Theorem 12gcd5e1 39939

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12082	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 862	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 11990	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 11977	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 10988	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 16738	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16325	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16345	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 688	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 11989	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 11976	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12274	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 39932	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 39924	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12466	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2768	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7265	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12179	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12178	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12171	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12388	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12027	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 11978	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addid2i 11093	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12420	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7266	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2768	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 39925	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2767	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940  2c2 11958  5c5 11961  ;cdc 12366   gcd cgcd 16129  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  39944