Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  12gcd5e1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 12gcd5e1 39252
 Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
12gcd5e1 (12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1
StepHypRef Expression
1 2lt5 11804 . . . . . 6 2 < 5
21olci 863 . . . . 5 (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3 5re 11712 . . . . . 6 5 ∈ ℝ
4 2re 11699 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
5 lttri2 10712 . . . . . 6 ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
63, 4, 5mp2an 691 . . . . 5 (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
72, 6mpbir 234 . . . 4 5 ≠ 2
8 5prm 16433 . . . . 5 5 ∈ ℙ
9 2prm 16025 . . . . 5 2 ∈ ℙ
10 prmrp 16045 . . . . 5 ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
118, 9, 10mp2an 691 . . . 4 ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
127, 11mpbir 234 . . 3 (5 gcd 2) = 1
13 5nn 11711 . . . . 5 5 ∈ ℕ
14 2nn 11698 . . . . 5 2 ∈ ℕ
1514nnzi 11994 . . . . 5 2 ∈ ℤ
1613, 14, 15gcdaddmzz2nncomi 39244 . . . 4 (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
1713, 14mulcomnni 39236 . . . . . . . 8 (5 · 2) = (2 · 5)
18 5t2e10 12186 . . . . . . . 8 (5 · 2) = 10
1917, 18eqtr3i 2847 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
2019oveq1i 7150 . . . . . 6 ((2 · 5) + 2) = (10 + 2)
21 1nn0 11901 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
22 0nn0 11900 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
2314nnnn0i 11893 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
24 eqid 2822 . . . . . . 7 10 = 10
2523dec0h 12108 . . . . . . 7 2 = 02
26 1p0e1 11749 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
27 2cn 11700 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
2827addid2i 10817 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
2921, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28decadd 12140 . . . . . 6 (10 + 2) = 12
3020, 29eqtri 2845 . . . . 5 ((2 · 5) + 2) = 12
3130oveq2i 7151 . . . 4 (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd 12)
3216, 31eqtri 2845 . . 3 (5 gcd 2) = (5 gcd 12)
3312, 32eqtr3i 2847 . 2 1 = (5 gcd 12)
3421, 14decnncl 12106 . . 3 12 ∈ ℕ
3513, 34gcdcomnni 39237 . 2 (5 gcd 12) = (12 gcd 5)
3633, 35eqtr2i 2846 1 (12 gcd 5) = 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  2c2 11680  5c5 11683  ;cdc 12086   gcd cgcd 15832  ℙcprime 16004 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-prm 16005 This theorem is referenced by:  12lcm5e60  39257
 Copyright terms: Public domain W3C validator