Theorem sqwvfoura 46472

Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the 𝐴 coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqwvfoura.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
sqwvfoura.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfoura.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sqwvfoura	⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem sqwvfoura

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26422	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11442	. . . . 5 ⊢ -π ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
4	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
5		0re 11134	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		negpilt0 45529	. . . . . . 7 ⊢ -π < 0
7	2, 5, 6	ltleii 11256	. . . . . 6 ⊢ -π ≤ 0
8		pipos 26424	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
9	5, 1, 8	ltleii 11256	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
10	2, 1	elicc2i 13328	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
11	5, 7, 9, 10	mpbir3an 1342	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (-π[,]π)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13		1red 11133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
14	13	renegcld 11564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
15	13, 14	ifcld 4526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
17		sqwvfoura.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
18	16, 17	fmptd 7059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20		elioore 13291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	19, 21	ffvelcdmd 7030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
23		sqwvfoura.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24	23	nn0red 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
26	25, 21	remulcld 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
27	26	recoscld 16069	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
28	22, 27	remulcld 11162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
30		elioore 13291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	17	fvmpt2 6952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
32	30, 15, 31	syl2anc2 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
33	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
34		sqwvfoura.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
35		2rp 12910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
36		pirp 26426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ+
37		rpmulcl 12930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
38	35, 36, 37	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
39	34, 38	eqeltri 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ+
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
41	30, 40	modcld 13795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42		picn 26423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℂ
43	42	2timesi 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) = (π + π)
44	34, 43	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (π + π)
45	44	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
46	2	recni 11146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℂ
47	46, 42, 42	addassi 11142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
48	42	negidi 11450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π + -π) = 0
49	42, 46, 48	addcomli 11325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-π + π) = 0
50	49	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π + π) + π) = (0 + π)
51	42	addlidi 11321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + π) = π
52	50, 51	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π + π) + π) = π
53	45, 47, 52	3eqtr2ri 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π = (-π + 𝑇)
54	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
55		2re 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
56	55, 1	remulcli 11148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
57	34, 56	eqeltri 2832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
59	2	rexri 11190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -π ∈ ℝ*
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
61		0red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ*)
63		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
64		ioogtlb 45741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
65	60, 62, 63, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
66	54, 30, 58, 65	ltadd1dd 11748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
67	53, 66	eqbrtrid 5133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
68	57	recni 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 𝑇) = 𝑇
70	69	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (1 · 𝑇)
71	70	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
72	71	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
73	30, 58	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
74	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
75	61, 33, 73, 74, 67	lttrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
76	61, 73, 75	ltled 11281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
77		iooltub 45756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
78	60, 62, 63, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
79	30, 61, 58, 78	ltadd1dd 11748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
80	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
81	80	addlidd 11334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
82	79, 81	breqtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
83		modid 13816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
84	73, 40, 76, 82, 83	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
85		1zzd 12522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
86		modcyc 13826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
87	30, 40, 85, 86	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
88	72, 84, 87	3eqtr3a 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
89	67, 88	breqtrd 5124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
90	33, 41, 89	ltnsymd 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
91	90	iffalsed 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
92	32, 91	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹‘𝑥) = -1)
93	92	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
94	93	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
95	94	mpteq2dva 5191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
96		1cnd 11127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
97	96	negcld 11479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
98	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
99	30	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
100	98, 99	remulcld 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101	100	recoscld 16069	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102		ioossicc 13349	. . . . . . . 8 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
103	102	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
104		ioombl 25522	. . . . . . . 8 ⊢ (-π(,)0) ∈ dom vol
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
106	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107		iccssre 13345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
108	2, 5, 107	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π[,]0) ⊆ ℝ
109	108	sseli 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111	106, 110	remulcld 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112	111	recoscld 16069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113		0red 11135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114		coscn 26411	. . . . . . . . . 10 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116		ax-resscn 11083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
117	108, 116	sstri 3943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π[,]0) ⊆ ℂ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
119	24	recnd 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
120		ssid 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
122	118, 119, 121	constcncfg 46116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
123	118, 121	idcncfg 46117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124	122, 123	mulcncf 25402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125	115, 124	cncfmpt1f 24863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
126		cniccibl 25798	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
127	3, 113, 125, 126	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
128	103, 105, 112, 127	iblss 25762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
129	97, 101, 128	iblmulc2 25788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
130	95, 129	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
131		elioore 13291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
132	131, 15, 31	syl2anc2 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
133	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
134		0red 11135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
135	134	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ*)
136	1	rexri 11190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ*
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
138		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
139		ioogtlb 45741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
140	135, 137, 138, 139	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
141	134, 131, 140	ltled 11281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
142	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
143	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
144		iooltub 45756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
145	135, 137, 138, 144	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
146		2timesgt 45536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
147	36, 146	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π < (2 · π)
148	147, 34	breqtrri 5125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π < 𝑇
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
150	131, 142, 143, 145, 149	lttrd 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
151		modid 13816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
152	131, 133, 141, 150, 151	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
153	152, 145	eqbrtrd 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
154	153	iftrued 4487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
155	132, 154	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = 1)
156	155	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
157	156	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
158	157	mpteq2dva 5191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
159	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
160	131	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
161	159, 160	remulcld 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
162	161	recoscld 16069	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
163		ioossicc 13349	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
164	163	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
165		ioombl 25522	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,)π) ∈ dom vol
166	165	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
167	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
168		iccssre 13345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
169	5, 1, 168	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
170	169	sseli 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
171	170	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
172	167, 171	remulcld 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
173	172	recoscld 16069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
174	169, 116	sstri 3943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
176	175, 119, 121	constcncfg 46116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
177	175, 121	idcncfg 46117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178	176, 177	mulcncf 25402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179	115, 178	cncfmpt1f 24863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180		cniccibl 25798	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
181	113, 4, 179, 180	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
182	164, 166, 173, 181	iblss 25762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
183	96, 162, 182	iblmulc2 25788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
184	158, 183	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
185	3, 4, 12, 29, 130, 184	itgsplitioo 25795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186	185	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
187	94	itgeq2dv 25739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
188	97, 101, 128	itgmulc2 25791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
189		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
190		ioosscn 13324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-π(,)0) ⊆ ℂ
191	190	sseli 3929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
192	191	mul02d 11331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 · 𝑥) = 0)
193	189, 192	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
194	193	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
195		cos0 16075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (cos‘0) = 1
196	194, 195	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
197	196	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
198	197	itgeq2dv 25739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)1 d𝑥)
199		ioovolcl 25527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
200	2, 5, 199	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
202		itgconst 25776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-π(,)0) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
203	105, 201, 96, 202	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
204	203	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
205		volioo 25526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0) → (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π))
206	2, 5, 7, 205	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π)
207		0cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℂ
208	207, 42	subnegi 11460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − -π) = (0 + π)
209	206, 208, 51	3eqtri 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (vol‘(-π(,)0)) = π
210	209	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) = π)
211	210	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = (1 · π))
212	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
213	212	mullidd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · π) = π)
214	211, 213	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
215	214	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
216	198, 204, 215	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = π)
217	216	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · π))
218	42	mulm1i 11582	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 · π) = -π
219	218	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (-1 · π) = -π)
220		iftrue 4485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = -π)
221	220	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
222	221	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
223	217, 219, 222	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
224	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
225	23	nn0ge0d 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
226	225	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
227		neqne 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
228	227	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
229	224, 226, 228	ne0gt0d 11270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 < 𝑁)
230		1cnd 11127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
231	230	negcld 11479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -1 ∈ ℂ)
232	231	mul01d 11332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · 0) = 0)
233	119	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
234	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ∈ ℝ)
235		0red 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
236	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ≤ 0)
237		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
238	237	gt0ne0d 11701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
239	233, 234, 235, 236, 238	itgcoscmulx 46213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁))
240	119	mul01d 11332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
241	240	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = (sin‘0))
242		sin0 16074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘0) = 0
243	241, 242	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = 0)
244	119, 212	mulneg2d 11591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · -π) = -(𝑁 · π))
245	244	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = (sin‘-(𝑁 · π)))
246	119, 212	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · π) ∈ ℂ)
247		sinneg 16071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 · π) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
248	246, 247	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
249	245, 248	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
250	243, 249	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (0 − -(sin‘(𝑁 · π))))
251		0cnd 11125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
252	246	sincld 16055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) ∈ ℂ)
253	251, 252	subnegd 11499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 − -(sin‘(𝑁 · π))) = (0 + (sin‘(𝑁 · π))))
254	252	addlidd 11334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 + (sin‘(𝑁 · π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
255	250, 253, 254	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
256	255	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
257	256	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁) = ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁))
258	23	nn0zd 12513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
259		sinkpi 26487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
260	258, 259	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
261	260	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
262	261	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
263	233, 238	div0d 11916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
264	262, 263	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = 0)
265	239, 257, 264	3eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = 0)
266	265	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · 0))
267	238	neneqd 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
268	267	iffalsed 4490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
269	232, 266, 268	3eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
270	229, 269	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
271	223, 270	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
272	187, 188, 271	3eqtr2d 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, -π, 0))
273	157	itgeq2dv 25739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
274	96, 162, 182	itgmulc2 25791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
275	162, 182	itgcl 25741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
276	275	mullidd 11150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
277		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 = 0)
278	277	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
279	131	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
280	279	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
281	280	mul02d 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (0 · 𝑥) = 0)
282	278, 281	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
283	282	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
284	283, 195	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
285	284	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
286	285	itgeq2dv 25739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥)
287		ioovolcl 25527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ)
288	5, 1, 287	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
289		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
290		itgconst 25776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
291	165, 288, 289, 290	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π)))
292	291	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
293	42	mullidi 11137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
294		volioo 25526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) → (vol‘(0(,)π)) = (π − 0))
295	5, 1, 9, 294	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (vol‘(0(,)π)) = (π − 0)
296	42	subid1i 11453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π − 0) = π
297	295, 296	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘(0(,)π)) = π
298	297	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π)
299	298	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π))
300		iftrue 4485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = π)
301	293, 299, 300	3eqtr4a 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
302	301	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
303	286, 292, 302	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
304	260, 243	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = (0 − 0))
305	251	subidd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 − 0) = 0)
306	304, 305	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = 0)
307	306	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
308	307	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
309	308, 263	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = 0)
310	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → π ∈ ℝ)
311	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ≤ π)
312	233, 235, 310, 311, 238	itgcoscmulx 46213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
313	267	iffalsed 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
314	309, 312, 313	3eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
315	229, 314	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
316	303, 315	pm2.61dan 812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
317	276, 316	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, π, 0))
318	273, 274, 317	3eqtr2d 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
319	272, 318	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)))
320	319	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π))
321	220, 300	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (-π + π))
322	321, 49	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
323		iffalse 4488	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
324		iffalse 4488	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
325	323, 324	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (0 + 0))
326		00id 11308	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
327	325, 326	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
328	322, 327	pm2.61i 182	. . . . 5 ⊢ (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0
329	328	oveq1i 7368	. . . 4 ⊢ ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = (0 / π)
330	5, 8	gtneii 11245	. . . . 5 ⊢ π ≠ 0
331	42, 330	div0i 11875	. . . 4 ⊢ (0 / π) = 0
332	329, 331	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0
333	332	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0)
334	186, 320, 333	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3901  ifcif 4479   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  -cneg 11365   / cdiv 11794  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℝ⁺crp 12905  (,)cioo 13261  [,]cicc 13264   mod cmo 13789  sincsin 15986  cosccos 15987  πcpi 15989  –cn→ccncf 24825  volcvol 25420  𝐿¹cibl 25574  ∫citg 25575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-symdif 4205  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-cmp 23331  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-itg1 25577  df-itg2 25578  df-ibl 25579  df-itg 25580  df-0p 25627  df-limc 25823  df-dv 25824

This theorem is referenced by:  fouriersw  46475