Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptnn04ifd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptnn04ifd 21149
 Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the forth case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptnn04if.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
fvmptnn04ifd ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐷)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifd
StepHypRef Expression
1 fvmptnn04if.g . 2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2 fvmptnn04if.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
323ad2ant1 1126 . 2 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4 fvmptnn04if.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
543ad2ant1 1126 . 2 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 simp3 1131 . 2 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → 𝑁 / 𝑛𝐷𝑉)
7 0red 10497 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
82nnred 11507 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
92nngt0d 11540 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑆)
107, 8, 9ltnsymd 10642 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
12 breq2 4972 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁𝑆 < 0))
1312notbid 319 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
1511, 14mpbird 258 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
1615pm2.21d 121 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
1716impancom 452 . . . 4 ((𝜑𝑆 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → 𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
18173adant3 1125 . . 3 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → (𝑁 = 0 → 𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
1918imp 407 . 2 (((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐴)
204nn0red 11810 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
21 ltnsym 10591 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑆))
228, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑆))
2322imp 407 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 < 𝑁) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
24233adant3 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
2524pm2.21d 121 . . . 4 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐵))
2625a1d 25 . . 3 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐵)))
27263imp 1104 . 2 (((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) ∧ 0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐵)
2820, 8lttri3d 10633 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 = 𝑆 ↔ (¬ 𝑁 < 𝑆 ∧ ¬ 𝑆 < 𝑁)))
2928simplbda 500 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
3029pm2.21d 121 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑆) → (𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
3130impancom 452 . . . 4 ((𝜑𝑆 < 𝑁) → (𝑁 = 𝑆𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
32313adant3 1125 . . 3 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → (𝑁 = 𝑆𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
3332imp 407 . 2 (((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐶)
34 eqidd 2798 . 2 (((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 / 𝑛𝐷 = 𝑁 / 𝑛𝐷)
351, 3, 5, 6, 19, 27, 33, 34fvmptnn04if 21145 1 ((𝜑𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐷𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ⦋csb 3817  ifcif 4387   class class class wbr 4968   ↦ cmpt 5047  ‘cfv 6232  ℝcr 10389  0cc0 10390   < clt 10528  ℕcn 11492  ℕ0cn0 11751 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator