Theorem ltrnnid 40093

Description: If a lattice translation is not the identity, then there is an atom not under the fiducial co-atom 𝑊 and not equal to its translation. (Contributed by NM, 24-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrneq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrneq.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrneq.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrneq.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrneq.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnnid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐹,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑝)

Proof of Theorem ltrnnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralinexa 3107	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → ¬ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝))
2		nne 2950	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝 ↔ (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
3	2	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝 → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
4	3	imim2i 16	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → ¬ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = 𝑝))
5	4	ralimi 3089	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → ¬ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = 𝑝))
6	1, 5	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = 𝑝))
7		ltrneq.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		ltrneq.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		ltrneq.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		ltrneq.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		ltrneq.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	ltrnid 40092	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = 𝑝) ↔ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
13	6, 12	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
14	13	necon1ad 2963	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)))
15	14	3impia 1117	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166   I cid 5592   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062

This theorem is referenced by:  trlnidat  40130