Theorem ostth2lem1 26194

Description: Lemma for ostth2 26213, although it is just a simple statement about exponentials which does not involve any specifics of ostth2 26213. If a power is upper bounded by a linear term, the exponent must be less than one. Or in big-O notation, 𝑛 ∈ 𝑜(𝐴↑𝑛) for any 1 < 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ostth2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ostth2lem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ostth2lem1.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ostth2lem1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem ostth2lem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11712	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		ostth2lem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		remulcl 10622	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 3, 4	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
7		1re 10641	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		ostth2lem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		difrp 12428	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
11	7, 9, 10	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
12	6, 11	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ+)
13	5, 12	rerpdivcld 12463	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
14		expnbnd 13594	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
15	13, 9, 6, 14	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
16		nnnn0 11905	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
17		reexpcl 13447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
18	9, 16, 17	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
19	13	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
20	12	rpred 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
22		nnre 11645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
23	22	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
24	21, 23	remulcld 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
25	24, 18	remulcld 10671	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ)
26	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		2nn 11711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
28		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
29		nnmulcl 11662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
30	27, 28, 29	sylancr 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
31	30	nnnn0d 11956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
32	26, 31	reexpcld 13528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
33	30	nnred 11653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
34	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	33, 34	remulcld 10671	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · 𝐵) ∈ ℝ)
36		0red 10644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
37	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
38		0lt1 11162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
40	36, 37, 9, 39, 6	lttrd 10801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
41	9, 40	elrpd 12429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
42		nnz 12005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
43		rpexpcl 13449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
44	41, 42, 43	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
45		peano2re 10813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
46	24, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
47	24	ltp1d 11570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1))
48	16	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	41	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
50	49	rpge0d 12436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
51		bernneq2 13592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴↑𝑘))
52	26, 48, 50, 51	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴↑𝑘))
53	24, 46, 18, 47, 52	ltletrd 10800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (𝐴↑𝑘))
54	24, 18, 44, 53	ltmul1dd 12487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
55	23	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
56	55	2timesd 11881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
57	56	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)))
58	26	recnd 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	58, 48, 48	expaddd 13513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
60	57, 59	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
61	54, 60	breqtrrd 5094	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < (𝐴↑(2 · 𝑘)))
62		oveq2 7164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(2 · 𝑘)))
63		oveq1 7163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝑛 · 𝐵) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
64	62, 63	breq12d 5079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → ((𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵) ↔ (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵)))
65		ostth2lem1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
66	65	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
67	66	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
68	64, 67, 30	rspcdva 3625	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵))
69	25, 32, 35, 61, 68	ltletrd 10800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < ((2 · 𝑘) · 𝐵))
70	21	recnd 10669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
71	18	recnd 10669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
72	70, 71, 55	mul32d 10850	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) = (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
73		2cnd 11716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
74	34	recnd 10669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
75	73, 74, 55	mul32d 10850	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) · 𝑘) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
76	69, 72, 75	3brtr4d 5098	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘))
77	21, 18	remulcld 10671	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ)
78	5	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
79		nngt0 11669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
80	79	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
81		ltmul1 11490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
82	77, 78, 23, 80, 81	syl112anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
83	76, 82	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵))
84	12	rpgt0d 12435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 1))
85	84	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 − 1))
86		ltmuldiv2 11514	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 1))) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
87	18, 78, 21, 85, 86	syl112anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
88	83, 87	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)))
89	18, 19, 88	ltnsymd 10789	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
90	89	nrexdv 3270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
91	15, 90	pm2.65da 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 < 𝐴)
92		lenlt 10719	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
93	8, 7, 92	sylancl 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
94	91, 93	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870   / cdiv 11297  ℕcn 11638  2c2 11693  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ℝ⁺crp 12390  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  ostth2lem4  26212