Theorem ostth2lem1 25864

Description: Lemma for ostth2 25883, although it is just a simple statement about exponentials which does not involve any specifics of ostth2 25883. If a power is upper bounded by a linear term, the exponent must be less than one. Or in big-O notation, 𝑛 ∈ 𝑜(𝐴↑𝑛) for any 1 < 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ostth2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ostth2lem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ostth2lem1.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ostth2lem1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem ostth2lem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11548	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		ostth2lem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		remulcl 10457	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 3, 4	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
7		1re 10476	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		ostth2lem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		difrp 12266	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
11	7, 9, 10	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
12	6, 11	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ+)
13	5, 12	rerpdivcld 12301	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
14		expnbnd 13431	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
15	13, 9, 6, 14	syl3anc 1362	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
16		nnnn0 11741	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
17		reexpcl 13284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
18	9, 16, 17	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
19	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
20	12	rpred 12270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
22		nnre 11482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
24	21, 23	remulcld 10506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
25	24, 18	remulcld 10506	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ)
26	8	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		2nn 11547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
28		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
29		nnmulcl 11498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
30	27, 28, 29	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
31	30	nnnn0d 11792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
32	26, 31	reexpcld 13365	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
33	30	nnred 11490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
34	2	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	33, 34	remulcld 10506	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · 𝐵) ∈ ℝ)
36		0red 10479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
37	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
38		0lt1 10999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
40	36, 37, 9, 39, 6	lttrd 10637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
41	9, 40	elrpd 12267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
42		nnz 11842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
43		rpexpcl 13286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
44	41, 42, 43	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
45		peano2re 10649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
46	24, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
47	24	ltp1d 11407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1))
48	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
50	49	rpge0d 12274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
51		bernneq2 13429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴↑𝑘))
52	26, 48, 50, 51	syl3anc 1362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴↑𝑘))
53	24, 46, 18, 47, 52	ltletrd 10636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (𝐴↑𝑘))
54	24, 18, 44, 53	ltmul1dd 12325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
55	23	recnd 10504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
56	55	2timesd 11717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
57	56	oveq2d 7023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)))
58	26	recnd 10504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	58, 48, 48	expaddd 13350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
60	57, 59	eqtrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
61	54, 60	breqtrrd 4984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < (𝐴↑(2 · 𝑘)))
62		oveq2 7015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(2 · 𝑘)))
63		oveq1 7014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝑛 · 𝐵) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
64	62, 63	breq12d 4969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (2 · 𝑘) → ((𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵) ↔ (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵)))
65		ostth2lem1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
66	65	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
67	66	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴↑𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
68	64, 67, 30	rspcdva 3560	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵))
69	25, 32, 35, 61, 68	ltletrd 10636	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)) < ((2 · 𝑘) · 𝐵))
70	21	recnd 10504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
71	18	recnd 10504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
72	70, 71, 55	mul32d 10686	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) = (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
73		2cnd 11552	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
74	34	recnd 10504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
75	73, 74, 55	mul32d 10686	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) · 𝑘) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
76	69, 72, 75	3brtr4d 4988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘))
77	21, 18	remulcld 10506	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ)
78	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
79		nngt0 11505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
80	79	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
81		ltmul1 11327	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
82	77, 78, 23, 80, 81	syl112anc 1365	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
83	76, 82	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵))
84	12	rpgt0d 12273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 1))
85	84	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 − 1))
86		ltmuldiv2 11351	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 1))) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
87	18, 78, 21, 85, 86	syl112anc 1365	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴↑𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
88	83, 87	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)))
89	18, 19, 88	ltnsymd 10625	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
90	89	nrexdv 3230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
91	15, 90	pm2.65da 813	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 < 𝐴)
92		lenlt 10555	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
93	8, 7, 92	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
94	91, 93	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  ∀wral 3103  ∃wrex 3104   class class class wbr 4956  (class class class)co 7007  ℝcr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377   < clt 10510   ≤ cle 10511   − cmin 10706   / cdiv 11134  ℕcn 11475  2c2 11529  ℕ₀cn0 11734  ℤcz 11818  ℝ⁺crp 12228  ↑cexp 13267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-sup 8742  df-inf 8743  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-rp 12229  df-fl 13000  df-seq 13208  df-exp 13268

This theorem is referenced by:  ostth2lem4  25882