Theorem 12gcd5e1 42580

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12392	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 877	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12298	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12285	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11258	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 233	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17134	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16716	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16737	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 702	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 233	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12297	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12284	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12588	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 42572	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 42564	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12786	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2786	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7400	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12490	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12489	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12482	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12708	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12333	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12286	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11364	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12740	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2786	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12705	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 42565	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2785	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  (class class class)co 7390  ℝcr 11065  0cc0 11066  1c1 11067   + caddc 11069   · cmul 11071   < clt 11209  2c2 12265  5c5 12268  ;cdc 12681   gcd cgcd 16518  ℙcprime 16695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-dvds 16277  df-gcd 16519  df-prm 16696

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  42585