Theorem ostth2lem1 27581

Description: Lemma for ostth2 27600, although it is just a simple statement about exponentials which does not involve any specifics of ostth2 27600. If a power is upper bounded by a linear term, the exponent must be less than one. Or in big-O notation, 𝑛 ∈ 𝑜(𝐴↑𝑛) for any 1 < 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ostth2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ostth2lem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ostth2lem1.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ostth2lem1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem ostth2lem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12255	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		ostth2lem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		remulcl 11123	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 3, 4	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
7		1re 11144	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		ostth2lem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		difrp 12982	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
11	7, 9, 10	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
12	6, 11	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ+)
13	5, 12	rerpdivcld 13017	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
14		expnbnd 14194	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
15	13, 9, 6, 14	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
16		nnnn0 12444	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
17		reexpcl 14040	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
18	9, 16, 17	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
19	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
20	12	rpred 12986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
22		nnre 12181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
24	21, 23	remulcld 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
25	24, 18	remulcld 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ)
26	8	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		2nn 12254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
29		nnmulcl 12198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
30	27, 28, 29	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
31	30	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
32	26, 31	reexpcld 14125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
33	30	nnred 12189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
34	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	33, 34	remulcld 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · 𝐵) ∈ ℝ)
36		0red 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
37	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
38		0lt1 11672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
40	36, 37, 9, 39, 6	lttrd 11307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
41	9, 40	elrpd 12983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
42		nnz 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
43		rpexpcl 14042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
44	41, 42, 43	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
45		peano2re 11319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
46	24, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
47	24	ltp1d 12086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1))
48	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
50	49	rpge0d 12990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
51		bernneq2 14192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴↑𝑘))
52	26, 48, 50, 51	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴↑𝑘))
53	24, 46, 18, 47, 52	ltletrd 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (𝐴↑𝑘))
54	24, 18, 44, 53	ltmul1dd 13041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
55	23	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
56	55	2timesd 12420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
57	56	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)))
58	26	recnd 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	58, 48, 48	expaddd 14110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
60	57, 59	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
61	54, 60	breqtrrd 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < (𝐴↑(2 · 𝑘)))
62		oveq2 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(2 · 𝑘)))
63		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝑛 · 𝐵) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
64	62, 63	breq12d 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → ((𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵) ↔ (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵)))
65		ostth2lem1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
66	65	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
67	66	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
68	64, 67, 30	rspcdva 3565	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵))
69	25, 32, 35, 61, 68	ltletrd 11306	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < ((2 · 𝑘) · 𝐵))
70	21	recnd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
71	18	recnd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
72	70, 71, 55	mul32d 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) = (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
73		2cnd 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
74	34	recnd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
75	73, 74, 55	mul32d 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) · 𝑘) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
76	69, 72, 75	3brtr4d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘))
77	21, 18	remulcld 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ)
78	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
79		nngt0 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
80	79	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
81		ltmul1 12005	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
82	77, 78, 23, 80, 81	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
83	76, 82	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵))
84	12	rpgt0d 12989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 1))
85	84	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 − 1))
86		ltmuldiv2 12030	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 1))) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
87	18, 78, 21, 85, 86	syl112anc 1377	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
88	83, 87	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)))
89	18, 19, 88	ltnsymd 11295	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
90	89	nrexdv 3132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
91	15, 90	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 < 𝐴)
92		lenlt 11224	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
93	8, 7, 92	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
94	91, 93	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℝ⁺crp 12942  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  ostth2lem4  27599