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Theorem dffltz 40387
Description: Fermat's Last Theorem (FLT) for nonzero integers is equivalent to the original scope of natural numbers. The backwards direction takes (𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛) = (𝑐↑𝑛), and adds the negative of any negative term to both sides, thus creating the corresponding equation with only positive integers. There are six combinations of negativity, so the proof is particularly long. (Contributed by Steven Nguyen, 27-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
dffltz (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝑎,𝑏,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧
Proof of Theorem dffltz
StepHypRef Expression
1 oveq1 7262 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) → (𝑥↑𝑛) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛))
21oveq1d 7270 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) → ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)))
32eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) → (((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
4 oveq1 7262 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) → (𝑦↑𝑛) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛))
54oveq2d 7271 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)))
65eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) → (((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
7 oveq1 7262 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) → (𝑧↑𝑛) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))
87eqeq2d 2749 . . . . . . . . 9 (𝑧 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) → (((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛)))
9 simp-4r 780 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
10 eldifi 4057 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑎 ∈ ℤ)
11 eldifsni 4720 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑎 ≠ 0)
1210, 11jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0))
13 nnabscl 14965 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
149, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
15 simp-6r 784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
1615eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
17 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑎)
18 elnnz 12259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑎))
1916, 17, 18sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℕ)
20 eldifsni 4720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑏 ≠ 0)
2120ad6antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ≠ 0)
22 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑏)
23 eldifi 4057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑏 ∈ ℤ)
2423ad6antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ)
2521, 22, 24negn0nposznnd 40231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -𝑏 ∈ ℕ)
26 simp-7r 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
2726eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ)
28 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑎)
2927, 28, 18sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℕ)
3025, 29ifclda 4491 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎) ∈ ℕ)
3119, 30ifclda 4491 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) ∈ ℕ)
3211ad7antlr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ≠ 0)
33 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑎)
3410ad7antlr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ)
3532, 33, 34negn0nposznnd 40231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -𝑎 ∈ ℕ)
36 simp-6r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
3736eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ)
38 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑏)
39 elnnz 12259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑏))
4037, 38, 39sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℕ)
4135, 40ifclda 4491 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏) ∈ ℕ)
4211ad6antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ≠ 0)
43 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑎)
4410ad6antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
4542, 43, 44negn0nposznnd 40231 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -𝑎 ∈ ℕ)
4641, 45ifclda 4491 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎) ∈ ℕ)
4731, 46ifclda 4491 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) ∈ ℕ)
4814, 47ifcld 4502 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) ∈ ℕ)
49 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
5023, 20jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0))
51 nnabscl 14965 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0) → (abs‘𝑏) ∈ ℕ)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → (abs‘𝑏) ∈ ℕ)
53 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
5453eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑏)
5654, 55, 39sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ)
57 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
5857eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑐)
60 elnnz 12259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℕ ↔ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑐))
6158, 59, 60sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℕ)
62 eldifsni 4720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑐 ≠ 0)
6362ad5antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ≠ 0)
64 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑐)
65 eldifi 4057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑐 ∈ ℤ)
6665ad5antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
6763, 64, 66negn0nposznnd 40231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑐 ∈ ℕ)
6861, 67ifclda 4491 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) ∈ ℕ)
6956, 68ifclda 4491 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) ∈ ℕ)
70 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
7170eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
72 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑐)
7371, 72, 60sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℕ)
7462ad5antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ≠ 0)
75 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑐)
7665ad5antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
7774, 75, 76negn0nposznnd 40231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑐 ∈ ℕ)
7873, 77ifclda 4491 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) ∈ ℕ)
7920ad5antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ≠ 0)
80 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑏)
8123ad5antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
8279, 80, 81negn0nposznnd 40231 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -𝑏 ∈ ℕ)
8378, 82ifclda 4491 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏) ∈ ℕ)
8469, 83ifclda 4491 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) ∈ ℕ)
8552, 84ifcld 4502 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) ∈ ℕ)
86 simpllr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
8786eldifad 3895 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℤ)
8886, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ≠ 0)
89 nnabscl 14965 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑐 ≠ 0) → (abs‘𝑐) ∈ ℕ)
9087, 88, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑐) ∈ ℕ)
91 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
9291eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℤ)
93 simp-7r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
9493eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
9594zred 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
96 eluzge3nn 12559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑛 ∈ ℕ)
9796ad7antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ)
9897nnnn0d 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9995, 98reexpcld 13809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℝ)
100 simp-6r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
101100eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
102101zred 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
103102, 98reexpcld 13809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℝ)
104 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑎)
105 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
10695, 97, 105oexpreposd 40242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑎 ↔ 0 < (𝑎↑𝑛)))
107104, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < (𝑎↑𝑛))
108 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑏)
109102, 97, 105oexpreposd 40242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏↑𝑛)))
110108, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < (𝑏↑𝑛))
11199, 103, 107, 110addgt0d 11480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
112 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
113111, 112breqtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < (𝑐↑𝑛))
11492zred 12355 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℝ)
115114, 97, 105oexpreposd 40242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑐↑𝑛)))
116113, 115mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑐)
11792, 116, 60sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℕ)
118 simp-8r 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
119118eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ)
120 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑎)
121119, 120, 18sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℕ)
122 simp-7r 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
123122, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ≠ 0)
124 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑏)
125122eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ)
126123, 124, 125negn0nposznnd 40231 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑏 ∈ ℕ)
127121, 126ifclda 4491 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏) ∈ ℕ)
128117, 127ifclda 4491 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) ∈ ℕ)
129 simp-7r 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
130129eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ)
131 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑏)
132130, 131, 39sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℕ)
133 simp-8r 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
134133, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ≠ 0)
135 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑎)
136133eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ)
137134, 135, 136negn0nposznnd 40231 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑎 ∈ ℕ)
138132, 137ifclda 4491 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎) ∈ ℕ)
139 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
140139, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ≠ 0)
141 simp-7r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
142141eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
143142zred 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
14496ad7antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ)
145144nnnn0d 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ0)
146143, 145reexpcld 13809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℝ)
147 simp-6r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
148147eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
149148zred 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
150149, 145reexpcld 13809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℝ)
151146, 150readdcld 10935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ∈ ℝ)
152 0red 10909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 0 ∈ ℝ)
15311neneqd 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ¬ 𝑎 = 0)
154141, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 𝑎 = 0)
155 zcn 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
156141, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℂ)
157 expeq0 13741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑎↑𝑛) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
158156, 144, 157syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
159154, 158mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑎↑𝑛) = 0)
160 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑎)
161 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
162143, 144, 161oexpreposd 40242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑎 ↔ 0 < (𝑎↑𝑛)))
163160, 162mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < (𝑎↑𝑛))
164 ioran 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ ((𝑎↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑎↑𝑛)) ↔ (¬ (𝑎↑𝑛) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝑎↑𝑛)))
165159, 163, 164sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ ((𝑎↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑎↑𝑛)))
166146, 152lttrid 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) < 0 ↔ ¬ ((𝑎↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑎↑𝑛))))
167165, 166mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) < 0)
168 zcn 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
169147, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℂ)
170147, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ≠ 0)
171 eluzelz 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑛 ∈ ℤ)
172171ad7antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℤ)
173169, 170, 172expne0d 13798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ≠ 0)
174173neneqd 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑏↑𝑛) = 0)
175 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑏)
176149, 144, 161oexpreposd 40242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏↑𝑛)))
177175, 176mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < (𝑏↑𝑛))
178 ioran 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ ((𝑏↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑏↑𝑛)) ↔ (¬ (𝑏↑𝑛) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝑏↑𝑛)))
179174, 177, 178sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ ((𝑏↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑏↑𝑛)))
180150, 152lttrid 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑏↑𝑛) < 0 ↔ ¬ ((𝑏↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑏↑𝑛))))
181179, 180mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) < 0)
182146, 150, 152, 152, 167, 181lt2addd 11528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) < (0 + 0))
183 00id 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 0) = 0
184182, 183breqtrdi 5111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) < 0)
185151, 152, 184ltnsymd 11054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
186 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
187186eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑐↑𝑛) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
188187breq2d 5082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < (𝑐↑𝑛) ↔ 0 < ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))))
189185, 188mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < (𝑐↑𝑛))
190139eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℤ)
191190zred 12355 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℝ)
192191, 144, 161oexpreposd 40242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑐↑𝑛)))
193189, 192mtbird 324 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑐)
194140, 193, 190negn0nposznnd 40231 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -𝑐 ∈ ℕ)
195138, 194ifclda 4491 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐) ∈ ℕ)
196128, 195ifclda 4491 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) ∈ ℕ)
19790, 196ifclda 4491 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) ∈ ℕ)
198 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
199 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
200199eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℤ)
201200zred 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℝ)
202 absresq 14942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℝ → ((abs‘𝑎)↑2) = (𝑎↑2))
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑2) = (𝑎↑2))
204203oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑎)↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((𝑎↑2)↑(𝑛 / 2)))
205199, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℂ)
206205abscld 15076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
207206recnd 10934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑎) ∈ ℂ)
208 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
209208nnnn0d 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ∈ ℕ0)
210 2nn0 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
212207, 209, 211expmuld 13795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (((abs‘𝑎)↑2)↑(𝑛 / 2)))
213205, 209, 211expmuld 13795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑎↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((𝑎↑2)↑(𝑛 / 2)))
214204, 212, 2133eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (𝑎↑(2 · (𝑛 / 2))))
215 simp-5l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘3))
216 nncn 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
217215, 96, 2163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
218 2cnd 11981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
219 2ne0 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
221217, 218, 220divcan2d 11683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
222221eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑛 = (2 · (𝑛 / 2)))
223222oveq2d 7271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑𝑛) = ((abs‘𝑎)↑(2 · (𝑛 / 2))))
224222oveq2d 7271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑎↑𝑛) = (𝑎↑(2 · (𝑛 / 2))))
225214, 223, 2243eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
226 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
227226eldifad 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℤ)
228227zred 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℝ)
229 absresq 14942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℝ → ((abs‘𝑏)↑2) = (𝑏↑2))
230228, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑2) = (𝑏↑2))
231230oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑏)↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((𝑏↑2)↑(𝑛 / 2)))
232226, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
233232abscld 15076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑏) ∈ ℝ)
234233recnd 10934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑏) ∈ ℂ)
235234, 209, 211expmuld 13795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (((abs‘𝑏)↑2)↑(𝑛 / 2)))
236232, 209, 211expmuld 13795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑏↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((𝑏↑2)↑(𝑛 / 2)))
237231, 235, 2363eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (𝑏↑(2 · (𝑛 / 2))))
238222oveq2d 7271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑𝑛) = ((abs‘𝑏)↑(2 · (𝑛 / 2))))
239222oveq2d 7271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑏↑𝑛) = (𝑏↑(2 · (𝑛 / 2))))
240237, 238, 2393eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
241225, 240oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
24287zred 12355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℝ)
243 absresq 14942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ → ((abs‘𝑐)↑2) = (𝑐↑2))
244242, 243syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑2) = (𝑐↑2))
245244oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑐)↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((𝑐↑2)↑(𝑛 / 2)))
246 zcn 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℂ)
24786, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℂ)
248247abscld 15076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑐) ∈ ℝ)
249248recnd 10934 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑐) ∈ ℂ)
250249, 209, 211expmuld 13795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (((abs‘𝑐)↑2)↑(𝑛 / 2)))
251247, 209, 211expmuld 13795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑐↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((𝑐↑2)↑(𝑛 / 2)))
252245, 250, 2513eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (𝑐↑(2 · (𝑛 / 2))))
253222oveq2d 7271 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑𝑛) = ((abs‘𝑐)↑(2 · (𝑛 / 2))))
254222oveq2d 7271 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑐↑𝑛) = (𝑐↑(2 · (𝑛 / 2))))
255252, 253, 2543eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑𝑛) = (𝑐↑𝑛))
256198, 241, 2553eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)) = ((abs‘𝑐)↑𝑛))
257 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) = (abs‘𝑎))
258257oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) = ((abs‘𝑎)↑𝑛))
259 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) = (abs‘𝑏))
260259oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛) = ((abs‘𝑏)↑𝑛))
261258, 260oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)))
262261adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)))
263 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) = (abs‘𝑐))
264263oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = ((abs‘𝑐)↑𝑛))
265264adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = ((abs‘𝑐)↑𝑛))
266256, 262, 2653eqtr4d 2788 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))
267 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) = 𝑎)
268267oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
269 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) = 𝑏)
270269oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
271268, 270oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑏 → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
272271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
273 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) = 𝑐)
274273oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (𝑐↑𝑛))
275274adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (𝑐↑𝑛))
276112, 272, 2753eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
277 simp-7r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
278277, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ)
279 simp-8l 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘3))
280279, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ)
281 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
282 2nn 11976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
283 nndivdvds 15900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
284280, 282, 283sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
285281, 284mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
286 oexpneg 15982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛))
287278, 280, 285, 286syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛))
288287oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
289 nnnn0 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
290279, 96, 2893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0)
291278, 290expcld 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
292291negcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -(𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
293 simp-6r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
294293, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
295294, 290expcld 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ)
296292, 295addcomd 11107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
297295, 291negsubd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
298296, 297eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
299118, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ)
300299, 290expcld 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
301 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
302301eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
303300, 291, 302mvrraddd 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
304288, 298, 3033eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
305 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎) = -𝑏)
306305oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛))
307 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) = 𝑐)
308307oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛) = (𝑐↑𝑛))
309306, 308oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
310309adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
311 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏) = 𝑎)
312311oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
313312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
314304, 310, 3133eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
315 simp-8r 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
316315, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ)
31796ad8antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ)
318317nnnn0d 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0)
319316, 318expcld 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
320 simp-6r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
321320, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
322321, 318expcld 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ)
323319, 322negsubd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛)))
324319, 322subcld 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛)) ∈ ℂ)
325122, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ)
326325, 318expcld 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
327326negcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
328 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
329319, 326, 328mvlraddd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
330322, 319pncan3d 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛))) = (𝑎↑𝑛))
331322, 326negsubd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
332329, 330, 3313eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛))) = ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
333322, 324, 327, 332addcanad 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛)) = -(𝑏↑𝑛))
334323, 333eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)) = -(𝑏↑𝑛))
335 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
336317, 282, 283sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
337335, 336mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
338 oexpneg 15982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛))
339321, 317, 337, 338syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛))
340339oveq2d 7271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)))
341325, 317, 337, 286syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛))
342334, 340, 3413eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = (-𝑏↑𝑛))
343 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎) = 𝑎)
344343oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
345 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) = -𝑐)
346345oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛) = (-𝑐↑𝑛))
347344, 346oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)))
348347adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)))
349 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏) = -𝑏)
350349oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛))
351350adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛))
352342, 348, 3513eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
353314, 352pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
354 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) = if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))
355354oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛))
356 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) = if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))
357356oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛))
358355, 357oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑏 → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)))
359358adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)))
360 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) = if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))
361360oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
362361adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
363353, 359, 3623eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
364276, 363pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
365 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) = if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)))
366365oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛))
367 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) = if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)))
368367oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛))
369366, 368oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < 𝑎 → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)))
370369adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)))
371 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) = if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)))
372371oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
373372adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
374364, 370, 3733eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
375 simp-8r 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
376375, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ)
37796ad8antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ)
378 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
379377, 282, 283sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
380378, 379mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
381 oexpneg 15982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛))
382376, 377, 380, 381syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛))
383382oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
384377nnnn0d 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0)
385376, 384expcld 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
386385negcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -(𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
387 simp-6r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
388387, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
389388, 384expcld 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ)
390386, 389addcld 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) ∈ ℂ)
391129, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ)
392391, 384expcld 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
393385negidd 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + -(𝑎↑𝑛)) = 0)
394393oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + -(𝑎↑𝑛)) + (𝑐↑𝑛)) = (0 + (𝑐↑𝑛)))
395385, 386, 389addassd 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + -(𝑎↑𝑛)) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))))
396389addid2d 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (0 + (𝑐↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
397394, 395, 3963eqtr3d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) = (𝑐↑𝑛))
398 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
399397, 398eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
400385, 390, 392, 399addcanad 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑏↑𝑛))
401383, 400eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑏↑𝑛))
402 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏) = -𝑎)
403402oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛))
404403, 308oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
405404adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
406 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎) = 𝑏)
407406oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
408407adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
409401, 405, 4083eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
410 simp-7r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
411410, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ)
412 simp-8l 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘3))
413412, 96, 2893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0)
414411, 413expcld 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
415414negcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
416 simp-6r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
417416, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
418417, 413expcld 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ)
419415, 418addcomd 11107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
420418, 414negsubd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
421 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
422421oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) − (𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
423133, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ)
424423, 413expcld 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
425424, 414pncand 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) − (𝑏↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
426422, 425eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
427419, 420, 4263eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
428427negeqd 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = -(𝑎↑𝑛))
429414negnegd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → --(𝑏↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
430429eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) = --(𝑏↑𝑛))
431430oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)) = (--(𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)))
432412, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ)
433 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
434432, 282, 283sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
435433, 434mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
436417, 432, 435, 338syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛))
437436oveq2d 7271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = ((𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)))
438415, 418negdid 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (--(𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)))
439431, 437, 4383eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = -(-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
440423, 432, 435, 381syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛))
441428, 439, 4403eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = (-𝑎↑𝑛))
442 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏) = 𝑏)
443442oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
444443, 346oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)))
445444adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)))
446 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎) = -𝑎)
447446oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛))
448447adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛))
449441, 445, 4483eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
450409, 449pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
451 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎) = if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏))
452451oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛))
453 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏) = if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))
454453oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛))
455452, 454oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑏 → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)))
456455adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)))
457 iftrue 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐) = if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎))
458457oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
459458adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
460450, 456, 4593eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
461186negeqd 11145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = -(𝑐↑𝑛))
462144, 282, 283sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
463161, 462mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
464156, 144, 463, 381syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛))
465169, 144, 463, 286syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛))
466464, 465oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)) = (-(𝑎↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
467141, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ≠ 0)
468156, 467, 172expclzd 13797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
469169, 170, 172expclzd 13797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
470468, 469negdid 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (-(𝑎↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
471466, 470eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)) = -((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
472139, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℂ)
473472, 144, 463, 338syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛))
474461, 471, 4733eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)) = (-𝑐↑𝑛))
475 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎) = -𝑎)
476475oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛))
477 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏) = -𝑏)
478477oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛))
479476, 478oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑏 → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)))
480479adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)))
481 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐) = -𝑐)
482481oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (-𝑐↑𝑛))
483482adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (-𝑐↑𝑛))
484474, 480, 4833eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
485460, 484pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
486 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) = if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))
487486oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛))
488 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) = if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))
489488oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛))
490487, 489oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 0 < 𝑎 → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)))
491490adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)))
492 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) = if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))
493492oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
494493adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
495485, 491, 4943eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
496374, 495pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
497 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) = if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))
498497oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛))
499 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) = if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))
500499oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛))
501498, 500oveq12d 7273 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)))
502501adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)))
503 iffalse 4465 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) = if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))
504503oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
505504adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
506496, 502, 5053eqtr4d 2788 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))
507266, 506pm2.61dan 809 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))
5083, 6, 8, 48, 85, 197, 5073rspcedvdw 40109 . . . . . . . 8 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))
509508rexlimdva2 3215 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) → (∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
510509rexlimdva 3212 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) → (∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
511510rexlimdva 3212 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
512511reximia 3172 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))
513 nne 2946 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
514513bicomi 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
515514rexbii 3177 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
516 rexnal 3165 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
517515, 516bitri 274 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
518517rexbii 3177 . . . . . . . . 9 (∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
519 rexnal 3165 . . . . . . . . 9 (∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
520518, 519bitri 274 . . . . . . . 8 (∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
521520rexbii 3177 . . . . . . 7 (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
522 rexnal 3165 . . . . . . 7 (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
523521, 522bitri 274 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
524523rexbii 3177 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
525 rexnal 3165 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
526524, 525bitri 274 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
527 nne 2946 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))
528527bicomi 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
529528rexbii 3177 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ ¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
530 rexnal 3165 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℕ ¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
531529, 530bitri 274 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
532531rexbii 3177 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
533 rexnal 3165 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℕ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
534532, 533bitri 274 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
535534rexbii 3177 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
536 rexnal 3165 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
537535, 536bitri 274 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
538537rexbii 3177 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
539 rexnal 3165 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
540538, 539bitri 274 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
541512, 526, 5403imtr3i 290 . . 3 (¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
542541con4i 114 . 2 (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
543 dfn2 12176 . . . . . 6 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
544 nn0ssz 12271 . . . . . . 7 ℕ0 ⊆ ℤ
545 ssdif 4070 . . . . . . 7 (ℕ0 ⊆ ℤ → (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (ℤ ∖ {0}))
546544, 545ax-mp 5 . . . . . 6 (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (ℤ ∖ {0})
547543, 546eqsstri 3951 . . . . 5 ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0})
548 ssel 3910 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})))
549 ss2ralv 3985 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0}) → (∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))
550548, 549imim12d 81 . . . . . 6 (ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0}) → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) → (𝑎 ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))))
551550ralimdv2 3101 . . . . 5 (ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0}) → (∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))
552547, 551ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
553 oveq1 7262 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎↑𝑛) = (𝑥↑𝑛))
554553oveq1d 7270 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = ((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
555554neeq1d 3002 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥 → (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))
556 oveq1 7262 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏↑𝑛) = (𝑦↑𝑛))
557556oveq2d 7271 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)))
558557neeq1d 3002 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))
559 oveq1 7262 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑧 → (𝑐↑𝑛) = (𝑧↑𝑛))
560559neeq2d 3003 . . . . 5 (𝑐 = 𝑧 → (((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)))
561555, 558, 560cbvral3vw 3387 . . . 4 (∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
562552, 561sylib 217 . . 3 (∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
563562ralimi 3086 . 2 (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
564542, 563impbii 208 1 (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  ℕ0cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ≥cuz 12511  ↑cexp 13710  abscabs 14873   ∥ cdvds 15891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-numer 16367  df-denom 16368
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