Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqwvfoura Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqwvfoura 45679
Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the 𝐴 coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfoura.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
sqwvfoura.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
sqwvfoura.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
sqwvfoura (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = 0)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem sqwvfoura
StepHypRef Expression
1 pire 26411 . . . . . 6 Ο€ ∈ ℝ
21renegcli 11551 . . . . 5 -Ο€ ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
5 0re 11246 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 44725 . . . . . . 7 -Ο€ < 0
72, 5, 6ltleii 11367 . . . . . 6 -Ο€ ≀ 0
8 pipos 26413 . . . . . . 7 0 < Ο€
95, 1, 8ltleii 11367 . . . . . 6 0 ≀ Ο€
102, 1elicc2i 13422 . . . . . 6 (0 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 0 ∧ 0 ≀ Ο€))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1338 . . . . 5 0 ∈ (-Ο€[,]Ο€)
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
13 1red 11245 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ 1 ∈ ℝ)
1413renegcld 11671 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -1 ∈ ℝ)
1513, 14ifcld 4570 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ)
1615adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ)
17 sqwvfoura.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
1816, 17fmptd 7119 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1918adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
20 elioore 13386 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2120adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2219, 21ffvelcdmd 7090 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
23 sqwvfoura.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2423nn0red 12563 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2625, 21remulcld 11274 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
2726recoscld 16120 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
2822, 27remulcld 11274 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ℝ)
2928recnd 11272 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
30 elioore 13386 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3117fvmpt2 7011 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
3230, 15, 31syl2anc2 583 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
34 sqwvfoura.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 Β· Ο€)
35 2rp 13011 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
36 pirp 26414 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ+
37 rpmulcl 13029 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+
3934, 38eqeltri 2821 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
4130, 40modcld 13872 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) ∈ ℝ)
42 picn 26412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο€ ∈ β„‚
43422timesi 12380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 Β· Ο€) = (Ο€ + Ο€)
4434, 43eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (Ο€ + Ο€)
4544oveq2i 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (-Ο€ + 𝑇) = (-Ο€ + (Ο€ + Ο€))
462recni 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ β„‚
4746, 42, 42addassi 11254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = (-Ο€ + (Ο€ + Ο€))
4842negidi 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ο€ + -Ο€) = 0
4942, 46, 48addcomli 11436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-Ο€ + Ο€) = 0
5049oveq1i 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = (0 + Ο€)
5142addlidi 11432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + Ο€) = Ο€
5250, 51eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = Ο€
5345, 47, 523eqtr2ri 2760 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ = (-Ο€ + 𝑇)
542a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
55 2re 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5655, 1remulcli 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
5734, 56eqeltri 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
592rexri 11302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -Ο€ ∈ ℝ*
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
61 0red 11247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ∈ ℝ)
6261rexrd 11294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ∈ ℝ*)
63 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0))
64 ioogtlb 44943 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ < π‘₯)
6560, 62, 63, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ < π‘₯)
6654, 30, 58, 65ltadd1dd 11855 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (-Ο€ + 𝑇) < (π‘₯ + 𝑇))
6753, 66eqbrtrid 5178 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ < (π‘₯ + 𝑇))
6857recni 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ β„‚
6968mullidi 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 Β· 𝑇) = 𝑇
7069eqcomi 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 Β· 𝑇)
7170oveq2i 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ + 𝑇) = (π‘₯ + (1 Β· 𝑇))
7271oveq1i 7426 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇)
7330, 58readdcld 11273 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
748a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 < Ο€)
7561, 33, 73, 74, 67lttrd 11405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 < (π‘₯ + 𝑇))
7661, 73, 75ltled 11392 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ≀ (π‘₯ + 𝑇))
77 iooltub 44958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘₯ < 0)
7860, 62, 63, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ < 0)
7930, 61, 58, 78ltadd1dd 11855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) < (0 + 𝑇))
8068a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
8180addlidd 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (0 + 𝑇) = 𝑇)
8279, 81breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) < 𝑇)
83 modid 13893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ (π‘₯ + 𝑇) ∧ (π‘₯ + 𝑇) < 𝑇)) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ + 𝑇))
8473, 40, 76, 82, 83syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ + 𝑇))
85 1zzd 12623 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 1 ∈ β„€)
86 modcyc 13903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
8730, 40, 85, 86syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
8872, 84, 873eqtr3a 2789 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
8967, 88breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ < (π‘₯ mod 𝑇))
9033, 41, 89ltnsymd 11393 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Β¬ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
9190iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = -1)
9232, 91eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = -1)
9392oveq1d 7431 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (-1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
9493adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (-1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
9594mpteq2dva 5243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (-1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))))
96 1cnd 11239 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
9796negcld 11588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -1 ∈ β„‚)
9824adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
9930adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
10098, 99remulcld 11274 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
101100recoscld 16120 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
102 ioossicc 13442 . . . . . . . 8 (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]0)
103102a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]0))
104 ioombl 25512 . . . . . . . 8 (-Ο€(,)0) ∈ dom vol
105104a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)0) ∈ dom vol)
10624adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
107 iccssre 13438 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]0) βŠ† ℝ)
1082, 5, 107mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (-Ο€[,]0) βŠ† ℝ
109108sseli 3968 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
110109adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
111106, 110remulcld 11274 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
112111recoscld 16120 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
113 0red 11247 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
114 coscn 26400 . . . . . . . . . 10 cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
116 ax-resscn 11195 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
117108, 116sstri 3982 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€[,]0) βŠ† β„‚
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-Ο€[,]0) βŠ† β„‚)
11924recnd 11272 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
120 ssid 3995 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ βŠ† β„‚
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
122118, 119, 121constcncfg 45323 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
123118, 121idcncfg 45324 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ π‘₯) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
124122, 123mulcncf 25392 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
125115, 124cncfmpt1f 24852 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚))
126 cniccibl 25788 . . . . . . . 8 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((-Ο€[,]0)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
1273, 113, 125, 126syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
128103, 105, 112, 127iblss 25752 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
12997, 101, 128iblmulc2 25778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (-1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
13095, 129eqeltrd 2825 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
131 elioore 13386 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
132131, 15, 31syl2anc2 583 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
13339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
134 0red 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ∈ ℝ)
135134rexrd 11294 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ∈ ℝ*)
1361rexri 11302 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ*
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
138 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€))
139 ioogtlb 44943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 0 < π‘₯)
140135, 137, 138, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < π‘₯)
141134, 131, 140ltled 11392 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ≀ π‘₯)
1421a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
14357a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
144 iooltub 44958 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ π‘₯ < Ο€)
145135, 137, 138, 144syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ < Ο€)
146 2timesgt 44733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
14736, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ < (2 Β· Ο€)
148147, 34breqtrri 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ < 𝑇
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ < 𝑇)
150131, 142, 143, 145, 149lttrd 11405 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ < 𝑇)
151 modid 13893 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑇)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = π‘₯)
152131, 133, 141, 150, 151syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = π‘₯)
153152, 145eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
154153iftrued 4532 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = 1)
155132, 154eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1)
156155oveq1d 7431 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
157156adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) = (1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))))
158157mpteq2dva 5243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))))
15924adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
160131adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
161159, 160remulcld 11274 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
162161recoscld 16120 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
163 ioossicc 13442 . . . . . . . 8 (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€)
164163a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€))
165 ioombl 25512 . . . . . . . 8 (0(,)Ο€) ∈ dom vol
166165a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) ∈ dom vol)
16724adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
168 iccssre 13438 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (0[,]Ο€) βŠ† ℝ)
1695, 1, 168mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (0[,]Ο€) βŠ† ℝ
170169sseli 3968 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
171170adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
172167, 171remulcld 11274 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
173172recoscld 16120 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
174169, 116sstri 3982 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]Ο€) βŠ† β„‚
175174a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0[,]Ο€) βŠ† β„‚)
176175, 119, 121constcncfg 45323 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
177175, 121idcncfg 45324 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ π‘₯) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
178176, 177mulcncf 25392 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
179115, 178cncfmpt1f 24852 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
180 cniccibl 25788 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
181113, 4, 179, 180syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
182164, 166, 173, 181iblss 25752 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) ∈ 𝐿1)
18396, 162, 182iblmulc2 25778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
184158, 183eqeltrd 2825 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
1853, 4, 12, 29, 130, 184itgsplitioo 25785 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯))
186185oveq1d 7431 . 2 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = ((∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) / Ο€))
18794itgeq2dv 25729 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(-Ο€(,)0)(-1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
18897, 101, 128itgmulc2 25781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = ∫(-Ο€(,)0)(-1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
189 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 β†’ (𝑁 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
190 ioosscn 13418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-Ο€(,)0) βŠ† β„‚
191190sseli 3968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
192191mul02d 11442 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
193189, 192sylan9eq 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) = 0)
194193fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) = (cosβ€˜0))
195 cos0 16126 . . . . . . . . . . . 12 (cosβ€˜0) = 1
196194, 195eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) = 1)
197196adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) = 1)
198197itgeq2dv 25729 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = ∫(-Ο€(,)0)1 dπ‘₯)
199 ioovolcl 25517 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(-Ο€(,)0)) ∈ ℝ)
2002, 5, 199mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (volβ€˜(-Ο€(,)0)) ∈ ℝ
201200a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(-Ο€(,)0)) ∈ ℝ)
202 itgconst 25766 . . . . . . . . . . 11 (((-Ο€(,)0) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(-Ο€(,)0)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ∫(-Ο€(,)0)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(-Ο€(,)0))))
203105, 201, 96, 202syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(-Ο€(,)0))))
204203adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(-Ο€(,)0)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(-Ο€(,)0))))
205 volioo 25516 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 0) β†’ (volβ€˜(-Ο€(,)0)) = (0 βˆ’ -Ο€))
2062, 5, 7, 205mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . . 14 (volβ€˜(-Ο€(,)0)) = (0 βˆ’ -Ο€)
207 0cn 11236 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ β„‚
208207, 42subnegi 11569 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 βˆ’ -Ο€) = (0 + Ο€)
209206, 208, 513eqtri 2757 . . . . . . . . . . . . 13 (volβ€˜(-Ο€(,)0)) = Ο€
210209a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(-Ο€(,)0)) = Ο€)
211210oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 Β· (volβ€˜(-Ο€(,)0))) = (1 Β· Ο€))
21242a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
213212mullidd 11262 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 Β· Ο€) = Ο€)
214211, 213eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 Β· (volβ€˜(-Ο€(,)0))) = Ο€)
215214adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (1 Β· (volβ€˜(-Ο€(,)0))) = Ο€)
216198, 204, 2153eqtrd 2769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = Ο€)
217216oveq2d 7432 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = (-1 Β· Ο€))
21842mulm1i 11689 . . . . . . . 8 (-1 Β· Ο€) = -Ο€
219218a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (-1 Β· Ο€) = -Ο€)
220 iftrue 4530 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 β†’ if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) = -Ο€)
221220eqcomd 2731 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 β†’ -Ο€ = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
222221adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ -Ο€ = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
223217, 219, 2223eqtrd 2769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
22424adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
22523nn0ge0d 12565 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑁)
226225adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 ≀ 𝑁)
227 neqne 2938 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑁 = 0 β†’ 𝑁 β‰  0)
228227adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 β‰  0)
229224, 226, 228ne0gt0d 11381 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 < 𝑁)
230 1cnd 11239 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 1 ∈ β„‚)
231230negcld 11588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ -1 ∈ β„‚)
232231mul01d 11443 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (-1 Β· 0) = 0)
233119adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
235 0red 11247 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 ∈ ℝ)
2367a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ -Ο€ ≀ 0)
237 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 < 𝑁)
238237gt0ne0d 11808 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 𝑁 β‰  0)
239233, 234, 235, 236, 238itgcoscmulx 45420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€))) / 𝑁))
240119mul01d 11443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 0) = 0)
241240fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) = (sinβ€˜0))
242 sin0 16125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sinβ€˜0) = 0
243241, 242eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) = 0)
244119, 212mulneg2d 11698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· -Ο€) = -(𝑁 Β· Ο€))
245244fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) = (sinβ€˜-(𝑁 Β· Ο€)))
246119, 212mulcld 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· Ο€) ∈ β„‚)
247 sinneg 16122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 Β· Ο€) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-(𝑁 Β· Ο€)) = -(sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)))
248246, 247syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜-(𝑁 Β· Ο€)) = -(sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)))
249245, 248eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€)) = -(sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)))
250243, 249oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€))) = (0 βˆ’ -(sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€))))
251 0cnd 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
252246sincld 16106 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
253251, 252subnegd 11608 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 βˆ’ -(sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€))) = (0 + (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€))))
254252addlidd 11445 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 + (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€))) = (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)))
255250, 253, 2543eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€))) = (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)))
256255adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€))) = (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)))
257256oveq1d 7431 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (((sinβ€˜(𝑁 Β· 0)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· -Ο€))) / 𝑁) = ((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) / 𝑁))
25823nn0zd 12614 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
259 sinkpi 26474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) = 0)
260258, 259syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) = 0)
261260oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
262261adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
263233, 238div0d 12019 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (0 / 𝑁) = 0)
264262, 263eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) / 𝑁) = 0)
265239, 257, 2643eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = 0)
266265oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = (-1 Β· 0))
267238neneqd 2935 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ Β¬ 𝑁 = 0)
268267iffalsed 4535 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) = 0)
269232, 266, 2683eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
270229, 269syldan 589 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
271223, 270pm2.61dan 811 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (-1 Β· ∫(-Ο€(,)0)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
272187, 188, 2713eqtr2d 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, -Ο€, 0))
273157itgeq2dv 25729 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)(1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
27496, 162, 182itgmulc2 25781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 Β· ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = ∫(0(,)Ο€)(1 Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
275162, 182itgcl 25731 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ ∈ β„‚)
276275mullidd 11262 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 Β· ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯)
277 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑁 = 0)
278277oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
279131recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
280279adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
281280mul02d 11442 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
282278, 281eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) = 0)
283282fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) = (cosβ€˜0))
284283, 195eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) = 1)
285284adantll 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) = 1)
286285itgeq2dv 25729 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)1 dπ‘₯)
287 ioovolcl 25517 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(0(,)Ο€)) ∈ ℝ)
2885, 1, 287mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (volβ€˜(0(,)Ο€)) ∈ ℝ
289 ax-1cn 11196 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
290 itgconst 25766 . . . . . . . . . 10 (((0(,)Ο€) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(0(,)Ο€)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ∫(0(,)Ο€)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€))))
291165, 288, 289, 290mp3an 1457 . . . . . . . . 9 ∫(0(,)Ο€)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€)))
292291a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)Ο€)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€))))
29342mullidi 11249 . . . . . . . . . 10 (1 Β· Ο€) = Ο€
294 volioo 25516 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ Ο€) β†’ (volβ€˜(0(,)Ο€)) = (Ο€ βˆ’ 0))
2955, 1, 9, 294mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . 13 (volβ€˜(0(,)Ο€)) = (Ο€ βˆ’ 0)
29642subid1i 11562 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ βˆ’ 0) = Ο€
297295, 296eqtri 2753 . . . . . . . . . . . 12 (volβ€˜(0(,)Ο€)) = Ο€
298297oveq2i 7427 . . . . . . . . . . 11 (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€))) = (1 Β· Ο€)
299298a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 β†’ (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€))) = (1 Β· Ο€))
300 iftrue 4530 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 β†’ if(𝑁 = 0, Ο€, 0) = Ο€)
301293, 299, 3003eqtr4a 2791 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 β†’ (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€))) = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
302301adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (1 Β· (volβ€˜(0(,)Ο€))) = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
303286, 292, 3023eqtrd 2769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
304260, 243oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0))) = (0 βˆ’ 0))
305251subidd 11589 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 βˆ’ 0) = 0)
306304, 305eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0))) = 0)
307306oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
308307adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
309308, 263eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ (((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0))) / 𝑁) = 0)
3101a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
3119a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 ≀ Ο€)
312233, 235, 310, 311, 238itgcoscmulx 45420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = (((sinβ€˜(𝑁 Β· Ο€)) βˆ’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 0))) / 𝑁))
313267iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ if(𝑁 = 0, Ο€, 0) = 0)
314309, 312, 3133eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
315229, 314syldan 589 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
316303, 315pm2.61dan 811 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
317276, 316eqtrd 2765 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 Β· ∫(0(,)Ο€)(cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯)) dπ‘₯) = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
318273, 274, 3173eqtr2d 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, Ο€, 0))
319272, 318oveq12d 7434 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) = (if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)))
320319oveq1d 7431 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯) / Ο€) = ((if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) / Ο€))
321220, 300oveq12d 7434 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 β†’ (if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) = (-Ο€ + Ο€))
322321, 49eqtrdi 2781 . . . . . 6 (𝑁 = 0 β†’ (if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) = 0)
323 iffalse 4533 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑁 = 0 β†’ if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) = 0)
324 iffalse 4533 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑁 = 0 β†’ if(𝑁 = 0, Ο€, 0) = 0)
325323, 324oveq12d 7434 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑁 = 0 β†’ (if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) = (0 + 0))
326 00id 11419 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
327325, 326eqtrdi 2781 . . . . . 6 (Β¬ 𝑁 = 0 β†’ (if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) = 0)
328322, 327pm2.61i 182 . . . . 5 (if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) = 0
329328oveq1i 7426 . . . 4 ((if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) / Ο€) = (0 / Ο€)
3305, 8gtneii 11356 . . . . 5 Ο€ β‰  0
33142, 330div0i 11978 . . . 4 (0 / Ο€) = 0
332329, 331eqtri 2753 . . 3 ((if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) / Ο€) = 0
333332a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((if(𝑁 = 0, -Ο€, 0) + if(𝑁 = 0, Ο€, 0)) / Ο€) = 0)
334186, 320, 3333eqtrd 2769 1 (πœ‘ β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βŠ† wss 3939  ifcif 4524   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  2c2 12297  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„+crp 13006  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359   mod cmo 13866  sincsin 16039  cosccos 16040  Ο€cpi 16042  β€“cnβ†’ccncf 24814  volcvol 25410  πΏ1cibl 25564  βˆ«citg 25565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-symdif 4237  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567  df-itg2 25568  df-ibl 25569  df-itg 25570  df-0p 25617  df-limc 25813  df-dv 25814
This theorem is referenced by:  fouriersw  45682
  Copyright terms: Public domain W3C validator