Theorem fvmptnn04ifd 22809

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the forth case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉)
7		0red 11147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2	nnred 12172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
9	2	nngt0d 12206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑆)
10	7, 8, 9	ltnsymd 11294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
12		breq2 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁 ↔ 𝑆 < 0))
13	12	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
15	11, 14	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
16	15	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
17	16	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
18	17	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
20	4	nn0red 12475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
21		ltnsym 11243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑆))
22	8, 20, 21	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑆))
23	22	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
24	23	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
25	24	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵))
26	25	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
27	26	3imp 1111	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
28	20, 8	lttri3d 11285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑆 ↔ (¬ 𝑁 < 𝑆 ∧ ¬ 𝑆 < 𝑁)))
29	28	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
30	29	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
31	30	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
32	31	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
33	32	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
34		eqidd 2738	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
35	1, 3, 5, 6, 19, 27, 33, 34	fvmptnn04if 22805	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3851  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414

This theorem is referenced by: (None)