Proof of Theorem sqwvfoura
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | pire 26500 |
. . . . . 6
⊢ π
∈ ℝ |
| 2 | 1 | renegcli 11570 |
. . . . 5
⊢ -π
∈ ℝ |
| 3 | 2 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → -π ∈
ℝ) |
| 4 | 1 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → π ∈
ℝ) |
| 5 | | 0re 11263 |
. . . . . 6
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 6 | | negpilt0 45292 |
. . . . . . 7
⊢ -π
< 0 |
| 7 | 2, 5, 6 | ltleii 11384 |
. . . . . 6
⊢ -π
≤ 0 |
| 8 | | pipos 26502 |
. . . . . . 7
⊢ 0 <
π |
| 9 | 5, 1, 8 | ltleii 11384 |
. . . . . 6
⊢ 0 ≤
π |
| 10 | 2, 1 | elicc2i 13453 |
. . . . . 6
⊢ (0 ∈
(-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤
π)) |
| 11 | 5, 7, 9, 10 | mpbir3an 1342 |
. . . . 5
⊢ 0 ∈
(-π[,]π) |
| 12 | 11 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ∈
(-π[,]π)) |
| 13 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈
ℝ) |
| 14 | 13 | renegcld 11690 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -1 ∈
ℝ) |
| 15 | 13, 14 | ifcld 4572 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈
ℝ) |
| 16 | 15 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈
ℝ) |
| 17 | | sqwvfoura.f |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 18 | 16, 17 | fmptd 7134 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
| 19 | 18 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
| 20 | | elioore 13417 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) →
𝑥 ∈
ℝ) |
| 21 | 20 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 22 | 19, 21 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
| 23 | | sqwvfoura.n |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 24 | 23 | nn0red 12588 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 25 | 24 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈
ℝ) |
| 26 | 25, 21 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ) |
| 27 | 26 | recoscld 16180 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) →
(cos‘(𝑁 ·
𝑥)) ∈
ℝ) |
| 28 | 22, 27 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℝ) |
| 29 | 28 | recnd 11289 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ) |
| 30 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 31 | 17 | fvmpt2 7027 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) →
(𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 32 | 30, 15, 31 | syl2anc2 585 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 33 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π
∈ ℝ) |
| 34 | | sqwvfoura.t |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑇 = (2 ·
π) |
| 35 | | 2rp 13039 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
| 36 | | pirp 26503 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ π
∈ ℝ+ |
| 37 | | rpmulcl 13058 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2
· π) ∈ ℝ+) |
| 38 | 35, 36, 37 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (2
· π) ∈ ℝ+ |
| 39 | 34, 38 | eqeltri 2837 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑇 ∈
ℝ+ |
| 40 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 41 | 30, 40 | modcld 13915 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 42 | | picn 26501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ π
∈ ℂ |
| 43 | 42 | 2timesi 12404 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (2
· π) = (π + π) |
| 44 | 34, 43 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑇 = (π +
π) |
| 45 | 44 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (-π +
𝑇) = (-π + (π +
π)) |
| 46 | 2 | recni 11275 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ -π
∈ ℂ |
| 47 | 46, 42, 42 | addassi 11271 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((-π +
π) + π) = (-π + (π + π)) |
| 48 | 42 | negidi 11578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (π +
-π) = 0 |
| 49 | 42, 46, 48 | addcomli 11453 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (-π +
π) = 0 |
| 50 | 49 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((-π +
π) + π) = (0 + π) |
| 51 | 42 | addlidi 11449 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (0 +
π) = π |
| 52 | 50, 51 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((-π +
π) + π) = π |
| 53 | 45, 47, 52 | 3eqtr2ri 2772 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ π =
(-π + 𝑇) |
| 54 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π
∈ ℝ) |
| 55 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 56 | 55, 1 | remulcli 11277 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (2
· π) ∈ ℝ |
| 57 | 34, 56 | eqeltri 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑇 ∈ ℝ |
| 58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈
ℝ) |
| 59 | 2 | rexri 11319 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ -π
∈ ℝ* |
| 60 | 59 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π
∈ ℝ*) |
| 61 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
∈ ℝ) |
| 62 | 61 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
∈ ℝ*) |
| 63 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈
(-π(,)0)) |
| 64 | | ioogtlb 45508 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) →
-π < 𝑥) |
| 65 | 60, 62, 63, 64 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π
< 𝑥) |
| 66 | 54, 30, 58, 65 | ltadd1dd 11874 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇)) |
| 67 | 53, 66 | eqbrtrid 5178 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π
< (𝑥 + 𝑇)) |
| 68 | 57 | recni 11275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 𝑇 ∈ ℂ |
| 69 | 68 | mullidi 11266 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1
· 𝑇) = 𝑇 |
| 70 | 69 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑇 = (1 · 𝑇) |
| 71 | 70 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇)) |
| 72 | 71 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) |
| 73 | 30, 58 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ) |
| 74 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
< π) |
| 75 | 61, 33, 73, 74, 67 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
< (𝑥 + 𝑇)) |
| 76 | 61, 73, 75 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
≤ (𝑥 + 𝑇)) |
| 77 | | iooltub 45523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) →
𝑥 < 0) |
| 78 | 60, 62, 63, 77 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0) |
| 79 | 30, 61, 58, 78 | ltadd1dd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇)) |
| 80 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈
ℂ) |
| 81 | 80 | addlidd 11462 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 +
𝑇) = 𝑇) |
| 82 | 79, 81 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 + 𝑇) < 𝑇) |
| 83 | | modid 13936 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤
(𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇)) |
| 84 | 73, 40, 76, 82, 83 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇)) |
| 85 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1
∈ ℤ) |
| 86 | | modcyc 13946 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+
∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 87 | 30, 40, 85, 86 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 88 | 72, 84, 87 | 3eqtr3a 2801 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 89 | 67, 88 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π
< (𝑥 mod 𝑇)) |
| 90 | 33, 41, 89 | ltnsymd 11410 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬
(𝑥 mod 𝑇) < π) |
| 91 | 90 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1) |
| 92 | 32, 91 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝐹‘𝑥) = -1) |
| 93 | 92 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) |
| 94 | 93 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) |
| 95 | 94 | mpteq2dva 5242 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥))))) |
| 96 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
| 97 | 96 | negcld 11607 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → -1 ∈
ℂ) |
| 98 | 24 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 99 | 30 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 100 | 98, 99 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ) |
| 101 | 100 | recoscld 16180 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ) |
| 102 | | ioossicc 13473 |
. . . . . . . 8
⊢
(-π(,)0) ⊆ (-π[,]0) |
| 103 | 102 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ⊆
(-π[,]0)) |
| 104 | | ioombl 25600 |
. . . . . . . 8
⊢
(-π(,)0) ∈ dom vol |
| 105 | 104 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom
vol) |
| 106 | 24 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 107 | | iccssre 13469 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((-π
∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆
ℝ) |
| 108 | 2, 5, 107 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(-π[,]0) ⊆ ℝ |
| 109 | 108 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 110 | 109 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 111 | 106, 110 | remulcld 11291 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ) |
| 112 | 111 | recoscld 16180 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ) |
| 113 | | 0red 11264 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
| 114 | | coscn 26489 |
. . . . . . . . . 10
⊢ cos
∈ (ℂ–cn→ℂ) |
| 115 | 114 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → cos ∈
(ℂ–cn→ℂ)) |
| 116 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 117 | 108, 116 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(-π[,]0) ⊆ ℂ |
| 118 | 117 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (-π[,]0) ⊆
ℂ) |
| 119 | 24 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 120 | | ssid 4006 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ℂ
⊆ ℂ |
| 121 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ℂ ⊆
ℂ) |
| 122 | 118, 119,
121 | constcncfg 45887 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) |
| 123 | 118, 121 | idcncfg 45888 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈
((-π[,]0)–cn→ℂ)) |
| 124 | 122, 123 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) |
| 125 | 115, 124 | cncfmpt1f 24940 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) |
| 126 | | cniccibl 25876 |
. . . . . . . 8
⊢ ((-π
∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈
𝐿1) |
| 127 | 3, 113, 125, 126 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈
𝐿1) |
| 128 | 103, 105,
112, 127 | iblss 25840 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈
𝐿1) |
| 129 | 97, 101, 128 | iblmulc2 25866 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥)))) ∈
𝐿1) |
| 130 | 95, 129 | eqeltrd 2841 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈
𝐿1) |
| 131 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 132 | 131, 15, 31 | syl2anc2 585 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 133 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 134 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0
∈ ℝ) |
| 135 | 134 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0
∈ ℝ*) |
| 136 | 1 | rexri 11319 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ π
∈ ℝ* |
| 137 | 136 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π
∈ ℝ*) |
| 138 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈
(0(,)π)) |
| 139 | | ioogtlb 45508 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0
< 𝑥) |
| 140 | 135, 137,
138, 139 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 <
𝑥) |
| 141 | 134, 131,
140 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤
𝑥) |
| 142 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π
∈ ℝ) |
| 143 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈
ℝ) |
| 144 | | iooltub 45523 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π) |
| 145 | 135, 137,
138, 144 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π) |
| 146 | | 2timesgt 45300 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (π
∈ ℝ+ → π < (2 · π)) |
| 147 | 36, 146 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ π <
(2 · π) |
| 148 | 147, 34 | breqtrri 5170 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ π <
𝑇 |
| 149 | 148 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π
< 𝑇) |
| 150 | 131, 142,
143, 145, 149 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇) |
| 151 | | modid 13936 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+)
∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥) |
| 152 | 131, 133,
141, 150, 151 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥) |
| 153 | 152, 145 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π) |
| 154 | 153 | iftrued 4533 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) →
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1) |
| 155 | 132, 154 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = 1) |
| 156 | 155 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) →
((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) |
| 157 | 156 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) |
| 158 | 157 | mpteq2dva 5242 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥))))) |
| 159 | 24 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 160 | 131 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 161 | 159, 160 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ) |
| 162 | 161 | recoscld 16180 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ) |
| 163 | | ioossicc 13473 |
. . . . . . . 8
⊢
(0(,)π) ⊆ (0[,]π) |
| 164 | 163 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (0(,)π) ⊆
(0[,]π)) |
| 165 | | ioombl 25600 |
. . . . . . . 8
⊢
(0(,)π) ∈ dom vol |
| 166 | 165 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom
vol) |
| 167 | 24 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 168 | | iccssre 13469 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆
ℝ) |
| 169 | 5, 1, 168 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(0[,]π) ⊆ ℝ |
| 170 | 169 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 171 | 170 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 172 | 167, 171 | remulcld 11291 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ) |
| 173 | 172 | recoscld 16180 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ) |
| 174 | 169, 116 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(0[,]π) ⊆ ℂ |
| 175 | 174 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (0[,]π) ⊆
ℂ) |
| 176 | 175, 119,
121 | constcncfg 45887 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) |
| 177 | 175, 121 | idcncfg 45888 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) |
| 178 | 176, 177 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) |
| 179 | 115, 178 | cncfmpt1f 24940 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) |
| 180 | | cniccibl 25876 |
. . . . . . . 8
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈
𝐿1) |
| 181 | 113, 4, 179, 180 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈
𝐿1) |
| 182 | 164, 166,
173, 181 | iblss 25840 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈
𝐿1) |
| 183 | 96, 162, 182 | iblmulc2 25866 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥)))) ∈
𝐿1) |
| 184 | 158, 183 | eqeltrd 2841 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈
𝐿1) |
| 185 | 3, 4, 12, 29, 130, 184 | itgsplitioo 25873 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)) |
| 186 | 185 | oveq1d 7446 |
. 2
⊢ (𝜑 →
(∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π)) |
| 187 | 94 | itgeq2dv 25817 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)(-1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥))) d𝑥) |
| 188 | 97, 101, 128 | itgmulc2 25869 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(-π(,)0)(-1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥))) d𝑥) |
| 189 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥)) |
| 190 | | ioosscn 13449 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(-π(,)0) ⊆ ℂ |
| 191 | 190 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈
ℂ) |
| 192 | 191 | mul02d 11459 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0
· 𝑥) =
0) |
| 193 | 189, 192 | sylan9eq 2797 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) = 0) |
| 194 | 193 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0)) |
| 195 | | cos0 16186 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(cos‘0) = 1 |
| 196 | 194, 195 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1) |
| 197 | 196 | adantll 714 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1) |
| 198 | 197 | itgeq2dv 25817 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) →
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)1 d𝑥) |
| 199 | | ioovolcl 25605 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((-π
∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (vol‘(-π(,)0)) ∈
ℝ) |
| 200 | 2, 5, 199 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ |
| 201 | 200 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (vol‘(-π(,)0))
∈ ℝ) |
| 202 | | itgconst 25854 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((-π(,)0) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-π(,)0)) ∈
ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 ·
(vol‘(-π(,)0)))) |
| 203 | 105, 201,
96, 202 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 ·
(vol‘(-π(,)0)))) |
| 204 | 203 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 ·
(vol‘(-π(,)0)))) |
| 205 | | volioo 25604 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((-π
∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0) →
(vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π)) |
| 206 | 2, 5, 7, 205 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π) |
| 207 | | 0cn 11253 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 ∈
ℂ |
| 208 | 207, 42 | subnegi 11588 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (0
− -π) = (0 + π) |
| 209 | 206, 208,
51 | 3eqtri 2769 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(vol‘(-π(,)0)) = π |
| 210 | 209 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) =
π) |
| 211 | 210 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (1 ·
(vol‘(-π(,)0))) = (1 · π)) |
| 212 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → π ∈
ℂ) |
| 213 | 212 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (1 · π) =
π) |
| 214 | 211, 213 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 ·
(vol‘(-π(,)0))) = π) |
| 215 | 214 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (1 ·
(vol‘(-π(,)0))) = π) |
| 216 | 198, 204,
215 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) →
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = π) |
| 217 | 216 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · π)) |
| 218 | 42 | mulm1i 11708 |
. . . . . . . 8
⊢ (-1
· π) = -π |
| 219 | 218 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (-1 · π) =
-π) |
| 220 | | iftrue 4531 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = -π) |
| 221 | 220 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 = 0 → -π = if(𝑁 = 0, -π,
0)) |
| 222 | 221 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0)) |
| 223 | 217, 219,
222 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0)) |
| 224 | 24 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 225 | 23 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁) |
| 226 | 225 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁) |
| 227 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . 9
⊢ (¬
𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0) |
| 228 | 227 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0) |
| 229 | 224, 226,
228 | ne0gt0d 11398 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 < 𝑁) |
| 230 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ) |
| 231 | 230 | negcld 11607 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -1 ∈ ℂ) |
| 232 | 231 | mul01d 11460 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · 0) =
0) |
| 233 | 119 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 234 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ∈
ℝ) |
| 235 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ) |
| 236 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ≤ 0) |
| 237 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁) |
| 238 | 237 | gt0ne0d 11827 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0) |
| 239 | 233, 234,
235, 236, 238 | itgcoscmulx 45984 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁)) |
| 240 | 119 | mul01d 11460 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0) |
| 241 | 240 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) =
(sin‘0)) |
| 242 | | sin0 16185 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(sin‘0) = 0 |
| 243 | 241, 242 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) =
0) |
| 244 | 119, 212 | mulneg2d 11717 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑁 · -π) = -(𝑁 · π)) |
| 245 | 244 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) =
(sin‘-(𝑁 ·
π))) |
| 246 | 119, 212 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑁 · π) ∈
ℂ) |
| 247 | | sinneg 16182 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑁 · π) ∈ ℂ
→ (sin‘-(𝑁
· π)) = -(sin‘(𝑁 · π))) |
| 248 | 246, 247 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (sin‘-(𝑁 · π)) =
-(sin‘(𝑁 ·
π))) |
| 249 | 245, 248 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) =
-(sin‘(𝑁 ·
π))) |
| 250 | 243, 249 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) −
(sin‘(𝑁 ·
-π))) = (0 − -(sin‘(𝑁 · π)))) |
| 251 | | 0cnd 11254 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℂ) |
| 252 | 246 | sincld 16166 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) ∈
ℂ) |
| 253 | 251, 252 | subnegd 11627 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (0 −
-(sin‘(𝑁 ·
π))) = (0 + (sin‘(𝑁 · π)))) |
| 254 | 252 | addlidd 11462 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (0 + (sin‘(𝑁 · π))) =
(sin‘(𝑁 ·
π))) |
| 255 | 250, 253,
254 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) −
(sin‘(𝑁 ·
-π))) = (sin‘(𝑁
· π))) |
| 256 | 255 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) =
(sin‘(𝑁 ·
π))) |
| 257 | 256 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁) = ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁)) |
| 258 | 23 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 259 | | sinkpi 26564 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℤ →
(sin‘(𝑁 ·
π)) = 0) |
| 260 | 258, 259 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) =
0) |
| 261 | 260 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁)) |
| 262 | 261 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁)) |
| 263 | 233, 238 | div0d 12042 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0) |
| 264 | 262, 263 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = 0) |
| 265 | 239, 257,
264 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = 0) |
| 266 | 265 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · 0)) |
| 267 | 238 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0) |
| 268 | 267 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0) |
| 269 | 232, 266,
268 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0)) |
| 270 | 229, 269 | syldan 591 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0)) |
| 271 | 223, 270 | pm2.61dan 813 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0)) |
| 272 | 187, 188,
271 | 3eqtr2d 2783 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, -π, 0)) |
| 273 | 157 | itgeq2dv 25817 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥))) d𝑥) |
| 274 | 96, 162, 182 | itgmulc2 25869 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (1 ·
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥))) d𝑥) |
| 275 | 162, 182 | itgcl 25819 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ) |
| 276 | 275 | mullidd 11279 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1 ·
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) |
| 277 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 = 0) |
| 278 | 277 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥)) |
| 279 | 131 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈
ℂ) |
| 280 | 279 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 281 | 280 | mul02d 11459 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (0 · 𝑥) = 0) |
| 282 | 278, 281 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = 0) |
| 283 | 282 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0)) |
| 284 | 283, 195 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1) |
| 285 | 284 | adantll 714 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1) |
| 286 | 285 | itgeq2dv 25817 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) →
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥) |
| 287 | | ioovolcl 25605 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈
ℝ) |
| 288 | 5, 1, 287 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ |
| 289 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 290 | | itgconst 25854 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 ·
(vol‘(0(,)π)))) |
| 291 | 165, 288,
289, 290 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . 9
⊢
∫(0(,)π)1 d𝑥
= (1 · (vol‘(0(,)π))) |
| 292 | 291 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 ·
(vol‘(0(,)π)))) |
| 293 | 42 | mullidi 11266 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (1
· π) = π |
| 294 | | volioo 25604 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) →
(vol‘(0(,)π)) = (π − 0)) |
| 295 | 5, 1, 9, 294 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(vol‘(0(,)π)) = (π − 0) |
| 296 | 42 | subid1i 11581 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (π
− 0) = π |
| 297 | 295, 296 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(vol‘(0(,)π)) = π |
| 298 | 297 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (1
· (vol‘(0(,)π))) = (1 · π) |
| 299 | 298 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 = 0 → (1 ·
(vol‘(0(,)π))) = (1 · π)) |
| 300 | | iftrue 4531 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = π) |
| 301 | 293, 299,
300 | 3eqtr4a 2803 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 = 0 → (1 ·
(vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
| 302 | 301 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (1 ·
(vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
| 303 | 286, 292,
302 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) →
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
| 304 | 260, 243 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) −
(sin‘(𝑁 · 0)))
= (0 − 0)) |
| 305 | 251 | subidd 11608 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (0 − 0) =
0) |
| 306 | 304, 305 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) −
(sin‘(𝑁 · 0)))
= 0) |
| 307 | 306 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · π)) −
(sin‘(𝑁 · 0)))
/ 𝑁) = (0 / 𝑁)) |
| 308 | 307 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁)) |
| 309 | 308, 263 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = 0) |
| 310 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → π ∈
ℝ) |
| 311 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ≤ π) |
| 312 | 233, 235,
310, 311, 238 | itgcoscmulx 45984 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁)) |
| 313 | 267 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0) |
| 314 | 309, 312,
313 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
| 315 | 229, 314 | syldan 591 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) →
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
| 316 | 303, 315 | pm2.61dan 813 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
| 317 | 276, 316 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (1 ·
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
| 318 | 273, 274,
317 | 3eqtr2d 2783 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
| 319 | 272, 318 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0))) |
| 320 | 319 | oveq1d 7446 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π)) |
| 321 | 220, 300 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (-π +
π)) |
| 322 | 321, 49 | eqtrdi 2793 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) =
0) |
| 323 | | iffalse 4534 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) =
0) |
| 324 | | iffalse 4534 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) =
0) |
| 325 | 323, 324 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢ (¬
𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (0 +
0)) |
| 326 | | 00id 11436 |
. . . . . . 7
⊢ (0 + 0) =
0 |
| 327 | 325, 326 | eqtrdi 2793 |
. . . . . 6
⊢ (¬
𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) =
0) |
| 328 | 322, 327 | pm2.61i 182 |
. . . . 5
⊢ (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) =
0 |
| 329 | 328 | oveq1i 7441 |
. . . 4
⊢
((if(𝑁 = 0, -π,
0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) /
π) = (0 / π) |
| 330 | 5, 8 | gtneii 11373 |
. . . . 5
⊢ π ≠
0 |
| 331 | 42, 330 | div0i 12001 |
. . . 4
⊢ (0 /
π) = 0 |
| 332 | 329, 331 | eqtri 2765 |
. . 3
⊢
((if(𝑁 = 0, -π,
0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) /
π) = 0 |
| 333 | 332 | a1i 11 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) =
0) |
| 334 | 186, 320,
333 | 3eqtrd 2781 |
1
⊢ (𝜑 →
(∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0) |