Theorem lcmeprodgcdi 42499

Description: Calculate the least common multiple of two natural numbers. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmeprodgcdi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.3	⊢ 𝐺 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.4	⊢ 𝐻 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.5	⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
lcmeprodgcdi.6	⊢ (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
lcmeprodgcdi.7	⊢ (𝑀 · 𝑁) = 𝐴

Assertion

Ref	Expression
lcmeprodgcdi	⊢ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻

Proof of Theorem lcmeprodgcdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmeprodgcdi.5	. . . 4 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
2	1	oveq2i 7374	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺)
3		lcmeprodgcdi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
4		lcmeprodgcdi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
5		lcmgcdnn 16578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
6	3, 4, 5	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁)
7		lcmeprodgcdi.6	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
8		lcmeprodgcdi.7	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · 𝑁) = 𝐴
9	7, 8	eqtr4i 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = (𝑀 · 𝑁)
10	6, 9	eqtr4i 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐺 · 𝐻)
11		lcmeprodgcdi.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ
12		lcmeprodgcdi.4	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ ℕ
13	11, 12	mulcomnni 42479	. . . 4 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = (𝐻 · 𝐺)
14	10, 13	eqtri 2763	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐻 · 𝐺)
15	2, 14	eqtr3i 2765	. 2 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺)
16	3	nnzi 12549	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
17	4	nnzi 12549	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
18	16, 17	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)
19		lcmcl 16568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 12447	. . . 4 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ
22	12	nncni 12182	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ ℂ
23	11	nncni 12182	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
24	11	nnne0i 12215	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ≠ 0
25	23, 24	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)
26	21, 22, 25	3pm3.2i 1346	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0))
27		mulcan2 11786	. . 3 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)) → (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻))
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻)
29	15, 28	mpbi 231	1 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036   · cmul 11041  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522   gcd cgcd 16461   lcm clcm 16555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-lcm 16557

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  42500  60lcm6e60  42501  60lcm7e420  42502  420lcm8e840  42503