Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnnid 38590
Description: If a lattice translation is not the identity, then there is an atom not under the fiducial co-atom 𝑊 and not equal to its translation. (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrneq.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrneq.l = (le‘𝐾)
ltrneq.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrneq.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrneq.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnnid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐹,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem ltrnnid
StepHypRef Expression
1 ralinexa 3104 . . . . 5 (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → ¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) ↔ ¬ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
2 nne 2947 . . . . . . . 8 (¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝 ↔ (𝐹𝑝) = 𝑝)
32biimpi 215 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝 → (𝐹𝑝) = 𝑝)
43imim2i 16 . . . . . 6 ((¬ 𝑝 𝑊 → ¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → (¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝))
54ralimi 3086 . . . . 5 (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → ¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝))
61, 5sylbir 234 . . . 4 (¬ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝))
7 ltrneq.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 ltrneq.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
9 ltrneq.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 ltrneq.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 ltrneq.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11ltrnid 38589 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝) ↔ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
136, 12imbitrid 243 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (¬ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
1413necon1ad 2960 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)))
15143impia 1117 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073   class class class wbr 5105   I cid 5530  cres 5635  cfv 6496  Basecbs 17082  lecple 17139  Atomscatm 37716  HLchlt 37803  LHypclh 38438  LTrncltrn 38555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8766  df-proset 18183  df-poset 18201  df-plt 18218  df-lub 18234  df-glb 18235  df-join 18236  df-meet 18237  df-p0 18313  df-lat 18320  df-clat 18387  df-oposet 37629  df-ol 37631  df-oml 37632  df-covers 37719  df-ats 37720  df-atl 37751  df-cvlat 37775  df-hlat 37804  df-laut 38443  df-ldil 38558  df-ltrn 38559
This theorem is referenced by:  trlnidat  38627
  Copyright terms: Public domain W3C validator