Theorem 12gcd5e1 41979

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12320	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 866	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12233	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12220	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11216	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17038	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16621	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16641	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 231	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12232	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12219	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12517	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 41971	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 41963	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12709	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2754	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7363	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12418	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12417	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12410	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12631	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12265	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12221	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11322	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12663	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7364	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2754	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12629	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 41964	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2753	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168  2c2 12201  5c5 12204  ;cdc 12609   gcd cgcd 16423  ℙcprime 16600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  41984