Theorem 12gcd5e1 42877

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12450	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 880	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12356	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12343	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11320	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17206	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16788	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16809	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 234	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12355	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12342	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12646	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 42869	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 42861	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12845	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2787	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7427	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12548	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12540	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12767	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12391	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12344	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11426	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12799	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7428	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2787	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12764	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 42862	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2786	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   < clt 11271  2c2 12323  5c5 12326  ;cdc 12740   gcd cgcd 16590  ℙcprime 16767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-gcd 16591  df-prm 16768

This theorem is used by:  12lcm5e60  42882