Theorem 12gcd5e1 39291

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 11804	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 863	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 11712	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 11699	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 10712	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 16434	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16026	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16046	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 234	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 11711	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 11698	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 11994	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 39283	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 39275	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12186	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2823	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7145	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 11901	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 11900	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 11893	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12108	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 11749	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 11700	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addid2i 10817	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12140	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7146	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2821	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2823	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12106	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 39276	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2822	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  2c2 11680  5c5 11683  ;cdc 12086   gcd cgcd 15833  ℙcprime 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  39296