Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnnid 40138
Description: If a lattice translation is not the identity, then there is an atom not under the fiducial co-atom 𝑊 and not equal to its translation. (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrneq.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrneq.l = (le‘𝐾)
ltrneq.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrneq.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrneq.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnnid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐹,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem ltrnnid
StepHypRef Expression
1 ralinexa 3101 . . . . 5 (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → ¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) ↔ ¬ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
2 nne 2944 . . . . . . . 8 (¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝 ↔ (𝐹𝑝) = 𝑝)
32biimpi 216 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝 → (𝐹𝑝) = 𝑝)
43imim2i 16 . . . . . 6 ((¬ 𝑝 𝑊 → ¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → (¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝))
54ralimi 3083 . . . . 5 (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → ¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝))
61, 5sylbir 235 . . . 4 (¬ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝))
7 ltrneq.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 ltrneq.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
9 ltrneq.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 ltrneq.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 ltrneq.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11ltrnid 40137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝) ↔ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
136, 12imbitrid 244 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (¬ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
1413necon1ad 2957 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)))
15143impia 1118 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143   I cid 5577  cres 5687  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107
This theorem is referenced by:  trlnidat  40175
  Copyright terms: Public domain W3C validator