Theorem 12gcd5e1 41384

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12395	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 863	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12303	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12290	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11300	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17051	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16636	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16656	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12302	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12289	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12590	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 41377	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 41369	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12781	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2756	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7415	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12492	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12491	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12484	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12703	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12340	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12291	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11406	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12735	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2756	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12701	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 41370	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2755	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252  2c2 12271  5c5 12274  ;cdc 12681   gcd cgcd 16442  ℙcprime 16615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  41389