Theorem lcmeprodgcdi 42720

Description: Calculate the least common multiple of two natural numbers. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmeprodgcdi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.3	⊢ 𝐺 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.4	⊢ 𝐻 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.5	⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
lcmeprodgcdi.6	⊢ (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
lcmeprodgcdi.7	⊢ (𝑀 · 𝑁) = 𝐴

Assertion

Ref	Expression
lcmeprodgcdi	⊢ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻

Proof of Theorem lcmeprodgcdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmeprodgcdi.5	. . . 4 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
2	1	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺)
3		lcmeprodgcdi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
4		lcmeprodgcdi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
5		lcmgcdnn 16668	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
6	3, 4, 5	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁)
7		lcmeprodgcdi.6	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
8		lcmeprodgcdi.7	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · 𝑁) = 𝐴
9	7, 8	eqtr4i 2787	. . . . 5 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = (𝑀 · 𝑁)
10	6, 9	eqtr4i 2787	. . . 4 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐺 · 𝐻)
11		lcmeprodgcdi.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ
12		lcmeprodgcdi.4	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ ℕ
13	11, 12	mulcomnni 42700	. . . 4 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = (𝐻 · 𝐺)
14	10, 13	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐻 · 𝐺)
15	2, 14	eqtr3i 2786	. 2 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺)
16	3	nnzi 12617	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
17	4	nnzi 12617	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
18	16, 17	pm3.2i 475	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)
19		lcmcl 16658	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 12515	. . . 4 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ
22	12	nncni 12242	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ ℂ
23	11	nncni 12242	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
24	11	nnne0i 12275	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ≠ 0
25	23, 24	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)
26	21, 22, 25	3pm3.2i 1356	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0))
27		mulcan2 11851	. . 3 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)) → (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻))
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻)
29	15, 28	mpbi 233	1 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  0cc0 11099   · cmul 11104  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590   gcd cgcd 16551   lcm clcm 16645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-lcm 16647

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  42721  60lcm6e60  42722  60lcm7e420  42723  420lcm8e840  42724