Proof of Theorem dffltz
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) → (𝑥↑𝑛) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛)) | 
| 2 | 1 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) → ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛))) | 
| 3 | 2 | eqeq1d 2738 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) → (((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))) | 
| 4 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) → (𝑦↑𝑛) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) | 
| 5 | 4 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛))) | 
| 6 | 5 | eqeq1d 2738 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) → (((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))) | 
| 7 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) → (𝑧↑𝑛) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛)) | 
| 8 | 7 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) → (((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))) | 
| 9 |  | simp-4r 783 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 10 |  | eldifi 4130 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})
→ 𝑎 ∈
ℤ) | 
| 11 |  | eldifsni 4789 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})
→ 𝑎 ≠
0) | 
| 12 | 10, 11 | jca 511 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})
→ (𝑎 ∈ ℤ
∧ 𝑎 ≠
0)) | 
| 13 |  | nnabscl 15365 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈
ℕ) | 
| 14 | 9, 12, 13 | 3syl 18 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ) | 
| 15 |  | simp-6r 787 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 16 | 15 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ) | 
| 17 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑎) | 
| 18 |  | elnnz 12625 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 <
𝑎)) | 
| 19 | 16, 17, 18 | sylanbrc 583 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℕ) | 
| 20 |  | eldifsni 4789 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})
→ 𝑏 ≠
0) | 
| 21 | 20 | ad6antlr 737 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ≠ 0) | 
| 22 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑏) | 
| 23 |  | eldifi 4130 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})
→ 𝑏 ∈
ℤ) | 
| 24 | 23 | ad6antlr 737 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ) | 
| 25 | 21, 22, 24 | negn0nposznnd 42322 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -𝑏 ∈ ℕ) | 
| 26 |  | simp-7r 789 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 27 | 26 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ) | 
| 28 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑎) | 
| 29 | 27, 28, 18 | sylanbrc 583 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℕ) | 
| 30 | 25, 29 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎) ∈ ℕ) | 
| 31 | 19, 30 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) ∈ ℕ) | 
| 32 | 11 | ad7antlr 739 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ≠ 0) | 
| 33 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑎) | 
| 34 | 10 | ad7antlr 739 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ) | 
| 35 | 32, 33, 34 | negn0nposznnd 42322 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -𝑎 ∈ ℕ) | 
| 36 |  | simp-6r 787 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 37 | 36 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ) | 
| 38 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑏) | 
| 39 |  | elnnz 12625 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 <
𝑏)) | 
| 40 | 37, 38, 39 | sylanbrc 583 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℕ) | 
| 41 | 35, 40 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏) ∈ ℕ) | 
| 42 | 11 | ad6antlr 737 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ≠ 0) | 
| 43 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑎) | 
| 44 | 10 | ad6antlr 737 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ) | 
| 45 | 42, 43, 44 | negn0nposznnd 42322 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -𝑎 ∈ ℕ) | 
| 46 | 41, 45 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎) ∈ ℕ) | 
| 47 | 31, 46 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) ∈ ℕ) | 
| 48 | 14, 47 | ifcld 4571 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) ∈ ℕ) | 
| 49 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 50 | 23, 20 | jca 511 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})
→ (𝑏 ∈ ℤ
∧ 𝑏 ≠
0)) | 
| 51 |  | nnabscl 15365 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0) → (abs‘𝑏) ∈
ℕ) | 
| 52 | 49, 50, 51 | 3syl 18 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → (abs‘𝑏) ∈ ℕ) | 
| 53 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 54 | 53 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ) | 
| 55 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑏) | 
| 56 | 54, 55, 39 | sylanbrc 583 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ) | 
| 57 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 58 | 57 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ) | 
| 59 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑐) | 
| 60 |  | elnnz 12625 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑐 ∈ ℕ ↔ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 0 <
𝑐)) | 
| 61 | 58, 59, 60 | sylanbrc 583 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℕ) | 
| 62 |  | eldifsni 4789 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})
→ 𝑐 ≠
0) | 
| 63 | 62 | ad5antlr 735 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ≠ 0) | 
| 64 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑐) | 
| 65 |  | eldifi 4130 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})
→ 𝑐 ∈
ℤ) | 
| 66 | 65 | ad5antlr 735 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ) | 
| 67 | 63, 64, 66 | negn0nposznnd 42322 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑐 ∈ ℕ) | 
| 68 | 61, 67 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) ∈ ℕ) | 
| 69 | 56, 68 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) ∈ ℕ) | 
| 70 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 71 | 70 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ) | 
| 72 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑐) | 
| 73 | 71, 72, 60 | sylanbrc 583 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℕ) | 
| 74 | 62 | ad5antlr 735 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ≠ 0) | 
| 75 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑐) | 
| 76 | 65 | ad5antlr 735 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ) | 
| 77 | 74, 75, 76 | negn0nposznnd 42322 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑐 ∈ ℕ) | 
| 78 | 73, 77 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) ∈ ℕ) | 
| 79 | 20 | ad5antlr 735 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ≠ 0) | 
| 80 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑏) | 
| 81 | 23 | ad5antlr 735 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ) | 
| 82 | 79, 80, 81 | negn0nposznnd 42322 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -𝑏 ∈ ℕ) | 
| 83 | 78, 82 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏) ∈ ℕ) | 
| 84 | 69, 83 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) ∈ ℕ) | 
| 85 | 52, 84 | ifcld 4571 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) ∈ ℕ) | 
| 86 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 87 | 86 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈
ℤ) | 
| 88 | 86, 62 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ≠ 0) | 
| 89 |  | nnabscl 15365 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑐 ≠ 0) → (abs‘𝑐) ∈
ℕ) | 
| 90 | 87, 88, 89 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑐) ∈
ℕ) | 
| 91 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 92 | 91 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℤ) | 
| 93 |  | simp-7r 789 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 94 | 93 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ) | 
| 95 | 94 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ) | 
| 96 |  | eluzge3nn 12933 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) → 𝑛 ∈ ℕ) | 
| 97 | 96 | ad7antr 738 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ) | 
| 98 | 97 | nnnn0d 12589 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ0) | 
| 99 | 95, 98 | reexpcld 14204 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℝ) | 
| 100 |  | simp-6r 787 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 101 | 100 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ) | 
| 102 | 101 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ) | 
| 103 | 102, 98 | reexpcld 14204 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℝ) | 
| 104 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑎) | 
| 105 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑛 / 2) ∈
ℕ) | 
| 106 | 95, 97, 105 | oexpreposd 42362 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑎 ↔ 0 < (𝑎↑𝑛))) | 
| 107 | 104, 106 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < (𝑎↑𝑛)) | 
| 108 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑏) | 
| 109 | 102, 97, 105 | oexpreposd 42362 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏↑𝑛))) | 
| 110 | 108, 109 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < (𝑏↑𝑛)) | 
| 111 | 99, 103, 107, 110 | addgt0d 11839 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))) | 
| 112 |  | simp-4r 783 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 113 | 111, 112 | breqtrd 5168 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < (𝑐↑𝑛)) | 
| 114 | 92 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℝ) | 
| 115 | 114, 97, 105 | oexpreposd 42362 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑐↑𝑛))) | 
| 116 | 113, 115 | mpbird 257 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑐) | 
| 117 | 92, 116, 60 | sylanbrc 583 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℕ) | 
| 118 |  | simp-8r 791 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 119 | 118 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ) | 
| 120 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑎) | 
| 121 | 119, 120,
18 | sylanbrc 583 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℕ) | 
| 122 |  | simp-7r 789 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 123 | 122, 20 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ≠ 0) | 
| 124 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑏) | 
| 125 | 122 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ) | 
| 126 | 123, 124,
125 | negn0nposznnd 42322 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑏 ∈ ℕ) | 
| 127 | 121, 126 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏) ∈ ℕ) | 
| 128 | 117, 127 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) ∈ ℕ) | 
| 129 |  | simp-7r 789 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 130 | 129 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ) | 
| 131 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑏) | 
| 132 | 130, 131,
39 | sylanbrc 583 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℕ) | 
| 133 |  | simp-8r 791 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 134 | 133, 11 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ≠ 0) | 
| 135 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑎) | 
| 136 | 133 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ) | 
| 137 | 134, 135,
136 | negn0nposznnd 42322 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑎 ∈ ℕ) | 
| 138 | 132, 137 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎) ∈ ℕ) | 
| 139 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 140 | 139, 62 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ≠ 0) | 
| 141 |  | simp-7r 789 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 142 | 141 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ) | 
| 143 | 142 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ) | 
| 144 | 96 | ad7antr 738 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ) | 
| 145 | 144 | nnnn0d 12589 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ0) | 
| 146 | 143, 145 | reexpcld 14204 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℝ) | 
| 147 |  | simp-6r 787 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 148 | 147 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ) | 
| 149 | 148 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ) | 
| 150 | 149, 145 | reexpcld 14204 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℝ) | 
| 151 | 146, 150 | readdcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ∈ ℝ) | 
| 152 |  | 0red 11265 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 0 ∈
ℝ) | 
| 153 | 11 | neneqd 2944 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})
→ ¬ 𝑎 =
0) | 
| 154 | 141, 153 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 𝑎 = 0) | 
| 155 |  | zcn 12620 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈
ℂ) | 
| 156 | 141, 10, 155 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℂ) | 
| 157 |  | expeq0 14134 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑎↑𝑛) = 0 ↔ 𝑎 = 0)) | 
| 158 | 156, 144,
157 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) = 0 ↔ 𝑎 = 0)) | 
| 159 | 154, 158 | mtbird 325 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑎↑𝑛) = 0) | 
| 160 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑎) | 
| 161 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑛 / 2) ∈
ℕ) | 
| 162 | 143, 144,
161 | oexpreposd 42362 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑎 ↔ 0 < (𝑎↑𝑛))) | 
| 163 | 160, 162 | mtbid 324 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < (𝑎↑𝑛)) | 
| 164 |  | ioran 985 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬
((𝑎↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑎↑𝑛)) ↔ (¬ (𝑎↑𝑛) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝑎↑𝑛))) | 
| 165 | 159, 163,
164 | sylanbrc 583 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ ((𝑎↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑎↑𝑛))) | 
| 166 | 146, 152 | lttrid 11400 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) < 0 ↔ ¬ ((𝑎↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑎↑𝑛)))) | 
| 167 | 165, 166 | mpbird 257 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) < 0) | 
| 168 |  | zcn 12620 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈
ℂ) | 
| 169 | 147, 23, 168 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℂ) | 
| 170 | 147, 20 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ≠ 0) | 
| 171 |  | eluzelz 12889 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) → 𝑛 ∈ ℤ) | 
| 172 | 171 | ad7antr 738 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℤ) | 
| 173 | 169, 170,
172 | expne0d 14193 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ≠ 0) | 
| 174 | 173 | neneqd 2944 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑏↑𝑛) = 0) | 
| 175 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑏) | 
| 176 | 149, 144,
161 | oexpreposd 42362 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏↑𝑛))) | 
| 177 | 175, 176 | mtbid 324 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < (𝑏↑𝑛)) | 
| 178 |  | ioran 985 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬
((𝑏↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑏↑𝑛)) ↔ (¬ (𝑏↑𝑛) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝑏↑𝑛))) | 
| 179 | 174, 177,
178 | sylanbrc 583 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ ((𝑏↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑏↑𝑛))) | 
| 180 | 150, 152 | lttrid 11400 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑏↑𝑛) < 0 ↔ ¬ ((𝑏↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑏↑𝑛)))) | 
| 181 | 179, 180 | mpbird 257 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) < 0) | 
| 182 | 146, 150,
152, 152, 167, 181 | lt2addd 11887 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) < (0 + 0)) | 
| 183 |  | 00id 11437 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 + 0) =
0 | 
| 184 | 182, 183 | breqtrdi 5183 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) < 0) | 
| 185 | 151, 152,
184 | ltnsymd 11411 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))) | 
| 186 |  | simp-4r 783 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 187 | 186 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑐↑𝑛) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))) | 
| 188 | 187 | breq2d 5154 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < (𝑐↑𝑛) ↔ 0 < ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))) | 
| 189 | 185, 188 | mtbird 325 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < (𝑐↑𝑛)) | 
| 190 | 139 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℤ) | 
| 191 | 190 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℝ) | 
| 192 | 191, 144,
161 | oexpreposd 42362 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑐↑𝑛))) | 
| 193 | 189, 192 | mtbird 325 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑐) | 
| 194 | 140, 193,
190 | negn0nposznnd 42322 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -𝑐 ∈ ℕ) | 
| 195 | 138, 194 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐) ∈ ℕ) | 
| 196 | 128, 195 | ifclda 4560 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) ∈ ℕ) | 
| 197 | 90, 196 | ifclda 4560 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) ∈ ℕ) | 
| 198 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 199 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 200 | 199 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈
ℤ) | 
| 201 | 200 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈
ℝ) | 
| 202 |  | absresq 15342 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑎 ∈ ℝ →
((abs‘𝑎)↑2) =
(𝑎↑2)) | 
| 203 | 201, 202 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑎)↑2) =
(𝑎↑2)) | 
| 204 | 203 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
(((abs‘𝑎)↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((𝑎↑2)↑(𝑛 / 2))) | 
| 205 | 199, 10, 155 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈
ℂ) | 
| 206 | 205 | abscld 15476 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑎) ∈
ℝ) | 
| 207 | 206 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑎) ∈
ℂ) | 
| 208 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ∈
ℕ) | 
| 209 | 208 | nnnn0d 12589 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ∈
ℕ0) | 
| 210 |  | 2nn0 12545 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℕ0 | 
| 211 | 210 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∈
ℕ0) | 
| 212 | 207, 209,
211 | expmuld 14190 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑎)↑(2
· (𝑛 / 2))) =
(((abs‘𝑎)↑2)↑(𝑛 / 2))) | 
| 213 | 205, 209,
211 | expmuld 14190 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑎↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((𝑎↑2)↑(𝑛 / 2))) | 
| 214 | 204, 212,
213 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑎)↑(2
· (𝑛 / 2))) = (𝑎↑(2 · (𝑛 / 2)))) | 
| 215 |  | simp-5l 784 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)) | 
| 216 |  | nncn 12275 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℂ) | 
| 217 | 215, 96, 216 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑛 ∈
ℂ) | 
| 218 |  | 2cnd 12345 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∈
ℂ) | 
| 219 |  | 2ne0 12371 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 2 ≠
0 | 
| 220 | 219 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 2 ≠
0) | 
| 221 | 217, 218,
220 | divcan2d 12046 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (2 ·
(𝑛 / 2)) = 𝑛) | 
| 222 | 221 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑛 = (2 · (𝑛 / 2))) | 
| 223 | 222 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑎)↑𝑛) = ((abs‘𝑎)↑(2 · (𝑛 / 2)))) | 
| 224 | 222 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑎↑𝑛) = (𝑎↑(2 · (𝑛 / 2)))) | 
| 225 | 214, 223,
224 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑎)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛)) | 
| 226 |  | simp-4r 783 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 227 | 226 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈
ℤ) | 
| 228 | 227 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈
ℝ) | 
| 229 |  | absresq 15342 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 ∈ ℝ →
((abs‘𝑏)↑2) =
(𝑏↑2)) | 
| 230 | 228, 229 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑏)↑2) =
(𝑏↑2)) | 
| 231 | 230 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
(((abs‘𝑏)↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((𝑏↑2)↑(𝑛 / 2))) | 
| 232 | 226, 23, 168 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈
ℂ) | 
| 233 | 232 | abscld 15476 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑏) ∈
ℝ) | 
| 234 | 233 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑏) ∈
ℂ) | 
| 235 | 234, 209,
211 | expmuld 14190 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑏)↑(2
· (𝑛 / 2))) =
(((abs‘𝑏)↑2)↑(𝑛 / 2))) | 
| 236 | 232, 209,
211 | expmuld 14190 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑏↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((𝑏↑2)↑(𝑛 / 2))) | 
| 237 | 231, 235,
236 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑏)↑(2
· (𝑛 / 2))) = (𝑏↑(2 · (𝑛 / 2)))) | 
| 238 | 222 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑏)↑𝑛) = ((abs‘𝑏)↑(2 · (𝑛 / 2)))) | 
| 239 | 222 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑏↑𝑛) = (𝑏↑(2 · (𝑛 / 2)))) | 
| 240 | 237, 238,
239 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑏)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛)) | 
| 241 | 225, 240 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
(((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))) | 
| 242 | 87 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈
ℝ) | 
| 243 |  | absresq 15342 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑐 ∈ ℝ →
((abs‘𝑐)↑2) =
(𝑐↑2)) | 
| 244 | 242, 243 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑐)↑2) =
(𝑐↑2)) | 
| 245 | 244 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
(((abs‘𝑐)↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((𝑐↑2)↑(𝑛 / 2))) | 
| 246 |  | zcn 12620 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈
ℂ) | 
| 247 | 86, 65, 246 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈
ℂ) | 
| 248 | 247 | abscld 15476 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑐) ∈
ℝ) | 
| 249 | 248 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑐) ∈
ℂ) | 
| 250 | 249, 209,
211 | expmuld 14190 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑐)↑(2
· (𝑛 / 2))) =
(((abs‘𝑐)↑2)↑(𝑛 / 2))) | 
| 251 | 247, 209,
211 | expmuld 14190 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑐↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((𝑐↑2)↑(𝑛 / 2))) | 
| 252 | 245, 250,
251 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑐)↑(2
· (𝑛 / 2))) = (𝑐↑(2 · (𝑛 / 2)))) | 
| 253 | 222 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑐)↑𝑛) = ((abs‘𝑐)↑(2 · (𝑛 / 2)))) | 
| 254 | 222 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑐↑𝑛) = (𝑐↑(2 · (𝑛 / 2)))) | 
| 255 | 252, 253,
254 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
((abs‘𝑐)↑𝑛) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 256 | 198, 241,
255 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) →
(((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)) = ((abs‘𝑐)↑𝑛)) | 
| 257 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℕ →
if((𝑛 / 2) ∈ ℕ,
(abs‘𝑎), if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) = (abs‘𝑎)) | 
| 258 | 257 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℕ →
(if((𝑛 / 2) ∈ ℕ,
(abs‘𝑎), if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) = ((abs‘𝑎)↑𝑛)) | 
| 259 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℕ →
if((𝑛 / 2) ∈ ℕ,
(abs‘𝑏), if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) = (abs‘𝑏)) | 
| 260 | 259 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℕ →
(if((𝑛 / 2) ∈ ℕ,
(abs‘𝑏), if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛) = ((abs‘𝑏)↑𝑛)) | 
| 261 | 258, 260 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℕ →
((if((𝑛 / 2) ∈
ℕ, (abs‘𝑎),
if(0 < 𝑎, if(0 <
𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛))) | 
| 262 | 261 | adantl 481 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ,
(abs‘𝑎), if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛))) | 
| 263 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℕ →
if((𝑛 / 2) ∈ ℕ,
(abs‘𝑐), if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) = (abs‘𝑐)) | 
| 264 | 263 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℕ →
(if((𝑛 / 2) ∈ ℕ,
(abs‘𝑐), if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = ((abs‘𝑐)↑𝑛)) | 
| 265 | 264 | adantl 481 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ,
(abs‘𝑐), if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = ((abs‘𝑐)↑𝑛)) | 
| 266 | 256, 262,
265 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ,
(abs‘𝑎), if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛)) | 
| 267 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 <
𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) = 𝑎) | 
| 268 | 267 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 <
𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) = (𝑎↑𝑛)) | 
| 269 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 <
𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) = 𝑏) | 
| 270 | 269 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 <
𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛) = (𝑏↑𝑛)) | 
| 271 | 268, 270 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (0 <
𝑏 → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))) | 
| 272 | 271 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))) | 
| 273 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 <
𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) = 𝑐) | 
| 274 | 273 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (0 <
𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 275 | 274 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 276 | 112, 272,
275 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛)) | 
| 277 |  | simp-7r 789 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 278 | 277, 23, 168 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ) | 
| 279 |  | simp-8l 790 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)) | 
| 280 | 279, 96 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ) | 
| 281 |  | simp-4r 783 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈
ℕ) | 
| 282 |  | 2nn 12340 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 2 ∈
ℕ | 
| 283 |  | nndivdvds 16300 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∈
ℕ) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)) | 
| 284 | 280, 282,
283 | sylancl 586 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)) | 
| 285 | 281, 284 | mtbird 325 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛) | 
| 286 |  | oexpneg 16383 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2
∥ 𝑛) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛)) | 
| 287 | 278, 280,
285, 286 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛)) | 
| 288 | 287 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) | 
| 289 |  | nnnn0 12535 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℕ0) | 
| 290 | 279, 96, 289 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0) | 
| 291 | 278, 290 | expcld 14187 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 292 | 291 | negcld 11608 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -(𝑏↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 293 |  | simp-6r 787 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 294 | 293, 65, 246 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ) | 
| 295 | 294, 290 | expcld 14187 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 296 | 292, 295 | addcomd 11464 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛))) | 
| 297 | 295, 291 | negsubd 11627 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛))) | 
| 298 | 296, 297 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛))) | 
| 299 | 118, 10, 155 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ) | 
| 300 | 299, 290 | expcld 14187 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 301 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 302 | 301 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))) | 
| 303 | 300, 291,
302 | mvrraddd 11676 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛)) | 
| 304 | 288, 298,
303 | 3eqtrd 2780 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛)) | 
| 305 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (0 <
𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎) = -𝑏) | 
| 306 | 305 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (0 <
𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛)) | 
| 307 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (0 <
𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) = 𝑐) | 
| 308 | 307 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (0 <
𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 309 | 306, 308 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 <
𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) | 
| 310 | 309 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) | 
| 311 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (0 <
𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏) = 𝑎) | 
| 312 | 311 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 <
𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛)) | 
| 313 | 312 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛)) | 
| 314 | 304, 310,
313 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛)) | 
| 315 |  | simp-8r 791 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 316 | 315, 10, 155 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ) | 
| 317 | 96 | ad8antr 740 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ) | 
| 318 | 317 | nnnn0d 12589 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0) | 
| 319 | 316, 318 | expcld 14187 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 320 |  | simp-6r 787 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 321 | 320, 65, 246 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ) | 
| 322 | 321, 318 | expcld 14187 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 323 | 319, 322 | negsubd 11627 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛))) | 
| 324 | 319, 322 | subcld 11621 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛)) ∈ ℂ) | 
| 325 | 122, 23, 168 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ) | 
| 326 | 325, 318 | expcld 14187 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 327 | 326 | negcld 11608 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(𝑏↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 328 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 329 | 319, 326,
328 | mvlraddd 11674 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛))) | 
| 330 | 322, 319 | pncan3d 11624 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛))) = (𝑎↑𝑛)) | 
| 331 | 322, 326 | negsubd 11627 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛))) | 
| 332 | 329, 330,
331 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛))) = ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛))) | 
| 333 | 322, 324,
327, 332 | addcanad 11467 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛)) = -(𝑏↑𝑛)) | 
| 334 | 323, 333 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)) = -(𝑏↑𝑛)) | 
| 335 |  | simp-4r 783 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈
ℕ) | 
| 336 | 317, 282,
283 | sylancl 586 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)) | 
| 337 | 335, 336 | mtbird 325 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛) | 
| 338 |  | oexpneg 16383 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2
∥ 𝑛) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛)) | 
| 339 | 321, 317,
337, 338 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛)) | 
| 340 | 339 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛))) | 
| 341 | 325, 317,
337, 286 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛)) | 
| 342 | 334, 340,
341 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = (-𝑏↑𝑛)) | 
| 343 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬ 0
< 𝑐 → if(0 <
𝑐, -𝑏, 𝑎) = 𝑎) | 
| 344 | 343 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬ 0
< 𝑐 → (if(0 <
𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛)) | 
| 345 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬ 0
< 𝑐 → if(0 <
𝑐, 𝑐, -𝑐) = -𝑐) | 
| 346 | 345 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬ 0
< 𝑐 → (if(0 <
𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛) = (-𝑐↑𝑛)) | 
| 347 | 344, 346 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬ 0
< 𝑐 → ((if(0 <
𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛))) | 
| 348 | 347 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛))) | 
| 349 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬ 0
< 𝑐 → if(0 <
𝑐, 𝑎, -𝑏) = -𝑏) | 
| 350 | 349 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬ 0
< 𝑐 → (if(0 <
𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛)) | 
| 351 | 350 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛)) | 
| 352 | 342, 348,
351 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛)) | 
| 353 | 314, 352 | pm2.61dan 812 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛)) | 
| 354 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → if(0 <
𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) = if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) | 
| 355 | 354 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → (if(0 <
𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛)) | 
| 356 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → if(0 <
𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) = if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) | 
| 357 | 356 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → (if(0 <
𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) | 
| 358 | 355, 357 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → ((if(0 <
𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛))) | 
| 359 | 358 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛))) | 
| 360 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → if(0 <
𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) = if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) | 
| 361 | 360 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → (if(0 <
𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛)) | 
| 362 | 361 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛)) | 
| 363 | 353, 359,
362 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛)) | 
| 364 | 276, 363 | pm2.61dan 812 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛)) | 
| 365 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (0 <
𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) = if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))) | 
| 366 | 365 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (0 <
𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛)) | 
| 367 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (0 <
𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) = if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))) | 
| 368 | 367 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (0 <
𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) | 
| 369 | 366, 368 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (0 <
𝑎 → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛))) | 
| 370 | 369 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛))) | 
| 371 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (0 <
𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) = if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))) | 
| 372 | 371 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (0 <
𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛)) | 
| 373 | 372 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛)) | 
| 374 | 364, 370,
373 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛)) | 
| 375 |  | simp-8r 791 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 376 | 375, 10, 155 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ) | 
| 377 | 96 | ad8antr 740 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ) | 
| 378 |  | simp-4r 783 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈
ℕ) | 
| 379 | 377, 282,
283 | sylancl 586 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)) | 
| 380 | 378, 379 | mtbird 325 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛) | 
| 381 |  | oexpneg 16383 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2
∥ 𝑛) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛)) | 
| 382 | 376, 377,
380, 381 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛)) | 
| 383 | 382 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) | 
| 384 | 377 | nnnn0d 12589 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0) | 
| 385 | 376, 384 | expcld 14187 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 386 | 385 | negcld 11608 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -(𝑎↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 387 |  | simp-6r 787 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 388 | 387, 65, 246 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ) | 
| 389 | 388, 384 | expcld 14187 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 390 | 386, 389 | addcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) ∈ ℂ) | 
| 391 | 129, 23, 168 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ) | 
| 392 | 391, 384 | expcld 14187 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 393 | 385 | negidd 11611 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + -(𝑎↑𝑛)) = 0) | 
| 394 | 393 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + -(𝑎↑𝑛)) + (𝑐↑𝑛)) = (0 + (𝑐↑𝑛))) | 
| 395 | 385, 386,
389 | addassd 11284 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + -(𝑎↑𝑛)) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))) | 
| 396 | 389 | addlidd 11463 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (0 + (𝑐↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 397 | 394, 395,
396 | 3eqtr3d 2784 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 398 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 399 | 397, 398 | eqtr4d 2779 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))) | 
| 400 | 385, 390,
392, 399 | addcanad 11467 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑏↑𝑛)) | 
| 401 | 383, 400 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑏↑𝑛)) | 
| 402 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (0 <
𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏) = -𝑎) | 
| 403 | 402 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (0 <
𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛)) | 
| 404 | 403, 308 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 <
𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) | 
| 405 | 404 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) | 
| 406 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (0 <
𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎) = 𝑏) | 
| 407 | 406 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 <
𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛)) | 
| 408 | 407 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛)) | 
| 409 | 401, 405,
408 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛)) | 
| 410 |  | simp-7r 789 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 411 | 410, 23, 168 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ) | 
| 412 |  | simp-8l 790 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)) | 
| 413 | 412, 96, 289 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0) | 
| 414 | 411, 413 | expcld 14187 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 415 | 414 | negcld 11608 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(𝑏↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 416 |  | simp-6r 787 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})) | 
| 417 | 416, 65, 246 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ) | 
| 418 | 417, 413 | expcld 14187 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 419 | 415, 418 | addcomd 11464 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛))) | 
| 420 | 418, 414 | negsubd 11627 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛))) | 
| 421 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 422 | 421 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) − (𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛))) | 
| 423 | 133, 10, 155 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ) | 
| 424 | 423, 413 | expcld 14187 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 425 | 424, 414 | pncand 11622 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) − (𝑏↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛)) | 
| 426 | 422, 425 | eqtr3d 2778 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛)) | 
| 427 | 419, 420,
426 | 3eqtrd 2780 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛)) | 
| 428 | 427 | negeqd 11503 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = -(𝑎↑𝑛)) | 
| 429 | 414 | negnegd 11612 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → --(𝑏↑𝑛) = (𝑏↑𝑛)) | 
| 430 | 429 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) = --(𝑏↑𝑛)) | 
| 431 | 430 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)) = (--(𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛))) | 
| 432 | 412, 96 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ) | 
| 433 |  | simp-4r 783 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈
ℕ) | 
| 434 | 432, 282,
283 | sylancl 586 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)) | 
| 435 | 433, 434 | mtbird 325 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛) | 
| 436 | 417, 432,
435, 338 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛)) | 
| 437 | 436 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = ((𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛))) | 
| 438 | 415, 418 | negdid 11634 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (--(𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛))) | 
| 439 | 431, 437,
438 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = -(-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) | 
| 440 | 423, 432,
435, 381 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛)) | 
| 441 | 428, 439,
440 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = (-𝑎↑𝑛)) | 
| 442 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬ 0
< 𝑐 → if(0 <
𝑐, -𝑎, 𝑏) = 𝑏) | 
| 443 | 442 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬ 0
< 𝑐 → (if(0 <
𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛)) | 
| 444 | 443, 346 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬ 0
< 𝑐 → ((if(0 <
𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛))) | 
| 445 | 444 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛))) | 
| 446 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬ 0
< 𝑐 → if(0 <
𝑐, 𝑏, -𝑎) = -𝑎) | 
| 447 | 446 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬ 0
< 𝑐 → (if(0 <
𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛)) | 
| 448 | 447 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛)) | 
| 449 | 441, 445,
448 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛)) | 
| 450 | 409, 449 | pm2.61dan 812 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛)) | 
| 451 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 <
𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎) = if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)) | 
| 452 | 451 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 <
𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛)) | 
| 453 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 <
𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏) = if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) | 
| 454 | 453 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 <
𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) | 
| 455 | 452, 454 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (0 <
𝑏 → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛))) | 
| 456 | 455 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛))) | 
| 457 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 <
𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐) = if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)) | 
| 458 | 457 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (0 <
𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛)) | 
| 459 | 458 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛)) | 
| 460 | 450, 456,
459 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛)) | 
| 461 | 186 | negeqd 11503 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = -(𝑐↑𝑛)) | 
| 462 | 144, 282,
283 | sylancl 586 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)) | 
| 463 | 161, 462 | mtbird 325 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 2 ∥ 𝑛) | 
| 464 | 156, 144,
463, 381 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛)) | 
| 465 | 169, 144,
463, 286 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛)) | 
| 466 | 464, 465 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)) = (-(𝑎↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛))) | 
| 467 | 141, 11 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ≠ 0) | 
| 468 | 156, 467,
172 | expclzd 14192 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 469 | 169, 170,
172 | expclzd 14192 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ) | 
| 470 | 468, 469 | negdid 11634 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (-(𝑎↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛))) | 
| 471 | 466, 470 | eqtr4d 2779 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)) = -((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))) | 
| 472 | 139, 65, 246 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℂ) | 
| 473 | 472, 144,
463, 338 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛)) | 
| 474 | 461, 471,
473 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)) = (-𝑐↑𝑛)) | 
| 475 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → if(0 <
𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎) = -𝑎) | 
| 476 | 475 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → (if(0 <
𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛)) | 
| 477 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → if(0 <
𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏) = -𝑏) | 
| 478 | 477 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → (if(0 <
𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛)) | 
| 479 | 476, 478 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → ((if(0 <
𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛))) | 
| 480 | 479 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛))) | 
| 481 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → if(0 <
𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐) = -𝑐) | 
| 482 | 481 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (¬ 0
< 𝑏 → (if(0 <
𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (-𝑐↑𝑛)) | 
| 483 | 482 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (-𝑐↑𝑛)) | 
| 484 | 474, 480,
483 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛)) | 
| 485 | 460, 484 | pm2.61dan 812 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛)) | 
| 486 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (¬ 0
< 𝑎 → if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) = if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) | 
| 487 | 486 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (¬ 0
< 𝑎 → (if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛)) | 
| 488 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (¬ 0
< 𝑎 → if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) = if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) | 
| 489 | 488 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (¬ 0
< 𝑎 → (if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) | 
| 490 | 487, 489 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬ 0
< 𝑎 → ((if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛))) | 
| 491 | 490 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛))) | 
| 492 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (¬ 0
< 𝑎 → if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) = if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) | 
| 493 | 492 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬ 0
< 𝑎 → (if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛)) | 
| 494 | 493 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛)) | 
| 495 | 485, 491,
494 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 <
𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛)) | 
| 496 | 374, 495 | pm2.61dan 812 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛)) | 
| 497 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
(𝑛 / 2) ∈ ℕ
→ if((𝑛 / 2) ∈
ℕ, (abs‘𝑎),
if(0 < 𝑎, if(0 <
𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) = if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) | 
| 498 | 497 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
(𝑛 / 2) ∈ ℕ
→ (if((𝑛 / 2) ∈
ℕ, (abs‘𝑎),
if(0 < 𝑎, if(0 <
𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛)) | 
| 499 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
(𝑛 / 2) ∈ ℕ
→ if((𝑛 / 2) ∈
ℕ, (abs‘𝑏),
if(0 < 𝑎, if(0 <
𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) = if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) | 
| 500 | 499 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
(𝑛 / 2) ∈ ℕ
→ (if((𝑛 / 2) ∈
ℕ, (abs‘𝑏),
if(0 < 𝑎, if(0 <
𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) | 
| 501 | 498, 500 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
(𝑛 / 2) ∈ ℕ
→ ((if((𝑛 / 2) ∈
ℕ, (abs‘𝑎),
if(0 < 𝑎, if(0 <
𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛))) | 
| 502 | 501 | adantl 481 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ,
(abs‘𝑎), if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛))) | 
| 503 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
(𝑛 / 2) ∈ ℕ
→ if((𝑛 / 2) ∈
ℕ, (abs‘𝑐),
if(0 < 𝑎, if(0 <
𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) = if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) | 
| 504 | 503 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
(𝑛 / 2) ∈ ℕ
→ (if((𝑛 / 2) ∈
ℕ, (abs‘𝑐),
if(0 < 𝑎, if(0 <
𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛)) | 
| 505 | 504 | adantl 481 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ,
(abs‘𝑐), if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛)) | 
| 506 | 496, 502,
505 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ,
(abs‘𝑎), if(0 <
𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛)) | 
| 507 | 266, 506 | pm2.61dan 812 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛)) | 
| 508 | 3, 6, 8, 48, 85, 197, 507 | 3rspcedvdw 3639 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
∧ 𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)) | 
| 509 | 508 | rexlimdva2 3156 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
→ (∃𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))) | 
| 510 | 509 | rexlimdva 3154 | . . . . . 6
⊢ ((𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) →
(∃𝑏 ∈ (ℤ
∖ {0})∃𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))) | 
| 511 | 510 | rexlimdva 3154 | . . . . 5
⊢ (𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) → (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∃𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))) | 
| 512 | 511 | reximia 3080 | . . . 4
⊢
(∃𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∃𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)) | 
| 513 |  | nne 2943 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) | 
| 514 | 513 | bicomi 224 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 515 | 514 | rexbii 3093 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 516 |  | rexnal 3099 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0}) ¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 517 | 515, 516 | bitri 275 | . . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 518 | 517 | rexbii 3093 | . . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑏 ∈
(ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬
∀𝑐 ∈ (ℤ
∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 519 |  | rexnal 3099 | . . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑏 ∈
(ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 520 | 518, 519 | bitri 275 | . . . . . . . 8
⊢
(∃𝑏 ∈
(ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 521 | 520 | rexbii 3093 | . . . . . . 7
⊢
(∃𝑎 ∈
(ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬
∀𝑏 ∈ (ℤ
∖ {0})∀𝑐
∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 522 |  | rexnal 3099 | . . . . . . 7
⊢
(∃𝑎 ∈
(ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∀𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 523 | 521, 522 | bitri 275 | . . . . . 6
⊢
(∃𝑎 ∈
(ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∀𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 524 | 523 | rexbii 3093 | . . . . 5
⊢
(∃𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∃𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)
¬ ∀𝑎 ∈
(ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 525 |  | rexnal 3099 | . . . . 5
⊢
(∃𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∀𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∀𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 526 | 524, 525 | bitri 275 | . . . 4
⊢
(∃𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∃𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∀𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 527 |  | nne 2943 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)) | 
| 528 | 527 | bicomi 224 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 529 | 528 | rexbii 3093 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑧 ∈
ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ ¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 530 |  | rexnal 3099 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑧 ∈
ℕ ¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 531 | 529, 530 | bitri 275 | . . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑧 ∈
ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 532 | 531 | rexbii 3093 | . . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑦 ∈
ℕ ∃𝑧 ∈
ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 533 |  | rexnal 3099 | . . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑦 ∈
ℕ ¬ ∀𝑧
∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 534 | 532, 533 | bitri 275 | . . . . . . . 8
⊢
(∃𝑦 ∈
ℕ ∃𝑧 ∈
ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 535 | 534 | rexbii 3093 | . . . . . . 7
⊢
(∃𝑥 ∈
ℕ ∃𝑦 ∈
ℕ ∃𝑧 ∈
ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 536 |  | rexnal 3099 | . . . . . . 7
⊢
(∃𝑥 ∈
ℕ ¬ ∀𝑦
∈ ℕ ∀𝑧
∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 537 | 535, 536 | bitri 275 | . . . . . 6
⊢
(∃𝑥 ∈
ℕ ∃𝑦 ∈
ℕ ∃𝑧 ∈
ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 538 | 537 | rexbii 3093 | . . . . 5
⊢
(∃𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)
¬ ∀𝑥 ∈
ℕ ∀𝑦 ∈
ℕ ∀𝑧 ∈
ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 539 |  | rexnal 3099 | . . . . 5
⊢
(∃𝑛 ∈
(ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 540 | 538, 539 | bitri 275 | . . . 4
⊢
(∃𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 541 | 512, 526,
540 | 3imtr3i 291 | . . 3
⊢ (¬
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∀𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ¬ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 542 | 541 | con4i 114 | . 2
⊢
(∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) → ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∀𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 543 |  | dfn2 12541 | . . . . . 6
⊢ ℕ =
(ℕ0 ∖ {0}) | 
| 544 |  | nn0ssz 12638 | . . . . . . 7
⊢
ℕ0 ⊆ ℤ | 
| 545 |  | ssdif 4143 | . . . . . . 7
⊢
(ℕ0 ⊆ ℤ → (ℕ0 ∖
{0}) ⊆ (ℤ ∖ {0})) | 
| 546 | 544, 545 | ax-mp 5 | . . . . . 6
⊢
(ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (ℤ ∖
{0}) | 
| 547 | 543, 546 | eqsstri 4029 | . . . . 5
⊢ ℕ
⊆ (ℤ ∖ {0}) | 
| 548 |  | ssel 3976 | . . . . . . 7
⊢ (ℕ
⊆ (ℤ ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ (ℤ ∖
{0}))) | 
| 549 |  | ss2ralv 4053 | . . . . . . 7
⊢ (ℕ
⊆ (ℤ ∖ {0}) → (∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))) | 
| 550 | 548, 549 | imim12d 81 | . . . . . 6
⊢ (ℕ
⊆ (ℤ ∖ {0}) → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) →
∀𝑏 ∈ (ℤ
∖ {0})∀𝑐
∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) → (𝑎 ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))) | 
| 551 | 550 | ralimdv2 3162 | . . . . 5
⊢ (ℕ
⊆ (ℤ ∖ {0}) → (∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∀𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))) | 
| 552 | 547, 551 | ax-mp 5 | . . . 4
⊢
(∀𝑎 ∈
(ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) | 
| 553 |  | oveq1 7439 | . . . . . . 7
⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎↑𝑛) = (𝑥↑𝑛)) | 
| 554 | 553 | oveq1d 7447 | . . . . . 6
⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = ((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))) | 
| 555 | 554 | neeq1d 2999 | . . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))) | 
| 556 |  | oveq1 7439 | . . . . . . 7
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏↑𝑛) = (𝑦↑𝑛)) | 
| 557 | 556 | oveq2d 7448 | . . . . . 6
⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛))) | 
| 558 | 557 | neeq1d 2999 | . . . . 5
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))) | 
| 559 |  | oveq1 7439 | . . . . . 6
⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑐↑𝑛) = (𝑧↑𝑛)) | 
| 560 | 559 | neeq2d 3000 | . . . . 5
⊢ (𝑐 = 𝑧 → (((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))) | 
| 561 | 555, 558,
560 | cbvral3vw 3242 | . . . 4
⊢
(∀𝑎 ∈
ℕ ∀𝑏 ∈
ℕ ∀𝑐 ∈
ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 562 | 552, 561 | sylib 218 | . . 3
⊢
(∀𝑎 ∈
(ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖
{0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 563 | 562 | ralimi 3082 | . 2
⊢
(∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∀𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)) | 
| 564 | 542, 563 | impbii 209 | 1
⊢
(∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖
{0})∀𝑐 ∈
(ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) |