Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  12gcd5e1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 12gcd5e1 42004
Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
12gcd5e1 (12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1
StepHypRef Expression
1 2lt5 12445 . . . . . 6 2 < 5
21olci 867 . . . . 5 (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3 5re 12353 . . . . . 6 5 ∈ ℝ
4 2re 12340 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
5 lttri2 11343 . . . . . 6 ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
63, 4, 5mp2an 692 . . . . 5 (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
72, 6mpbir 231 . . . 4 5 ≠ 2
8 5prm 17146 . . . . 5 5 ∈ ℙ
9 2prm 16729 . . . . 5 2 ∈ ℙ
10 prmrp 16749 . . . . 5 ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
118, 9, 10mp2an 692 . . . 4 ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
127, 11mpbir 231 . . 3 (5 gcd 2) = 1
13 5nn 12352 . . . . 5 5 ∈ ℕ
14 2nn 12339 . . . . 5 2 ∈ ℕ
1514nnzi 12641 . . . . 5 2 ∈ ℤ
1613, 14, 15gcdaddmzz2nncomi 41996 . . . 4 (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
1713, 14mulcomnni 41988 . . . . . . . 8 (5 · 2) = (2 · 5)
18 5t2e10 12833 . . . . . . . 8 (5 · 2) = 10
1917, 18eqtr3i 2767 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
2019oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 5) + 2) = (10 + 2)
21 1nn0 12542 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
22 0nn0 12541 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
2314nnnn0i 12534 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
24 eqid 2737 . . . . . . 7 10 = 10
2523dec0h 12755 . . . . . . 7 2 = 02
26 1p0e1 12390 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
27 2cn 12341 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
2827addlidi 11449 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
2921, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28decadd 12787 . . . . . 6 (10 + 2) = 12
3020, 29eqtri 2765 . . . . 5 ((2 · 5) + 2) = 12
3130oveq2i 7442 . . . 4 (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd 12)
3216, 31eqtri 2765 . . 3 (5 gcd 2) = (5 gcd 12)
3312, 32eqtr3i 2767 . 2 1 = (5 gcd 12)
3421, 14decnncl 12753 . . 3 12 ∈ ℕ
3513, 34gcdcomnni 41989 . 2 (5 gcd 12) = (12 gcd 5)
3633, 35eqtr2i 2766 1 (12 gcd 5) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  2c2 12321  5c5 12324  cdc 12733   gcd cgcd 16531  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709
This theorem is referenced by:  12lcm5e60  42009
  Copyright terms: Public domain W3C validator