MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem1 27110
Description: Lemma for ostth2 27129, although it is just a simple statement about exponentials which does not involve any specifics of ostth2 27129. If a power is upper bounded by a linear term, the exponent must be less than one. Or in big-O notation, ๐‘› โˆˆ ๐‘œ(๐ดโ†‘๐‘›) for any 1 < ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ostth2lem1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
ostth2lem1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
ostth2lem1.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โ‰ค (๐‘› ยท ๐ต))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐ต,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›

Proof of Theorem ostth2lem1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12282 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
2 ostth2lem1.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
32adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4 remulcl 11191 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
51, 3, 4sylancr 587 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
6 simpr 485 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 1 < ๐ด)
7 1re 11210 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
8 ostth2lem1.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 difrp 13008 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ๐ด โ†” (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
117, 9, 10sylancr 587 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐ด โ†” (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
126, 11mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
135, 12rerpdivcld 13043 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ต) / (๐ด โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
14 expnbnd 14191 . . . 4 ((((2 ยท ๐ต) / (๐ด โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐ต) / (๐ด โˆ’ 1)) < (๐ดโ†‘๐‘˜))
1513, 9, 6, 14syl3anc 1371 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐ต) / (๐ด โˆ’ 1)) < (๐ดโ†‘๐‘˜))
16 nnnn0 12475 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
17 reexpcl 14040 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
189, 16, 17syl2an 596 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
1913adantr 481 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐ต) / (๐ด โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
2012rpred 13012 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
22 nnre 12215 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
2421, 23remulcld 11240 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
2524, 18remulcld 11240 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
268ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
27 2nn 12281 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•
28 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
29 nnmulcl 12232 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3027, 28, 29sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3130nnnn0d 12528 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
3226, 31reexpcld 14124 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘˜)) โˆˆ โ„)
3330nnred 12223 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
342ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3533, 34remulcld 11240 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
36 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
377a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
38 0lt1 11732 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < 1)
4036, 37, 9, 39, 6lttrd 11371 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
419, 40elrpd 13009 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
42 nnz 12575 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
43 rpexpcl 14042 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
4441, 42, 43syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
45 peano2re 11383 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
4624, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
4724ltp1d 12140 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) < (((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1))
4816adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
4941adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
5049rpge0d 13016 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
51 bernneq2 14189 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
5226, 48, 50, 51syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
5324, 46, 18, 47, 52ltletrd 11370 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) < (๐ดโ†‘๐‘˜))
5424, 18, 44, 53ltmul1dd 13067 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
5523recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
56552timesd 12451 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (๐‘˜ + ๐‘˜))
5756oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘˜)) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + ๐‘˜)))
5826recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5958, 48, 48expaddd 14109 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
6057, 59eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
6154, 60breqtrrd 5175 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) < (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘˜)))
62 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (2 ยท ๐‘˜) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) = (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘˜)))
63 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (2 ยท ๐‘˜) โ†’ (๐‘› ยท ๐ต) = ((2 ยท ๐‘˜) ยท ๐ต))
6462, 63breq12d 5160 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (2 ยท ๐‘˜) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) โ‰ค (๐‘› ยท ๐ต) โ†” (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) ยท ๐ต)))
65 ostth2lem1.3 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โ‰ค (๐‘› ยท ๐ต))
6665ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐ดโ†‘๐‘›) โ‰ค (๐‘› ยท ๐ต))
6766ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐ดโ†‘๐‘›) โ‰ค (๐‘› ยท ๐ต))
6864, 67, 30rspcdva 3613 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) ยท ๐ต))
6925, 32, 35, 61, 68ltletrd 11370 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) < ((2 ยท ๐‘˜) ยท ๐ต))
7021recnd 11238 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7118recnd 11238 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7270, 71, 55mul32d 11420 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท ๐‘˜) = (((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
73 2cnd 12286 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7434recnd 11238 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7573, 74, 55mul32d 11420 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐ต) ยท ๐‘˜) = ((2 ยท ๐‘˜) ยท ๐ต))
7669, 72, 753brtr4d 5179 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท ๐‘˜) < ((2 ยท ๐ต) ยท ๐‘˜))
7721, 18remulcld 11240 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
785adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
79 nngt0 12239 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘˜)
8079adantl 482 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘˜)
81 ltmul1 12060 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜)) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) < (2 ยท ๐ต) โ†” (((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท ๐‘˜) < ((2 ยท ๐ต) ยท ๐‘˜)))
8277, 78, 23, 80, 81syl112anc 1374 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) < (2 ยท ๐ต) โ†” (((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท ๐‘˜) < ((2 ยท ๐ต) ยท ๐‘˜)))
8376, 82mpbird 256 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) < (2 ยท ๐ต))
8412rpgt0d 13015 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ด โˆ’ 1))
8584adantr 481 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐ด โˆ’ 1))
86 ltmuldiv2 12084 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) < (2 ยท ๐ต) โ†” (๐ดโ†‘๐‘˜) < ((2 ยท ๐ต) / (๐ด โˆ’ 1))))
8718, 78, 21, 85, 86syl112anc 1374 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) < (2 ยท ๐ต) โ†” (๐ดโ†‘๐‘˜) < ((2 ยท ๐ต) / (๐ด โˆ’ 1))))
8883, 87mpbid 231 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) < ((2 ยท ๐ต) / (๐ด โˆ’ 1)))
8918, 19, 88ltnsymd 11359 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ((2 ยท ๐ต) / (๐ด โˆ’ 1)) < (๐ดโ†‘๐‘˜))
9089nrexdv 3149 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐ต) / (๐ด โˆ’ 1)) < (๐ดโ†‘๐‘˜))
9115, 90pm2.65da 815 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 1 < ๐ด)
92 lenlt 11288 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค 1 โ†” ยฌ 1 < ๐ด))
938, 7, 92sylancl 586 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค 1 โ†” ยฌ 1 < ๐ด))
9491, 93mpbird 256 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„+crp 12970  โ†‘cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by:  ostth2lem4  27128
  Copyright terms: Public domain W3C validator