Theorem 12gcd5e1 42119

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12308	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 866	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12221	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12208	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11204	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17024	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16607	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16627	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 231	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12220	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12207	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12504	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 42111	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 42103	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12696	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2758	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7364	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12406	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12405	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12398	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12618	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12253	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12209	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11310	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12650	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7365	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2758	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12616	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 42104	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2757	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5095  (class class class)co 7354  ℝcr 11014  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020   < clt 11155  2c2 12189  5c5 12192  ;cdc 12596   gcd cgcd 16409  ℙcprime 16586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-seq 13913  df-exp 13973  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-dvds 16168  df-gcd 16410  df-prm 16587

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  42124