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Theorem sqwvfoura 46243
Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the 𝐴 coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfoura.t 𝑇 = (2 · π)
sqwvfoura.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfoura.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sqwvfoura (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem sqwvfoura
StepHypRef Expression
1 pire 26500 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 11570 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 0re 11263 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 45292 . . . . . . 7 -π < 0
72, 5, 6ltleii 11384 . . . . . 6 -π ≤ 0
8 pipos 26502 . . . . . . 7 0 < π
95, 1, 8ltleii 11384 . . . . . 6 0 ≤ π
102, 1elicc2i 13453 . . . . . 6 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1342 . . . . 5 0 ∈ (-π[,]π)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13 1red 11262 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
1413renegcld 11690 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
1513, 14ifcld 4572 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
17 sqwvfoura.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1816, 17fmptd 7134 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20 elioore 13417 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2219, 21ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
23 sqwvfoura.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2423nn0red 12588 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2625, 21remulcld 11291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
2726recoscld 16180 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
2822, 27remulcld 11291 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℝ)
2928recnd 11289 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
30 elioore 13417 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3117fvmpt2 7027 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
3230, 15, 31syl2anc2 585 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
34 sqwvfoura.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 · π)
35 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
36 pirp 26503 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
37 rpmulcl 13058 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℝ+
3934, 38eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
4130, 40modcld 13915 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42 picn 26501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℂ
43422timesi 12404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) = (π + π)
4434, 43eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (π + π)
4544oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
462recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℂ
4746, 42, 42addassi 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
4842negidi 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + -π) = 0
4942, 46, 48addcomli 11453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π + π) = 0
5049oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = (0 + π)
5142addlidi 11449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + π) = π
5250, 51eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π + π) + π) = π
5345, 47, 523eqtr2ri 2772 . . . . . . . . . . . . 13 π = (-π + 𝑇)
542a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
55 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5655, 1remulcli 11277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℝ
5734, 56eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
592rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℝ*
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
61 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
6261rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ*)
63 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
64 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
6560, 62, 63, 64syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
6654, 30, 58, 65ltadd1dd 11874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
6753, 66eqbrtrid 5178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
6857recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ ℂ
6968mullidi 11266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝑇) = 𝑇
7069eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 · 𝑇)
7170oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
7271oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
7330, 58readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
748a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
7561, 33, 73, 74, 67lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
7661, 73, 75ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
77 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
7860, 62, 63, 77syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
7930, 61, 58, 78ltadd1dd 11874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
8068a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
8180addlidd 11462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
8279, 81breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
83 modid 13936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
8473, 40, 76, 82, 83syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
85 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
86 modcyc 13946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8730, 40, 85, 86syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8872, 84, 873eqtr3a 2801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8967, 88breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
9033, 41, 89ltnsymd 11410 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
9190iffalsed 4536 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
9232, 91eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = -1)
9392oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
9493adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
9594mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
96 1cnd 11256 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9796negcld 11607 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
9824adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9930adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10098, 99remulcld 11291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101100recoscld 16180 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102 ioossicc 13473 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
103102a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
104 ioombl 25600 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ∈ dom vol
105104a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
10624adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107 iccssre 13469 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
1082, 5, 107mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]0) ⊆ ℝ
109108sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111106, 110remulcld 11291 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112111recoscld 16180 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113 0red 11264 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114 coscn 26489 . . . . . . . . . 10 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
117108, 116sstri 3993 . . . . . . . . . . . 12 (-π[,]0) ⊆ ℂ
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
11924recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
120 ssid 4006 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
122118, 119, 121constcncfg 45887 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
123118, 121idcncfg 45888 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124122, 123mulcncf 25480 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125115, 124cncfmpt1f 24940 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
126 cniccibl 25876 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
1273, 113, 125, 126syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
128103, 105, 112, 127iblss 25840 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
12997, 101, 128iblmulc2 25866 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
13095, 129eqeltrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
131 elioore 13417 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
132131, 15, 31syl2anc2 585 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
13339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
134 0red 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
135134rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ*)
1361rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ*
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
138 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
139 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
140135, 137, 138, 139syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
141134, 131, 140ltled 11409 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
1421a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
14357a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
144 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
145135, 137, 138, 144syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
146 2timesgt 45300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
14736, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < (2 · π)
148147, 34breqtrri 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 π < 𝑇
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
150131, 142, 143, 145, 149lttrd 11422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
151 modid 13936 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
152131, 133, 141, 150, 151syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
153152, 145eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
154153iftrued 4533 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
155132, 154eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = 1)
156155oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
157156adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
158157mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
15924adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
160131adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
161159, 160remulcld 11291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
162161recoscld 16180 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
163 ioossicc 13473 . . . . . . . 8 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
164163a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
165 ioombl 25600 . . . . . . . 8 (0(,)π) ∈ dom vol
166165a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
16724adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
168 iccssre 13469 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1695, 1, 168mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℝ
170169sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
171170adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
172167, 171remulcld 11291 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
173172recoscld 16180 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
174169, 116sstri 3993 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℂ
175174a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
176175, 119, 121constcncfg 45887 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
177175, 121idcncfg 45888 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178176, 177mulcncf 25480 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179115, 178cncfmpt1f 24940 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180 cniccibl 25876 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
181113, 4, 179, 180syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
182164, 166, 173, 181iblss 25840 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
18396, 162, 182iblmulc2 25866 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
184158, 183eqeltrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
1853, 4, 12, 29, 130, 184itgsplitioo 25873 . . 3 (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186185oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
18794itgeq2dv 25817 . . . . 5 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
18897, 101, 128itgmulc2 25869 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
189 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
190 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π(,)0) ⊆ ℂ
191190sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
192191mul02d 11459 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 · 𝑥) = 0)
193189, 192sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
194193fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
195 cos0 16186 . . . . . . . . . . . 12 (cos‘0) = 1
196194, 195eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
197196adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
198197itgeq2dv 25817 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)1 d𝑥)
199 ioovolcl 25605 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
2002, 5, 199mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ
201200a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
202 itgconst 25854 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)0) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
203105, 201, 96, 202syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
204203adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
205 volioo 25604 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0) → (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π))
2062, 5, 7, 205mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π)
207 0cn 11253 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
208207, 42subnegi 11588 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − -π) = (0 + π)
209206, 208, 513eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(-π(,)0)) = π
210209a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) = π)
211210oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = (1 · π))
21242a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℂ)
213212mullidd 11279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · π) = π)
214211, 213eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
215214adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
216198, 204, 2153eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = π)
217216oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · π))
21842mulm1i 11708 . . . . . . . 8 (-1 · π) = -π
219218a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · π) = -π)
220 iftrue 4531 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = -π)
221220eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
222221adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
223217, 219, 2223eqtrd 2781 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
22424adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
22523nn0ge0d 12590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
226225adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
227 neqne 2948 . . . . . . . . 9 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
228227adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
229224, 226, 228ne0gt0d 11398 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 < 𝑁)
230 1cnd 11256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
231230negcld 11607 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -1 ∈ ℂ)
232231mul01d 11460 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · 0) = 0)
233119adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
2342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ∈ ℝ)
235 0red 11264 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
2367a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ≤ 0)
237 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
238237gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
239233, 234, 235, 236, 238itgcoscmulx 45984 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁))
240119mul01d 11460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
241240fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = (sin‘0))
242 sin0 16185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘0) = 0
243241, 242eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = 0)
244119, 212mulneg2d 11717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · -π) = -(𝑁 · π))
245244fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = (sin‘-(𝑁 · π)))
246119, 212mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · π) ∈ ℂ)
247 sinneg 16182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 · π) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
248246, 247syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
249245, 248eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
250243, 249oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (0 − -(sin‘(𝑁 · π))))
251 0cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
252246sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) ∈ ℂ)
253251, 252subnegd 11627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − -(sin‘(𝑁 · π))) = (0 + (sin‘(𝑁 · π))))
254252addlidd 11462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + (sin‘(𝑁 · π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
255250, 253, 2543eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
256255adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
257256oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁) = ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁))
25823nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
259 sinkpi 26564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
260258, 259syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
261260oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
262261adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
263233, 238div0d 12042 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
264262, 263eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = 0)
265239, 257, 2643eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = 0)
266265oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · 0))
267238neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
268267iffalsed 4536 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
269232, 266, 2683eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
270229, 269syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
271223, 270pm2.61dan 813 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
272187, 188, 2713eqtr2d 2783 . . . 4 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, -π, 0))
273157itgeq2dv 25817 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
27496, 162, 182itgmulc2 25869 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
275162, 182itgcl 25819 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
276275mullidd 11279 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
277 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 = 0)
278277oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
279131recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
280279adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
281280mul02d 11459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (0 · 𝑥) = 0)
282278, 281eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
283282fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
284283, 195eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
285284adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
286285itgeq2dv 25817 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥)
287 ioovolcl 25605 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ)
2885, 1, 287mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
289 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
290 itgconst 25854 . . . . . . . . . 10 (((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
291165, 288, 289, 290mp3an 1463 . . . . . . . . 9 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π)))
292291a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
29342mullidi 11266 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
294 volioo 25604 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) → (vol‘(0(,)π)) = (π − 0))
2955, 1, 9, 294mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(0(,)π)) = (π − 0)
29642subid1i 11581 . . . . . . . . . . . . 13 (π − 0) = π
297295, 296eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(0(,)π)) = π
298297oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π)
299298a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π))
300 iftrue 4531 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = π)
301293, 299, 3003eqtr4a 2803 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
302301adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
303286, 292, 3023eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
304260, 243oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = (0 − 0))
305251subidd 11608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − 0) = 0)
306304, 305eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = 0)
307306oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
308307adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
309308, 263eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = 0)
3101a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → π ∈ ℝ)
3119a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ≤ π)
312233, 235, 310, 311, 238itgcoscmulx 45984 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
313267iffalsed 4536 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
314309, 312, 3133eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
315229, 314syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
316303, 315pm2.61dan 813 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
317276, 316eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, π, 0))
318273, 274, 3173eqtr2d 2783 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
319272, 318oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)))
320319oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π))
321220, 300oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (-π + π))
322321, 49eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
323 iffalse 4534 . . . . . . . 8 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
324 iffalse 4534 . . . . . . . 8 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
325323, 324oveq12d 7449 . . . . . . 7 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (0 + 0))
326 00id 11436 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
327325, 326eqtrdi 2793 . . . . . 6 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
328322, 327pm2.61i 182 . . . . 5 (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0
329328oveq1i 7441 . . . 4 ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = (0 / π)
3305, 8gtneii 11373 . . . . 5 π ≠ 0
33142, 330div0i 12001 . . . 4 (0 / π) = 0
332329, 331eqtri 2765 . . 3 ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0
333332a1i 11 . 2 (𝜑 → ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0)
334186, 320, 3333eqtrd 2781 1 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390   mod cmo 13909  sincsin 16099  cosccos 16100  πcpi 16102  cnccncf 24902  volcvol 25498  𝐿1cibl 25652  citg 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902
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