| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | 2re 12340 | . . . . . 6
⊢ 2 ∈
ℝ | 
| 2 |  | ostth2lem1.2 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 3 | 2 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 4 |  | remulcl 11240 | . . . . . 6
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 𝐵
∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 5 | 1, 3, 4 | sylancr 587 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 6 |  | simpr 484 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴) | 
| 7 |  | 1re 11261 | . . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℝ | 
| 8 |  | ostth2lem1.1 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 9 | 8 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 10 |  | difrp 13073 | . . . . . . 7
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝐴
∈ ℝ) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈
ℝ+)) | 
| 11 | 7, 9, 10 | sylancr 587 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈
ℝ+)) | 
| 12 | 6, 11 | mpbid 232 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈
ℝ+) | 
| 13 | 5, 12 | rerpdivcld 13108 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈
ℝ) | 
| 14 |  | expnbnd 14271 | . . . 4
⊢ ((((2
· 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ
∧ 𝐴 ∈ ℝ
∧ 1 < 𝐴) →
∃𝑘 ∈ ℕ ((2
· 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘)) | 
| 15 | 13, 9, 6, 14 | syl3anc 1373 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘)) | 
| 16 |  | nnnn0 12533 | . . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℕ0) | 
| 17 |  | reexpcl 14119 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑘) ∈
ℝ) | 
| 18 | 9, 16, 17 | syl2an 596 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ) | 
| 19 | 13 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈
ℝ) | 
| 20 | 12 | rpred 13077 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ) | 
| 21 | 20 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ) | 
| 22 |  | nnre 12273 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℝ) | 
| 23 | 22 | adantl 481 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ) | 
| 24 | 21, 23 | remulcld 11291 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ) | 
| 25 | 24, 18 | remulcld 11291 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ) | 
| 26 | 8 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 27 |  | 2nn 12339 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ∈
ℕ | 
| 28 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ) | 
| 29 |  | nnmulcl 12290 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝑘
∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ) | 
| 30 | 27, 28, 29 | sylancr 587 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈
ℕ) | 
| 31 | 30 | nnnn0d 12587 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈
ℕ0) | 
| 32 | 26, 31 | reexpcld 14203 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ∈ ℝ) | 
| 33 | 30 | nnred 12281 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈
ℝ) | 
| 34 | 2 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 35 | 33, 34 | remulcld 11291 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 36 |  | 0red 11264 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ) | 
| 37 | 7 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ) | 
| 38 |  | 0lt1 11785 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 <
1 | 
| 39 | 38 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1) | 
| 40 | 36, 37, 9, 39, 6 | lttrd 11422 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴) | 
| 41 | 9, 40 | elrpd 13074 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈
ℝ+) | 
| 42 |  | nnz 12634 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℤ) | 
| 43 |  | rpexpcl 14121 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝑘 ∈ ℤ)
→ (𝐴↑𝑘) ∈
ℝ+) | 
| 44 | 41, 42, 43 | syl2an 596 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈
ℝ+) | 
| 45 |  | peano2re 11434 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈
ℝ) | 
| 46 | 24, 45 | syl 17 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ) | 
| 47 | 24 | ltp1d 12198 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1)) | 
| 48 | 16 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0) | 
| 49 | 41 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈
ℝ+) | 
| 50 | 49 | rpge0d 13081 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴) | 
| 51 |  | bernneq2 14269 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0
∧ 0 ≤ 𝐴) →
(((𝐴 − 1) ·
𝑘) + 1) ≤ (𝐴↑𝑘)) | 
| 52 | 26, 48, 50, 51 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴↑𝑘)) | 
| 53 | 24, 46, 18, 47, 52 | ltletrd 11421 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (𝐴↑𝑘)) | 
| 54 | 24, 18, 44, 53 | ltmul1dd 13132 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) | 
| 55 | 23 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ) | 
| 56 | 55 | 2timesd 12509 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘)) | 
| 57 | 56 | oveq2d 7447 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = (𝐴↑(𝑘 + 𝑘))) | 
| 58 | 26 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 59 | 58, 48, 48 | expaddd 14188 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) | 
| 60 | 57, 59 | eqtrd 2777 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) | 
| 61 | 54, 60 | breqtrrd 5171 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < (𝐴↑(2 · 𝑘))) | 
| 62 |  | oveq2 7439 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(2 · 𝑘))) | 
| 63 |  | oveq1 7438 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝑛 · 𝐵) = ((2 · 𝑘) · 𝐵)) | 
| 64 | 62, 63 | breq12d 5156 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → ((𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵) ↔ (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵))) | 
| 65 |  | ostth2lem1.3 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵)) | 
| 66 | 65 | ralrimiva 3146 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵)) | 
| 67 | 66 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵)) | 
| 68 | 64, 67, 30 | rspcdva 3623 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵)) | 
| 69 | 25, 32, 35, 61, 68 | ltletrd 11421 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < ((2 · 𝑘) · 𝐵)) | 
| 70 | 21 | recnd 11289 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ) | 
| 71 | 18 | recnd 11289 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) | 
| 72 | 70, 71, 55 | mul32d 11471 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) = (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘))) | 
| 73 |  | 2cnd 12344 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈
ℂ) | 
| 74 | 34 | recnd 11289 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 75 | 73, 74, 55 | mul32d 11471 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) · 𝑘) = ((2 · 𝑘) · 𝐵)) | 
| 76 | 69, 72, 75 | 3brtr4d 5175 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)) | 
| 77 | 21, 18 | remulcld 11291 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ) | 
| 78 | 5 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐵) ∈
ℝ) | 
| 79 |  | nngt0 12297 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 <
𝑘) | 
| 80 | 79 | adantl 481 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘) | 
| 81 |  | ltmul1 12117 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝑘)) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘))) | 
| 82 | 77, 78, 23, 80, 81 | syl112anc 1376 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘))) | 
| 83 | 76, 82 | mpbird 257 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵)) | 
| 84 | 12 | rpgt0d 13080 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 1)) | 
| 85 | 84 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 − 1)) | 
| 86 |  | ltmuldiv2 12142 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧
0 < (𝐴 − 1)))
→ (((𝐴 − 1)
· (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)))) | 
| 87 | 18, 78, 21, 85, 86 | syl112anc 1376 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)))) | 
| 88 | 83, 87 | mpbid 232 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))) | 
| 89 | 18, 19, 88 | ltnsymd 11410 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ ((2 ·
𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘)) | 
| 90 | 89 | nrexdv 3149 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘)) | 
| 91 | 15, 90 | pm2.65da 817 | . 2
⊢ (𝜑 → ¬ 1 < 𝐴) | 
| 92 |  | lenlt 11339 | . . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ) → (𝐴 ≤ 1
↔ ¬ 1 < 𝐴)) | 
| 93 | 8, 7, 92 | sylancl 586 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴)) | 
| 94 | 91, 93 | mpbird 257 | 1
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1) |