MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptnn04ifd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptnn04ifd 20868
Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the forth case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptnn04if.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
fvmptnn04ifd ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐷)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifd
StepHypRef Expression
1 fvmptnn04if.g . 2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2 fvmptnn04if.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
323ad2ant1 1156 . 2 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4 fvmptnn04if.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
543ad2ant1 1156 . 2 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 simp3 1161 . 2 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → 𝑁 / 𝑛𝐷𝑉)
7 0red 10324 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
82nnred 11316 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
92nngt0d 11346 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑆)
107, 8, 9ltnsymd 10467 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
1110adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
12 breq2 4848 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁𝑆 < 0))
1312notbid 309 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
1413adantl 469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
1511, 14mpbird 248 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
1615pm2.21d 119 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
1716impancom 441 . . . 4 ((𝜑𝑆 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → 𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
18173adant3 1155 . . 3 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → (𝑁 = 0 → 𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
1918imp 395 . 2 (((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐴)
204nn0red 11614 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
21 ltnsym 10416 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑆))
228, 20, 21syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑆))
2322imp 395 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 < 𝑁) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
24233adant3 1155 . . . . 5 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
2524pm2.21d 119 . . . 4 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐵))
2625a1d 25 . . 3 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐵)))
27263imp 1130 . 2 (((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) ∧ 0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐵)
2820, 8lttri3d 10458 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 = 𝑆 ↔ (¬ 𝑁 < 𝑆 ∧ ¬ 𝑆 < 𝑁)))
2928simplbda 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
3029pm2.21d 119 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑆) → (𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
3130impancom 441 . . . 4 ((𝜑𝑆 < 𝑁) → (𝑁 = 𝑆𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
32313adant3 1155 . . 3 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → (𝑁 = 𝑆𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
3332imp 395 . 2 (((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐶)
34 eqidd 2807 . 2 (((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐷)
351, 3, 5, 6, 19, 27, 33, 34fvmptnn04if 20864 1 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  csb 3728  ifcif 4279   class class class wbr 4844  cmpt 4923  cfv 6097  cr 10216  0cc0 10217   < clt 10355  cn 11301  0cn0 11555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-n0 11556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator