Theorem 12gcd5e1 43021

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12505	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 880	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12411	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12398	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11373	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17266	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16847	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16868	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 234	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12410	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12397	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12701	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 43013	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 43005	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12900	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2786	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12603	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12602	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12595	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12822	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12446	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12399	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11479	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12854	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2786	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12819	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 43006	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2785	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   < clt 11324  2c2 12378  5c5 12381  ;cdc 12795   gcd cgcd 16644  ℙcprime 16826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-prm 16827

This theorem is used by:  12lcm5e60  43026