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Theorem dffltz 40958
Description: Fermat's Last Theorem (FLT) for nonzero integers is equivalent to the original scope of natural numbers. The backwards direction takes (𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛) = (𝑐↑𝑛), and adds the negative of any negative term to both sides, thus creating the corresponding equation with only positive integers. There are six combinations of negativity, so the proof is particularly long. (Contributed by Steven Nguyen, 27-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
dffltz (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝑎,𝑏,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧
Proof of Theorem dffltz
StepHypRef Expression
1 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) → (𝑥↑𝑛) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛))
21oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) → ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)))
32eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) → (((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
4 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) → (𝑦↑𝑛) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛))
54oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)))
65eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) → (((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
7 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) → (𝑧↑𝑛) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))
87eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 (𝑧 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) → (((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛)))
9 simp-4r 782 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
10 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑎 ∈ ℤ)
11 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑎 ≠ 0)
1210, 11jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0))
13 nnabscl 15210 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
149, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
15 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
1615eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
17 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑎)
18 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑎))
1916, 17, 18sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℕ)
20 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑏 ≠ 0)
2120ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ≠ 0)
22 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑏)
23 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑏 ∈ ℤ)
2423ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ)
2521, 22, 24negn0nposznnd 40782 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -𝑏 ∈ ℕ)
26 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
2726eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ)
28 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑎)
2927, 28, 18sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℕ)
3025, 29ifclda 4521 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎) ∈ ℕ)
3119, 30ifclda 4521 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) ∈ ℕ)
3211ad7antlr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ≠ 0)
33 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑎)
3410ad7antlr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ)
3532, 33, 34negn0nposznnd 40782 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -𝑎 ∈ ℕ)
36 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
3736eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ)
38 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑏)
39 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑏))
4037, 38, 39sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℕ)
4135, 40ifclda 4521 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏) ∈ ℕ)
4211ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ≠ 0)
43 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑎)
4410ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
4542, 43, 44negn0nposznnd 40782 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -𝑎 ∈ ℕ)
4641, 45ifclda 4521 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎) ∈ ℕ)
4731, 46ifclda 4521 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) ∈ ℕ)
4814, 47ifcld 4532 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) ∈ ℕ)
49 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
5023, 20jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0))
51 nnabscl 15210 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0) → (abs‘𝑏) ∈ ℕ)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → (abs‘𝑏) ∈ ℕ)
53 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
5453eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑏)
5654, 55, 39sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ)
57 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
5857eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑐)
60 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℕ ↔ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑐))
6158, 59, 60sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℕ)
62 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑐 ≠ 0)
6362ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ≠ 0)
64 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑐)
65 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑐 ∈ ℤ)
6665ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
6763, 64, 66negn0nposznnd 40782 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑐 ∈ ℕ)
6861, 67ifclda 4521 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) ∈ ℕ)
6956, 68ifclda 4521 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) ∈ ℕ)
70 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
7170eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
72 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑐)
7371, 72, 60sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℕ)
7462ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ≠ 0)
75 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑐)
7665ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
7774, 75, 76negn0nposznnd 40782 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑐 ∈ ℕ)
7873, 77ifclda 4521 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) ∈ ℕ)
7920ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ≠ 0)
80 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑏)
8123ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
8279, 80, 81negn0nposznnd 40782 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -𝑏 ∈ ℕ)
8378, 82ifclda 4521 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏) ∈ ℕ)
8469, 83ifclda 4521 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) ∈ ℕ)
8552, 84ifcld 4532 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) ∈ ℕ)
86 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
8786eldifad 3922 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℤ)
8886, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ≠ 0)
89 nnabscl 15210 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑐 ≠ 0) → (abs‘𝑐) ∈ ℕ)
9087, 88, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑐) ∈ ℕ)
91 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
9291eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℤ)
93 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
9493eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
9594zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
96 eluzge3nn 12815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑛 ∈ ℕ)
9796ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ)
9897nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9995, 98reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℝ)
100 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
101100eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
102101zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
103102, 98reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℝ)
104 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑎)
105 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
10695, 97, 105oexpreposd 40793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑎 ↔ 0 < (𝑎↑𝑛)))
107104, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < (𝑎↑𝑛))
108 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑏)
109102, 97, 105oexpreposd 40793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏↑𝑛)))
110108, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < (𝑏↑𝑛))
11199, 103, 107, 110addgt0d 11730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
112 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
113111, 112breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < (𝑐↑𝑛))
11492zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℝ)
115114, 97, 105oexpreposd 40793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑐↑𝑛)))
116113, 115mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑐)
11792, 116, 60sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℕ)
118 simp-8r 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
119118eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ)
120 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑎)
121119, 120, 18sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℕ)
122 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
123122, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ≠ 0)
124 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑏)
125122eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ)
126123, 124, 125negn0nposznnd 40782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑏 ∈ ℕ)
127121, 126ifclda 4521 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏) ∈ ℕ)
128117, 127ifclda 4521 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) ∈ ℕ)
129 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
130129eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ)
131 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑏)
132130, 131, 39sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℕ)
133 simp-8r 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
134133, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ≠ 0)
135 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑎)
136133eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ)
137134, 135, 136negn0nposznnd 40782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑎 ∈ ℕ)
138132, 137ifclda 4521 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎) ∈ ℕ)
139 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
140139, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ≠ 0)
141 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
142141eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
143142zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
14496ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ)
145144nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ0)
146143, 145reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℝ)
147 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
148147eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
149148zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
150149, 145reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℝ)
151146, 150readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ∈ ℝ)
152 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 0 ∈ ℝ)
15311neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ¬ 𝑎 = 0)
154141, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 𝑎 = 0)
155 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
156141, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℂ)
157 expeq0 13998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑎↑𝑛) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
158156, 144, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
159154, 158mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑎↑𝑛) = 0)
160 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑎)
161 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
162143, 144, 161oexpreposd 40793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑎 ↔ 0 < (𝑎↑𝑛)))
163160, 162mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < (𝑎↑𝑛))
164 ioran 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ ((𝑎↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑎↑𝑛)) ↔ (¬ (𝑎↑𝑛) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝑎↑𝑛)))
165159, 163, 164sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ ((𝑎↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑎↑𝑛)))
166146, 152lttrid 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) < 0 ↔ ¬ ((𝑎↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑎↑𝑛))))
167165, 166mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) < 0)
168 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
169147, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℂ)
170147, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ≠ 0)
171 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑛 ∈ ℤ)
172171ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℤ)
173169, 170, 172expne0d 14057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ≠ 0)
174173neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑏↑𝑛) = 0)
175 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑏)
176149, 144, 161oexpreposd 40793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏↑𝑛)))
177175, 176mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < (𝑏↑𝑛))
178 ioran 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ ((𝑏↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑏↑𝑛)) ↔ (¬ (𝑏↑𝑛) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝑏↑𝑛)))
179174, 177, 178sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ ((𝑏↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑏↑𝑛)))
180150, 152lttrid 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑏↑𝑛) < 0 ↔ ¬ ((𝑏↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑏↑𝑛))))
181179, 180mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) < 0)
182146, 150, 152, 152, 167, 181lt2addd 11778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) < (0 + 0))
183 00id 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 0) = 0
184182, 183breqtrdi 5146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) < 0)
185151, 152, 184ltnsymd 11304 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
186 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
187186eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑐↑𝑛) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
188187breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < (𝑐↑𝑛) ↔ 0 < ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))))
189185, 188mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < (𝑐↑𝑛))
190139eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℤ)
191190zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℝ)
192191, 144, 161oexpreposd 40793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑐↑𝑛)))
193189, 192mtbird 324 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑐)
194140, 193, 190negn0nposznnd 40782 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -𝑐 ∈ ℕ)
195138, 194ifclda 4521 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐) ∈ ℕ)
196128, 195ifclda 4521 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) ∈ ℕ)
19790, 196ifclda 4521 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) ∈ ℕ)
198 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
199 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
200199eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℤ)
201200zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℝ)
202 absresq 15187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℝ → ((abs‘𝑎)↑2) = (𝑎↑2))
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑2) = (𝑎↑2))
204203oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑎)↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((𝑎↑2)↑(𝑛 / 2)))
205199, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℂ)
206205abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
207206recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑎) ∈ ℂ)
208 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
209208nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ∈ ℕ0)
210 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
212207, 209, 211expmuld 14054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (((abs‘𝑎)↑2)↑(𝑛 / 2)))
213205, 209, 211expmuld 14054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑎↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((𝑎↑2)↑(𝑛 / 2)))
214204, 212, 2133eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (𝑎↑(2 · (𝑛 / 2))))
215 simp-5l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘3))
216 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
217215, 96, 2163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
218 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
219 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
221217, 218, 220divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
222221eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑛 = (2 · (𝑛 / 2)))
223222oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑𝑛) = ((abs‘𝑎)↑(2 · (𝑛 / 2))))
224222oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑎↑𝑛) = (𝑎↑(2 · (𝑛 / 2))))
225214, 223, 2243eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
226 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
227226eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℤ)
228227zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℝ)
229 absresq 15187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℝ → ((abs‘𝑏)↑2) = (𝑏↑2))
230228, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑2) = (𝑏↑2))
231230oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑏)↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((𝑏↑2)↑(𝑛 / 2)))
232226, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
233232abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑏) ∈ ℝ)
234233recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑏) ∈ ℂ)
235234, 209, 211expmuld 14054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (((abs‘𝑏)↑2)↑(𝑛 / 2)))
236232, 209, 211expmuld 14054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑏↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((𝑏↑2)↑(𝑛 / 2)))
237231, 235, 2363eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (𝑏↑(2 · (𝑛 / 2))))
238222oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑𝑛) = ((abs‘𝑏)↑(2 · (𝑛 / 2))))
239222oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑏↑𝑛) = (𝑏↑(2 · (𝑛 / 2))))
240237, 238, 2393eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
241225, 240oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
24287zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℝ)
243 absresq 15187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ → ((abs‘𝑐)↑2) = (𝑐↑2))
244242, 243syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑2) = (𝑐↑2))
245244oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑐)↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((𝑐↑2)↑(𝑛 / 2)))
246 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℂ)
24786, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℂ)
248247abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑐) ∈ ℝ)
249248recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑐) ∈ ℂ)
250249, 209, 211expmuld 14054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (((abs‘𝑐)↑2)↑(𝑛 / 2)))
251247, 209, 211expmuld 14054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑐↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((𝑐↑2)↑(𝑛 / 2)))
252245, 250, 2513eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (𝑐↑(2 · (𝑛 / 2))))
253222oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑𝑛) = ((abs‘𝑐)↑(2 · (𝑛 / 2))))
254222oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑐↑𝑛) = (𝑐↑(2 · (𝑛 / 2))))
255252, 253, 2543eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑𝑛) = (𝑐↑𝑛))
256198, 241, 2553eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)) = ((abs‘𝑐)↑𝑛))
257 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) = (abs‘𝑎))
258257oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) = ((abs‘𝑎)↑𝑛))
259 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) = (abs‘𝑏))
260259oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛) = ((abs‘𝑏)↑𝑛))
261258, 260oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)))
262261adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)))
263 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) = (abs‘𝑐))
264263oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = ((abs‘𝑐)↑𝑛))
265264adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = ((abs‘𝑐)↑𝑛))
266256, 262, 2653eqtr4d 2786 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))
267 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) = 𝑎)
268267oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
269 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) = 𝑏)
270269oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
271268, 270oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑏 → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
272271adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
273 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) = 𝑐)
274273oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (𝑐↑𝑛))
275274adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (𝑐↑𝑛))
276112, 272, 2753eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
277 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
278277, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ)
279 simp-8l 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘3))
280279, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ)
281 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
282 2nn 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
283 nndivdvds 16145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
284280, 282, 283sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
285281, 284mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
286 oexpneg 16227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛))
287278, 280, 285, 286syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛))
288287oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
289 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
290279, 96, 2893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0)
291278, 290expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
292291negcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -(𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
293 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
294293, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
295294, 290expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ)
296292, 295addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
297295, 291negsubd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
298296, 297eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
299118, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ)
300299, 290expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
301 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
302301eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
303300, 291, 302mvrraddd 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
304288, 298, 3033eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
305 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎) = -𝑏)
306305oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛))
307 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) = 𝑐)
308307oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛) = (𝑐↑𝑛))
309306, 308oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
310309adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
311 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏) = 𝑎)
312311oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
313312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
314304, 310, 3133eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
315 simp-8r 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
316315, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ)
31796ad8antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ)
318317nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0)
319316, 318expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
320 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
321320, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
322321, 318expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ)
323319, 322negsubd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛)))
324319, 322subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛)) ∈ ℂ)
325122, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ)
326325, 318expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
327326negcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
328 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
329319, 326, 328mvlraddd 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
330322, 319pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛))) = (𝑎↑𝑛))
331322, 326negsubd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
332329, 330, 3313eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛))) = ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
333322, 324, 327, 332addcanad 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛)) = -(𝑏↑𝑛))
334323, 333eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)) = -(𝑏↑𝑛))
335 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
336317, 282, 283sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
337335, 336mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
338 oexpneg 16227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛))
339321, 317, 337, 338syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛))
340339oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)))
341325, 317, 337, 286syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛))
342334, 340, 3413eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = (-𝑏↑𝑛))
343 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎) = 𝑎)
344343oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
345 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) = -𝑐)
346345oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛) = (-𝑐↑𝑛))
347344, 346oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)))
348347adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)))
349 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏) = -𝑏)
350349oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛))
351350adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛))
352342, 348, 3513eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
353314, 352pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
354 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) = if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))
355354oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛))
356 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) = if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))
357356oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛))
358355, 357oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑏 → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)))
359358adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)))
360 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) = if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))
361360oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
362361adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
363353, 359, 3623eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
364276, 363pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
365 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) = if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)))
366365oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛))
367 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) = if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)))
368367oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛))
369366, 368oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < 𝑎 → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)))
370369adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)))
371 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) = if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)))
372371oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
373372adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
374364, 370, 3733eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
375 simp-8r 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
376375, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ)
37796ad8antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ)
378 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
379377, 282, 283sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
380378, 379mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
381 oexpneg 16227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛))
382376, 377, 380, 381syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛))
383382oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
384377nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0)
385376, 384expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
386385negcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -(𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
387 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
388387, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
389388, 384expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ)
390386, 389addcld 11174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) ∈ ℂ)
391129, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ)
392391, 384expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
393385negidd 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + -(𝑎↑𝑛)) = 0)
394393oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + -(𝑎↑𝑛)) + (𝑐↑𝑛)) = (0 + (𝑐↑𝑛)))
395385, 386, 389addassd 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + -(𝑎↑𝑛)) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))))
396389addid2d 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (0 + (𝑐↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
397394, 395, 3963eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) = (𝑐↑𝑛))
398 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
399397, 398eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
400385, 390, 392, 399addcanad 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑏↑𝑛))
401383, 400eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑏↑𝑛))
402 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏) = -𝑎)
403402oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛))
404403, 308oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
405404adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
406 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎) = 𝑏)
407406oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
408407adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
409401, 405, 4083eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
410 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
411410, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ)
412 simp-8l 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘3))
413412, 96, 2893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0)
414411, 413expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
415414negcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
416 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
417416, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
418417, 413expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ)
419415, 418addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
420418, 414negsubd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
421 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
422421oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) − (𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
423133, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ)
424423, 413expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
425424, 414pncand 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) − (𝑏↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
426422, 425eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
427419, 420, 4263eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
428427negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = -(𝑎↑𝑛))
429414negnegd 11503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → --(𝑏↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
430429eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) = --(𝑏↑𝑛))
431430oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)) = (--(𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)))
432412, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ)
433 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
434432, 282, 283sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
435433, 434mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
436417, 432, 435, 338syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛))
437436oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = ((𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)))
438415, 418negdid 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (--(𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)))
439431, 437, 4383eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = -(-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
440423, 432, 435, 381syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛))
441428, 439, 4403eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = (-𝑎↑𝑛))
442 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏) = 𝑏)
443442oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
444443, 346oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)))
445444adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)))
446 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎) = -𝑎)
447446oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛))
448447adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛))
449441, 445, 4483eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
450409, 449pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
451 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎) = if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏))
452451oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛))
453 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏) = if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))
454453oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛))
455452, 454oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑏 → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)))
456455adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)))
457 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐) = if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎))
458457oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
459458adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
460450, 456, 4593eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
461186negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = -(𝑐↑𝑛))
462144, 282, 283sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
463161, 462mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
464156, 144, 463, 381syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛))
465169, 144, 463, 286syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛))
466464, 465oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)) = (-(𝑎↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
467141, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ≠ 0)
468156, 467, 172expclzd 14056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
469169, 170, 172expclzd 14056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
470468, 469negdid 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (-(𝑎↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
471466, 470eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)) = -((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
472139, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℂ)
473472, 144, 463, 338syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛))
474461, 471, 4733eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)) = (-𝑐↑𝑛))
475 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎) = -𝑎)
476475oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛))
477 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏) = -𝑏)
478477oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛))
479476, 478oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑏 → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)))
480479adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)))
481 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐) = -𝑐)
482481oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (-𝑐↑𝑛))
483482adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (-𝑐↑𝑛))
484474, 480, 4833eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
485460, 484pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
486 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) = if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))
487486oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛))
488 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) = if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))
489488oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛))
490487, 489oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 0 < 𝑎 → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)))
491490adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)))
492 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) = if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))
493492oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
494493adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
495485, 491, 4943eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
496374, 495pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
497 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) = if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))
498497oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛))
499 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) = if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))
500499oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛))
501498, 500oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)))
502501adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)))
503 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) = if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))
504503oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
505504adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
506496, 502, 5053eqtr4d 2786 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))
507266, 506pm2.61dan 811 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))
5083, 6, 8, 48, 85, 197, 5073rspcedvdw 40633 . . . . . . . 8 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))
509508rexlimdva2 3154 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) → (∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
510509rexlimdva 3152 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) → (∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
511510rexlimdva 3152 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
512511reximia 3084 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))
513 nne 2947 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
514513bicomi 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
515514rexbii 3097 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
516 rexnal 3103 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
517515, 516bitri 274 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
518517rexbii 3097 . . . . . . . . 9 (∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
519 rexnal 3103 . . . . . . . . 9 (∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
520518, 519bitri 274 . . . . . . . 8 (∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
521520rexbii 3097 . . . . . . 7 (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
522 rexnal 3103 . . . . . . 7 (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
523521, 522bitri 274 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
524523rexbii 3097 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
525 rexnal 3103 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
526524, 525bitri 274 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
527 nne 2947 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))
528527bicomi 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
529528rexbii 3097 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ ¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
530 rexnal 3103 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℕ ¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
531529, 530bitri 274 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
532531rexbii 3097 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
533 rexnal 3103 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℕ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
534532, 533bitri 274 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
535534rexbii 3097 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
536 rexnal 3103 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
537535, 536bitri 274 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
538537rexbii 3097 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
539 rexnal 3103 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
540538, 539bitri 274 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
541512, 526, 5403imtr3i 290 . . 3 (¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
542541con4i 114 . 2 (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
543 dfn2 12426 . . . . . 6 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
544 nn0ssz 12522 . . . . . . 7 ℕ0 ⊆ ℤ
545 ssdif 4099 . . . . . . 7 (ℕ0 ⊆ ℤ → (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (ℤ ∖ {0}))
546544, 545ax-mp 5 . . . . . 6 (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (ℤ ∖ {0})
547543, 546eqsstri 3978 . . . . 5 ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0})
548 ssel 3937 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})))
549 ss2ralv 4012 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0}) → (∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))
550548, 549imim12d 81 . . . . . 6 (ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0}) → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) → (𝑎 ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))))
551550ralimdv2 3160 . . . . 5 (ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0}) → (∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))
552547, 551ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
553 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎↑𝑛) = (𝑥↑𝑛))
554553oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = ((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
555554neeq1d 3003 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥 → (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))
556 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏↑𝑛) = (𝑦↑𝑛))
557556oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)))
558557neeq1d 3003 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))
559 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑧 → (𝑐↑𝑛) = (𝑧↑𝑛))
560559neeq2d 3004 . . . . 5 (𝑐 = 𝑧 → (((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)))
561555, 558, 560cbvral3vw 3229 . . . 4 (∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
562552, 561sylib 217 . . 3 (∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
563562ralimi 3086 . 2 (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
564542, 563impbii 208 1 (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  3c3 12209  ℕ0cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ≥cuz 12763  ↑cexp 13967  abscabs 15119   ∥ cdvds 16136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-numer 16610  df-denom 16611
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