Theorem 12gcd5e1 42016

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12419	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 866	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12327	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11317	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17128	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16711	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16731	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 231	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12326	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12313	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12616	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 42008	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 42000	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12808	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2760	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7415	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12517	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12516	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12509	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12730	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12364	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12315	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11423	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12762	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2758	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2760	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12728	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 42001	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2759	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269  2c2 12295  5c5 12298  ;cdc 12708   gcd cgcd 16513  ℙcprime 16690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  42021