Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqwvfourb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqwvfourb 45680
Description: Fourier series 𝐡 coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfourb.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
sqwvfourb.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
sqwvfourb.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
sqwvfourb (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem sqwvfourb
StepHypRef Expression
1 pire 26411 . . . . . 6 Ο€ ∈ ℝ
21renegcli 11551 . . . . 5 -Ο€ ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
5 0re 11246 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 44725 . . . . . . 7 -Ο€ < 0
72, 5, 6ltleii 11367 . . . . . 6 -Ο€ ≀ 0
8 pipos 26413 . . . . . . 7 0 < Ο€
95, 1, 8ltleii 11367 . . . . . 6 0 ≀ Ο€
102, 1elicc2i 13422 . . . . . 6 (0 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 0 ∧ 0 ≀ Ο€))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1338 . . . . 5 0 ∈ (-Ο€[,]Ο€)
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
13 elioore 13386 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1413adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
15 1re 11244 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
1615renegcli 11551 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
1715, 16ifcli 4571 . . . . . . 7 if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ
18 sqwvfourb.f . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
1918fvmpt2 7011 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
2014, 17, 19sylancl 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
2117a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ)
2221recnd 11272 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ β„‚)
2320, 22eqeltrd 2825 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
24 sqwvfourb.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2524nncnd 12258 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2625adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2714recnd 11272 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2826, 27mulcld 11264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
2928sincld 16106 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
3023, 29mulcld 11264 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
31 elioore 13386 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3231, 17, 19sylancl 584 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
34 sqwvfourb.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 Β· Ο€)
35 2rp 13011 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
36 pirp 26414 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ+
37 rpmulcl 13029 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+
3934, 38eqeltri 2821 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
4131, 40modcld 13872 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) ∈ ℝ)
42 picn 26412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ο€ ∈ β„‚
43422timesi 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 Β· Ο€) = (Ο€ + Ο€)
4434, 43eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (Ο€ + Ο€)
4544oveq2i 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-Ο€ + 𝑇) = (-Ο€ + (Ο€ + Ο€))
462recni 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -Ο€ ∈ β„‚
4746, 42, 42addassi 11254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = (-Ο€ + (Ο€ + Ο€))
4842negidi 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ο€ + -Ο€) = 0
4942, 46, 48addcomli 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-Ο€ + Ο€) = 0
5049oveq1i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = (0 + Ο€)
5142addlidi 11432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + Ο€) = Ο€
5250, 51eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = Ο€
5345, 47, 523eqtr2ri 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ = (-Ο€ + 𝑇)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ = (-Ο€ + 𝑇))
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
56 2re 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5756, 1remulcli 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
5834, 57eqeltri 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
602rexri 11302 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ ℝ*
61 0xr 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
62 ioogtlb 44943 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ < π‘₯)
6360, 61, 62mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ < π‘₯)
6455, 31, 59, 63ltadd1dd 11855 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (-Ο€ + 𝑇) < (π‘₯ + 𝑇))
6554, 64eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ < (π‘₯ + 𝑇))
6658recni 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ β„‚
6766mullidi 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 Β· 𝑇) = 𝑇
6867eqcomi 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 Β· 𝑇)
6968oveq2i 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ + 𝑇) = (π‘₯ + (1 Β· 𝑇))
7069oveq1i 7426 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇)
7131, 59readdcld 11273 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
72 0red 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ∈ ℝ)
738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 < Ο€)
7472, 33, 71, 73, 65lttrd 11405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 < (π‘₯ + 𝑇))
7572, 71, 74ltled 11392 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ≀ (π‘₯ + 𝑇))
76 iooltub 44958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘₯ < 0)
7760, 61, 76mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ < 0)
7831, 72, 59, 77ltadd1dd 11855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) < (0 + 𝑇))
7959recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
8079addlidd 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (0 + 𝑇) = 𝑇)
8178, 80breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) < 𝑇)
82 modid 13893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ (π‘₯ + 𝑇) ∧ (π‘₯ + 𝑇) < 𝑇)) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ + 𝑇))
8371, 40, 75, 81, 82syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ + 𝑇))
84 1zzd 12623 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 1 ∈ β„€)
85 modcyc 13903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
8631, 40, 84, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
8770, 83, 863eqtr3a 2789 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
8865, 87breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ < (π‘₯ mod 𝑇))
8933, 41, 88ltnsymd 11393 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Β¬ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
9089iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = -1)
9132, 90eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = -1)
9291adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = -1)
9392oveq1d 7431 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (-1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
9493mpteq2dva 5243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (-1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))))
95 neg1cn 12356 . . . . . . 7 -1 ∈ β„‚
9695a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -1 ∈ β„‚)
9724nnred 12257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
9897adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
9931adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
10098, 99remulcld 11274 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
101100resincld 16119 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
102 ioossicc 13442 . . . . . . . 8 (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]0)
103102a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]0))
104 ioombl 25512 . . . . . . . 8 (-Ο€(,)0) ∈ dom vol
105104a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)0) ∈ dom vol)
10697adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
107 iccssre 13438 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]0) βŠ† ℝ)
1082, 5, 107mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (-Ο€[,]0) βŠ† ℝ
109108sseli 3968 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
110109adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
111106, 110remulcld 11274 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
112111resincld 16119 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
113 0red 11247 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
114 sincn 26399 . . . . . . . . . 10 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
116 ax-resscn 11195 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
117108, 116sstri 3982 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€[,]0) βŠ† β„‚
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-Ο€[,]0) βŠ† β„‚)
119 ssid 3995 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ βŠ† β„‚
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
121118, 25, 120constcncfg 45323 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
122118, 120idcncfg 45324 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ π‘₯) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
123121, 122mulcncf 25392 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
124115, 123cncfmpt1f 24852 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
125 cniccibl 25788 . . . . . . . 8 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
1263, 113, 124, 125syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
127103, 105, 112, 126iblss 25752 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
12896, 101, 127iblmulc2 25778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (-1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
12994, 128eqeltrd 2825 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
13060a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
1311rexri 11302 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ ∈ ℝ*
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
133 elioore 13386 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
135 0red 11247 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ∈ ℝ)
1366a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ -Ο€ < 0)
137 ioogtlb 44943 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 0 < π‘₯)
13861, 131, 137mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < π‘₯)
139134, 135, 133, 136, 138lttrd 11405 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ -Ο€ < π‘₯)
140 iooltub 44958 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ π‘₯ < Ο€)
14161, 131, 140mp3an12 1447 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ < Ο€)
142130, 132, 133, 139, 141eliood 44946 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
143142, 20sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
14439a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
145135, 133, 138ltled 11392 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ≀ π‘₯)
1461a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
14758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
148 2timesgt 44733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
14936, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ο€ < (2 Β· Ο€)
150149, 34breqtrri 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ < 𝑇
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ < 𝑇)
152133, 146, 147, 141, 151lttrd 11405 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ < 𝑇)
153 modid 13893 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑇)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = π‘₯)
154133, 144, 145, 152, 153syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = π‘₯)
155154, 141eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
156155iftrued 4532 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = 1)
157156adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = 1)
158143, 157eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1)
159158oveq1d 7431 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
160142, 29sylan2 591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
161160mullidd 11262 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))
162159, 161eqtrd 2765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))
163162mpteq2dva 5243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
164 ioossicc 13442 . . . . . . 7 (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€)
165164a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€))
166 ioombl 25512 . . . . . . 7 (0(,)Ο€) ∈ dom vol
167166a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) ∈ dom vol)
16897adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
169 iccssre 13438 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (0[,]Ο€) βŠ† ℝ)
1705, 1, 169mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (0[,]Ο€) βŠ† ℝ
171170sseli 3968 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
172171adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
173168, 172remulcld 11274 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
174173resincld 16119 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
175170, 116sstri 3982 . . . . . . . . . . 11 (0[,]Ο€) βŠ† β„‚
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0[,]Ο€) βŠ† β„‚)
177176, 25, 120constcncfg 45323 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
178176, 120idcncfg 45324 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ π‘₯) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
179177, 178mulcncf 25392 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
180115, 179cncfmpt1f 24852 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
181 cniccibl 25788 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
182113, 4, 180, 181syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
183165, 167, 174, 182iblss 25752 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
184163, 183eqeltrd 2825 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
1853, 4, 12, 30, 129, 184itgsplitioo 25785 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯))
186185oveq1d 7431 . 2 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = ((∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) / Ο€))
18791oveq1d 7431 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (-1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
188187adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (-1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
18960a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
190131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
19131, 72, 33, 77, 73lttrd 11405 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ < Ο€)
192189, 190, 31, 63, 191eliood 44946 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
193192, 29sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
194193mulm1d 11696 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (-1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = -(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))
195188, 194eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = -(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))
196195itgeq2dv 25729 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(-Ο€(,)0)-(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯)
197101, 127itgneg 25751 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -∫(-Ο€(,)0)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = ∫(-Ο€(,)0)-(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯)
19824nnne0d 12292 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
1997a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -Ο€ ≀ 0)
20025, 198, 3, 113, 199itgsincmulx 45425 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((cosβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 0))) / 𝑁))
20124nnzd 12615 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
202 cosknegpi 45320 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1))
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1))
20425mul01d 11443 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 0) = 0)
205204fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 0)) = (cosβ€˜0))
206 cos0 16126 . . . . . . . . . . . . 13 (cosβ€˜0) = 1
207205, 206eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 0)) = 1)
208203, 207oveq12d 7434 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 0))) = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) βˆ’ 1))
209 1m1e0 12314 . . . . . . . . . . . . 13 (1 βˆ’ 1) = 0
210 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) = 1)
211210oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
212 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . 13 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = 0)
213209, 211, 2123eqtr4a 2791 . . . . . . . . . . . 12 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) βˆ’ 1) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2))
214 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) = -1)
215214oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) βˆ’ 1) = (-1 βˆ’ 1))
216 ax-1cn 11196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
217 negdi2 11548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ -(1 + 1) = (-1 βˆ’ 1))
218216, 216, 217mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(1 + 1) = (-1 βˆ’ 1)
219218eqcomi 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 βˆ’ 1) = -(1 + 1)
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (-1 βˆ’ 1) = -(1 + 1))
221 1p1e2 12367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
222221negeqi 11483 . . . . . . . . . . . . . 14 -(1 + 1) = -2
223 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = -2)
224222, 223eqtr4id 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ -(1 + 1) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2))
225215, 220, 2243eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) βˆ’ 1) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2))
226213, 225pm2.61i 182 . . . . . . . . . . 11 (if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) βˆ’ 1) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2)
227208, 226eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 0))) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2))
228227oveq1d 7431 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((cosβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 0))) / 𝑁) = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
229200, 228eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
230229negeqd 11484 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∫(-Ο€(,)0)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = -(if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
231 0cn 11236 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
232 2cn 12317 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
233232negcli 11558 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ β„‚
234231, 233ifcli 4571 . . . . . . . . 9 if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) ∈ β„‚
235234a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) ∈ β„‚)
236235, 25, 198divnegd 12033 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -(if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (-if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
237 neg0 11536 . . . . . . . . . . 11 -0 = 0
238212negeqd 11484 . . . . . . . . . . 11 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ -if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = -0)
239 iftrue 4530 . . . . . . . . . . 11 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) = 0)
240237, 238, 2393eqtr4a 2791 . . . . . . . . . 10 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ -if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2))
241232negnegi 11560 . . . . . . . . . . 11 --2 = 2
242223negeqd 11484 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ -if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = --2)
243 iffalse 4533 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) = 2)
244241, 242, 2433eqtr4a 2791 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ -if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2))
245240, 244pm2.61i 182 . . . . . . . . 9 -if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)
246245oveq1i 7426 . . . . . . . 8 (-if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)
247246a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
248230, 236, 2473eqtrd 2769 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -∫(-Ο€(,)0)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
249196, 197, 2483eqtr2d 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
250133, 17, 19sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
251250, 156eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1)
252251oveq1d 7431 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
253252adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
254253, 161eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))
255254itgeq2dv 25729 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯)
2569a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Ο€)
25725, 198, 113, 4, 256itgsincmulx 45425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((cosβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· Ο€))) / 𝑁))
258 coskpi2 45317 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1))
259201, 258syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1))
260207, 259oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· Ο€))) = (1 βˆ’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1)))
261210oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (1 βˆ’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1)) = (1 βˆ’ 1))
262209, 261, 2393eqtr4a 2791 . . . . . . . . 9 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (1 βˆ’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2))
263214oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (1 βˆ’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1)) = (1 βˆ’ -1))
264216, 216subnegi 11569 . . . . . . . . . . 11 (1 βˆ’ -1) = (1 + 1)
265264a1i 11 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (1 βˆ’ -1) = (1 + 1))
266221, 243eqtr4id 2784 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (1 + 1) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2))
267263, 265, 2663eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (1 βˆ’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2))
268262, 267pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)
269260, 268eqtrdi 2781 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· Ο€))) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2))
270269oveq1d 7431 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((cosβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· Ο€))) / 𝑁) = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
271255, 257, 2703eqtrd 2769 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
272249, 271oveq12d 7434 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) = ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
273231, 232ifcli 4571 . . . . . 6 if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) ∈ β„‚
274273a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) ∈ β„‚)
275274, 274, 25, 198divdird 12058 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
276239, 239oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) = (0 + 0))
277 00id 11419 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
278276, 277eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) = 0)
279278oveq1d 7431 . . . . . . 7 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
280279adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
28125, 198div0d 12019 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 / 𝑁) = 0)
282281adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (0 / 𝑁) = 0)
283 iftrue 4530 . . . . . . . 8 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = 0)
284283eqcomd 2731 . . . . . . 7 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ 0 = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
285284adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 0 = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
286280, 282, 2853eqtrd 2769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
287243, 243oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) = (2 + 2))
288 2p2e4 12377 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
289287, 288eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) = 4)
290289oveq1d 7431 . . . . . . 7 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (4 / 𝑁))
291 iffalse 4533 . . . . . . 7 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = (4 / 𝑁))
292290, 291eqtr4d 2768 . . . . . 6 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
293292adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
294286, 293pm2.61dan 811 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
295272, 275, 2943eqtr2d 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
296295oveq1d 7431 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) / Ο€) = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€))
297283oveq1d 7431 . . . . 5 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = (0 / Ο€))
298297adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = (0 / Ο€))
2995, 8gtneii 11356 . . . . . 6 Ο€ β‰  0
30042, 299div0i 11978 . . . . 5 (0 / Ο€) = 0
301300a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (0 / Ο€) = 0)
302 iftrue 4530 . . . . . 6 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))) = 0)
303302eqcomd 2731 . . . . 5 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ 0 = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
304303adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 0 = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
305298, 301, 3043eqtrd 2769 . . 3 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
306291oveq1d 7431 . . . . 5 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = ((4 / 𝑁) / Ο€))
307306adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = ((4 / 𝑁) / Ο€))
308 4cn 12327 . . . . . . 7 4 ∈ β„‚
309308a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„‚)
31042a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
311299a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ο€ β‰  0)
312309, 25, 310, 198, 311divdiv1d 12051 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((4 / 𝑁) / Ο€) = (4 / (𝑁 Β· Ο€)))
313312adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((4 / 𝑁) / Ο€) = (4 / (𝑁 Β· Ο€)))
314 iffalse 4533 . . . . . 6 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))) = (4 / (𝑁 Β· Ο€)))
315314eqcomd 2731 . . . . 5 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (4 / (𝑁 Β· Ο€)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
316315adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (4 / (𝑁 Β· Ο€)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
317307, 313, 3163eqtrd 2769 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
318305, 317pm2.61dan 811 . 2 (πœ‘ β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
319186, 296, 3183eqtrd 2769 1 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βŠ† wss 3939  ifcif 4524   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  β„•cn 12242  2c2 12297  4c4 12299  β„€cz 12588  β„+crp 13006  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359   mod cmo 13866  sincsin 16039  cosccos 16040  Ο€cpi 16042   βˆ₯ cdvds 16230  β€“cnβ†’ccncf 24814  volcvol 25410  πΏ1cibl 25564  βˆ«citg 25565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-symdif 4237  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567  df-itg2 25568  df-ibl 25569  df-itg 25570  df-0p 25617  df-limc 25813  df-dv 25814
This theorem is referenced by:  fouriersw  45682
  Copyright terms: Public domain W3C validator