Theorem ostth2lem1 27677

Description: Lemma for ostth2 27696, although it is just a simple statement about exponentials which does not involve any specifics of ostth2 27696. If a power is upper bounded by a linear term, the exponent must be less than one. Or in big-O notation, 𝑛 ∈ 𝑜(𝐴↑𝑛) for any 1 < 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ostth2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ostth2lem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ostth2lem1.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ostth2lem1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem ostth2lem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12338	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		ostth2lem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		remulcl 11238	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 3, 4	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
7		1re 11259	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		ostth2lem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		difrp 13071	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
11	7, 9, 10	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
12	6, 11	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ+)
13	5, 12	rerpdivcld 13106	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
14		expnbnd 14268	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
15	13, 9, 6, 14	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
16		nnnn0 12531	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
17		reexpcl 14116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
18	9, 16, 17	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
19	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
20	12	rpred 13075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
22		nnre 12271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
24	21, 23	remulcld 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
25	24, 18	remulcld 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ)
26	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		2nn 12337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
29		nnmulcl 12288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
30	27, 28, 29	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
31	30	nnnn0d 12585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
32	26, 31	reexpcld 14200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
33	30	nnred 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
34	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	33, 34	remulcld 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · 𝐵) ∈ ℝ)
36		0red 11262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
37	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
38		0lt1 11783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
40	36, 37, 9, 39, 6	lttrd 11420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
41	9, 40	elrpd 13072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
42		nnz 12632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
43		rpexpcl 14118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
44	41, 42, 43	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
45		peano2re 11432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
46	24, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
47	24	ltp1d 12196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1))
48	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
50	49	rpge0d 13079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
51		bernneq2 14266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴↑𝑘))
52	26, 48, 50, 51	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴↑𝑘))
53	24, 46, 18, 47, 52	ltletrd 11419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (𝐴↑𝑘))
54	24, 18, 44, 53	ltmul1dd 13130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
55	23	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
56	55	2timesd 12507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
57	56	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)))
58	26	recnd 11287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	58, 48, 48	expaddd 14185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
60	57, 59	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
61	54, 60	breqtrrd 5176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < (𝐴↑(2 · 𝑘)))
62		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(2 · 𝑘)))
63		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝑛 · 𝐵) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
64	62, 63	breq12d 5161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → ((𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵) ↔ (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵)))
65		ostth2lem1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
66	65	ralrimiva 3144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
67	66	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
68	64, 67, 30	rspcdva 3623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵))
69	25, 32, 35, 61, 68	ltletrd 11419	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < ((2 · 𝑘) · 𝐵))
70	21	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
71	18	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
72	70, 71, 55	mul32d 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) = (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
73		2cnd 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
74	34	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
75	73, 74, 55	mul32d 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) · 𝑘) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
76	69, 72, 75	3brtr4d 5180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘))
77	21, 18	remulcld 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ)
78	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
79		nngt0 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
80	79	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
81		ltmul1 12115	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
82	77, 78, 23, 80, 81	syl112anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
83	76, 82	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵))
84	12	rpgt0d 13078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 1))
85	84	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 − 1))
86		ltmuldiv2 12140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 1))) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
87	18, 78, 21, 85, 86	syl112anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
88	83, 87	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)))
89	18, 19, 88	ltnsymd 11408	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
90	89	nrexdv 3147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
91	15, 90	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 < 𝐴)
92		lenlt 11337	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
93	8, 7, 92	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
94	91, 93	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℝ⁺crp 13032  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  ostth2lem4  27695