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Theorem dffltz 40784
Description: Fermat's Last Theorem (FLT) for nonzero integers is equivalent to the original scope of natural numbers. The backwards direction takes (𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛) = (𝑐↑𝑛), and adds the negative of any negative term to both sides, thus creating the corresponding equation with only positive integers. There are six combinations of negativity, so the proof is particularly long. (Contributed by Steven Nguyen, 27-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
dffltz (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝑎,𝑏,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧
Proof of Theorem dffltz
StepHypRef Expression
1 oveq1 7348 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) → (𝑥↑𝑛) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛))
21oveq1d 7356 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) → ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)))
32eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) → (((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
4 oveq1 7348 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) → (𝑦↑𝑛) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛))
54oveq2d 7357 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)))
65eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) → (((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
7 oveq1 7348 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) → (𝑧↑𝑛) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))
87eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 (𝑧 = if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) → (((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛)))
9 simp-4r 782 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
10 eldifi 4077 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑎 ∈ ℤ)
11 eldifsni 4741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑎 ≠ 0)
1210, 11jca 513 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0))
13 nnabscl 15136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
149, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
15 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
1615eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
17 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑎)
18 elnnz 12434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑎))
1916, 17, 18sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℕ)
20 eldifsni 4741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑏 ≠ 0)
2120ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ≠ 0)
22 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑏)
23 eldifi 4077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑏 ∈ ℤ)
2423ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ)
2521, 22, 24negn0nposznnd 40621 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -𝑏 ∈ ℕ)
26 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
2726eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ)
28 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑎)
2927, 28, 18sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℕ)
3025, 29ifclda 4512 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎) ∈ ℕ)
3119, 30ifclda 4512 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) ∈ ℕ)
3211ad7antlr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ≠ 0)
33 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑎)
3410ad7antlr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ)
3532, 33, 34negn0nposznnd 40621 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -𝑎 ∈ ℕ)
36 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
3736eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ)
38 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑏)
39 elnnz 12434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑏))
4037, 38, 39sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℕ)
4135, 40ifclda 4512 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏) ∈ ℕ)
4211ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ≠ 0)
43 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑎)
4410ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
4542, 43, 44negn0nposznnd 40621 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -𝑎 ∈ ℕ)
4641, 45ifclda 4512 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎) ∈ ℕ)
4731, 46ifclda 4512 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) ∈ ℕ)
4814, 47ifcld 4523 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) ∈ ℕ)
49 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
5023, 20jca 513 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0))
51 nnabscl 15136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0) → (abs‘𝑏) ∈ ℕ)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → (abs‘𝑏) ∈ ℕ)
53 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
5453eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
55 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑏)
5654, 55, 39sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ)
57 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
5857eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
59 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑐)
60 elnnz 12434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℕ ↔ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑐))
6158, 59, 60sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℕ)
62 eldifsni 4741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑐 ≠ 0)
6362ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ≠ 0)
64 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑐)
65 eldifi 4077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑐 ∈ ℤ)
6665ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
6763, 64, 66negn0nposznnd 40621 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑐 ∈ ℕ)
6861, 67ifclda 4512 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) ∈ ℕ)
6956, 68ifclda 4512 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) ∈ ℕ)
70 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
7170eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
72 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑐)
7371, 72, 60sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℕ)
7462ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ≠ 0)
75 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑐)
7665ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
7774, 75, 76negn0nposznnd 40621 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑐 ∈ ℕ)
7873, 77ifclda 4512 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) ∈ ℕ)
7920ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ≠ 0)
80 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑏)
8123ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
8279, 80, 81negn0nposznnd 40621 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -𝑏 ∈ ℕ)
8378, 82ifclda 4512 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏) ∈ ℕ)
8469, 83ifclda 4512 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) ∈ ℕ)
8552, 84ifcld 4523 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) ∈ ℕ)
86 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
8786eldifad 3913 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℤ)
8886, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ≠ 0)
89 nnabscl 15136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑐 ≠ 0) → (abs‘𝑐) ∈ ℕ)
9087, 88, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑐) ∈ ℕ)
91 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
9291eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℤ)
93 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
9493eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
9594zred 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
96 eluzge3nn 12735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑛 ∈ ℕ)
9796ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ)
9897nnnn0d 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9995, 98reexpcld 13986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℝ)
100 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
101100eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
102101zred 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
103102, 98reexpcld 13986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℝ)
104 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑎)
105 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
10695, 97, 105oexpreposd 40632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑎 ↔ 0 < (𝑎↑𝑛)))
107104, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < (𝑎↑𝑛))
108 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑏)
109102, 97, 105oexpreposd 40632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏↑𝑛)))
110108, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < (𝑏↑𝑛))
11199, 103, 107, 110addgt0d 11655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
112 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
113111, 112breqtrd 5122 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < (𝑐↑𝑛))
11492zred 12531 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℝ)
115114, 97, 105oexpreposd 40632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑐↑𝑛)))
116113, 115mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 0 < 𝑐)
11792, 116, 60sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℕ)
118 simp-8r 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
119118eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ)
120 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑎)
121119, 120, 18sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℕ)
122 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
123122, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ≠ 0)
124 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑏)
125122eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ)
126123, 124, 125negn0nposznnd 40621 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑏 ∈ ℕ)
127121, 126ifclda 4512 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏) ∈ ℕ)
128117, 127ifclda 4512 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) ∈ ℕ)
129 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
130129eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℤ)
131 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 0 < 𝑏)
132130, 131, 39sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℕ)
133 simp-8r 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
134133, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ≠ 0)
135 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 0 < 𝑎)
136133eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℤ)
137134, 135, 136negn0nposznnd 40621 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -𝑎 ∈ ℕ)
138132, 137ifclda 4512 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎) ∈ ℕ)
139 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
140139, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ≠ 0)
141 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
142141eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
143142zred 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
14496ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ)
145144nnnn0d 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℕ0)
146143, 145reexpcld 13986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℝ)
147 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
148147eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
149148zred 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
150149, 145reexpcld 13986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℝ)
151146, 150readdcld 11109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ∈ ℝ)
152 0red 11083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 0 ∈ ℝ)
15311neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ¬ 𝑎 = 0)
154141, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 𝑎 = 0)
155 zcn 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
156141, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℂ)
157 expeq0 13918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑎↑𝑛) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
158156, 144, 157syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
159154, 158mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑎↑𝑛) = 0)
160 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑎)
161 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
162143, 144, 161oexpreposd 40632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑎 ↔ 0 < (𝑎↑𝑛)))
163160, 162mtbid 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < (𝑎↑𝑛))
164 ioran 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ ((𝑎↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑎↑𝑛)) ↔ (¬ (𝑎↑𝑛) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝑎↑𝑛)))
165159, 163, 164sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ ((𝑎↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑎↑𝑛)))
166146, 152lttrid 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) < 0 ↔ ¬ ((𝑎↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑎↑𝑛))))
167165, 166mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) < 0)
168 zcn 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
169147, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℂ)
170147, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑏 ≠ 0)
171 eluzelz 12697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑛 ∈ ℤ)
172171ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑛 ∈ ℤ)
173169, 170, 172expne0d 13975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ≠ 0)
174173neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ (𝑏↑𝑛) = 0)
175 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑏)
176149, 144, 161oexpreposd 40632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏↑𝑛)))
177175, 176mtbid 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < (𝑏↑𝑛))
178 ioran 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ ((𝑏↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑏↑𝑛)) ↔ (¬ (𝑏↑𝑛) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝑏↑𝑛)))
179174, 177, 178sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ ((𝑏↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑏↑𝑛)))
180150, 152lttrid 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑏↑𝑛) < 0 ↔ ¬ ((𝑏↑𝑛) = 0 ∨ 0 < (𝑏↑𝑛))))
181179, 180mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) < 0)
182146, 150, 152, 152, 167, 181lt2addd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) < (0 + 0))
183 00id 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 0) = 0
184182, 183breqtrdi 5137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) < 0)
185151, 152, 184ltnsymd 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
186 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
187186eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑐↑𝑛) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
188187breq2d 5108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < (𝑐↑𝑛) ↔ 0 < ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛))))
189185, 188mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < (𝑐↑𝑛))
190139eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℤ)
191190zred 12531 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℝ)
192191, 144, 161oexpreposd 40632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑐↑𝑛)))
193189, 192mtbird 325 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 0 < 𝑐)
194140, 193, 190negn0nposznnd 40621 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -𝑐 ∈ ℕ)
195138, 194ifclda 4512 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐) ∈ ℕ)
196128, 195ifclda 4512 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) ∈ ℕ)
19790, 196ifclda 4512 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) ∈ ℕ)
198 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
199 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
200199eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℤ)
201200zred 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℝ)
202 absresq 15113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℝ → ((abs‘𝑎)↑2) = (𝑎↑2))
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑2) = (𝑎↑2))
204203oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑎)↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((𝑎↑2)↑(𝑛 / 2)))
205199, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℂ)
206205abscld 15247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
207206recnd 11108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑎) ∈ ℂ)
208 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
209208nnnn0d 12398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ∈ ℕ0)
210 2nn0 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
212207, 209, 211expmuld 13972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (((abs‘𝑎)↑2)↑(𝑛 / 2)))
213205, 209, 211expmuld 13972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑎↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((𝑎↑2)↑(𝑛 / 2)))
214204, 212, 2133eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (𝑎↑(2 · (𝑛 / 2))))
215 simp-5l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘3))
216 nncn 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
217215, 96, 2163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
218 2cnd 12156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
219 2ne0 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
221217, 218, 220divcan2d 11858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
222221eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑛 = (2 · (𝑛 / 2)))
223222oveq2d 7357 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑𝑛) = ((abs‘𝑎)↑(2 · (𝑛 / 2))))
224222oveq2d 7357 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑎↑𝑛) = (𝑎↑(2 · (𝑛 / 2))))
225214, 223, 2243eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑎)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
226 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
227226eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℤ)
228227zred 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℝ)
229 absresq 15113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℝ → ((abs‘𝑏)↑2) = (𝑏↑2))
230228, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑2) = (𝑏↑2))
231230oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑏)↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((𝑏↑2)↑(𝑛 / 2)))
232226, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
233232abscld 15247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑏) ∈ ℝ)
234233recnd 11108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑏) ∈ ℂ)
235234, 209, 211expmuld 13972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (((abs‘𝑏)↑2)↑(𝑛 / 2)))
236232, 209, 211expmuld 13972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑏↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((𝑏↑2)↑(𝑛 / 2)))
237231, 235, 2363eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (𝑏↑(2 · (𝑛 / 2))))
238222oveq2d 7357 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑𝑛) = ((abs‘𝑏)↑(2 · (𝑛 / 2))))
239222oveq2d 7357 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑏↑𝑛) = (𝑏↑(2 · (𝑛 / 2))))
240237, 238, 2393eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑏)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
241225, 240oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
24287zred 12531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℝ)
243 absresq 15113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ → ((abs‘𝑐)↑2) = (𝑐↑2))
244242, 243syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑2) = (𝑐↑2))
245244oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑐)↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((𝑐↑2)↑(𝑛 / 2)))
246 zcn 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℂ)
24786, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℂ)
248247abscld 15247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑐) ∈ ℝ)
249248recnd 11108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (abs‘𝑐) ∈ ℂ)
250249, 209, 211expmuld 13972 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (((abs‘𝑐)↑2)↑(𝑛 / 2)))
251247, 209, 211expmuld 13972 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑐↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((𝑐↑2)↑(𝑛 / 2)))
252245, 250, 2513eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑(2 · (𝑛 / 2))) = (𝑐↑(2 · (𝑛 / 2))))
253222oveq2d 7357 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑𝑛) = ((abs‘𝑐)↑(2 · (𝑛 / 2))))
254222oveq2d 7357 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝑐↑𝑛) = (𝑐↑(2 · (𝑛 / 2))))
255252, 253, 2543eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑐)↑𝑛) = (𝑐↑𝑛))
256198, 241, 2553eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)) = ((abs‘𝑐)↑𝑛))
257 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) = (abs‘𝑎))
258257oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) = ((abs‘𝑎)↑𝑛))
259 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) = (abs‘𝑏))
260259oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛) = ((abs‘𝑏)↑𝑛))
261258, 260oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)))
262261adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (((abs‘𝑎)↑𝑛) + ((abs‘𝑏)↑𝑛)))
263 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) = (abs‘𝑐))
264263oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = ((abs‘𝑐)↑𝑛))
265264adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = ((abs‘𝑐)↑𝑛))
266256, 262, 2653eqtr4d 2787 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))
267 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) = 𝑎)
268267oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
269 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) = 𝑏)
270269oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
271268, 270oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑏 → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
272271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
273 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) = 𝑐)
274273oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (𝑐↑𝑛))
275274adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (𝑐↑𝑛))
276112, 272, 2753eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
277 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
278277, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ)
279 simp-8l 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘3))
280279, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ)
281 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
282 2nn 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
283 nndivdvds 16071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
284280, 282, 283sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
285281, 284mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
286 oexpneg 16153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛))
287278, 280, 285, 286syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛))
288287oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
289 nnnn0 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
290279, 96, 2893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0)
291278, 290expcld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
292291negcld 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -(𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
293 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
294293, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
295294, 290expcld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ)
296292, 295addcomd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
297295, 291negsubd 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
298296, 297eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
299118, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ)
300299, 290expcld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
301 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
302301eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
303300, 291, 302mvrraddd 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
304288, 298, 3033eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
305 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎) = -𝑏)
306305oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛))
307 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) = 𝑐)
308307oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛) = (𝑐↑𝑛))
309306, 308oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
310309adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
311 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏) = 𝑎)
312311oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
313312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
314304, 310, 3133eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
315 simp-8r 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
316315, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ)
31796ad8antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ)
318317nnnn0d 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0)
319316, 318expcld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
320 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
321320, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
322321, 318expcld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ)
323319, 322negsubd 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛)))
324319, 322subcld 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛)) ∈ ℂ)
325122, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ)
326325, 318expcld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
327326negcld 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
328 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
329319, 326, 328mvlraddd 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
330322, 319pncan3d 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛))) = (𝑎↑𝑛))
331322, 326negsubd 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
332329, 330, 3313eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛))) = ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
333322, 324, 327, 332addcanad 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) − (𝑐↑𝑛)) = -(𝑏↑𝑛))
334323, 333eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)) = -(𝑏↑𝑛))
335 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
336317, 282, 283sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
337335, 336mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
338 oexpneg 16153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛))
339321, 317, 337, 338syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛))
340339oveq2d 7357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)))
341325, 317, 337, 286syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛))
342334, 340, 3413eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = (-𝑏↑𝑛))
343 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎) = 𝑎)
344343oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) = (𝑎↑𝑛))
345 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐) = -𝑐)
346345oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛) = (-𝑐↑𝑛))
347344, 346oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)))
348347adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)))
349 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏) = -𝑏)
350349oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛))
351350adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛))
352342, 348, 3513eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
353314, 352pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
354 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)) = if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))
355354oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛))
356 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)) = if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))
357356oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛))
358355, 357oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑏 → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)))
359358adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)))
360 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)) = if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))
361360oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
362361adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)↑𝑛))
363353, 359, 3623eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
364276, 363pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
365 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) = if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)))
366365oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛))
367 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) = if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)))
368367oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛))
369366, 368oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < 𝑎 → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)))
370369adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))↑𝑛)))
371 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) = if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)))
372371oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
373372adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏))↑𝑛))
374364, 370, 3733eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
375 simp-8r 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}))
376375, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ)
37796ad8antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ)
378 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
379377, 282, 283sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
380378, 379mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
381 oexpneg 16153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛))
382376, 377, 380, 381syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛))
383382oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
384377nnnn0d 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0)
385376, 384expcld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
386385negcld 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → -(𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
387 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
388387, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
389388, 384expcld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ)
390386, 389addcld 11099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) ∈ ℂ)
391129, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ)
392391, 384expcld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
393385negidd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + -(𝑎↑𝑛)) = 0)
394393oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + -(𝑎↑𝑛)) + (𝑐↑𝑛)) = (0 + (𝑐↑𝑛)))
395385, 386, 389addassd 11102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + -(𝑎↑𝑛)) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑎↑𝑛) + (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))))
396389addid2d 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (0 + (𝑐↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
397394, 395, 3963eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) = (𝑐↑𝑛))
398 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
399397, 398eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛))) = ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
400385, 390, 392, 399addcanad 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (-(𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑏↑𝑛))
401383, 400eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑏↑𝑛))
402 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏) = -𝑎)
403402oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛))
404403, 308oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
405404adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
406 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎) = 𝑏)
407406oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
408407adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
409401, 405, 4083eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
410 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}))
411410, 23, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑏 ∈ ℂ)
412 simp-8l 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘3))
413412, 96, 2893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ0)
414411, 413expcld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
415414negcld 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
416 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}))
417416, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
418417, 413expcld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑐↑𝑛) ∈ ℂ)
419415, 418addcomd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
420418, 414negsubd 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
421 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
422421oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) − (𝑏↑𝑛)) = ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)))
423133, 10, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑎 ∈ ℂ)
424423, 413expcld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
425424, 414pncand 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) − (𝑏↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
426422, 425eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑐↑𝑛) − (𝑏↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
427419, 420, 4263eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (𝑎↑𝑛))
428427negeqd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = -(𝑎↑𝑛))
429414negnegd 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → --(𝑏↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
430429eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (𝑏↑𝑛) = --(𝑏↑𝑛))
431430oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)) = (--(𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)))
432412, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → 𝑛 ∈ ℕ)
433 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
434432, 282, 283sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
435433, 434mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
436417, 432, 435, 338syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛))
437436oveq2d 7357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = ((𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)))
438415, 418negdid 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → -(-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)) = (--(𝑏↑𝑛) + -(𝑐↑𝑛)))
439431, 437, 4383eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = -(-(𝑏↑𝑛) + (𝑐↑𝑛)))
440423, 432, 435, 381syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛))
441428, 439, 4403eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)) = (-𝑎↑𝑛))
442 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏) = 𝑏)
443442oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) = (𝑏↑𝑛))
444443, 346oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑐 → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)))
445444adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = ((𝑏↑𝑛) + (-𝑐↑𝑛)))
446 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 < 𝑐 → if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎) = -𝑎)
447446oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑐 → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛))
448447adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛))
449441, 445, 4483eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) ∧ ¬ 0 < 𝑐) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
450409, 449pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
451 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎) = if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏))
452451oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛))
453 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏) = if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐))
454453oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛))
455452, 454oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑏 → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)))
456455adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏)↑𝑛) + (if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)↑𝑛)))
457 iftrue 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐) = if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎))
458457oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
459458adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎)↑𝑛))
460450, 456, 4593eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
461186negeqd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = -(𝑐↑𝑛))
462144, 282, 283sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
463161, 462mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
464156, 144, 463, 381syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (-𝑎↑𝑛) = -(𝑎↑𝑛))
465169, 144, 463, 286syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (-𝑏↑𝑛) = -(𝑏↑𝑛))
466464, 465oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)) = (-(𝑎↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
467141, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑎 ≠ 0)
468156, 467, 172expclzd 13974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑎↑𝑛) ∈ ℂ)
469169, 170, 172expclzd 13974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (𝑏↑𝑛) ∈ ℂ)
470468, 469negdid 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → -((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (-(𝑎↑𝑛) + -(𝑏↑𝑛)))
471466, 470eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)) = -((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
472139, 65, 2463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℂ)
473472, 144, 463, 338syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (-𝑐↑𝑛) = -(𝑐↑𝑛))
474461, 471, 4733eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)) = (-𝑐↑𝑛))
475 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎) = -𝑎)
476475oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) = (-𝑎↑𝑛))
477 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏) = -𝑏)
478477oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛) = (-𝑏↑𝑛))
479476, 478oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑏 → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)))
480479adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = ((-𝑎↑𝑛) + (-𝑏↑𝑛)))
481 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 < 𝑏 → if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐) = -𝑐)
482481oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑏 → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (-𝑐↑𝑛))
483482adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛) = (-𝑐↑𝑛))
484474, 480, 4833eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 0 < 𝑏) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
485460, 484pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
486 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)) = if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))
487486oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛))
488 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)) = if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))
489488oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛))
490487, 489oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 0 < 𝑎 → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)))
491490adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)↑𝑛) + (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)↑𝑛)))
492 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 < 𝑎 → if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)) = if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))
493492oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 0 < 𝑎 → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
494493adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛) = (if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)↑𝑛))
495485, 491, 4943eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
496374, 495pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
497 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))) = if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))
498497oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛))
499 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))) = if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))
500499oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛))
501498, 500oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)))
502501adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = ((if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎))↑𝑛) + (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏))↑𝑛)))
503 iffalse 4486 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))) = if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))
504503oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
505504adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛) = (if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐))↑𝑛))
506496, 502, 5053eqtr4d 2787 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))
507266, 506pm2.61dan 811 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → ((if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑎), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑎, if(0 < 𝑐, -𝑏, 𝑎)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, -𝑎, 𝑏), -𝑎)))↑𝑛) + (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑏), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑐, -𝑐), -𝑏)))↑𝑛)) = (if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (abs‘𝑐), if(0 < 𝑎, if(0 < 𝑏, 𝑐, if(0 < 𝑐, 𝑎, -𝑏)), if(0 < 𝑏, if(0 < 𝑐, 𝑏, -𝑎), -𝑐)))↑𝑛))
5083, 6, 8, 48, 85, 197, 5073rspcedvdw 40489 . . . . . . . 8 (((((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))
509508rexlimdva2 3151 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})) → (∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
510509rexlimdva 3149 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})) → (∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
511510rexlimdva 3149 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛)))
512511reximia 3081 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))
513 nne 2945 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛))
514513bicomi 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
515514rexbii 3094 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
516 rexnal 3100 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
517515, 516bitri 275 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
518517rexbii 3094 . . . . . . . . 9 (∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
519 rexnal 3100 . . . . . . . . 9 (∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
520518, 519bitri 275 . . . . . . . 8 (∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
521520rexbii 3094 . . . . . . 7 (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
522 rexnal 3100 . . . . . . 7 (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) ¬ ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
523521, 522bitri 275 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
524523rexbii 3094 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
525 rexnal 3100 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
526524, 525bitri 275 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = (𝑐↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
527 nne 2945 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛))
528527bicomi 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
529528rexbii 3094 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ ¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
530 rexnal 3100 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℕ ¬ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
531529, 530bitri 275 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
532531rexbii 3094 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
533 rexnal 3100 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℕ ¬ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
534532, 533bitri 275 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
535534rexbii 3094 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
536 rexnal 3100 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
537535, 536bitri 275 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
538537rexbii 3094 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
539 rexnal 3100 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
540538, 539bitri 275 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) = (𝑧↑𝑛) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
541512, 526, 5403imtr3i 291 . . 3 (¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ¬ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
542541con4i 114 . 2 (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
543 dfn2 12351 . . . . . 6 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
544 nn0ssz 12446 . . . . . . 7 ℕ0 ⊆ ℤ
545 ssdif 4090 . . . . . . 7 (ℕ0 ⊆ ℤ → (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (ℤ ∖ {0}))
546544, 545ax-mp 5 . . . . . 6 (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (ℤ ∖ {0})
547543, 546eqsstri 3969 . . . . 5 ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0})
548 ssel 3928 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})))
549 ss2ralv 4003 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0}) → (∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))
550548, 549imim12d 81 . . . . . 6 (ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0}) → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)) → (𝑎 ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))))
551550ralimdv2 3157 . . . . 5 (ℕ ⊆ (ℤ ∖ {0}) → (∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))
552547, 551ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
553 oveq1 7348 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎↑𝑛) = (𝑥↑𝑛))
554553oveq1d 7356 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = ((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)))
555554neeq1d 3001 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥 → (((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))
556 oveq1 7348 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏↑𝑛) = (𝑦↑𝑛))
557556oveq2d 7357 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) = ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)))
558557neeq1d 3001 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛)))
559 oveq1 7348 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑧 → (𝑐↑𝑛) = (𝑧↑𝑛))
560559neeq2d 3002 . . . . 5 (𝑐 = 𝑧 → (((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛)))
561555, 558, 560cbvral3vw 3226 . . . 4 (∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
562552, 561sylib 217 . . 3 (∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
563562ralimi 3083 . 2 (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛))
564542, 563impbii 208 1 (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥↑𝑛) + (𝑦↑𝑛)) ≠ (𝑧↑𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∀𝑎 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑏 ∈ (ℤ ∖ {0})∀𝑐 ∈ (ℤ ∖ {0})((𝑎↑𝑛) + (𝑏↑𝑛)) ≠ (𝑐↑𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  ifcif 4477  {csn 4577   class class class wbr 5096  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  ℂcc 10974  ℝcr 10975  0cc0 10976   + caddc 10979   · cmul 10981   < clt 11114   − cmin 11310  -cneg 11311   / cdiv 11737  ℕcn 12078  2c2 12133  3c3 12134  ℕ0cn0 12338  ℤcz 12424  ℤ≥cuz 12687  ↑cexp 13887  abscabs 15044   ∥ cdvds 16062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-sup 9303  df-inf 9304  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-fl 13617  df-mod 13695  df-seq 13827  df-exp 13888  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-dvds 16063  df-gcd 16301  df-numer 16536  df-denom 16537
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