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Theorem sqwvfoura 41082
Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the 𝐴 coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfoura.t 𝑇 = (2 · π)
sqwvfoura.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfoura.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sqwvfoura (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem sqwvfoura
StepHypRef Expression
1 pire 24502 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 10596 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 0re 10295 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 40132 . . . . . . 7 -π < 0
72, 5, 6ltleii 10414 . . . . . 6 -π ≤ 0
8 pipos 24504 . . . . . . 7 0 < π
95, 1, 8ltleii 10414 . . . . . 6 0 ≤ π
102, 1elicc2i 12441 . . . . . 6 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1441 . . . . 5 0 ∈ (-π[,]π)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13 1red 10294 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
1413renegcld 10711 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
1513, 14ifcld 4288 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
1615adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
17 sqwvfoura.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1816, 17fmptd 6574 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1918adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20 elioore 12407 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2219, 21ffvelrnd 6550 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
23 sqwvfoura.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2423nn0red 11599 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2625, 21remulcld 10324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
2726recoscld 15156 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
2822, 27remulcld 10324 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℝ)
2928recnd 10322 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
30 elioore 12407 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3130, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
3217fvmpt2 6480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
3330, 31, 32syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
341a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
35 sqwvfoura.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 · π)
36 2rp 12033 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
37 pirp 24505 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
38 rpmulcl 12053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
3936, 37, 38mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℝ+
4035, 39eqeltri 2840 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
4230, 41modcld 12882 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
43 picn 24503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℂ
44432timesi 11417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) = (π + π)
4535, 44eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (π + π)
4645oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . 14 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
472recni 10308 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℂ
4847, 43, 43addassi 10304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
4943negidi 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + -π) = 0
5043, 47, 49addcomli 10482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π + π) = 0
5150oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = (0 + π)
5243addid2i 10478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + π) = π
5351, 52eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π + π) + π) = π
5446, 48, 533eqtr2ri 2794 . . . . . . . . . . . . 13 π = (-π + 𝑇)
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
56 2re 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5756, 1remulcli 10310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℝ
5835, 57eqeltri 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
602rexri 10351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℝ*
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
62 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
6362rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ*)
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
65 ioogtlb 40359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
6661, 63, 64, 65syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
6755, 30, 59, 66ltadd1dd 10892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
6854, 67syl5eqbr 4844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
6958recni 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ ℂ
7069mulid2i 10299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝑇) = 𝑇
7170eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 · 𝑇)
7271oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
7372oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
7430, 59readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
7662, 34, 74, 75, 68lttrd 10452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
7762, 74, 76ltled 10439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
78 iooltub 40375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
7961, 63, 64, 78syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
8030, 62, 59, 79ltadd1dd 10892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
8169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
8281addid2d 10491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
8380, 82breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
84 modid 12903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
8574, 41, 77, 83, 84syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
86 1zzd 11655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
87 modcyc 12913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8830, 41, 86, 87syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8973, 85, 883eqtr3a 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
9068, 89breqtrd 4835 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
9134, 42, 90ltnsymd 10440 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
9291iffalsed 4254 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
9333, 92eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = -1)
9493oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
9594adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
9695mpteq2dva 4903 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
97 1cnd 10288 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9897negcld 10633 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
9924adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
10030adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10199, 100remulcld 10324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
102101recoscld 15156 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
103 ioossicc 12461 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
104103a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
105 ioombl 23623 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ∈ dom vol
106105a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
10724adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
108 iccssre 12457 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
1092, 5, 108mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]0) ⊆ ℝ
110109sseli 3757 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
111110adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
112107, 111remulcld 10324 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
113112recoscld 15156 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
114 0red 10297 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
115 coscn 24490 . . . . . . . . . 10 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
116115a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
117 ax-resscn 10246 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
118109, 117sstri 3770 . . . . . . . . . . . 12 (-π[,]0) ⊆ ℂ
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
12024recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
121 ssid 3783 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
123119, 120, 122constcncfg 40722 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124119, 122idcncfg 40723 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125123, 124mulcncf 23504 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
126116, 125cncfmpt1f 22995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
127 cniccibl 23898 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
1283, 114, 126, 127syl3anc 1490 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
129104, 106, 113, 128iblss 23862 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
13098, 102, 129iblmulc2 23888 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
13196, 130eqeltrd 2844 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
132 elioore 12407 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
133132, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
134132, 133, 32syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
13540a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
136 0red 10297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
137136rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ*)
1381rexri 10351 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ*
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
140 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
141 ioogtlb 40359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
142137, 139, 140, 141syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
143136, 132, 142ltled 10439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
1441a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
14558a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
146 iooltub 40375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
147137, 139, 140, 146syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
148 2timesgt 40140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
14937, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < (2 · π)
150149, 35breqtrri 4836 . . . . . . . . . . . . . 14 π < 𝑇
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
152132, 144, 145, 147, 151lttrd 10452 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
153 modid 12903 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
154132, 135, 143, 152, 153syl22anc 867 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
155154, 147eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
156155iftrued 4251 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
157134, 156eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = 1)
158157oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
159158adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
160159mpteq2dva 4903 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
16124adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
162132adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
163161, 162remulcld 10324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
164163recoscld 15156 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
165 ioossicc 12461 . . . . . . . 8 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
166165a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
167 ioombl 23623 . . . . . . . 8 (0(,)π) ∈ dom vol
168167a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
16924adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
170 iccssre 12457 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1715, 1, 170mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℝ
172171sseli 3757 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
173172adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
174169, 173remulcld 10324 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
175174recoscld 15156 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
176171, 117sstri 3770 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℂ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
178177, 120, 122constcncfg 40722 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179177, 122idcncfg 40723 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180178, 179mulcncf 23504 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
181116, 180cncfmpt1f 22995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
182 cniccibl 23898 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
183114, 4, 181, 182syl3anc 1490 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
184166, 168, 175, 183iblss 23862 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
18597, 164, 184iblmulc2 23888 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
186160, 185eqeltrd 2844 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
1873, 4, 12, 29, 131, 186itgsplitioo 23895 . . 3 (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
188187oveq1d 6857 . 2 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
18995itgeq2dv 23839 . . . . 5 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
19098, 102, 129itgmulc2 23891 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
191 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
192 ioosscn 40358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π(,)0) ⊆ ℂ
193192sseli 3757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
194193mul02d 10488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 · 𝑥) = 0)
195191, 194sylan9eq 2819 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
196195fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
197 cos0 15162 . . . . . . . . . . . 12 (cos‘0) = 1
198196, 197syl6eq 2815 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
199198adantll 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
200199itgeq2dv 23839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)1 d𝑥)
201 ioovolcl 23628 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
2022, 5, 201mp2an 683 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ
203202a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
204 itgconst 23876 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)0) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
205106, 203, 97, 204syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
206205adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
207 volioo 23627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0) → (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π))
2082, 5, 7, 207mp3an 1585 . . . . . . . . . . . . . 14 (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π)
209 0cn 10285 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
210209, 43subnegi 10614 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − -π) = (0 + π)
211208, 210, 523eqtri 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(-π(,)0)) = π
212211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) = π)
213212oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = (1 · π))
21443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℂ)
215214mulid2d 10312 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · π) = π)
216213, 215eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
217216adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
218200, 206, 2173eqtrd 2803 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = π)
219218oveq2d 6858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · π))
22043mulm1i 10729 . . . . . . . 8 (-1 · π) = -π
221220a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · π) = -π)
222 iftrue 4249 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = -π)
223222eqcomd 2771 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
224223adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
225219, 221, 2243eqtrd 2803 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
22624adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
22723nn0ge0d 11601 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
228227adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
229 neqne 2945 . . . . . . . . 9 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
230229adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
231226, 228, 230ne0gt0d 10428 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 < 𝑁)
232 1cnd 10288 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
233232negcld 10633 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -1 ∈ ℂ)
234233mul01d 10489 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · 0) = 0)
235120adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
2362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ∈ ℝ)
237 0red 10297 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
2387a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ≤ 0)
239 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
240239gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
241235, 236, 237, 238, 240itgcoscmulx 40822 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁))
242120mul01d 10489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
243242fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = (sin‘0))
244 sin0 15161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘0) = 0
245243, 244syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = 0)
246120, 214mulneg2d 10738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · -π) = -(𝑁 · π))
247246fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = (sin‘-(𝑁 · π)))
248120, 214mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · π) ∈ ℂ)
249 sinneg 15158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 · π) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
250248, 249syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
251247, 250eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
252245, 251oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (0 − -(sin‘(𝑁 · π))))
253 0cnd 10286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
254248sincld 15142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) ∈ ℂ)
255253, 254subnegd 10653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − -(sin‘(𝑁 · π))) = (0 + (sin‘(𝑁 · π))))
256254addid2d 10491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + (sin‘(𝑁 · π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
257252, 255, 2563eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
258257adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
259258oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁) = ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁))
26023nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
261 sinkpi 24563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
263262oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
264263adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
265235, 240div0d 11054 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
266264, 265eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = 0)
267241, 259, 2663eqtrd 2803 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = 0)
268267oveq2d 6858 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · 0))
269240neneqd 2942 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
270269iffalsed 4254 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
271234, 268, 2703eqtr4d 2809 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
272231, 271syldan 585 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
273225, 272pm2.61dan 847 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
274189, 190, 2733eqtr2d 2805 . . . 4 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, -π, 0))
275159itgeq2dv 23839 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
27697, 164, 184itgmulc2 23891 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
277164, 184itgcl 23841 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
278277mulid2d 10312 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
279 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 = 0)
280279oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
281132recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
282281adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
283282mul02d 10488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (0 · 𝑥) = 0)
284280, 283eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
285284fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
286285, 197syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
287286adantll 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
288287itgeq2dv 23839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥)
289 ioovolcl 23628 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ)
2905, 1, 289mp2an 683 . . . . . . . . . 10 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
291 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
292 itgconst 23876 . . . . . . . . . 10 (((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
293167, 290, 291, 292mp3an 1585 . . . . . . . . 9 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π)))
294293a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
29543mulid2i 10299 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
296 volioo 23627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) → (vol‘(0(,)π)) = (π − 0))
2975, 1, 9, 296mp3an 1585 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(0(,)π)) = (π − 0)
29843subid1i 10607 . . . . . . . . . . . . 13 (π − 0) = π
299297, 298eqtri 2787 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(0(,)π)) = π
300299oveq2i 6853 . . . . . . . . . . 11 (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π)
301300a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π))
302 iftrue 4249 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = π)
303295, 301, 3023eqtr4a 2825 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
304303adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
305288, 294, 3043eqtrd 2803 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
306262, 245oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = (0 − 0))
307253subidd 10634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − 0) = 0)
308306, 307eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = 0)
309308oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
310309adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
311310, 265eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = 0)
3121a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → π ∈ ℝ)
3139a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ≤ π)
314235, 237, 312, 313, 240itgcoscmulx 40822 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
315269iffalsed 4254 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
316311, 314, 3153eqtr4d 2809 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
317231, 316syldan 585 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
318305, 317pm2.61dan 847 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
319278, 318eqtrd 2799 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, π, 0))
320275, 276, 3193eqtr2d 2805 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
321274, 320oveq12d 6860 . . 3 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)))
322321oveq1d 6857 . 2 (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π))
323222, 302oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (-π + π))
324323, 50syl6eq 2815 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
325 iffalse 4252 . . . . . . . 8 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
326 iffalse 4252 . . . . . . . 8 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
327325, 326oveq12d 6860 . . . . . . 7 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (0 + 0))
328 00id 10465 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
329327, 328syl6eq 2815 . . . . . 6 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
330324, 329pm2.61i 176 . . . . 5 (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0
331330oveq1i 6852 . . . 4 ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = (0 / π)
3325, 8gtneii 10403 . . . . 5 π ≠ 0
33343, 332div0i 11013 . . . 4 (0 / π) = 0
334331, 333eqtri 2787 . . 3 ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0
335334a1i 11 . 2 (𝜑 → ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0)
336188, 322, 3353eqtrd 2803 1 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wss 3732  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  +crp 12028  (,)cioo 12377  [,]cicc 12380   mod cmo 12876  sincsin 15076  cosccos 15077  πcpi 15079  cnccncf 22958  volcvol 23521  𝐿1cibl 23675  citg 23676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-symdif 4005  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679  df-ibl 23680  df-itg 23681  df-0p 23728  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  fouriersw  41085
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