Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqwvfourb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqwvfourb 43474
Description: Fourier series 𝐵 coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfourb.t 𝑇 = (2 · π)
sqwvfourb.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfourb.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
sqwvfourb (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem sqwvfourb
StepHypRef Expression
1 pire 25372 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 11164 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 0re 10860 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 42520 . . . . . . 7 -π < 0
72, 5, 6ltleii 10980 . . . . . 6 -π ≤ 0
8 pipos 25374 . . . . . . 7 0 < π
95, 1, 8ltleii 10980 . . . . . 6 0 ≤ π
102, 1elicc2i 13026 . . . . . 6 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1343 . . . . 5 0 ∈ (-π[,]π)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13 elioore 12990 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
1413adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 1re 10858 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
1615renegcli 11164 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
1715, 16ifcli 4501 . . . . . . 7 if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
18 sqwvfourb.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1918fvmpt2 6848 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
2014, 17, 19sylancl 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
2117a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
2221recnd 10886 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ)
2320, 22eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
24 sqwvfourb.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2524nncnd 11871 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2625adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2714recnd 10886 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2826, 27mulcld 10878 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℂ)
2928sincld 15716 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
3023, 29mulcld 10878 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
31 elioore 12990 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3231, 17, 19sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
34 sqwvfourb.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 · π)
35 2rp 12616 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
36 pirp 25375 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
37 rpmulcl 12634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℝ+
3934, 38eqeltri 2835 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
4131, 40modcld 13473 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42 picn 25373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℂ
43422timesi 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) = (π + π)
4434, 43eqtri 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (π + π)
4544oveq2i 7243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
462recni 10872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℂ
4746, 42, 42addassi 10868 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
4842negidi 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π + -π) = 0
4942, 46, 48addcomli 11049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π + π) = 0
5049oveq1i 7242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π + π) + π) = (0 + π)
5142addid2i 11045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + π) = π
5250, 51eqtri 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = π
5345, 47, 523eqtr2ri 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 π = (-π + 𝑇)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
56 2re 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5756, 1remulcli 10874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℝ
5834, 57eqeltri 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
602rexri 10916 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ*
61 0xr 10905 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
62 ioogtlb 42737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
6360, 61, 62mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
6455, 31, 59, 63ltadd1dd 11468 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
6554, 64eqbrtrd 5090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
6658recni 10872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ ℂ
6766mulid2i 10863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝑇) = 𝑇
6867eqcomi 2747 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 · 𝑇)
6968oveq2i 7243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
7069oveq1i 7242 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
7131, 59readdcld 10887 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
72 0red 10861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
7472, 33, 71, 73, 65lttrd 11018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
7572, 71, 74ltled 11005 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
76 iooltub 42752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
7760, 61, 76mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
7831, 72, 59, 77ltadd1dd 11468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
7959recnd 10886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
8079addid2d 11058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
8178, 80breqtrd 5094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
82 modid 13494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
8371, 40, 75, 81, 82syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
84 1zzd 12233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
85 modcyc 13504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8631, 40, 84, 85syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8770, 83, 863eqtr3a 2803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8865, 87breqtrd 5094 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
8933, 41, 88ltnsymd 11006 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
9089iffalsed 4465 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
9132, 90eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = -1)
9291adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝐹𝑥) = -1)
9392oveq1d 7247 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
9493mpteq2dva 5165 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))))
95 neg1cn 11969 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
9695a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
9724nnred 11870 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
9897adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9931adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10098, 99remulcld 10888 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101100resincld 15729 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102 ioossicc 13046 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
103102a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
104 ioombl 24486 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ∈ dom vol
105104a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
10697adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107 iccssre 13042 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
1082, 5, 107mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]0) ⊆ ℝ
109108sseli 3911 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110109adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111106, 110remulcld 10888 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112111resincld 15729 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113 0red 10861 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114 sincn 25360 . . . . . . . . . 10 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116 ax-resscn 10811 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
117108, 116sstri 3925 . . . . . . . . . . . 12 (-π[,]0) ⊆ ℂ
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
119 ssid 3938 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
121118, 25, 120constcncfg 43117 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
122118, 120idcncfg 43118 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
123121, 122mulcncf 24367 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124115, 123cncfmpt1f 23835 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125 cniccibl 24762 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
1263, 113, 124, 125syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
127103, 105, 112, 126iblss 24726 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
12896, 101, 127iblmulc2 24752 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
12994, 128eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
13060a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ*)
1311rexri 10916 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ*
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
133 elioore 12990 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
1342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
135 0red 10861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
1366a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
137 ioogtlb 42737 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
13861, 131, 137mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
139134, 135, 133, 136, 138lttrd 11018 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑥)
140 iooltub 42752 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
14161, 131, 140mp3an12 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
142130, 132, 133, 139, 141eliood 42740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
143142, 20sylan2 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
14439a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
145135, 133, 138ltled 11005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
1461a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
14758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
148 2timesgt 42528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
14936, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π < (2 · π)
150149, 34breqtrri 5095 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < 𝑇
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
152133, 146, 147, 141, 151lttrd 11018 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
153 modid 13494 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
154133, 144, 145, 152, 153syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
155154, 141eqbrtrd 5090 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
156155iftrued 4462 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
157156adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
158143, 157eqtrd 2778 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹𝑥) = 1)
159158oveq1d 7247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
160142, 29sylan2 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
161160mulid2d 10876 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
162159, 161eqtrd 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
163162mpteq2dva 5165 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
164 ioossicc 13046 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
165164a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
166 ioombl 24486 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
167166a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
16897adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
169 iccssre 13042 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1705, 1, 169mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (0[,]π) ⊆ ℝ
171170sseli 3911 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
172171adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
173168, 172remulcld 10888 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
174173resincld 15729 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
175170, 116sstri 3925 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℂ
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
177176, 25, 120constcncfg 43117 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178176, 120idcncfg 43118 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179177, 178mulcncf 24367 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180115, 179cncfmpt1f 23835 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
181 cniccibl 24762 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
182113, 4, 180, 181syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
183165, 167, 174, 182iblss 24726 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
184163, 183eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
1853, 4, 12, 30, 129, 184itgsplitioo 24759 . . 3 (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186185oveq1d 7247 . 2 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
18791oveq1d 7247 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
188187adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
18960a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
190131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ*)
19131, 72, 33, 77, 73lttrd 11018 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < π)
192189, 190, 31, 63, 191eliood 42740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
193192, 29sylan2 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
194193mulm1d 11309 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
195188, 194eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
196195itgeq2dv 24703 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
197101, 127itgneg 24725 . . . . . 6 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
19824nnne0d 11905 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1997a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ 0)
20025, 198, 3, 113, 199itgsincmulx 43219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
20124nnzd 12306 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
202 cosknegpi 43114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
20425mul01d 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
205204fveq2d 6740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = (cos‘0))
206 cos0 15736 . . . . . . . . . . . . 13 (cos‘0) = 1
207205, 206eqtrdi 2795 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = 1)
208203, 207oveq12d 7250 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1))
209 1m1e0 11927 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
210 iftrue 4460 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = 1)
211210oveq1d 7247 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (1 − 1))
212 iftrue 4460 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = 0)
213209, 211, 2123eqtr4a 2805 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
214 iffalse 4463 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = -1)
215214oveq1d 7247 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (-1 − 1))
216 ax-1cn 10812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
217 negdi2 11161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
218216, 216, 217mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(1 + 1) = (-1 − 1)
219218eqcomi 2747 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 − 1) = -(1 + 1)
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1 − 1) = -(1 + 1))
221 1p1e2 11980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
222221negeqi 11096 . . . . . . . . . . . . . 14 -(1 + 1) = -2
223 iffalse 4463 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -2)
224222, 223eqtr4id 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -(1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
225215, 220, 2243eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
226213, 225pm2.61i 185 . . . . . . . . . . 11 (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2)
227208, 226eqtrdi 2795 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
228227oveq1d 7247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
229200, 228eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
230229negeqd 11097 . . . . . . 7 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
231 0cn 10850 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
232 2cn 11930 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
233232negcli 11171 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ ℂ
234231, 233ifcli 4501 . . . . . . . . 9 if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ
235234a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ)
236235, 25, 198divnegd 11646 . . . . . . 7 (𝜑 → -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
237 neg0 11149 . . . . . . . . . . 11 -0 = 0
238212negeqd 11097 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -0)
239 iftrue 4460 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 0)
240237, 238, 2393eqtr4a 2805 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
241232negnegi 11173 . . . . . . . . . . 11 --2 = 2
242223negeqd 11097 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = --2)
243 iffalse 4463 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 2)
244241, 242, 2433eqtr4a 2805 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
245240, 244pm2.61i 185 . . . . . . . . 9 -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
246245oveq1i 7242 . . . . . . . 8 (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)
247246a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
248230, 236, 2473eqtrd 2782 . . . . . 6 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
249196, 197, 2483eqtr2d 2784 . . . . 5 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
250133, 17, 19sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
251250, 156eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = 1)
252251oveq1d 7247 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
253252adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
254253, 161eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
255254itgeq2dv 24703 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
2569a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ π)
25725, 198, 113, 4, 256itgsincmulx 43219 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁))
258 coskpi2 43111 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
259201, 258syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
260207, 259oveq12d 7250 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)))
261210oveq2d 7248 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − 1))
262209, 261, 2393eqtr4a 2805 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
263214oveq2d 7248 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − -1))
264216, 216subnegi 11182 . . . . . . . . . . 11 (1 − -1) = (1 + 1)
265264a1i 11 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − -1) = (1 + 1))
266221, 243eqtr4id 2798 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
267263, 265, 2663eqtrd 2782 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
268262, 267pm2.61i 185 . . . . . . . 8 (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
269260, 268eqtrdi 2795 . . . . . . 7 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
270269oveq1d 7247 . . . . . 6 (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
271255, 257, 2703eqtrd 2782 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
272249, 271oveq12d 7250 . . . 4 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
273231, 232ifcli 4501 . . . . . 6 if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ
274273a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ)
275274, 274, 25, 198divdird 11671 . . . 4 (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
276239, 239oveq12d 7250 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (0 + 0))
277 00id 11032 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
278276, 277eqtrdi 2795 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 0)
279278oveq1d 7247 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
280279adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
28125, 198div0d 11632 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
282281adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
283 iftrue 4460 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = 0)
284283eqcomd 2744 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
285284adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
286280, 282, 2853eqtrd 2782 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
287243, 243oveq12d 7250 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (2 + 2))
288 2p2e4 11990 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
289287, 288eqtrdi 2795 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 4)
290289oveq1d 7247 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (4 / 𝑁))
291 iffalse 4463 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = (4 / 𝑁))
292290, 291eqtr4d 2781 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
293292adantl 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
294286, 293pm2.61dan 813 . . . 4 (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
295272, 275, 2943eqtr2d 2784 . . 3 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
296295oveq1d 7247 . 2 (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π))
297283oveq1d 7247 . . . . 5 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
298297adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
2995, 8gtneii 10969 . . . . . 6 π ≠ 0
30042, 299div0i 11591 . . . . 5 (0 / π) = 0
301300a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / π) = 0)
302 iftrue 4460 . . . . . 6 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = 0)
303302eqcomd 2744 . . . . 5 (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
304303adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
305298, 301, 3043eqtrd 2782 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
306291oveq1d 7247 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
307306adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
308 4cn 11940 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
309308a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
31042a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ℂ)
311299a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ≠ 0)
312309, 25, 310, 198, 311divdiv1d 11664 . . . . 5 (𝜑 → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
313312adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
314 iffalse 4463 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = (4 / (𝑁 · π)))
315314eqcomd 2744 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
316315adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
317307, 313, 3163eqtrd 2782 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
318305, 317pm2.61dan 813 . 2 (𝜑 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
319186, 296, 3183eqtrd 2782 1 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941  wss 3881  ifcif 4454   class class class wbr 5068  cmpt 5150  dom cdm 5566  cfv 6398  (class class class)co 7232  cc 10752  cr 10753  0cc0 10754  1c1 10755   + caddc 10757   · cmul 10759  *cxr 10891   < clt 10892  cle 10893  cmin 11087  -cneg 11088   / cdiv 11514  cn 11855  2c2 11910  4c4 11912  cz 12201  +crp 12611  (,)cioo 12960  [,]cicc 12963   mod cmo 13467  sincsin 15650  cosccos 15651  πcpi 15653  cdvds 15840  cnccncf 23797  volcvol 24384  𝐿1cibl 24538  citg 24539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-inf2 9281  ax-cc 10074  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831  ax-pre-sup 10832  ax-addf 10833  ax-mulf 10834
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-symdif 4172  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-int 4875  df-iun 4921  df-iin 4922  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-se 5525  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-isom 6407  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-of 7488  df-ofr 7489  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-supp 7925  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-2o 8224  df-oadd 8227  df-omul 8228  df-er 8412  df-map 8531  df-pm 8532  df-ixp 8600  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-fsupp 9011  df-fi 9052  df-sup 9083  df-inf 9084  df-oi 9151  df-dju 9542  df-card 9580  df-acn 9583  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-div 11515  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-4 11920  df-5 11921  df-6 11922  df-7 11923  df-8 11924  df-9 11925  df-n0 12116  df-z 12202  df-dec 12319  df-uz 12464  df-q 12570  df-rp 12612  df-xneg 12729  df-xadd 12730  df-xmul 12731  df-ioo 12964  df-ioc 12965  df-ico 12966  df-icc 12967  df-fz 13121  df-fzo 13264  df-fl 13392  df-mod 13468  df-seq 13600  df-exp 13661  df-fac 13865  df-bc 13894  df-hash 13922  df-shft 14655  df-cj 14687  df-re 14688  df-im 14689  df-sqrt 14823  df-abs 14824  df-limsup 15057  df-clim 15074  df-rlim 15075  df-sum 15275  df-ef 15654  df-sin 15656  df-cos 15657  df-pi 15659  df-dvds 15841  df-struct 16725  df-sets 16742  df-slot 16760  df-ndx 16770  df-base 16786  df-ress 16810  df-plusg 16840  df-mulr 16841  df-starv 16842  df-sca 16843  df-vsca 16844  df-ip 16845  df-tset 16846  df-ple 16847  df-ds 16849  df-unif 16850  df-hom 16851  df-cco 16852  df-rest 16952  df-topn 16953  df-0g 16971  df-gsum 16972  df-topgen 16973  df-pt 16974  df-prds 16977  df-xrs 17032  df-qtop 17037  df-imas 17038  df-xps 17040  df-mre 17114  df-mrc 17115  df-acs 17117  df-mgm 18139  df-sgrp 18188  df-mnd 18199  df-submnd 18244  df-mulg 18514  df-cntz 18736  df-cmn 19197  df-psmet 20380  df-xmet 20381  df-met 20382  df-bl 20383  df-mopn 20384  df-fbas 20385  df-fg 20386  df-cnfld 20389  df-top 21815  df-topon 21832  df-topsp 21854  df-bases 21867  df-cld 21940  df-ntr 21941  df-cls 21942  df-nei 22019  df-lp 22057  df-perf 22058  df-cn 22148  df-cnp 22149  df-haus 22236  df-cmp 22308  df-tx 22483  df-hmeo 22676  df-fil 22767  df-fm 22859  df-flim 22860  df-flf 22861  df-xms 23242  df-ms 23243  df-tms 23244  df-cncf 23799  df-ovol 24385  df-vol 24386  df-mbf 24540  df-itg1 24541  df-itg2 24542  df-ibl 24543  df-itg 24544  df-0p 24591  df-limc 24787  df-dv 24788
This theorem is referenced by:  fouriersw  43476
  Copyright terms: Public domain W3C validator