Theorem 12gcd5e1 41985

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 12443	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 866	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 12351	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 12338	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 11341	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 17143	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16726	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16746	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 231	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 12350	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 12337	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 12639	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 41977	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 41969	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12831	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2765	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 12540	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 12539	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 12532	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12753	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 12388	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 12339	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11447	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12785	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2765	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 41970	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2764	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  2c2 12319  5c5 12322  ;cdc 12731   gcd cgcd 16528  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  41990