Theorem 12gcd5e1 42751

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12423	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 879	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12329	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12316	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11293	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17169	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16751	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16772	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 234	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12328	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12619	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 42743	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 42735	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12817	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2788	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12513	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12739	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12364	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11399	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12771	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2788	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12736	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 42736	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2787	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   < clt 11244  2c2 12296  5c5 12299  ;cdc 12712   gcd cgcd 16553  ℙcprime 16730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-prm 16731

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  42756