sqwvfourb - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > sqwvfourb		Structured version Visualization version GIF version

Theorem sqwvfourb 43770

Description: Fourier series 𝐵 coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sqwvfourb.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
sqwvfourb.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfourb.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
sqwvfourb	⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑁 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝑇(𝑥) 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem sqwvfourb**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 25615	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11282	. . . . 5 ⊢ -π ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
4	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
5		0re 10977	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		negpilt0 42819	. . . . . . 7 ⊢ -π < 0
7	2, 5, 6	ltleii 11098	. . . . . 6 ⊢ -π ≤ 0
8		pipos 25617	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
9	5, 1, 8	ltleii 11098	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
10	2, 1	elicc2i 13145	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
11	5, 7, 9, 10	mpbir3an 1340	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (-π[,]π)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13		elioore 13109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	13	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		1re 10975	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16	15	renegcli 11282	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
17	15, 16	ifcli 4506	. . . . . . 7 ⊢ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
18		sqwvfourb.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
19	18	fvmpt2 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
20	14, 17, 19	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
21	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ)
23	20, 22	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
24		sqwvfourb.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nncnd 11989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
27	14	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
28	26, 27	mulcld 10995	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℂ)
29	28	sincld 15839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
30	23, 29	mulcld 10995	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
31		elioore 13109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	31, 17, 19	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
33	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
34		sqwvfourb.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
35		2rp 12735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36		pirp 25618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ⁺
37		rpmulcl 12753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ π ∈ ℝ⁺) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
38	35, 36, 37	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ⁺
39	34, 38	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ⁺
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
41	31, 40	modcld 13595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42		picn 25616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π ∈ ℂ
43	42	2timesi 12111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · π) = (π + π)
44	34, 43	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = (π + π)
45	44	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
46	2	recni 10989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -π ∈ ℂ
47	46, 42, 42	addassi 10985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
48	42	negidi 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π + -π) = 0
49	42, 46, 48	addcomli 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-π + π) = 0
50	49	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π + π) + π) = (0 + π)
51	42	addid2i 11163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + π) = π
52	50, 51	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π + π) + π) = π
53	45, 47, 52	3eqtr2ri 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π = (-π + 𝑇)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
55	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
56		2re 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
57	56, 1	remulcli 10991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
58	34, 57	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
60	2	rexri 11033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ^*
61		0xr 11022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
62		ioogtlb 43033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
63	60, 61, 62	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
64	55, 31, 59, 63	ltadd1dd 11586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
65	54, 64	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
66	58	recni 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
67	66	mulid2i 10980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 𝑇) = 𝑇
68	67	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (1 · 𝑇)
69	68	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
70	69	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
71	31, 59	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
72		0red 10978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
73	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
74	72, 33, 71, 73, 65	lttrd 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
75	72, 71, 74	ltled 11123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
76		iooltub 43048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
77	60, 61, 76	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
78	31, 72, 59, 77	ltadd1dd 11586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
79	59	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
80	79	addid2d 11176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
81	78, 80	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
82		modid 13616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ⁺) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
83	71, 40, 75, 81, 82	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
84		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
85		modcyc 13626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
86	31, 40, 84, 85	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
87	70, 83, 86	3eqtr3a 2802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
88	65, 87	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
89	33, 41, 88	ltnsymd 11124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
90	89	iffalsed 4470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
91	32, 90	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹‘𝑥) = -1)
92	91	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝐹‘𝑥) = -1)
93	92	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
94	93	mpteq2dva 5174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))))
95		neg1cn 12087	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
96	95	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
97	24	nnred 11988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
98	97	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
99	31	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
100	98, 99	remulcld 11005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101	100	resincld 15852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102		ioossicc 13165	. . . . . . . 8 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
103	102	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
104		ioombl 24729	. . . . . . . 8 ⊢ (-π(,)0) ∈ dom vol
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
106	97	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107		iccssre 13161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
108	2, 5, 107	mp2an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π[,]0) ⊆ ℝ
109	108	sseli 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110	109	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111	106, 110	remulcld 11005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112	111	resincld 15852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113		0red 10978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114		sincn 25603	. . . . . . . . . 10 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116		ax-resscn 10928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
117	108, 116	sstri 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π[,]0) ⊆ ℂ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
119		ssid 3943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
121	118, 25, 120	constcncfg 43413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
122	118, 120	idcncfg 43414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
123	121, 122	mulcncf 24610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124	115, 123	cncfmpt1f 24077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125		cniccibl 25005	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
126	3, 113, 124, 125	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
127	103, 105, 112, 126	iblss 24969	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
128	96, 101, 127	iblmulc2 24995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
129	94, 128	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
130	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ^*)
131	1	rexri 11033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ^*
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ^*)
133		elioore 13109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
134	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
135		0red 10978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
136	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
137		ioogtlb 43033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
138	61, 131, 137	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
139	134, 135, 133, 136, 138	lttrd 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑥)
140		iooltub 43048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
141	61, 131, 140	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
142	130, 132, 133, 139, 141	eliood 43036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
143	142, 20	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
144	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
145	135, 133, 138	ltled 11123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
146	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
147	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
148		2timesgt 42827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π ∈ ℝ⁺ → π < (2 · π))
149	36, 148	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π < (2 · π)
150	149, 34	breqtrri 5101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π < 𝑇
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
152	133, 146, 147, 141, 151	lttrd 11136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
153		modid 13616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ⁺) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
154	133, 144, 145, 152, 153	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
155	154, 141	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
156	155	iftrued 4467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
157	156	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
158	143, 157	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘𝑥) = 1)
159	158	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
160	142, 29	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
161	160	mulid2d 10993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
162	159, 161	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
163	162	mpteq2dva 5174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
164		ioossicc 13165	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
165	164	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
166		ioombl 24729	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ∈ dom vol
167	166	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
168	97	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
169		iccssre 13161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
170	5, 1, 169	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
171	170	sseli 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
172	171	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
173	168, 172	remulcld 11005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
174	173	resincld 15852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
175	170, 116	sstri 3930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
177	176, 25, 120	constcncfg 43413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178	176, 120	idcncfg 43414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179	177, 178	mulcncf 24610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180	115, 179	cncfmpt1f 24077	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
181		cniccibl 25005	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
182	113, 4, 180, 181	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
183	165, 167, 174, 182	iblss 24969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
184	163, 183	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
185	3, 4, 12, 30, 129, 184	itgsplitioo 25002	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186	185	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
187	91	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
188	187	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
189	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ^*)
190	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ^*)
191	31, 72, 33, 77, 73	lttrd 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < π)
192	189, 190, 31, 63, 191	eliood 43036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
193	192, 29	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
194	193	mulm1d 11427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
195	188, 194	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
196	195	itgeq2dv 24946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
197	101, 127	itgneg 24968	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
198	24	nnne0d 12023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
199	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -π ≤ 0)
200	25, 198, 3, 113, 199	itgsincmulx 43515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
201	24	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
202		cosknegpi 43410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
203	201, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
204	25	mul01d 11174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
205	204	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = (cos‘0))
206		cos0 15859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (cos‘0) = 1
207	205, 206	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = 1)
208	203, 207	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1))
209		1m1e0 12045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
210		iftrue 4465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = 1)
211	210	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (1 − 1))
212		iftrue 4465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = 0)
213	209, 211, 212	3eqtr4a 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
214		iffalse 4468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = -1)
215	214	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (-1 − 1))
216		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
217		negdi2 11279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
218	216, 216, 217	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -(1 + 1) = (-1 − 1)
219	218	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 − 1) = -(1 + 1)
220	219	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1 − 1) = -(1 + 1))
221		1p1e2 12098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
222	221	negeqi 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(1 + 1) = -2
223		iffalse 4468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -2)
224	222, 223	eqtr4id 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → -(1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
225	215, 220, 224	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
226	213, 225	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2)
227	208, 226	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
228	227	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
229	200, 228	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
230	229	negeqd 11215	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
231		0cn 10967	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
232		2cn 12048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
233	232	negcli 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ -2 ∈ ℂ
234	231, 233	ifcli 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ
235	234	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ)
236	235, 25, 198	divnegd 11764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
237		neg0 11267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -0 = 0
238	212	negeqd 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -0)
239		iftrue 4465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 0)
240	237, 238, 239	3eqtr4a 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
241	232	negnegi 11291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --2 = 2
242	223	negeqd 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = --2)
243		iffalse 4468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 2)
244	241, 242, 243	3eqtr4a 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
245	240, 244	pm2.61i 182	. . . . . . . . 9 ⊢ -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
246	245	oveq1i 7285	. . . . . . . 8 ⊢ (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)
247	246	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
248	230, 236, 247	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
249	196, 197, 248	3eqtr2d 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
250	133, 17, 19	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
251	250, 156	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = 1)
252	251	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
253	252	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
254	253, 161	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
255	254	itgeq2dv 24946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
256	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ π)
257	25, 198, 113, 4, 256	itgsincmulx 43515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁))
258		coskpi2 43407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
259	201, 258	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
260	207, 259	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)))
261	210	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − 1))
262	209, 261, 239	3eqtr4a 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
263	214	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − -1))
264	216, 216	subnegi 11300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -1) = (1 + 1)
265	264	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − -1) = (1 + 1))
266	221, 243	eqtr4id 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
267	263, 265, 266	3eqtrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
268	262, 267	pm2.61i 182	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
269	260, 268	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
270	269	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
271	255, 257, 270	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
272	249, 271	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
273	231, 232	ifcli 4506	. . . . . 6 ⊢ if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ
274	273	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ)
275	274, 274, 25, 198	divdird 11789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
276	239, 239	oveq12d 7293	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (0 + 0))
277		00id 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
278	276, 277	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 0)
279	278	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
280	279	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
281	25, 198	div0d 11750	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
282	281	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
283		iftrue 4465	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = 0)
284	283	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
285	284	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
286	280, 282, 285	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
287	243, 243	oveq12d 7293	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (2 + 2))
288		2p2e4 12108	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
289	287, 288	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 4)
290	289	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (4 / 𝑁))
291		iffalse 4468	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = (4 / 𝑁))
292	290, 291	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
293	292	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
294	286, 293	pm2.61dan 810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
295	272, 275, 294	3eqtr2d 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
296	295	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π))
297	283	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
298	297	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
299	5, 8	gtneii 11087	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
300	42, 299	div0i 11709	. . . . 5 ⊢ (0 / π) = 0
301	300	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / π) = 0)
302		iftrue 4465	. . . . . 6 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = 0)
303	302	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
304	303	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
305	298, 301, 304	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
306	291	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
307	306	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
308		4cn 12058	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
309	308	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
310	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
311	299	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
312	309, 25, 310, 198, 311	divdiv1d 11782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
313	312	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
314		iffalse 4468	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = (4 / (𝑁 · π)))
315	314	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
316	315	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
317	307, 313, 316	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
318	305, 317	pm2.61dan 810	. 2 ⊢ (𝜑 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
319	186, 296, 318	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 396 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ⊆ wss 3887 ifcif 4459 class class class wbr 5074 ↦ cmpt 5157 dom cdm 5589 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 ℝ^*cxr 11008 < clt 11009 ≤ cle 11010 − cmin 11205 -cneg 11206 / cdiv 11632 ℕcn 11973 2c2 12028 4c4 12030 ℤcz 12319 ℝ⁺crp 12730 (,)cioo 13079 [,]cicc 13082 mod cmo 13589 sincsin 15773 cosccos 15774 πcpi 15776 ∥ cdvds 15963 –cn→ccncf 24039 volcvol 24627 𝐿¹cibl 24781 ∫citg 24782

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cc 10191 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949 ax-addf 10950 ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-symdif 4176 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-iin 4927 df-disj 5040 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-of 7533 df-ofr 7534 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-supp 7978 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-oadd 8301 df-omul 8302 df-er 8498 df-map 8617 df-pm 8618 df-ixp 8686 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-fsupp 9129 df-fi 9170 df-sup 9201 df-inf 9202 df-oi 9269 df-dju 9659 df-card 9697 df-acn 9700 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-7 12041 df-8 12042 df-9 12043 df-n0 12234 df-z 12320 df-dec 12438 df-uz 12583 df-q 12689 df-rp 12731 df-xneg 12848 df-xadd 12849 df-xmul 12850 df-ioo 13083 df-ioc 13084 df-ico 13085 df-icc 13086 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-fl 13512 df-mod 13590 df-seq 13722 df-exp 13783 df-fac 13988 df-bc 14017 df-hash 14045 df-shft 14778 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-limsup 15180 df-clim 15197 df-rlim 15198 df-sum 15398 df-ef 15777 df-sin 15779 df-cos 15780 df-pi 15782 df-dvds 15964 df-struct 16848 df-sets 16865 df-slot 16883 df-ndx 16895 df-base 16913 df-ress 16942 df-plusg 16975 df-mulr 16976 df-starv 16977 df-sca 16978 df-vsca 16979 df-ip 16980 df-tset 16981 df-ple 16982 df-ds 16984 df-unif 16985 df-hom 16986 df-cco 16987 df-rest 17133 df-topn 17134 df-0g 17152 df-gsum 17153 df-topgen 17154 df-pt 17155 df-prds 17158 df-xrs 17213 df-qtop 17218 df-imas 17219 df-xps 17221 df-mre 17295 df-mrc 17296 df-acs 17298 df-mgm 18326 df-sgrp 18375 df-mnd 18386 df-submnd 18431 df-mulg 18701 df-cntz 18923 df-cmn 19388 df-psmet 20589 df-xmet 20590 df-met 20591 df-bl 20592 df-mopn 20593 df-fbas 20594 df-fg 20595 df-cnfld 20598 df-top 22043 df-topon 22060 df-topsp 22082 df-bases 22096 df-cld 22170 df-ntr 22171 df-cls 22172 df-nei 22249 df-lp 22287 df-perf 22288 df-cn 22378 df-cnp 22379 df-haus 22466 df-cmp 22538 df-tx 22713 df-hmeo 22906 df-fil 22997 df-fm 23089 df-flim 23090 df-flf 23091 df-xms 23473 df-ms 23474 df-tms 23475 df-cncf 24041 df-ovol 24628 df-vol 24629 df-mbf 24783 df-itg1 24784 df-itg2 24785 df-ibl 24786 df-itg 24787 df-0p 24834 df-limc 25030 df-dv 25031

This theorem is referenced by: fouriersw 43772

W3C validator