Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqwvfoura Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqwvfoura 45516
Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the 𝐴 coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfoura.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
sqwvfoura.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
sqwvfoura.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
sqwvfoura (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = 0)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem sqwvfoura
StepHypRef Expression
1 pire 26348 . . . . . 6 Ο€ ∈ ℝ
21renegcli 11525 . . . . 5 -Ο€ ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
5 0re 11220 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 44562 . . . . . . 7 -Ο€ < 0
72, 5, 6ltleii 11341 . . . . . 6 -Ο€ ≀ 0
8 pipos 26350 . . . . . . 7 0 < Ο€
95, 1, 8ltleii 11341 . . . . . 6 0 ≀ Ο€
102, 1elicc2i 13396 . . . . . 6 (0 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 0 ∧ 0 ≀ Ο€))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1338 . . . . 5 0 ∈ (-Ο€[,]Ο€)
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
13 1red 11219 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ 1 ∈ ℝ)
1413renegcld 11645 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -1 ∈ ℝ)
1513, 14ifcld 4569 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ)
17 sqwvfoura.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
1816, 17fmptd 7109 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
20 elioore 13360 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2219, 21ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
23 sqwvfoura.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2423nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2625, 21remulcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
2726recoscld 16094 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
2822, 27remulcld 11248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ℝ)
2928recnd 11246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
30 elioore 13360 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3117fvmpt2 7003 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
3230, 15, 31syl2anc2 584 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
34 sqwvfoura.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 Β· Ο€)
35 2rp 12985 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
36 pirp 26351 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ+
37 rpmulcl 13003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+
3934, 38eqeltri 2823 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
4130, 40modcld 13846 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) ∈ ℝ)
42 picn 26349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο€ ∈ β„‚
43422timesi 12354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 Β· Ο€) = (Ο€ + Ο€)
4434, 43eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (Ο€ + Ο€)
4544oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (-Ο€ + 𝑇) = (-Ο€ + (Ο€ + Ο€))
462recni 11232 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ β„‚
4746, 42, 42addassi 11228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = (-Ο€ + (Ο€ + Ο€))
4842negidi 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ο€ + -Ο€) = 0
4942, 46, 48addcomli 11410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-Ο€ + Ο€) = 0
5049oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = (0 + Ο€)
5142addlidi 11406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + Ο€) = Ο€
5250, 51eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = Ο€
5345, 47, 523eqtr2ri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ = (-Ο€ + 𝑇)
542a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
55 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5655, 1remulcli 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
5734, 56eqeltri 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
592rexri 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -Ο€ ∈ ℝ*
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
61 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ∈ ℝ)
6261rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ∈ ℝ*)
63 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0))
64 ioogtlb 44780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ < π‘₯)
6560, 62, 63, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ < π‘₯)
6654, 30, 58, 65ltadd1dd 11829 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (-Ο€ + 𝑇) < (π‘₯ + 𝑇))
6753, 66eqbrtrid 5176 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ < (π‘₯ + 𝑇))
6857recni 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ β„‚
6968mullidi 11223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 Β· 𝑇) = 𝑇
7069eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 Β· 𝑇)
7170oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ + 𝑇) = (π‘₯ + (1 Β· 𝑇))
7271oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇)
7330, 58readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
748a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 < Ο€)
7561, 33, 73, 74, 67lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 < (π‘₯ + 𝑇))
7661, 73, 75ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ≀ (π‘₯ + 𝑇))
77 iooltub 44795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘₯ < 0)
7860, 62, 63, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ < 0)
7930, 61, 58, 78ltadd1dd 11829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) < (0 + 𝑇))
8068a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
8180addlidd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (0 + 𝑇) = 𝑇)
8279, 81breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) < 𝑇)
83 modid 13867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ (π‘₯ + 𝑇) ∧ (π‘₯ + 𝑇) < 𝑇)) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ + 𝑇))
8473, 40, 76, 82, 83syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ + 𝑇))
85 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 1 ∈ β„€)
86 modcyc 13877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
8730, 40, 85, 86syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
8872, 84, 873eqtr3a 2790 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
8967, 88breqtrd 5167 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ < (π‘₯ mod 𝑇))
9033, 41, 89ltnsymd 11367 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Β¬ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
9190iffalsed 4534 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = -1)
9232, 91eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = -1)
9392oveq1d 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (-1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
9493adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (-1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
9594mpteq2dva 5241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (-1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))))
96 1cnd 11213 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
9796negcld 11562 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -1 ∈ β„‚)
9824adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
9930adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
10098, 99remulcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
101100recoscld 16094 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
102 ioossicc 13416 . . . . . . . 8 (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]0)
103102a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]0))
104 ioombl 25449 . . . . . . . 8 (-Ο€(,)0) ∈ dom vol
105104a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)0) ∈ dom vol)
10624adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
107 iccssre 13412 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]0) βŠ† ℝ)
1082, 5, 107mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (-Ο€[,]0) βŠ† ℝ
109108sseli 3973 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
111106, 110remulcld 11248 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
112111recoscld 16094 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
113 0red 11221 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
114 coscn 26337 . . . . . . . . . 10 cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
116 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
117108, 116sstri 3986 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€[,]0) βŠ† β„‚
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-Ο€[,]0) βŠ† β„‚)
11924recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
120 ssid 3999 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ βŠ† β„‚
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
122118, 119, 121constcncfg 45160 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
123118, 121idcncfg 45161 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ π‘₯) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
124122, 123mulcncf 25329 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
125115, 124cncfmpt1f 24789 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
126 cniccibl 25725 . . . . . . . 8 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
1273, 113, 125, 126syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
128103, 105, 112, 127iblss 25689 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
12997, 101, 128iblmulc2 25715 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (-1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
13095, 129eqeltrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
131 elioore 13360 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
132131, 15, 31syl2anc2 584 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
13339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
134 0red 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ∈ ℝ)
135134rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ∈ ℝ*)
1361rexri 11276 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ*
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
138 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€))
139 ioogtlb 44780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 0 < π‘₯)
140135, 137, 138, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < π‘₯)
141134, 131, 140ltled 11366 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ≀ π‘₯)
1421a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
14357a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
144 iooltub 44795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ π‘₯ < Ο€)
145135, 137, 138, 144syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ < Ο€)
146 2timesgt 44570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
14736, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ < (2 Β· Ο€)
148147, 34breqtrri 5168 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ < 𝑇
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ < 𝑇)
150131, 142, 143, 145, 149lttrd 11379 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ < 𝑇)
151 modid 13867 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑇)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = π‘₯)
152131, 133, 141, 150, 151syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = π‘₯)
153152, 145eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
154153iftrued 4531 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = 1)
155132, 154eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1)
156155oveq1d 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
157156adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
158157mpteq2dva 5241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))))
15924adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
160131adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
161159, 160remulcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
162161recoscld 16094 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
163 ioossicc 13416 . . . . . . . 8 (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€)
164163a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€))
165 ioombl 25449 . . . . . . . 8 (0(,)Ο€) ∈ dom vol
166165a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) ∈ dom vol)
16724adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
168 iccssre 13412 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (0[,]Ο€) βŠ† ℝ)
1695, 1, 168mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (0[,]Ο€) βŠ† ℝ
170169sseli 3973 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
171170adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
172167, 171remulcld 11248 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
173172recoscld 16094 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
174169, 116sstri 3986 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]Ο€) βŠ† β„‚
175174a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0[,]Ο€) βŠ† β„‚)
176175, 119, 121constcncfg 45160 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
177175, 121idcncfg 45161 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ π‘₯) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
178176, 177mulcncf 25329 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
179115, 178cncfmpt1f 24789 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
180 cniccibl 25725 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
181113, 4, 179, 180syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
182164, 166, 173, 181iblss 25689 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
18396, 162, 182iblmulc2 25715 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
184158, 183eqeltrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
1853, 4, 12, 29, 130, 184itgsplitioo 25722 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯))
186185oveq1d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = ((∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) / Ο€))
18794itgeq2dv 25666 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(-Ο€(,)0)(-1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
18897, 101, 128itgmulc2 25718 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = ∫(-Ο€(,)0)(-1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
189 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 β†’ (𝑁 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
190 ioosscn 13392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-Ο€(,)0) βŠ† β„‚
191190sseli 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
192191mul02d 11416 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
193189, 192sylan9eq 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) = 0)
194193fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) = (cosβ€˜0))
195 cos0 16100 . . . . . . . . . . . 12 (cosβ€˜0) = 1
196194, 195eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) = 1)
197196adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) = 1)
198197itgeq2dv 25666 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = ∫(-Ο€(,)0)1 dπ‘₯)
199 ioovolcl 25454 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(-Ο€(,)0)) ∈ ℝ)
2002, 5, 199mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 (volβ€˜(-Ο€(,)0)) ∈ ℝ
201200a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(-Ο€(,)0)) ∈ ℝ)
202 itgconst 25703 . . . . . . . . . . 11 (((-Ο€(,)0) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(-Ο€(,)0)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ∫(-Ο€(,)0)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(-Ο€(,)0))))
203105, 201, 96, 202syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(-Ο€(,)0))))
204203adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(-Ο€(,)0)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(-Ο€(,)0))))
205 volioo 25453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 0) β†’ (volβ€˜(-Ο€(,)0)) = (0 βˆ’ -Ο€))
2062, 5, 7, 205mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . . 14 (volβ€˜(-Ο€(,)0)) = (0 βˆ’ -Ο€)
207 0cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ β„‚
208207, 42subnegi 11543 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 βˆ’ -Ο€) = (0 + Ο€)
209206, 208, 513eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (volβ€˜(-Ο€(,)0)) = Ο€
210209a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(-Ο€(,)0)) = Ο€)
211210oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 Β· (volβ€˜(-Ο€(,)0))) = (1 Β· Ο€))
21242a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
213212mullidd 11236 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 Β· Ο€) = Ο€)
214211, 213eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 Β· (volβ€˜(-Ο€(,)0))) = Ο€)
215214adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (1 Β· (volβ€˜(-Ο€(,)0))) = Ο€)
216198, 204, 2153eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = Ο€)
217216oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = (-1 Β· Ο€))
21842mulm1i 11663 . . . . . . . 8 (-1 Β· Ο€) = -Ο€
219218a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (-1 Β· Ο€) = -Ο€)
220 iftrue 4529 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 β†’ if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) = -Ο€)
221220eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 β†’ -Ο€ = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
222221adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ -Ο€ = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
223217, 219, 2223eqtrd 2770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
22424adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
22523nn0ge0d 12539 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑁)
226225adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 ≀ 𝑁)
227 neqne 2942 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑁 = 0 β†’ 𝑁 β‰  0)
228227adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 β‰  0)
229224, 226, 228ne0gt0d 11355 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 < 𝑁)
230 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 1 ∈ β„‚)
231230negcld 11562 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ -1 ∈ β„‚)
232231mul01d 11417 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (-1 Β· 0) = 0)
233119adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
235 0red 11221 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 ∈ ℝ)
2367a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ -Ο€ ≀ 0)
237 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 < 𝑁)
238237gt0ne0d 11782 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 𝑁 β‰  0)
239233, 234, 235, 236, 238itgcoscmulx 45257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€))) / 𝑁))
240119mul01d 11417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 0) = 0)
241240fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) = (sinβ€˜0))
242 sin0 16099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sinβ€˜0) = 0
243241, 242eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) = 0)
244119, 212mulneg2d 11672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· -Ο€) = -(𝑁 Β· Ο€))
245244fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) = (sinβ€˜-(𝑁 Β· Ο€)))
246119, 212mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· Ο€) ∈ β„‚)
247 sinneg 16096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 Β· Ο€) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-(𝑁 Β· Ο€)) = -(sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)))
248246, 247syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜-(𝑁 Β· Ο€)) = -(sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)))
249245, 248eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) = -(sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)))
250243, 249oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€))) = (0 βˆ’ -(sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€))))
251 0cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
252246sincld 16080 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
253251, 252subnegd 11582 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 βˆ’ -(sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€))) = (0 + (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€))))
254252addlidd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 + (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€))) = (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)))
255250, 253, 2543eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€))) = (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)))
256255adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€))) = (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)))
257256oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (((sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€))) / 𝑁) = ((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) / 𝑁))
25823nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
259 sinkpi 26411 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) = 0)
260258, 259syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) = 0)
261260oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
262261adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
263233, 238div0d 11993 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (0 / 𝑁) = 0)
264262, 263eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) / 𝑁) = 0)
265239, 257, 2643eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = 0)
266265oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = (-1 Β· 0))
267238neneqd 2939 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ Β¬ 𝑁 = 0)
268267iffalsed 4534 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) = 0)
269232, 266, 2683eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
270229, 269syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
271223, 270pm2.61dan 810 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
272187, 188, 2713eqtr2d 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
273157itgeq2dv 25666 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)(1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
27496, 162, 182itgmulc2 25718 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 Β· ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = ∫(0(,)Ο€)(1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
275162, 182itgcl 25668 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ ∈ β„‚)
276275mullidd 11236 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 Β· ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯)
277 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑁 = 0)
278277oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
279131recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
280279adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
281280mul02d 11416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
282278, 281eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) = 0)
283282fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) = (cosβ€˜0))
284283, 195eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) = 1)
285284adantll 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) = 1)
286285itgeq2dv 25666 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)1 dπ‘₯)
287 ioovolcl 25454 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(0(,)Ο€)) ∈ ℝ)
2885, 1, 287mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (volβ€˜(0(,)Ο€)) ∈ ℝ
289 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
290 itgconst 25703 . . . . . . . . . 10 (((0(,)Ο€) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(0(,)Ο€)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ∫(0(,)Ο€)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€))))
291165, 288, 289, 290mp3an 1457 . . . . . . . . 9 ∫(0(,)Ο€)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€)))
292291a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)Ο€)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€))))
29342mullidi 11223 . . . . . . . . . 10 (1 Β· Ο€) = Ο€
294 volioo 25453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ Ο€) β†’ (volβ€˜(0(,)Ο€)) = (Ο€ βˆ’ 0))
2955, 1, 9, 294mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . 13 (volβ€˜(0(,)Ο€)) = (Ο€ βˆ’ 0)
29642subid1i 11536 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ βˆ’ 0) = Ο€
297295, 296eqtri 2754 . . . . . . . . . . . 12 (volβ€˜(0(,)Ο€)) = Ο€
298297oveq2i 7416 . . . . . . . . . . 11 (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€))) = (1 Β· Ο€)
299298a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 β†’ (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€))) = (1 Β· Ο€))
300 iftrue 4529 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 β†’ if(𝑁 = 0, Ο€, 0) = Ο€)
301293, 299, 3003eqtr4a 2792 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 β†’ (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€))) = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
302301adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€))) = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
303286, 292, 3023eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
304260, 243oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0))) = (0 βˆ’ 0))
305251subidd 11563 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 βˆ’ 0) = 0)
306304, 305eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0))) = 0)
307306oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
308307adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
309308, 263eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0))) / 𝑁) = 0)
3101a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
3119a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 ≀ Ο€)
312233, 235, 310, 311, 238itgcoscmulx 45257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0))) / 𝑁))
313267iffalsed 4534 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ if(𝑁 = 0, Ο€, 0) = 0)
314309, 312, 3133eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
315229, 314syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
316303, 315pm2.61dan 810 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
317276, 316eqtrd 2766 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 Β· ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
318273, 274, 3173eqtr2d 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
319272, 318oveq12d 7423 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) = (if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)))
320319oveq1d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) / Ο€) = ((if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) / Ο€))
321220, 300oveq12d 7423 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 β†’ (if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) = (-Ο€ + Ο€))
322321, 49eqtrdi 2782 . . . . . 6 (𝑁 = 0 β†’ (if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) = 0)
323 iffalse 4532 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑁 = 0 β†’ if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) = 0)
324 iffalse 4532 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑁 = 0 β†’ if(𝑁 = 0, Ο€, 0) = 0)
325323, 324oveq12d 7423 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑁 = 0 β†’ (if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) = (0 + 0))
326 00id 11393 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
327325, 326eqtrdi 2782 . . . . . 6 (Β¬ 𝑁 = 0 β†’ (if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) = 0)
328322, 327pm2.61i 182 . . . . 5 (if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) = 0
329328oveq1i 7415 . . . 4 ((if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) / Ο€) = (0 / Ο€)
3305, 8gtneii 11330 . . . . 5 Ο€ β‰  0
33142, 330div0i 11952 . . . 4 (0 / Ο€) = 0
332329, 331eqtri 2754 . . 3 ((if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) / Ο€) = 0
333332a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) / Ο€) = 0)
334186, 320, 3333eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333   mod cmo 13840  sincsin 16013  cosccos 16014  Ο€cpi 16016  β€“cnβ†’ccncf 24751  volcvol 25347  πΏ1cibl 25501  βˆ«citg 25502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  fouriersw  45519
  Copyright terms: Public domain W3C validator