MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem1 27662
Description: Lemma for ostth2 27681, although it is just a simple statement about exponentials which does not involve any specifics of ostth2 27681. If a power is upper bounded by a linear term, the exponent must be less than one. Or in big-O notation, 𝑛𝑜(𝐴𝑛) for any 1 < 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ostth2lem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ostth2lem1.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ostth2lem1.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem1 (𝜑𝐴 ≤ 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem ostth2lem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12340 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
2 ostth2lem1.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 remulcl 11240 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
51, 3, 4sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
6 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
7 1re 11261 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 ostth2lem1.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 difrp 13073 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
117, 9, 10sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
126, 11mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ+)
135, 12rerpdivcld 13108 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
14 expnbnd 14271 . . . 4 ((((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴𝑘))
1513, 9, 6, 14syl3anc 1373 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴𝑘))
16 nnnn0 12533 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 reexpcl 14119 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
189, 16, 17syl2an 596 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
1913adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
2012rpred 13077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
22 nnre 12273 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
2421, 23remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
2524, 18remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
268ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27 2nn 12339 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
29 nnmulcl 12290 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
3027, 28, 29sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
3130nnnn0d 12587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
3226, 31reexpcld 14203 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
3330nnred 12281 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
342ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3533, 34remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · 𝐵) ∈ ℝ)
36 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
377a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
38 0lt1 11785 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
4036, 37, 9, 39, 6lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
419, 40elrpd 13074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
42 nnz 12634 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
43 rpexpcl 14121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
4441, 42, 43syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
45 peano2re 11434 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
4624, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
4724ltp1d 12198 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1))
4816adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4941adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
5049rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
51 bernneq2 14269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴𝑘))
5226, 48, 50, 51syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴𝑘))
5324, 46, 18, 47, 52ltletrd 11421 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (𝐴𝑘))
5424, 18, 44, 53ltmul1dd 13132 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)) < ((𝐴𝑘) · (𝐴𝑘)))
5523recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
56552timesd 12509 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
5756oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)))
5826recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5958, 48, 48expaddd 14188 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝐴𝑘)))
6057, 59eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝐴𝑘)))
6154, 60breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)) < (𝐴↑(2 · 𝑘)))
62 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝐴𝑛) = (𝐴↑(2 · 𝑘)))
63 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝑛 · 𝐵) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
6462, 63breq12d 5156 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (2 · 𝑘) → ((𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵) ↔ (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵)))
65 ostth2lem1.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
6665ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
6766ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
6864, 67, 30rspcdva 3623 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵))
6925, 32, 35, 61, 68ltletrd 11421 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)) < ((2 · 𝑘) · 𝐵))
7021recnd 11289 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
7118recnd 11289 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
7270, 71, 55mul32d 11471 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) · 𝑘) = (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)))
73 2cnd 12344 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
7434recnd 11289 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7573, 74, 55mul32d 11471 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) · 𝑘) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
7669, 72, 753brtr4d 5175 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘))
7721, 18remulcld 11291 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
785adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
79 nngt0 12297 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
8079adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
81 ltmul1 12117 . . . . . . . 8 ((((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
8277, 78, 23, 80, 81syl112anc 1376 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
8376, 82mpbird 257 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵))
8412rpgt0d 13080 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 1))
8584adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 − 1))
86 ltmuldiv2 12142 . . . . . . 7 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 1))) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
8718, 78, 21, 85, 86syl112anc 1376 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
8883, 87mpbid 232 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)))
8918, 19, 88ltnsymd 11410 . . . 4 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴𝑘))
9089nrexdv 3149 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴𝑘))
9115, 90pm2.65da 817 . 2 (𝜑 → ¬ 1 < 𝐴)
92 lenlt 11339 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
938, 7, 92sylancl 586 . 2 (𝜑 → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
9491, 93mpbird 257 1 (𝜑𝐴 ≤ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  ostth2lem4  27680
  Copyright terms: Public domain W3C validator