Theorem lcmeprodgcdi 40215

Description: Calculate the least common multiple of two natural numbers. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmeprodgcdi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.3	⊢ 𝐺 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.4	⊢ 𝐻 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.5	⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
lcmeprodgcdi.6	⊢ (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
lcmeprodgcdi.7	⊢ (𝑀 · 𝑁) = 𝐴

Assertion

Ref	Expression
lcmeprodgcdi	⊢ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻

Proof of Theorem lcmeprodgcdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmeprodgcdi.5	. . . 4 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
2	1	oveq2i 7318	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺)
3		lcmeprodgcdi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
4		lcmeprodgcdi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
5		lcmgcdnn 16365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁)
7		lcmeprodgcdi.6	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
8		lcmeprodgcdi.7	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · 𝑁) = 𝐴
9	7, 8	eqtr4i 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = (𝑀 · 𝑁)
10	6, 9	eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐺 · 𝐻)
11		lcmeprodgcdi.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ
12		lcmeprodgcdi.4	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ ℕ
13	11, 12	mulcomnni 40196	. . . 4 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = (𝐻 · 𝐺)
14	10, 13	eqtri 2764	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐻 · 𝐺)
15	2, 14	eqtr3i 2766	. 2 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺)
16	3	nnzi 12394	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
17	4	nnzi 12394	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
18	16, 17	pm3.2i 472	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)
19		lcmcl 16355	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 12295	. . . 4 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ
22	12	nncni 12033	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ ℂ
23	11	nncni 12033	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
24	11	nnne0i 12063	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ≠ 0
25	23, 24	pm3.2i 472	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)
26	21, 22, 25	3pm3.2i 1339	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0))
27		mulcan2 11663	. . 3 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)) → (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻))
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻)
29	15, 28	mpbi 229	1 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  0cc0 10921   · cmul 10926  ℕcn 12023  ℕ₀cn0 12283  ℤcz 12369   gcd cgcd 16250   lcm clcm 16342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9249  df-inf 9250  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-fl 13562  df-mod 13640  df-seq 13772  df-exp 13833  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-dvds 16013  df-gcd 16251  df-lcm 16344

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  40216  60lcm6e60  40217  60lcm7e420  40218  420lcm8e840  40219