Theorem 12gcd5e1 40868

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12391	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 865	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12299	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12286	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11296	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17042	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16629	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16649	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12298	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12285	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12586	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 40861	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 40853	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12777	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2763	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12488	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12487	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12480	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12699	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12336	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12287	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11402	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12731	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7420	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2761	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2763	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 40854	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2762	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248  2c2 12267  5c5 12270  ;cdc 12677   gcd cgcd 16435  ℙcprime 16608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  40873