Theorem 12gcd5e1 40011

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12152	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 863	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12060	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12047	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11057	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 16810	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16397	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16417	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12059	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12046	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12344	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 40004	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 39996	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12537	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2768	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12249	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12248	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12241	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12459	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12097	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12048	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addid2i 11163	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12491	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7286	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2768	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 39997	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2767	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  2c2 12028  5c5 12031  ;cdc 12437   gcd cgcd 16201  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  40016