Theorem fvmptnn04ifd 22738

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the forth case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉)
7		0red 11118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2	nnred 12143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
9	2	nngt0d 12177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑆)
10	7, 8, 9	ltnsymd 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
12		breq2 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁 ↔ 𝑆 < 0))
13	12	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
15	11, 14	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
16	15	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
17	16	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
18	17	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
20	4	nn0red 12446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
21		ltnsym 11214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑆))
22	8, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑆))
23	22	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
24	23	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
25	24	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵))
26	25	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
27	26	3imp 1110	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
28	20, 8	lttri3d 11256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑆 ↔ (¬ 𝑁 < 𝑆 ∧ ¬ 𝑆 < 𝑁)))
29	28	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
30	29	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
31	30	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
32	31	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
33	32	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
34		eqidd 2730	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
35	1, 3, 5, 6, 19, 27, 33, 34	fvmptnn04if 22734	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⦋csb 3851  ifcif 4476   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  ℝcr 11008  0cc0 11009   < clt 11149  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385

This theorem is referenced by: (None)