Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmeprodgcdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmeprodgcdi 41988
Description: Calculate the least common multiple of two natural numbers. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmeprodgcdi.1 𝑀 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.2 𝑁 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.3 𝐺 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.4 𝐻 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.5 (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
lcmeprodgcdi.6 (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
lcmeprodgcdi.7 (𝑀 · 𝑁) = 𝐴
Assertion
Ref Expression
lcmeprodgcdi (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻

Proof of Theorem lcmeprodgcdi
StepHypRef Expression
1 lcmeprodgcdi.5 . . . 4 (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
21oveq2i 7441 . . 3 ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺)
3 lcmeprodgcdi.1 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ
4 lcmeprodgcdi.2 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
5 lcmgcdnn 16644 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
63, 4, 5mp2an 692 . . . . 5 ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁)
7 lcmeprodgcdi.6 . . . . . 6 (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
8 lcmeprodgcdi.7 . . . . . 6 (𝑀 · 𝑁) = 𝐴
97, 8eqtr4i 2765 . . . . 5 (𝐺 · 𝐻) = (𝑀 · 𝑁)
106, 9eqtr4i 2765 . . . 4 ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐺 · 𝐻)
11 lcmeprodgcdi.3 . . . . 5 𝐺 ∈ ℕ
12 lcmeprodgcdi.4 . . . . 5 𝐻 ∈ ℕ
1311, 12mulcomnni 41968 . . . 4 (𝐺 · 𝐻) = (𝐻 · 𝐺)
1410, 13eqtri 2762 . . 3 ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐻 · 𝐺)
152, 14eqtr3i 2764 . 2 ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺)
163nnzi 12638 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ
174nnzi 12638 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
1816, 17pm3.2i 470 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)
19 lcmcl 16634 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0
2120nn0cni 12535 . . . 4 (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ
2212nncni 12273 . . . 4 𝐻 ∈ ℂ
2311nncni 12273 . . . . 5 𝐺 ∈ ℂ
2411nnne0i 12303 . . . . 5 𝐺 ≠ 0
2523, 24pm3.2i 470 . . . 4 (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)
2621, 22, 253pm3.2i 1338 . . 3 ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0))
27 mulcan2 11898 . . 3 (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)) → (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻))
2826, 27ax-mp 5 . 2 (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻)
2915, 28mpbi 230 1 (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152   · cmul 11157  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610   gcd cgcd 16527   lcm clcm 16621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-lcm 16623
This theorem is referenced by:  12lcm5e60  41989  60lcm6e60  41990  60lcm7e420  41991  420lcm8e840  41992
  Copyright terms: Public domain W3C validator