sqwvfoura - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sqwvfoura 47346

Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the 𝐴 coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sqwvfoura.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
sqwvfoura.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfoura.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)

**Assertion**
Ref	Expression
sqwvfoura	⊢ (𝜑 → (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑁 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝑇(𝑥) 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem sqwvfoura**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26792	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11626	. . . . 5 ⊢ -π ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
4	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
5		0re 11317	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		negpilt0 46405	. . . . . . 7 ⊢ -π < 0
7	2, 5, 6	ltleii 11440	. . . . . 6 ⊢ -π ≤ 0
8		pipos 26796	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
9	5, 1, 8	ltleii 11440	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
10	2, 1	elicc2i 13550	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ( -π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
11	5, 7, 9, 10	mpbir3an 1360	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ( -π[,]π)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ( -π[,]π))
13		1red 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
14	13	renegcld 11750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
15	13, 14	ifcld 4528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
16	15	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
17		sqwvfoura.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
18	16, 17	fmptd 7119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20		elioore 13513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	19, 21	ffvelcdmd 7090	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
23		sqwvfoura.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
24	23	nn0red 12675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
26	25, 21	remulcld 11346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
27	26	recoscld 16321	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
28	22, 27	remulcld 11346	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11344	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
30		elioore 13513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	17	fvmpt2 7010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
32	30, 15, 31	syl2anc2 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
33	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → π ∈ ℝ)
34		sqwvfoura.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
35		2rp 13132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36		pirp 26799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ⁺
37		rpmulcl 13152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ π ∈ ℝ⁺) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
38	35, 36, 37	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ⁺
39	34, 38	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ⁺
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
41	30, 40	modcld 14022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42		picn 26794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℂ
43	42	2timesi 12487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) = (π + π)
44	34, 43	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (π + π)
45	44	oveq2i 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( -π + 𝑇) = ( -π + (π + π))
46	2	recni 11330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℂ
47	46, 42, 42	addassi 11326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( -π + π) + π) = ( -π + (π + π))
48	42	negidi 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π + -π) = 0
49	42, 46, 48	addcomli 11509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -π + π) = 0
50	49	oveq1i 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( -π + π) + π) = (0 + π)
51	42	addlidi 11505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + π) = π
52	50, 51	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( -π + π) + π) = π
53	45, 47, 52	3eqtr2ri 2790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π = ( -π + 𝑇)
54	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → -π ∈ ℝ)
55		2re 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
56	55, 1	remulcli 11332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
57	34, 56	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
59	2	rexri 11374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -π ∈ ℝ^*
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → -π ∈ ℝ^*)
61		0red 11318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 0 ∈ ℝ^*)
63		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 𝑥 ∈ ( -π(,)0))
64		ioogtlb 46615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( -π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)0)) → -π < 𝑥)
65	60, 62, 63, 64	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → -π < 𝑥)
66	54, 30, 58, 65	ltadd1dd 11934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → ( -π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
67	53, 66	eqbrtrid 5139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
68	57	recni 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 𝑇) = 𝑇
70	69	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (1 · 𝑇)
71	70	oveq2i 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
72	71	oveq1i 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
73	30, 58	readdcld 11345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
74	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 0 < π)
75	61, 33, 73, 74, 67	lttrd 11478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
76	61, 73, 75	ltled 11465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
77		iooltub 46630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (( -π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)0)) → 𝑥 < 0)
78	60, 62, 63, 77	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 𝑥 < 0)
79	30, 61, 58, 78	ltadd1dd 11934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
80	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
81	80	addlidd 11518	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
82	79, 81	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
83		modid 14043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ⁺) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
84	73, 40, 76, 82, 83	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
85		1zzd 12734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
86		modcyc 14053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
87	30, 40, 85, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
88	72, 84, 87	3eqtr3a 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
89	67, 88	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
90	33, 41, 89	ltnsymd 11466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
91	90	iffalsed 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
92	32, 91	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → (𝐹‘𝑥) = -1)
93	92	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = ( -1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
94	93	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = ( -1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
95	94	mpteq2dva 5197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ( -π(,)0) ↦ ( -1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
96		1cnd 11309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
97	96	negcld 11663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
98	24	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
99	30	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
100	98, 99	remulcld 11346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101	100	recoscld 16321	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102		ioossicc 13571	. . . . . . . 8 ⊢ ( -π(,)0) ⊆ ( -π[,]0)
103	102	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -π(,)0) ⊆ ( -π[,]0))
104		ioombl 25895	. . . . . . . 8 ⊢ ( -π(,)0) ∈ dom vol
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -π(,)0) ∈ dom vol)
106	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107		iccssre 13567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ( -π[,]0) ⊆ ℝ)
108	2, 5, 107	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -π[,]0) ⊆ ℝ
109	108	sseli 3905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110	109	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111	106, 110	remulcld 11346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112	111	recoscld 16321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113		0red 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114		coscn 26781	. . . . . . . . . 10 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116		ax-resscn 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
117	108, 116	sstri 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -π[,]0) ⊆ ℂ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( -π[,]0) ⊆ ℂ)
119	24	recnd 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
120		ssid 3931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
122	118, 119, 121	constcncfg 46990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ (( -π[,]0)–cn→ℂ))
123	118, 121	idcncfg 46991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ (( -π[,]0)–cn→ℂ))
124	122, 123	mulcncf 25776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (( -π[,]0)–cn→ℂ))
125	115, 124	cncfmpt1f 25244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ (( -π[,]0)–cn→ℂ))
126		cniccibl 26170	. . . . . . . 8 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ( -π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ (( -π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ ( -π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
127	3, 113, 125, 126	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
128	103, 105, 112, 127	iblss 26134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π(,)0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
129	97, 101, 128	iblmulc2 26160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π(,)0) ↦ ( -1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
130	95, 129	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
131		elioore 13513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
132	131, 15, 31	syl2anc2 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
133	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
134		0red 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
135	134	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ^*)
136	1	rexri 11374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ^*
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ^*)
138		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
139		ioogtlb 46615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
140	135, 137, 138, 139	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
141	134, 131, 140	ltled 11465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
142	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
143	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
144		iooltub 46630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
145	135, 137, 138, 144	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
146		2timesgt 46412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π ∈ ℝ⁺ → π < (2 · π))
147	36, 146	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π < (2 · π)
148	147, 34	breqtrri 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π < 𝑇
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
150	131, 142, 143, 145, 149	lttrd 11478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
151		modid 14043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ⁺) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
152	131, 133, 141, 150, 151	syl22anc 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
153	152, 145	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
154	153	iftrued 4489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
155	132, 154	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = 1)
156	155	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
157	156	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
158	157	mpteq2dva 5197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
159	24	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
160	131	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
161	159, 160	remulcld 11346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
162	161	recoscld 16321	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
163		ioossicc 13571	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
164	163	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
165		ioombl 25895	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,)π) ∈ dom vol
166	165	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
167	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
168		iccssre 13567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
169	5, 1, 168	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
170	169	sseli 3905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
171	170	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
172	167, 171	remulcld 11346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
173	172	recoscld 16321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
174	169, 116	sstri 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
176	175, 119, 121	constcncfg 46990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
177	175, 121	idcncfg 46991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178	176, 177	mulcncf 25776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179	115, 178	cncfmpt1f 25244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180		cniccibl 26170	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
181	113, 4, 179, 180	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
182	164, 166, 173, 181	iblss 26134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
183	96, 162, 182	iblmulc2 26160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
184	158, 183	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
185	3, 4, 12, 29, 130, 184	itgsplitioo 26167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫( -π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186	185	oveq1d 7439	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫( -π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
187	94	itgeq2dv 26111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫( -π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫( -π(,)0)( -1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
188	97, 101, 128	itgmulc2 26163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -1 · ∫( -π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫( -π(,)0)( -1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
189		oveq1 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
190		ioosscn 13546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -π(,)0) ⊆ ℂ
191	190	sseli 3905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
192	191	mul02d 11515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π(,)0) → (0 · 𝑥) = 0)
193	189, 192	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
194	193	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
195		cos0 16327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (cos‘0) = 1
196	194, 195	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
197	196	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
198	197	itgeq2dv 26111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫( -π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫( -π(,)0)1 d𝑥)
199		ioovolcl 25900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (vol‘( -π(,)0)) ∈ ℝ)
200	2, 5, 199	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘( -π(,)0)) ∈ ℝ
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (vol‘( -π(,)0)) ∈ ℝ)
202		itgconst 26148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( -π(,)0) ∈ dom vol ∧ (vol‘( -π(,)0)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫( -π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘( -π(,)0))))
203	105, 201, 96, 202	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫( -π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘( -π(,)0))))
204	203	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫( -π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘( -π(,)0))))
205		volioo 25899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0) → (vol‘( -π(,)0)) = (0 − -π))
206	2, 5, 7, 205	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (vol‘( -π(,)0)) = (0 − -π)
207		0cn 11305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℂ
208	207, 42	subnegi 11644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − -π) = (0 + π)
209	206, 208, 51	3eqtri 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (vol‘( -π(,)0)) = π
210	209	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (vol‘( -π(,)0)) = π)
211	210	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · (vol‘( -π(,)0))) = (1 · π))
212	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
213	212	mullidd 11334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · π) = π)
214	211, 213	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · (vol‘( -π(,)0))) = π)
215	214	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (1 · (vol‘( -π(,)0))) = π)
216	198, 204, 215	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫( -π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = π)
217	216	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ( -1 · ∫( -π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ( -1 · π))
218	42	mulm1i 11768	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 · π) = -π
219	218	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ( -1 · π) = -π)
220		iftrue 4487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = -π)
221	220	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
222	221	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
223	217, 219, 222	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ( -1 · ∫( -π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
224	24	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
225	23	nn0ge0d 12677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
226	225	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
227		neqne 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
228	227	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
229	224, 226, 228	ne0gt0d 11454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 < 𝑁)
230		1cnd 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
231	230	negcld 11663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -1 ∈ ℂ)
232	231	mul01d 11516	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ( -1 · 0) = 0)
233	119	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
234	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ∈ ℝ)
235		0red 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
236	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ≤ 0)
237		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
238	237	gt0ne0d 11887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
239	233, 234, 235, 236, 238	itgcoscmulx 47087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫( -π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁))
240	119	mul01d 11516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
241	240	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = (sin‘0))
242		sin0 16326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘0) = 0
243	241, 242	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = 0)
244	119, 212	mulneg2d 11777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · -π) = -(𝑁 · π))
245	244	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = (sin‘ -(𝑁 · π)))
246	119, 212	mulcld 11336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · π) ∈ ℂ)
247		sinneg 16323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 · π) ∈ ℂ → (sin‘ -(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
248	246, 247	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘ -(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
249	245, 248	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
250	243, 249	oveq12d 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (0 − -(sin‘(𝑁 · π))))
251		0cnd 11306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
252	246	sincld 16307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) ∈ ℂ)
253	251, 252	subnegd 11683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 − -(sin‘(𝑁 · π))) = (0 + (sin‘(𝑁 · π))))
254	252	addlidd 11518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 + (sin‘(𝑁 · π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
255	250, 253, 254	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
256	255	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
257	256	oveq1d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁) = ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁))
258	23	nn0zd 12725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
259		sinkpi 26859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
260	258, 259	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
261	260	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
262	261	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
263	233, 238	div0d 12099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
264	262, 263	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = 0)
265	239, 257, 264	3eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫( -π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = 0)
266	265	oveq2d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ( -1 · ∫( -π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ( -1 · 0))
267	238	neneqd 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
268	267	iffalsed 4492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
269	232, 266, 268	3eqtr4d 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ( -1 · ∫( -π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
270	229, 269	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ( -1 · ∫( -π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
271	223, 270	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -1 · ∫( -π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
272	187, 188, 271	3eqtr2d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫( -π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, -π, 0))
273	157	itgeq2dv 26111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
274	96, 162, 182	itgmulc2 26163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
275	162, 182	itgcl 26113	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
276	275	mullidd 11334	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
277		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 = 0)
278	277	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
279	131	recnd 11344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
280	279	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
281	280	mul02d 11515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (0 · 𝑥) = 0)
282	278, 281	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
283	282	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
284	283, 195	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
285	284	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
286	285	itgeq2dv 26111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥)
287		ioovolcl 25900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ)
288	5, 1, 287	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
289		ax-1cn 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
290		itgconst 26148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
291	165, 288, 289, 290	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π)))
292	291	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
293	42	mullidi 11321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
294		volioo 25899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) → (vol‘(0(,)π)) = (π − 0))
295	5, 1, 9, 294	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (vol‘(0(,)π)) = (π − 0)
296	42	subid1i 11637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π − 0) = π
297	295, 296	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘(0(,)π)) = π
298	297	oveq2i 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π)
299	298	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π))
300		iftrue 4487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = π)
301	293, 299, 300	3eqtr4a 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
302	301	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
303	286, 292, 302	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
304	260, 243	oveq12d 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = (0 − 0))
305	251	subidd 11664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 − 0) = 0)
306	304, 305	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = 0)
307	306	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
308	307	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
309	308, 263	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = 0)
310	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → π ∈ ℝ)
311	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ≤ π)
312	233, 235, 310, 311, 238	itgcoscmulx 47087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
313	267	iffalsed 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
314	309, 312, 313	3eqtr4d 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
315	229, 314	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
316	303, 315	pm2.61dan 825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
317	276, 316	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, π, 0))
318	273, 274, 317	3eqtr2d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
319	272, 318	oveq12d 7442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫( -π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)))
320	319	oveq1d 7439	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫( -π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π))
321	220, 300	oveq12d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = ( -π + π))
322	321, 49	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
323		iffalse 4490	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
324		iffalse 4490	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
325	323, 324	oveq12d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (0 + 0))
326		00id 11492	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
327	325, 326	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
328	322, 327	pm2.61i 184	. . . . 5 ⊢ (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0
329	328	oveq1i 7434	. . . 4 ⊢ ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = (0 / π)
330	5, 8	gtneii 11429	. . . . 5 ⊢ π ≠ 0
331	42, 330	div0i 12058	. . . 4 ⊢ (0 / π) = 0
332	329, 331	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0
333	332	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0)
334	186, 320, 333	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 401 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2955 ⊆ wss 3896 ifcif 4481 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5185 dom cdm 5651 ⟶wf 6539 ‘cfv 6543 (class class class)co 7424 ℂcc 11205 ℝcr 11206 0cc0 11207 1c1 11208 + caddc 11210 · cmul 11212 ℝ^*cxr 11349 < clt 11350 ≤ cle 11351 − cmin 11548 -cneg 11549 / cdiv 11980 2c2 12404 ℕ₀cn0 12613 ℤcz 12700 ℝ⁺crp 13127 (,)cioo 13483 [,]cicc 13486 mod cmo 14016 sincsin 16238 cosccos 16239 πcpi 16241 –cn→ccncf 25206 volcvol 25793 𝐿¹cibl 25947 ∫citg 25948

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-rep 5231 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7755 ax-inf2 9649 ax-cc 10520 ax-cnex 11263 ax-resscn 11264 ax-1cn 11265 ax-icn 11266 ax-addcl 11267 ax-addrcl 11268 ax-mulcl 11269 ax-mulrcl 11270 ax-mulcom 11271 ax-addass 11272 ax-mulass 11273 ax-distr 11274 ax-i2m1 11275 ax-1ne0 11276 ax-1rid 11277 ax-rnegex 11278 ax-rrecex 11279 ax-cnre 11280 ax-pre-lttri 11281 ax-pre-lttrn 11282 ax-pre-ltadd 11283 ax-pre-mulgt0 11284 ax-pre-sup 11285 ax-addf 11286

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-ss 3897 df-pss 4013 df-dif 4046 df-in 4090 df-un 4150 df-symdif 4197 df-nul 4278 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4835 df-uni 4867 df-int 4907 df-iun 4952 df-iin 4953 df-disj 5070 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6307 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6497 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7381 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-of 7697 df-ofr 7698 df-om 7882 df-1st 8005 df-2nd 8006 df-supp 8184 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8386 df-rdg 8425 df-1o 8483 df-2o 8484 df-oadd 8487 df-omul 8488 df-er 8724 df-map 8856 df-pm 8857 df-ixp 8933 df-en 8981 df-dom 8982 df-sdom 8983 df-fin 8984 df-fsupp 9361 df-fi 9410 df-sup 9441 df-inf 9442 df-oi 9511 df-dju 9989 df-card 10027 df-acn 10030 df-pnf 11352 df-mnf 11353 df-xr 11354 df-ltxr 11355 df-le 11356 df-sub 11550 df-neg 11551 df-div 11981 df-nn 12343 df-2 12412 df-3 12413 df-4 12414 df-5 12415 df-6 12416 df-7 12417 df-8 12418 df-9 12419 df-n0 12614 df-z 12701 df-dec 12822 df-uz 12973 df-q 13083 df-rp 13128 df-xneg 13248 df-xadd 13249 df-xmul 13250 df-ioo 13487 df-ioc 13488 df-ico 13489 df-icc 13490 df-fz 13647 df-fzo 13796 df-fl 13939 df-mod 14017 df-seq 14152 df-exp 14212 df-fac 14425 df-bc 14454 df-hash 14482 df-shft 15229 df-cj 15275 df-re 15276 df-im 15277 df-sqrt 15411 df-abs 15412 df-limsup 15647 df-clim 15664 df-rlim 15665 df-sum 15863 df-ef 16242 df-sin 16244 df-cos 16245 df-pi 16247 df-struct 17334 df-sets 17351 df-slot 17369 df-ndx 17381 df-base 17397 df-ress 17418 df-plusg 17450 df-mulr 17451 df-starv 17452 df-sca 17453 df-vsca 17454 df-ip 17455 df-tset 17456 df-ple 17457 df-ds 17459 df-unif 17460 df-hom 17461 df-cco 17462 df-rest 17602 df-topn 17603 df-0g 17621 df-gsum 17622 df-topgen 17623 df-pt 17624 df-prds 17627 df-xrs 17683 df-qtop 17688 df-imas 17689 df-xps 17691 df-mre 17765 df-mrc 17766 df-acs 17768 df-mgm 18825 df-sgrp 18917 df-mnd 18933 df-submnd 18988 df-mulg 19287 df-cntz 19540 df-cmn 20005 df-psmet 21679 df-xmet 21680 df-met 21681 df-bl 21682 df-mopn 21683 df-fbas 21684 df-fg 21685 df-cnfld 21688 df-top 23221 df-topon 23238 df-topsp 23260 df-bases 23273 df-cld 23346 df-ntr 23347 df-cls 23348 df-nei 23425 df-lp 23463 df-perf 23464 df-cn 23554 df-cnp 23555 df-haus 23642 df-cmp 23714 df-tx 23890 df-hmeo 24083 df-fil 24174 df-fm 24266 df-flim 24267 df-flf 24268 df-xms 24648 df-ms 24649 df-tms 24650 df-cncf 25208 df-ovol 25794 df-vol 25795 df-mbf 25949 df-itg1 25950 df-itg2 25951 df-ibl 25952 df-itg 25953 df-0p 26000 df-limc 26195 df-dv 26196

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