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Theorem sqwvfoura 46183
Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the 𝐴 coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfoura.t 𝑇 = (2 · π)
sqwvfoura.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfoura.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sqwvfoura (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem sqwvfoura
StepHypRef Expression
1 pire 26514 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 11567 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 0re 11260 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 45230 . . . . . . 7 -π < 0
72, 5, 6ltleii 11381 . . . . . 6 -π ≤ 0
8 pipos 26516 . . . . . . 7 0 < π
95, 1, 8ltleii 11381 . . . . . 6 0 ≤ π
102, 1elicc2i 13449 . . . . . 6 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1340 . . . . 5 0 ∈ (-π[,]π)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13 1red 11259 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
1413renegcld 11687 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
1513, 14ifcld 4576 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
17 sqwvfoura.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1816, 17fmptd 7133 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20 elioore 13413 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2219, 21ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
23 sqwvfoura.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2423nn0red 12585 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2625, 21remulcld 11288 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
2726recoscld 16176 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
2822, 27remulcld 11288 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℝ)
2928recnd 11286 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
30 elioore 13413 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3117fvmpt2 7026 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
3230, 15, 31syl2anc2 585 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
34 sqwvfoura.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 · π)
35 2rp 13036 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
36 pirp 26517 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
37 rpmulcl 13055 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℝ+
3934, 38eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
4130, 40modcld 13911 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42 picn 26515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℂ
43422timesi 12401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) = (π + π)
4434, 43eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (π + π)
4544oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
462recni 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℂ
4746, 42, 42addassi 11268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
4842negidi 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + -π) = 0
4942, 46, 48addcomli 11450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π + π) = 0
5049oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = (0 + π)
5142addlidi 11446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + π) = π
5250, 51eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π + π) + π) = π
5345, 47, 523eqtr2ri 2769 . . . . . . . . . . . . 13 π = (-π + 𝑇)
542a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
55 2re 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5655, 1remulcli 11274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℝ
5734, 56eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
592rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℝ*
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
61 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
6261rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ*)
63 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
64 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
6560, 62, 63, 64syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
6654, 30, 58, 65ltadd1dd 11871 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
6753, 66eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
6857recni 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ ℂ
6968mullidi 11263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝑇) = 𝑇
7069eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 · 𝑇)
7170oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
7271oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
7330, 58readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
748a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
7561, 33, 73, 74, 67lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
7661, 73, 75ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
77 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
7860, 62, 63, 77syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
7930, 61, 58, 78ltadd1dd 11871 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
8068a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
8180addlidd 11459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
8279, 81breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
83 modid 13932 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
8473, 40, 76, 82, 83syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
85 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
86 modcyc 13942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8730, 40, 85, 86syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8872, 84, 873eqtr3a 2798 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8967, 88breqtrd 5173 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
9033, 41, 89ltnsymd 11407 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
9190iffalsed 4541 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
9232, 91eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = -1)
9392oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
9493adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
9594mpteq2dva 5247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
96 1cnd 11253 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9796negcld 11604 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
9824adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9930adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10098, 99remulcld 11288 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101100recoscld 16176 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102 ioossicc 13469 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
103102a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
104 ioombl 25613 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ∈ dom vol
105104a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
10624adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107 iccssre 13465 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
1082, 5, 107mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]0) ⊆ ℝ
109108sseli 3990 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111106, 110remulcld 11288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112111recoscld 16176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113 0red 11261 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114 coscn 26503 . . . . . . . . . 10 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
117108, 116sstri 4004 . . . . . . . . . . . 12 (-π[,]0) ⊆ ℂ
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
11924recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
120 ssid 4017 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
122118, 119, 121constcncfg 45827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
123118, 121idcncfg 45828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124122, 123mulcncf 25493 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125115, 124cncfmpt1f 24953 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
126 cniccibl 25890 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
1273, 113, 125, 126syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
128103, 105, 112, 127iblss 25854 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
12997, 101, 128iblmulc2 25880 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
13095, 129eqeltrd 2838 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
131 elioore 13413 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
132131, 15, 31syl2anc2 585 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
13339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
134 0red 11261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
135134rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ*)
1361rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ*
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
138 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
139 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
140135, 137, 138, 139syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
141134, 131, 140ltled 11406 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
1421a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
14357a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
144 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
145135, 137, 138, 144syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
146 2timesgt 45238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
14736, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < (2 · π)
148147, 34breqtrri 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 π < 𝑇
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
150131, 142, 143, 145, 149lttrd 11419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
151 modid 13932 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
152131, 133, 141, 150, 151syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
153152, 145eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
154153iftrued 4538 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
155132, 154eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = 1)
156155oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
157156adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
158157mpteq2dva 5247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
15924adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
160131adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
161159, 160remulcld 11288 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
162161recoscld 16176 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
163 ioossicc 13469 . . . . . . . 8 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
164163a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
165 ioombl 25613 . . . . . . . 8 (0(,)π) ∈ dom vol
166165a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
16724adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
168 iccssre 13465 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1695, 1, 168mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℝ
170169sseli 3990 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
171170adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
172167, 171remulcld 11288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
173172recoscld 16176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
174169, 116sstri 4004 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℂ
175174a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
176175, 119, 121constcncfg 45827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
177175, 121idcncfg 45828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178176, 177mulcncf 25493 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179115, 178cncfmpt1f 24953 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180 cniccibl 25890 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
181113, 4, 179, 180syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
182164, 166, 173, 181iblss 25854 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
18396, 162, 182iblmulc2 25880 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
184158, 183eqeltrd 2838 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
1853, 4, 12, 29, 130, 184itgsplitioo 25887 . . 3 (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186185oveq1d 7445 . 2 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
18794itgeq2dv 25831 . . . . 5 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
18897, 101, 128itgmulc2 25883 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
189 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
190 ioosscn 13445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π(,)0) ⊆ ℂ
191190sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
192191mul02d 11456 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 · 𝑥) = 0)
193189, 192sylan9eq 2794 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
194193fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
195 cos0 16182 . . . . . . . . . . . 12 (cos‘0) = 1
196194, 195eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
197196adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
198197itgeq2dv 25831 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)1 d𝑥)
199 ioovolcl 25618 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
2002, 5, 199mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ
201200a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
202 itgconst 25868 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)0) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
203105, 201, 96, 202syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
204203adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
205 volioo 25617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0) → (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π))
2062, 5, 7, 205mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . 14 (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π)
207 0cn 11250 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
208207, 42subnegi 11585 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − -π) = (0 + π)
209206, 208, 513eqtri 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(-π(,)0)) = π
210209a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) = π)
211210oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = (1 · π))
21242a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℂ)
213212mullidd 11276 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · π) = π)
214211, 213eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
215214adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
216198, 204, 2153eqtrd 2778 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = π)
217216oveq2d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · π))
21842mulm1i 11705 . . . . . . . 8 (-1 · π) = -π
219218a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · π) = -π)
220 iftrue 4536 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = -π)
221220eqcomd 2740 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
222221adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
223217, 219, 2223eqtrd 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
22424adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
22523nn0ge0d 12587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
226225adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
227 neqne 2945 . . . . . . . . 9 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
228227adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
229224, 226, 228ne0gt0d 11395 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 < 𝑁)
230 1cnd 11253 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
231230negcld 11604 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -1 ∈ ℂ)
232231mul01d 11457 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · 0) = 0)
233119adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
2342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ∈ ℝ)
235 0red 11261 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
2367a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ≤ 0)
237 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
238237gt0ne0d 11824 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
239233, 234, 235, 236, 238itgcoscmulx 45924 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁))
240119mul01d 11457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
241240fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = (sin‘0))
242 sin0 16181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘0) = 0
243241, 242eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = 0)
244119, 212mulneg2d 11714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · -π) = -(𝑁 · π))
245244fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = (sin‘-(𝑁 · π)))
246119, 212mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · π) ∈ ℂ)
247 sinneg 16178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 · π) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
248246, 247syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
249245, 248eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
250243, 249oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (0 − -(sin‘(𝑁 · π))))
251 0cnd 11251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
252246sincld 16162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) ∈ ℂ)
253251, 252subnegd 11624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − -(sin‘(𝑁 · π))) = (0 + (sin‘(𝑁 · π))))
254252addlidd 11459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + (sin‘(𝑁 · π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
255250, 253, 2543eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
256255adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
257256oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁) = ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁))
25823nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
259 sinkpi 26578 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
260258, 259syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
261260oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
262261adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
263233, 238div0d 12039 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
264262, 263eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = 0)
265239, 257, 2643eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = 0)
266265oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · 0))
267238neneqd 2942 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
268267iffalsed 4541 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
269232, 266, 2683eqtr4d 2784 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
270229, 269syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
271223, 270pm2.61dan 813 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
272187, 188, 2713eqtr2d 2780 . . . 4 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, -π, 0))
273157itgeq2dv 25831 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
27496, 162, 182itgmulc2 25883 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
275162, 182itgcl 25833 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
276275mullidd 11276 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
277 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 = 0)
278277oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
279131recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
280279adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
281280mul02d 11456 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (0 · 𝑥) = 0)
282278, 281eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
283282fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
284283, 195eqtrdi 2790 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
285284adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
286285itgeq2dv 25831 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥)
287 ioovolcl 25618 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ)
2885, 1, 287mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
289 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
290 itgconst 25868 . . . . . . . . . 10 (((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
291165, 288, 289, 290mp3an 1460 . . . . . . . . 9 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π)))
292291a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
29342mullidi 11263 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
294 volioo 25617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) → (vol‘(0(,)π)) = (π − 0))
2955, 1, 9, 294mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(0(,)π)) = (π − 0)
29642subid1i 11578 . . . . . . . . . . . . 13 (π − 0) = π
297295, 296eqtri 2762 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(0(,)π)) = π
298297oveq2i 7441 . . . . . . . . . . 11 (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π)
299298a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π))
300 iftrue 4536 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = π)
301293, 299, 3003eqtr4a 2800 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
302301adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
303286, 292, 3023eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
304260, 243oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = (0 − 0))
305251subidd 11605 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − 0) = 0)
306304, 305eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = 0)
307306oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
308307adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
309308, 263eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = 0)
3101a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → π ∈ ℝ)
3119a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ≤ π)
312233, 235, 310, 311, 238itgcoscmulx 45924 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
313267iffalsed 4541 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
314309, 312, 3133eqtr4d 2784 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
315229, 314syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
316303, 315pm2.61dan 813 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
317276, 316eqtrd 2774 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, π, 0))
318273, 274, 3173eqtr2d 2780 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
319272, 318oveq12d 7448 . . 3 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)))
320319oveq1d 7445 . 2 (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π))
321220, 300oveq12d 7448 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (-π + π))
322321, 49eqtrdi 2790 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
323 iffalse 4539 . . . . . . . 8 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
324 iffalse 4539 . . . . . . . 8 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
325323, 324oveq12d 7448 . . . . . . 7 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (0 + 0))
326 00id 11433 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
327325, 326eqtrdi 2790 . . . . . 6 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
328322, 327pm2.61i 182 . . . . 5 (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0
329328oveq1i 7440 . . . 4 ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = (0 / π)
3305, 8gtneii 11370 . . . . 5 π ≠ 0
33142, 330div0i 11998 . . . 4 (0 / π) = 0
332329, 331eqtri 2762 . . 3 ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0
333332a1i 11 . 2 (𝜑 → ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0)
334186, 320, 3333eqtrd 2778 1 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wss 3962  ifcif 4530   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386   mod cmo 13905  sincsin 16095  cosccos 16096  πcpi 16098  cnccncf 24915  volcvol 25511  𝐿1cibl 25665  citg 25666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916
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