Theorem lcmeprodgcdi 40861

Description: Calculate the least common multiple of two natural numbers. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmeprodgcdi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.3	⊢ 𝐺 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.4	⊢ 𝐻 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.5	⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
lcmeprodgcdi.6	⊢ (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
lcmeprodgcdi.7	⊢ (𝑀 · 𝑁) = 𝐴

Assertion

Ref	Expression
lcmeprodgcdi	⊢ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻

Proof of Theorem lcmeprodgcdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmeprodgcdi.5	. . . 4 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
2	1	oveq2i 7417	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺)
3		lcmeprodgcdi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
4		lcmeprodgcdi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
5		lcmgcdnn 16545	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
6	3, 4, 5	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁)
7		lcmeprodgcdi.6	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
8		lcmeprodgcdi.7	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · 𝑁) = 𝐴
9	7, 8	eqtr4i 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = (𝑀 · 𝑁)
10	6, 9	eqtr4i 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐺 · 𝐻)
11		lcmeprodgcdi.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ
12		lcmeprodgcdi.4	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ ℕ
13	11, 12	mulcomnni 40842	. . . 4 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = (𝐻 · 𝐺)
14	10, 13	eqtri 2761	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐻 · 𝐺)
15	2, 14	eqtr3i 2763	. 2 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺)
16	3	nnzi 12583	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
17	4	nnzi 12583	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
18	16, 17	pm3.2i 472	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)
19		lcmcl 16535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 12481	. . . 4 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ
22	12	nncni 12219	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ ℂ
23	11	nncni 12219	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
24	11	nnne0i 12249	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ≠ 0
25	23, 24	pm3.2i 472	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)
26	21, 22, 25	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0))
27		mulcan2 11849	. . 3 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)) → (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻))
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻)
29	15, 28	mpbi 229	1 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  0cc0 11107   · cmul 11112  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  ℤcz 12555   gcd cgcd 16432   lcm clcm 16522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-lcm 16524

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  40862  60lcm6e60  40863  60lcm7e420  40864  420lcm8e840  40865