Theorem 12gcd5e1 41606

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12424	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 864	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12332	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12319	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11328	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17081	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16666	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16686	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12331	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12318	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12619	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 41598	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 41590	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12810	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2755	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12513	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12732	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12369	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11434	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12764	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7430	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2755	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 41591	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2754	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  2c2 12300  5c5 12303  ;cdc 12710   gcd cgcd 16472  ℙcprime 16645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-prm 16646

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  41611