Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqwvfourb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqwvfourb 45517
Description: Fourier series 𝐡 coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfourb.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
sqwvfourb.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
sqwvfourb.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
sqwvfourb (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem sqwvfourb
StepHypRef Expression
1 pire 26348 . . . . . 6 Ο€ ∈ ℝ
21renegcli 11525 . . . . 5 -Ο€ ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
5 0re 11220 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 44562 . . . . . . 7 -Ο€ < 0
72, 5, 6ltleii 11341 . . . . . 6 -Ο€ ≀ 0
8 pipos 26350 . . . . . . 7 0 < Ο€
95, 1, 8ltleii 11341 . . . . . 6 0 ≀ Ο€
102, 1elicc2i 13396 . . . . . 6 (0 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 0 ∧ 0 ≀ Ο€))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1338 . . . . 5 0 ∈ (-Ο€[,]Ο€)
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
13 elioore 13360 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
15 1re 11218 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
1615renegcli 11525 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
1715, 16ifcli 4570 . . . . . . 7 if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ
18 sqwvfourb.f . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
1918fvmpt2 7003 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
2014, 17, 19sylancl 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
2117a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ)
2221recnd 11246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ β„‚)
2320, 22eqeltrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
24 sqwvfourb.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2524nncnd 12232 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2714recnd 11246 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2826, 27mulcld 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
2928sincld 16080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
3023, 29mulcld 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
31 elioore 13360 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3231, 17, 19sylancl 585 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
34 sqwvfourb.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 Β· Ο€)
35 2rp 12985 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
36 pirp 26351 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ+
37 rpmulcl 13003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+
3934, 38eqeltri 2823 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
4131, 40modcld 13846 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) ∈ ℝ)
42 picn 26349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ο€ ∈ β„‚
43422timesi 12354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 Β· Ο€) = (Ο€ + Ο€)
4434, 43eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (Ο€ + Ο€)
4544oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-Ο€ + 𝑇) = (-Ο€ + (Ο€ + Ο€))
462recni 11232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -Ο€ ∈ β„‚
4746, 42, 42addassi 11228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = (-Ο€ + (Ο€ + Ο€))
4842negidi 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ο€ + -Ο€) = 0
4942, 46, 48addcomli 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-Ο€ + Ο€) = 0
5049oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = (0 + Ο€)
5142addlidi 11406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + Ο€) = Ο€
5250, 51eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = Ο€
5345, 47, 523eqtr2ri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ = (-Ο€ + 𝑇)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ = (-Ο€ + 𝑇))
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
56 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5756, 1remulcli 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
5834, 57eqeltri 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
602rexri 11276 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ ℝ*
61 0xr 11265 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
62 ioogtlb 44780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ < π‘₯)
6360, 61, 62mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ < π‘₯)
6455, 31, 59, 63ltadd1dd 11829 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (-Ο€ + 𝑇) < (π‘₯ + 𝑇))
6554, 64eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ < (π‘₯ + 𝑇))
6658recni 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ β„‚
6766mullidi 11223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 Β· 𝑇) = 𝑇
6867eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 Β· 𝑇)
6968oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ + 𝑇) = (π‘₯ + (1 Β· 𝑇))
7069oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇)
7131, 59readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
72 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ∈ ℝ)
738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 < Ο€)
7472, 33, 71, 73, 65lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 < (π‘₯ + 𝑇))
7572, 71, 74ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ≀ (π‘₯ + 𝑇))
76 iooltub 44795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘₯ < 0)
7760, 61, 76mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ < 0)
7831, 72, 59, 77ltadd1dd 11829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) < (0 + 𝑇))
7959recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
8079addlidd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (0 + 𝑇) = 𝑇)
8178, 80breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) < 𝑇)
82 modid 13867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ (π‘₯ + 𝑇) ∧ (π‘₯ + 𝑇) < 𝑇)) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ + 𝑇))
8371, 40, 75, 81, 82syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ + 𝑇))
84 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 1 ∈ β„€)
85 modcyc 13877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
8631, 40, 84, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
8770, 83, 863eqtr3a 2790 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
8865, 87breqtrd 5167 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ < (π‘₯ mod 𝑇))
8933, 41, 88ltnsymd 11367 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Β¬ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
9089iffalsed 4534 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = -1)
9132, 90eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = -1)
9291adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = -1)
9392oveq1d 7420 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (-1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
9493mpteq2dva 5241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (-1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))))
95 neg1cn 12330 . . . . . . 7 -1 ∈ β„‚
9695a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -1 ∈ β„‚)
9724nnred 12231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
9897adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
9931adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
10098, 99remulcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
101100resincld 16093 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
102 ioossicc 13416 . . . . . . . 8 (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]0)
103102a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]0))
104 ioombl 25449 . . . . . . . 8 (-Ο€(,)0) ∈ dom vol
105104a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)0) ∈ dom vol)
10697adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
107 iccssre 13412 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]0) βŠ† ℝ)
1082, 5, 107mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (-Ο€[,]0) βŠ† ℝ
109108sseli 3973 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
111106, 110remulcld 11248 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
112111resincld 16093 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
113 0red 11221 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
114 sincn 26336 . . . . . . . . . 10 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
116 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
117108, 116sstri 3986 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€[,]0) βŠ† β„‚
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-Ο€[,]0) βŠ† β„‚)
119 ssid 3999 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ βŠ† β„‚
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
121118, 25, 120constcncfg 45160 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
122118, 120idcncfg 45161 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ π‘₯) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
123121, 122mulcncf 25329 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
124115, 123cncfmpt1f 24789 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
125 cniccibl 25725 . . . . . . . 8 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
1263, 113, 124, 125syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
127103, 105, 112, 126iblss 25689 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
12896, 101, 127iblmulc2 25715 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (-1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
12994, 128eqeltrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
13060a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
1311rexri 11276 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ ∈ ℝ*
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
133 elioore 13360 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
135 0red 11221 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ∈ ℝ)
1366a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ -Ο€ < 0)
137 ioogtlb 44780 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 0 < π‘₯)
13861, 131, 137mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < π‘₯)
139134, 135, 133, 136, 138lttrd 11379 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ -Ο€ < π‘₯)
140 iooltub 44795 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ π‘₯ < Ο€)
14161, 131, 140mp3an12 1447 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ < Ο€)
142130, 132, 133, 139, 141eliood 44783 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
143142, 20sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
14439a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
145135, 133, 138ltled 11366 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ≀ π‘₯)
1461a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
14758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
148 2timesgt 44570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
14936, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ο€ < (2 Β· Ο€)
150149, 34breqtrri 5168 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ < 𝑇
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ < 𝑇)
152133, 146, 147, 141, 151lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ < 𝑇)
153 modid 13867 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑇)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = π‘₯)
154133, 144, 145, 152, 153syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = π‘₯)
155154, 141eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
156155iftrued 4531 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = 1)
157156adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = 1)
158143, 157eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1)
159158oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
160142, 29sylan2 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
161160mullidd 11236 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))
162159, 161eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))
163162mpteq2dva 5241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
164 ioossicc 13416 . . . . . . 7 (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€)
165164a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€))
166 ioombl 25449 . . . . . . 7 (0(,)Ο€) ∈ dom vol
167166a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) ∈ dom vol)
16897adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
169 iccssre 13412 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (0[,]Ο€) βŠ† ℝ)
1705, 1, 169mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (0[,]Ο€) βŠ† ℝ
171170sseli 3973 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
172171adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
173168, 172remulcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
174173resincld 16093 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
175170, 116sstri 3986 . . . . . . . . . . 11 (0[,]Ο€) βŠ† β„‚
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0[,]Ο€) βŠ† β„‚)
177176, 25, 120constcncfg 45160 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
178176, 120idcncfg 45161 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ π‘₯) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
179177, 178mulcncf 25329 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
180115, 179cncfmpt1f 24789 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
181 cniccibl 25725 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
182113, 4, 180, 181syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
183165, 167, 174, 182iblss 25689 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
184163, 183eqeltrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
1853, 4, 12, 30, 129, 184itgsplitioo 25722 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯))
186185oveq1d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = ((∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) / Ο€))
18791oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (-1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
188187adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (-1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
18960a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
190131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
19131, 72, 33, 77, 73lttrd 11379 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ < Ο€)
192189, 190, 31, 63, 191eliood 44783 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
193192, 29sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
194193mulm1d 11670 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (-1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = -(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))
195188, 194eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = -(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))
196195itgeq2dv 25666 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(-Ο€(,)0)-(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯)
197101, 127itgneg 25688 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -∫(-Ο€(,)0)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = ∫(-Ο€(,)0)-(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯)
19824nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
1997a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -Ο€ ≀ 0)
20025, 198, 3, 113, 199itgsincmulx 45262 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((cosβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 0))) / 𝑁))
20124nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
202 cosknegpi 45157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1))
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1))
20425mul01d 11417 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 0) = 0)
205204fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 0)) = (cosβ€˜0))
206 cos0 16100 . . . . . . . . . . . . 13 (cosβ€˜0) = 1
207205, 206eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 0)) = 1)
208203, 207oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 0))) = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) βˆ’ 1))
209 1m1e0 12288 . . . . . . . . . . . . 13 (1 βˆ’ 1) = 0
210 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) = 1)
211210oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
212 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . . 13 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = 0)
213209, 211, 2123eqtr4a 2792 . . . . . . . . . . . 12 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) βˆ’ 1) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2))
214 iffalse 4532 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) = -1)
215214oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) βˆ’ 1) = (-1 βˆ’ 1))
216 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
217 negdi2 11522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ -(1 + 1) = (-1 βˆ’ 1))
218216, 216, 217mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(1 + 1) = (-1 βˆ’ 1)
219218eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 βˆ’ 1) = -(1 + 1)
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (-1 βˆ’ 1) = -(1 + 1))
221 1p1e2 12341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
222221negeqi 11457 . . . . . . . . . . . . . 14 -(1 + 1) = -2
223 iffalse 4532 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = -2)
224222, 223eqtr4id 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ -(1 + 1) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2))
225215, 220, 2243eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) βˆ’ 1) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2))
226213, 225pm2.61i 182 . . . . . . . . . . 11 (if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1) βˆ’ 1) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2)
227208, 226eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 0))) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2))
228227oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((cosβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 0))) / 𝑁) = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
229200, 228eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
230229negeqd 11458 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∫(-Ο€(,)0)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = -(if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
231 0cn 11210 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
232 2cn 12291 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
233232negcli 11532 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ β„‚
234231, 233ifcli 4570 . . . . . . . . 9 if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) ∈ β„‚
235234a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) ∈ β„‚)
236235, 25, 198divnegd 12007 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -(if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (-if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
237 neg0 11510 . . . . . . . . . . 11 -0 = 0
238212negeqd 11458 . . . . . . . . . . 11 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ -if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = -0)
239 iftrue 4529 . . . . . . . . . . 11 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) = 0)
240237, 238, 2393eqtr4a 2792 . . . . . . . . . 10 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ -if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2))
241232negnegi 11534 . . . . . . . . . . 11 --2 = 2
242223negeqd 11458 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ -if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = --2)
243 iffalse 4532 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) = 2)
244241, 242, 2433eqtr4a 2792 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ -if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2))
245240, 244pm2.61i 182 . . . . . . . . 9 -if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)
246245oveq1i 7415 . . . . . . . 8 (-if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)
247246a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
248230, 236, 2473eqtrd 2770 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -∫(-Ο€(,)0)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
249196, 197, 2483eqtr2d 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
250133, 17, 19sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
251250, 156eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1)
252251oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
253252adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (1 Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
254253, 161eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))
255254itgeq2dv 25666 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯)
2569a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Ο€)
25725, 198, 113, 4, 256itgsincmulx 45262 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((cosβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· Ο€))) / 𝑁))
258 coskpi2 45154 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1))
259201, 258syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1))
260207, 259oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· Ο€))) = (1 βˆ’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1)))
261210oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (1 βˆ’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1)) = (1 βˆ’ 1))
262209, 261, 2393eqtr4a 2792 . . . . . . . . 9 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (1 βˆ’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2))
263214oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (1 βˆ’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1)) = (1 βˆ’ -1))
264216, 216subnegi 11543 . . . . . . . . . . 11 (1 βˆ’ -1) = (1 + 1)
265264a1i 11 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (1 βˆ’ -1) = (1 + 1))
266221, 243eqtr4id 2785 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (1 + 1) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2))
267263, 265, 2663eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (1 βˆ’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2))
268262, 267pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 1, -1)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)
269260, 268eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· Ο€))) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2))
270269oveq1d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((cosβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (cosβ€˜(𝑁 Β· Ο€))) / 𝑁) = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
271255, 257, 2703eqtrd 2770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
272249, 271oveq12d 7423 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) = ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
273231, 232ifcli 4570 . . . . . 6 if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) ∈ β„‚
274273a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) ∈ β„‚)
275274, 274, 25, 198divdird 12032 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
276239, 239oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) = (0 + 0))
277 00id 11393 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
278276, 277eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) = 0)
279278oveq1d 7420 . . . . . . 7 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
280279adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
28125, 198div0d 11993 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 / 𝑁) = 0)
282281adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (0 / 𝑁) = 0)
283 iftrue 4529 . . . . . . . 8 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = 0)
284283eqcomd 2732 . . . . . . 7 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ 0 = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
285284adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 0 = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
286280, 282, 2853eqtrd 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
287243, 243oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) = (2 + 2))
288 2p2e4 12351 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
289287, 288eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) = 4)
290289oveq1d 7420 . . . . . . 7 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (4 / 𝑁))
291 iffalse 4532 . . . . . . 7 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = (4 / 𝑁))
292290, 291eqtr4d 2769 . . . . . 6 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
293292adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
294286, 293pm2.61dan 810 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2) + if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
295272, 275, 2943eqtr2d 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
296295oveq1d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) / Ο€) = (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€))
297283oveq1d 7420 . . . . 5 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = (0 / Ο€))
298297adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = (0 / Ο€))
2995, 8gtneii 11330 . . . . . 6 Ο€ β‰  0
30042, 299div0i 11952 . . . . 5 (0 / Ο€) = 0
301300a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (0 / Ο€) = 0)
302 iftrue 4529 . . . . . 6 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))) = 0)
303302eqcomd 2732 . . . . 5 (2 βˆ₯ 𝑁 β†’ 0 = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
304303adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 0 = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
305298, 301, 3043eqtrd 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
306291oveq1d 7420 . . . . 5 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = ((4 / 𝑁) / Ο€))
307306adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = ((4 / 𝑁) / Ο€))
308 4cn 12301 . . . . . . 7 4 ∈ β„‚
309308a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„‚)
31042a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
311299a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ο€ β‰  0)
312309, 25, 310, 198, 311divdiv1d 12025 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((4 / 𝑁) / Ο€) = (4 / (𝑁 Β· Ο€)))
313312adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((4 / 𝑁) / Ο€) = (4 / (𝑁 Β· Ο€)))
314 iffalse 4532 . . . . . 6 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))) = (4 / (𝑁 Β· Ο€)))
315314eqcomd 2732 . . . . 5 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 β†’ (4 / (𝑁 Β· Ο€)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
316315adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (4 / (𝑁 Β· Ο€)) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
317307, 313, 3163eqtrd 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
318305, 317pm2.61dan 810 . 2 (πœ‘ β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / Ο€) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
319186, 296, 3183eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = if(2 βˆ₯ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 Β· Ο€))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  4c4 12273  β„€cz 12562  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333   mod cmo 13840  sincsin 16013  cosccos 16014  Ο€cpi 16016   βˆ₯ cdvds 16204  β€“cnβ†’ccncf 24751  volcvol 25347  πΏ1cibl 25501  βˆ«citg 25502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  fouriersw  45519
  Copyright terms: Public domain W3C validator