Theorem 12gcd5e1 40258

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12245	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 863	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12153	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12140	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11150	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 16899	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16486	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16506	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12152	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12139	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12437	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 40251	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 40243	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12630	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2766	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7339	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12342	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12341	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12334	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12552	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12190	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12141	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addid2i 11256	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12584	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7340	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2766	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12550	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 40244	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2765	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   class class class wbr 5089  (class class class)co 7329  ℝcr 10963  0cc0 10964  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969   < clt 11102  2c2 12121  5c5 12124  ;cdc 12530   gcd cgcd 16292  ℙcprime 16465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-sup 9291  df-inf 9292  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-rp 12824  df-fz 13333  df-seq 13815  df-exp 13876  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-dvds 16055  df-gcd 16293  df-prm 16466

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  40263