Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmeprodgcdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmeprodgcdi 39256
 Description: Calculate the least common multiple of two natural numbers. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmeprodgcdi.1 𝑀 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.2 𝑁 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.3 𝐺 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.4 𝐻 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.5 (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
lcmeprodgcdi.6 (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
lcmeprodgcdi.7 (𝑀 · 𝑁) = 𝐴
Assertion
Ref Expression
lcmeprodgcdi (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻

Proof of Theorem lcmeprodgcdi
StepHypRef Expression
1 lcmeprodgcdi.5 . . . 4 (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
21oveq2i 7151 . . 3 ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺)
3 lcmeprodgcdi.1 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ
4 lcmeprodgcdi.2 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
5 lcmgcdnn 15944 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
63, 4, 5mp2an 691 . . . . 5 ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁)
7 lcmeprodgcdi.6 . . . . . 6 (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
8 lcmeprodgcdi.7 . . . . . 6 (𝑀 · 𝑁) = 𝐴
97, 8eqtr4i 2848 . . . . 5 (𝐺 · 𝐻) = (𝑀 · 𝑁)
106, 9eqtr4i 2848 . . . 4 ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐺 · 𝐻)
11 lcmeprodgcdi.3 . . . . 5 𝐺 ∈ ℕ
12 lcmeprodgcdi.4 . . . . 5 𝐻 ∈ ℕ
1311, 12mulcomnni 39236 . . . 4 (𝐺 · 𝐻) = (𝐻 · 𝐺)
1410, 13eqtri 2845 . . 3 ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐻 · 𝐺)
152, 14eqtr3i 2847 . 2 ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺)
163nnzi 11994 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ
174nnzi 11994 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
1816, 17pm3.2i 474 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)
19 lcmcl 15934 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0
2120nn0cni 11897 . . . 4 (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ
2212nncni 11635 . . . 4 𝐻 ∈ ℂ
2311nncni 11635 . . . . 5 𝐺 ∈ ℂ
2411nnne0i 11665 . . . . 5 𝐺 ≠ 0
2523, 24pm3.2i 474 . . . 4 (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)
2621, 22, 253pm3.2i 1336 . . 3 ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0))
27 mulcan2 11267 . . 3 (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)) → (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻))
2826, 27ax-mp 5 . 2 (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻)
2915, 28mpbi 233 1 (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  0cc0 10526   · cmul 10531  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969   gcd cgcd 15832   lcm clcm 15921 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-lcm 15923 This theorem is referenced by:  12lcm5e60  39257  60lcm6e60  39258  60lcm7e420  39259  420lcm8e840  39260
 Copyright terms: Public domain W3C validator