi 11154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
48	42	negidi 11462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π + -π) = 0
49	42, 46, 48	addcomli 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-π + π) = 0
50	49	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π + π) + π) = (0 + π)
51	42	addlidi 11333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + π) = π
52	50, 51	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π + π) + π) = π
53	45, 47, 52	3eqtr2ri 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π = (-π + 𝑇)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
55	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
56		2re 12231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
57	56, 1	remulcli 11160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
58	34, 57	eqeltri 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
60	2	rexri 11202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ^*
61		0xr 11191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
62		ioogtlb 45852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
63	60, 61, 62	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
64	55, 31, 59, 63	ltadd1dd 11760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
65	54, 64	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
66	58	recni 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
67	66	mullidi 11149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 𝑇) = 𝑇
68	67	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (1 · 𝑇)
69	68	oveq2i 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
70	69	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
71	31, 59	readdcld 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
72		0red 11147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
73	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
74	72, 33, 71, 73, 65	lttrd 11306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
75	72, 71, 74	ltled 11293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
76		iooltub 45867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
77	60, 61, 76	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
78	31, 72, 59, 77	ltadd1dd 11760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
79	59	recnd 11172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
80	79	addlidd 11346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
81	78, 80	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
82		modid 13828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ⁺) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
83	71, 40, 75, 81, 82	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
84		1zzd 12534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
85		modcyc 13838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
86	31, 40, 84, 85	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
87	70, 83, 86	3eqtr3a 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
88	65, 87	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
89	33, 41, 88	ltnsymd 11294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
90	89	iffalsed 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
91	32, 90	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹‘𝑥) = -1)
92	91	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝐹‘𝑥) = -1)
93	92	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
94	93	mpteq2dva 5193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))))
95		neg1cn 12142	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
96	95	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
97	24	nnred 12172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
98	97	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
99	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
100	98, 99	remulcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101	100	resincld 16080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102		ioossicc 13361	. . . . . . . 8 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
103	102	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
104		ioombl 25534	. . . . . . . 8 ⊢ (-π(,)0) ∈ dom vol
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
106	97	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107		iccssre 13357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
108	2, 5, 107	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π[,]0) ⊆ ℝ
109	108	sseli 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111	106, 110	remulcld 11174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112	111	resincld 16080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113		0red 11147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114		sincn 26422	. . . . . . . . . 10 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
117	108, 116	sstri 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π[,]0) ⊆ ℂ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
119		ssid 3958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
121	118, 25, 120	constcncfg 46227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
122	118, 120	idcncfg 46228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
123	121, 122	mulcncf 25414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124	115, 123	cncfmpt1f 24875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125		cniccibl 25810	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
126	3, 113, 124, 125	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
127	103, 105, 112, 126	iblss 25774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
128	96, 101, 127	iblmulc2 25800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
129	94, 128	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
130	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ^*)
131	1	rexri 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ^*
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ^*)
133		elioore 13303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
134	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
135		0red 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
136	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
137		ioogtlb 45852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
138	61, 131, 137	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
139	134, 135, 133, 136, 138	lttrd 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑥)
140		iooltub 45867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
141	61, 131, 140	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
142	130, 132, 133, 139, 141	eliood 45855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
143	142, 20	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
144	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
145	135, 133, 138	ltled 11293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
146	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
147	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
148		2timesgt 45647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π ∈ ℝ⁺ → π < (2 · π))
149	36, 148	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π < (2 · π)
150	149, 34	breqtrri 5127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π < 𝑇
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
152	133, 146, 147, 141, 151	lttrd 11306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
153		modid 13828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ⁺) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
154	133, 144, 145, 152, 153	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
155	154, 141	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
156	155	iftrued 4489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
157	156	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
158	143, 157	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘𝑥) = 1)
159	158	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
160	142, 29	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
161	160	mullidd 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
162	159, 161	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
163	162	mpteq2dva 5193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
164		ioossicc 13361	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
165	164	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
166		ioombl 25534	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ∈ dom vol
167	166	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
168	97	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
169		iccssre 13357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
170	5, 1, 169	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
171	170	sseli 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
172	171	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
173	168, 172	remulcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
174	173	resincld 16080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
175	170, 116	sstri 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
177	176, 25, 120	constcncfg 46227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178	176, 120	idcncfg 46228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179	177, 178	mulcncf 25414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180	115, 179	cncfmpt1f 24875	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
181		cniccibl 25810	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
182	113, 4, 180, 181	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
183	165, 167, 174, 182	iblss 25774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
184	163, 183	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
185	3, 4, 12, 30, 129, 184	itgsplitioo 25807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186	185	oveq1d 7383	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
187	91	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
188	187	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
189	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ^*)
190	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ^*)
191	31, 72, 33, 77, 73	lttrd 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < π)
192	189, 190, 31, 63, 191	eliood 45855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
193	192, 29	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
194	193	mulm1d 11601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
195	188, 194	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
196	195	itgeq2dv 25751	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
197	101, 127	itgneg 25773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
198	24	nnne0d 12207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
199	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -π ≤ 0)
200	25, 198, 3, 113, 199	itgsincmulx 46329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
201	24	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
202		cosknegpi 46224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
203	201, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
204	25	mul01d 11344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
205	204	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = (cos‘0))
206		cos0 16087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (cos‘0) = 1
207	205, 206	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = 1)
208	203, 207	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1))
209		1m1e0 12229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
210		iftrue 4487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = 1)
211	210	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (1 − 1))
212		iftrue 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = 0)
213	209, 211, 212	3eqtr4a 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
214		iffalse 4490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = -1)
215	214	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (-1 − 1))
216		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
217		negdi2 11451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
218	216, 216, 217	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -(1 + 1) = (-1 − 1)
219	218	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 − 1) = -(1 + 1)
220	219	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1 − 1) = -(1 + 1))
221		1p1e2 12277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
222	221	negeqi 11385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(1 + 1) = -2
223		iffalse 4490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -2)
224	222, 223	eqtr4id 2791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → -(1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
225	215, 220, 224	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
226	213, 225	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2)
227	208, 226	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
228	227	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
229	200, 228	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
230	229	negeqd 11386	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
231		0cn 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
232		2cn 12232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
233	232	negcli 11461	. . . . . . . . . 10 ⊢ -2 ∈ ℂ
234	231, 233	ifcli 4529	. . . . . . . . 9 ⊢ if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ
235	234	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ)
236	235, 25, 198	divnegd 11942	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
237		neg0 11439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -0 = 0
238	212	negeqd 11386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -0)
239		iftrue 4487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 0)
240	237, 238, 239	3eqtr4a 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
241	232	negnegi 11463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --2 = 2
242	223	negeqd 11386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = --2)
243		iffalse 4490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 2)
244	241, 242, 243	3eqtr4a 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
245	240, 244	pm2.61i 182	. . . . . . . . 9 ⊢ -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
246	245	oveq1i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)
247	246	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
248	230, 236, 247	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
249	196, 197, 248	3eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
250	133, 17, 19	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
251	250, 156	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = 1)
252	251	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
253	252	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
254	253, 161	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
255	254	itgeq2dv 25751	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
256	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ π)
257	25, 198, 113, 4, 256	itgsincmulx 46329	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁))
258		coskpi2 46221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
259	201, 258	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
260	207, 259	oveq12d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)))
261	210	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − 1))
262	209, 261, 239	3eqtr4a 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
263	214	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − -1))
264	216, 216	subnegi 11472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -1) = (1 + 1)
265	264	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − -1) = (1 + 1))
266	221, 243	eqtr4id 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
267	263, 265, 266	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
268	262, 267	pm2.61i 182	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
269	260, 268	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
270	269	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
271	255, 257, 270	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
272	249, 271	oveq12d 7386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
273	231, 232	ifcli 4529	. . . . . 6 ⊢ if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ
274	273	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ)
275	274, 274, 25, 198	divdird 11967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
276	239, 239	oveq12d 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (0 + 0))
277		00id 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
278	276, 277	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 0)
279	278	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
280	279	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
281	25, 198	div0d 11928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
282	281	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
283		iftrue 4487	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = 0)
284	283	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
285	284	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
286	280, 282, 285	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
287	243, 243	oveq12d 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (2 + 2))
288		2p2e4 12287	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
289	287, 288	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 4)
290	289	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (4 / 𝑁))
291		iffalse 4490	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = (4 / 𝑁))
292	290, 291	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
293	292	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
294	286, 293	pm2.61dan 813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
295	272, 275, 294	3eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
296	295	oveq1d 7383	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π))
297	283	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
298	297	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
299	5, 8	gtneii 11257	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
300	42, 299	div0i 11887	. . . . 5 ⊢ (0 / π) = 0
301	300	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / π) = 0)
302		iftrue 4487	. . . . . 6 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = 0)
303	302	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
304	303	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
305	298, 301, 304	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
306	291	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
307	306	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
308		4cn 12242	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
309	308	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
310	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
311	299	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
312	309, 25, 310, 198, 311	divdiv1d 11960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
313	312	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
314		iffalse 4490	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = (4 / (𝑁 · π)))
315	314	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
316	315	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
317	307, 313, 316	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
318	305, 317	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
319	186, 296, 318	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ⊆ wss 3903 ifcif 4481 class class class wbr 5100 ↦ cmpt 5181 dom cdm 5632 ‘cfv 6500 (class class class)co 7368 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 ℝ^*cxr 11177 < clt 11178 ≤ cle 11179 − cmin 11376 -cneg 11377 / cdiv 11806 ℕcn 12157 2c2 12212 4c4 12214 ℤcz 12500 ℝ⁺crp 12917 (,)cioo 13273 [,]cicc 13276 mod cmo 13801 sincsin 15998 cosccos 15999 πcpi 16001 ∥ cdvds 16191 –cn→ccncf 24837 volcvol 25432 𝐿¹cibl 25586 ∫citg 25587

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5226 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-inf2 9562 ax-cc 10357 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116 ax-addf 11117

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-symdif 4207 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4905 df-iun 4950 df-iin 4951 df-disj 5068 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-se 5586 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-of 7632 df-ofr 7633 df-om 7819 df-1st 7943 df-2nd 7944 df-supp 8113 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-1o 8407 df-2o 8408 df-oadd 8411 df-omul 8412 df-er 8645 df-map 8777 df-pm 8778 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9277 df-fi 9326 df-sup 9357 df-inf 9358 df-oi 9427 df-dju 9825 df-card 9863 df-acn 9866 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-div 11807 df-nn 12158 df-2 12220 df-3 12221 df-4 12222 df-5 12223 df-6 12224 df-7 12225 df-8 12226 df-9 12227 df-n0 12414 df-z 12501 df-dec 12620 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12918 df-xneg 13038 df-xadd 13039 df-xmul 13040 df-ioo 13277 df-ioc 13278 df-ico 13279 df-icc 13280 df-fz 13436 df-fzo 13583 df-fl 13724 df-mod 13802 df-seq 13937 df-exp 13997 df-fac 14209 df-bc 14238 df-hash 14266 df-shft 15002 df-cj 15034 df-re 15035 df-im 15036 df-sqrt 15170 df-abs 15171 df-limsup 15406 df-clim 15423 df-rlim 15424 df-sum 15622 df-ef 16002 df-sin 16004 df-cos 16005 df-pi 16007 df-dvds 16192 df-struct 17086 df-sets 17103 df-slot 17121 df-ndx 17133 df-base 17149 df-ress 17170 df-plusg 17202 df-mulr 17203 df-starv 17204 df-sca 17205 df-vsca 17206 df-ip 17207 df-tset 17208 df-ple 17209 df-ds 17211 df-unif 17212 df-hom 17213 df-cco 17214 df-rest 17354 df-topn 17355 df-0g 17373 df-gsum 17374 df-topgen 17375 df-pt 17376 df-prds 17379 df-xrs 17435 df-qtop 17440 df-imas 17441 df-xps 17443 df-mre 17517 df-mrc 17518 df-acs 17520 df-mgm 18577 df-sgrp 18656 df-mnd 18672 df-submnd 18721 df-mulg 19010 df-cntz 19258 df-cmn 19723 df-psmet 21313 df-xmet 21314 df-met 21315 df-bl 21316 df-mopn 21317 df-fbas 21318 df-fg 21319 df-cnfld 21322 df-top 22850 df-topon 22867 df-topsp 22889 df-bases 22902 df-cld 22975 df-ntr 22976 df-cls 22977 df-nei 23054 df-lp 23092 df-perf 23093 df-cn 23183 df-cnp 23184 df-haus 23271 df-cmp 23343 df-tx 23518 df-hmeo 23711 df-fil 23802 df-fm 23894 df-flim 23895 df-flf 23896 df-xms 24276 df-ms 24277 df-tms 24278 df-cncf 24839 df-ovol 25433 df-vol 25434 df-mbf 25588 df-itg1 25589 df-itg2 25590 df-ibl 25591 df-itg 25592 df-0p 25639 df-limc 25835 df-dv 25836

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