Theorem ltrnnid 40799

Description: If a lattice translation is not the identity, then there is an atom not under the fiducial co-atom 𝑊 and not equal to its translation. (Contributed by NM, 24-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrneq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrneq.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrneq.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrneq.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrneq.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnnid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐹,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑝)

Proof of Theorem ltrnnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralinexa 3124	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → ¬ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝))
2		nne 2968	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝 ↔ (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
3	2	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝 → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
4	3	imim2i 17	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → ¬ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = 𝑝))
5	4	ralimi 3108	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → ¬ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = 𝑝))
6	1, 5	sylbir 238	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = 𝑝))
7		ltrneq.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		ltrneq.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		ltrneq.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		ltrneq.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		ltrneq.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	ltrnid 40798	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = 𝑝) ↔ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
13	6, 12	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
14	13	necon1ad 2981	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)))
15	14	3impia 1133	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113   I cid 5556   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  Basecbs 17268  lecple 17316  Atomscatm 39926  HLchlt 40013  LHypclh 40647  LTrncltrn 40764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8825  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-lat 18487  df-clat 18554  df-oposet 39839  df-ol 39841  df-oml 39842  df-covers 39929  df-ats 39930  df-atl 39961  df-cvlat 39985  df-hlat 40014  df-laut 40652  df-ldil 40767  df-ltrn 40768

This theorem is referenced by:  trlnidat  40836