Theorem sqwvfoura 47000

Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the 𝐴 coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqwvfoura.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
sqwvfoura.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfoura.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sqwvfoura	⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem sqwvfoura

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26670	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11534	. . . . 5 ⊢ -π ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
4	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
5		0re 11225	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		negpilt0 46058	. . . . . . 7 ⊢ -π < 0
7	2, 5, 6	ltleii 11348	. . . . . 6 ⊢ -π ≤ 0
8		pipos 26674	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
9	5, 1, 8	ltleii 11348	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
10	2, 1	elicc2i 13455	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
11	5, 7, 9, 10	mpbir3an 1360	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (-π[,]π)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13		1red 11224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
14	13	renegcld 11656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
15	13, 14	ifcld 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
16	15	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
17		sqwvfoura.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
18	16, 17	fmptd 7113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20		elioore 13418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	19, 21	ffvelcdmd 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
23		sqwvfoura.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24	23	nn0red 12581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
26	25, 21	remulcld 11254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
27	26	recoscld 16222	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
28	22, 27	remulcld 11254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
30		elioore 13418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	17	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
32	30, 15, 31	syl2anc2 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
33	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
34		sqwvfoura.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
35		2rp 13037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
36		pirp 26677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ+
37		rpmulcl 13057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
38	35, 36, 37	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
39	34, 38	eqeltri 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ+
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
41	30, 40	modcld 13926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42		picn 26672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℂ
43	42	2timesi 12393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) = (π + π)
44	34, 43	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (π + π)
45	44	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
46	2	recni 11238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℂ
47	46, 42, 42	addassi 11234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
48	42	negidi 11542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π + -π) = 0
49	42, 46, 48	addcomli 11417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-π + π) = 0
50	49	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π + π) + π) = (0 + π)
51	42	addlidi 11413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + π) = π
52	50, 51	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π + π) + π) = π
53	45, 47, 52	3eqtr2ri 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π = (-π + 𝑇)
54	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
55		2re 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
56	55, 1	remulcli 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
57	34, 56	eqeltri 2861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
59	2	rexri 11282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -π ∈ ℝ*
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
61		0red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ*)
63		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
64		ioogtlb 46269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
65	60, 62, 63, 64	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
66	54, 30, 58, 65	ltadd1dd 11840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
67	53, 66	eqbrtrid 5148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
68	57	recni 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 𝑇) = 𝑇
70	69	eqcomi 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (1 · 𝑇)
71	70	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
72	71	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
73	30, 58	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
74	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
75	61, 33, 73, 74, 67	lttrd 11386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
76	61, 73, 75	ltled 11373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
77		iooltub 46284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
78	60, 62, 63, 77	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
79	30, 61, 58, 78	ltadd1dd 11840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
80	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
81	80	addlidd 11426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
82	79, 81	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
83		modid 13947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
84	73, 40, 76, 82, 83	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
85		1zzd 12640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
86		modcyc 13957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
87	30, 40, 85, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
88	72, 84, 87	3eqtr3a 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
89	67, 88	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
90	33, 41, 89	ltnsymd 11374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
91	90	iffalsed 4500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
92	32, 91	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹‘𝑥) = -1)
93	92	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
94	93	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
95	94	mpteq2dva 5206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
96		1cnd 11217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
97	96	negcld 11571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
98	24	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
99	30	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
100	98, 99	remulcld 11254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101	100	recoscld 16222	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102		ioossicc 13476	. . . . . . . 8 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
103	102	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
104		ioombl 25775	. . . . . . . 8 ⊢ (-π(,)0) ∈ dom vol
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
106	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107		iccssre 13472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
108	2, 5, 107	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π[,]0) ⊆ ℝ
109	108	sseli 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110	109	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111	106, 110	remulcld 11254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112	111	recoscld 16222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113		0red 11226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114		coscn 26659	. . . . . . . . . 10 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116		ax-resscn 11172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
117	108, 116	sstri 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π[,]0) ⊆ ℂ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
119	24	recnd 11252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
120		ssid 3960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
122	118, 119, 121	constcncfg 46644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
123	118, 121	idcncfg 46645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124	122, 123	mulcncf 25656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125	115, 124	cncfmpt1f 25124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
126		cniccibl 26051	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
127	3, 113, 125, 126	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
128	103, 105, 112, 127	iblss 26015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
129	97, 101, 128	iblmulc2 26041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
130	95, 129	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
131		elioore 13418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
132	131, 15, 31	syl2anc2 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
133	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
134		0red 11226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
135	134	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ*)
136	1	rexri 11282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ*
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
138		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
139		ioogtlb 46269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
140	135, 137, 138, 139	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
141	134, 131, 140	ltled 11373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
142	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
143	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
144		iooltub 46284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
145	135, 137, 138, 144	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
146		2timesgt 46065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
147	36, 146	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π < (2 · π)
148	147, 34	breqtrri 5140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π < 𝑇
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
150	131, 142, 143, 145, 149	lttrd 11386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
151		modid 13947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
152	131, 133, 141, 150, 151	syl22anc 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
153	152, 145	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
154	153	iftrued 4497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
155	132, 154	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = 1)
156	155	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
157	156	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
158	157	mpteq2dva 5206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
159	24	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
160	131	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
161	159, 160	remulcld 11254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
162	161	recoscld 16222	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
163		ioossicc 13476	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
164	163	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
165		ioombl 25775	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,)π) ∈ dom vol
166	165	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
167	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
168		iccssre 13472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
169	5, 1, 168	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
170	169	sseli 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
171	170	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
172	167, 171	remulcld 11254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
173	172	recoscld 16222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
174	169, 116	sstri 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
176	175, 119, 121	constcncfg 46644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
177	175, 121	idcncfg 46645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178	176, 177	mulcncf 25656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179	115, 178	cncfmpt1f 25124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180		cniccibl 26051	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
181	113, 4, 179, 180	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
182	164, 166, 173, 181	iblss 26015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
183	96, 162, 182	iblmulc2 26041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
184	158, 183	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
185	3, 4, 12, 29, 130, 184	itgsplitioo 26048	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186	185	oveq1d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
187	94	itgeq2dv 25992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
188	97, 101, 128	itgmulc2 26044	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
189		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
190		ioosscn 13451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-π(,)0) ⊆ ℂ
191	190	sseli 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
192	191	mul02d 11423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 · 𝑥) = 0)
193	189, 192	sylan9eq 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
194	193	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
195		cos0 16228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (cos‘0) = 1
196	194, 195	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
197	196	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
198	197	itgeq2dv 25992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)1 d𝑥)
199		ioovolcl 25780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
200	2, 5, 199	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
202		itgconst 26029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-π(,)0) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
203	105, 201, 96, 202	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
204	203	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
205		volioo 25779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0) → (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π))
206	2, 5, 7, 205	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π)
207		0cn 11213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℂ
208	207, 42	subnegi 11552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − -π) = (0 + π)
209	206, 208, 51	3eqtri 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (vol‘(-π(,)0)) = π
210	209	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) = π)
211	210	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = (1 · π))
212	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
213	212	mullidd 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · π) = π)
214	211, 213	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
215	214	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
216	198, 204, 215	3eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = π)
217	216	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · π))
218	42	mulm1i 11674	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 · π) = -π
219	218	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (-1 · π) = -π)
220		iftrue 4495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = -π)
221	220	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
222	221	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
223	217, 219, 222	3eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
224	24	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
225	23	nn0ge0d 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
226	225	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
227		neqne 2968	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
228	227	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
229	224, 226, 228	ne0gt0d 11362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 < 𝑁)
230		1cnd 11217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
231	230	negcld 11571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -1 ∈ ℂ)
232	231	mul01d 11424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · 0) = 0)
233	119	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
234	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ∈ ℝ)
235		0red 11226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
236	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ≤ 0)
237		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
238	237	gt0ne0d 11793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
239	233, 234, 235, 236, 238	itgcoscmulx 46741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁))
240	119	mul01d 11424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
241	240	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = (sin‘0))
242		sin0 16227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘0) = 0
243	241, 242	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = 0)
244	119, 212	mulneg2d 11683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · -π) = -(𝑁 · π))
245	244	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = (sin‘-(𝑁 · π)))
246	119, 212	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · π) ∈ ℂ)
247		sinneg 16224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 · π) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
248	246, 247	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
249	245, 248	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
250	243, 249	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (0 − -(sin‘(𝑁 · π))))
251		0cnd 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
252	246	sincld 16208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) ∈ ℂ)
253	251, 252	subnegd 11591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 − -(sin‘(𝑁 · π))) = (0 + (sin‘(𝑁 · π))))
254	252	addlidd 11426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 + (sin‘(𝑁 · π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
255	250, 253, 254	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
256	255	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
257	256	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁) = ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁))
258	23	nn0zd 12631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
259		sinkpi 26738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
260	258, 259	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
261	260	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
262	261	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
263	233, 238	div0d 12005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
264	262, 263	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = 0)
265	239, 257, 264	3eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = 0)
266	265	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · 0))
267	238	neneqd 2965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
268	267	iffalsed 4500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
269	232, 266, 268	3eqtr4d 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
270	229, 269	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
271	223, 270	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
272	187, 188, 271	3eqtr2d 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, -π, 0))
273	157	itgeq2dv 25992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
274	96, 162, 182	itgmulc2 26044	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
275	162, 182	itgcl 25994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
276	275	mullidd 11242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
277		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 = 0)
278	277	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
279	131	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
280	279	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
281	280	mul02d 11423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (0 · 𝑥) = 0)
282	278, 281	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
283	282	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
284	283, 195	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
285	284	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
286	285	itgeq2dv 25992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥)
287		ioovolcl 25780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ)
288	5, 1, 287	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
289		ax-1cn 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
290		itgconst 26029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
291	165, 288, 289, 290	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π)))
292	291	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
293	42	mullidi 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
294		volioo 25779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) → (vol‘(0(,)π)) = (π − 0))
295	5, 1, 9, 294	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (vol‘(0(,)π)) = (π − 0)
296	42	subid1i 11545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π − 0) = π
297	295, 296	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘(0(,)π)) = π
298	297	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π)
299	298	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π))
300		iftrue 4495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = π)
301	293, 299, 300	3eqtr4a 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
302	301	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
303	286, 292, 302	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
304	260, 243	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = (0 − 0))
305	251	subidd 11572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 − 0) = 0)
306	304, 305	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = 0)
307	306	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
308	307	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
309	308, 263	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = 0)
310	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → π ∈ ℝ)
311	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ≤ π)
312	233, 235, 310, 311, 238	itgcoscmulx 46741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
313	267	iffalsed 4500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
314	309, 312, 313	3eqtr4d 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
315	229, 314	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
316	303, 315	pm2.61dan 825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
317	276, 316	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, π, 0))
318	273, 274, 317	3eqtr2d 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
319	272, 318	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)))
320	319	oveq1d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π))
321	220, 300	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (-π + π))
322	321, 49	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
323		iffalse 4498	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
324		iffalse 4498	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
325	323, 324	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (0 + 0))
326		00id 11400	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
327	325, 326	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
328	322, 327	pm2.61i 184	. . . . 5 ⊢ (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0
329	328	oveq1i 7429	. . . 4 ⊢ ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = (0 / π)
330	5, 8	gtneii 11337	. . . . 5 ⊢ π ≠ 0
331	42, 330	div0i 11964	. . . 4 ⊢ (0 / π) = 0
332	329, 331	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0
333	332	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0)
334	186, 320, 333	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3906  ifcif 4489   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258   ≤ cle 11259   − cmin 11456  -cneg 11457   / cdiv 11886  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13388  [,]cicc 13391   mod cmo 13920  sincsin 16139  cosccos 16140  πcpi 16142  –cn→ccncf 25086  volcvol 25673  𝐿¹cibl 25827  ∫citg 25828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-bc 14357  df-hash 14385  df-shft 15128  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-ef 16143  df-sin 16145  df-cos 16146  df-pi 16148  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-lp 23343  df-perf 23344  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-cmp 23594  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cncf 25088  df-ovol 25674  df-vol 25675  df-mbf 25829  df-itg1 25830  df-itg2 25831  df-ibl 25832  df-itg 25833  df-0p 25880  df-limc 26076  df-dv 26077

This theorem is used by:  fouriersw  47003