Theorem fvmptnn04ifd 22836

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the forth case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1139	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1139	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1144	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉)
7		0red 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2	nnred 12180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
9	2	nngt0d 12217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑆)
10	7, 8, 9	ltnsymd 11286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
12		breq2 5076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁 ↔ 𝑆 < 0))
13	12	notbid 319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
14	13	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
15	11, 14	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
16	15	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
17	16	impancom 452	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
18	17	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	imp 407	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
20	4	nn0red 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
21		ltnsym 11235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑆))
22	8, 20, 21	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑆))
23	22	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
24	23	3adant3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
25	24	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵))
26	25	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
27	26	3imp 1116	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
28	20, 8	lttri3d 11277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑆 ↔ (¬ 𝑁 < 𝑆 ∧ ¬ 𝑆 < 𝑁)))
29	28	simplbda 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
30	29	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
31	30	impancom 452	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
32	31	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
33	32	imp 407	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
34		eqidd 2740	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
35	1, 3, 5, 6, 19, 27, 33, 34	fvmptnn04if 22832	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⦋csb 3831  ifcif 4454   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429

This theorem is referenced by: (None)