Theorem 12gcd5e1 41514

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12431	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 864	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12339	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12326	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11336	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17087	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16672	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16692	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12338	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12325	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12626	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 41506	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 41498	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12817	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2758	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7436	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12528	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12527	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12520	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12739	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12376	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12327	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11442	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12771	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7437	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2758	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12737	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 41499	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2757	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   · cmul 11153   < clt 11288  2c2 12307  5c5 12310  ;cdc 12717   gcd cgcd 16478  ℙcprime 16651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-prm 16652

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  41519