Theorem 12gcd5e1 41998

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12367	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 866	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12280	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12267	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11263	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17086	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16669	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16689	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 231	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12279	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12266	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12564	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 41990	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 41982	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12756	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2755	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7400	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12465	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12464	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12457	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12678	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12312	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12268	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11369	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12710	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2755	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 41983	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2754	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215  2c2 12248  5c5 12251  ;cdc 12656   gcd cgcd 16471  ℙcprime 16648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  42003