Theorem 12gcd5e1 42495

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12353	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 872	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12266	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12253	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11226	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 232	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17077	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16659	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16680	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 698	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 232	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12265	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12252	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12549	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 42487	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 42479	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12742	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2765	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7373	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12451	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12450	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12443	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12664	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12298	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11332	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12696	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7374	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2765	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12662	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 42480	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2764	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177  2c2 12234  5c5 12237  ;cdc 12642   gcd cgcd 16461  ℙcprime 16638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  42500