Theorem fvmptnn04ifd 22740

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the forth case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉)
7		0red 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2	nnred 12201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
9	2	nngt0d 12235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑆)
10	7, 8, 9	ltnsymd 11323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
12		breq2 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁 ↔ 𝑆 < 0))
13	12	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
15	11, 14	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
16	15	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
17	16	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
18	17	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
20	4	nn0red 12504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
21		ltnsym 11272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑆))
22	8, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑆))
23	22	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
24	23	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
25	24	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵))
26	25	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
27	26	3imp 1110	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
28	20, 8	lttri3d 11314	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑆 ↔ (¬ 𝑁 < 𝑆 ∧ ¬ 𝑆 < 𝑁)))
29	28	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
30	29	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
31	30	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
32	31	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
33	32	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
34		eqidd 2730	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
35	1, 3, 5, 6, 19, 27, 33, 34	fvmptnn04if 22736	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⦋csb 3862  ifcif 4488   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  ℝcr 11067  0cc0 11068   < clt 11208  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443

This theorem is referenced by: (None)