Theorem 12gcd5e1 42627

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12410	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 879	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12316	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12303	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11280	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17156	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16738	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16759	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 234	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12315	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12302	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12606	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 42619	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 42611	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12804	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2790	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7410	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12508	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12507	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12500	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12726	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12351	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12304	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11386	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12758	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7411	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2788	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2790	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12723	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 42612	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2789	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231  2c2 12283  5c5 12286  ;cdc 12699   gcd cgcd 16540  ℙcprime 16717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16299  df-gcd 16541  df-prm 16718

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  42632