Theorem 12gcd5e1 42370

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12331	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 867	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12244	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12231	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11227	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17048	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16631	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16651	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 231	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12243	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12230	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12527	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 42362	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 42354	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12719	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2762	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12429	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12428	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12421	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12641	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12276	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12232	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11333	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12673	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7379	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2762	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 42355	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2761	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178  2c2 12212  5c5 12215  ;cdc 12619   gcd cgcd 16433  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  42375