Theorem lcmeprodgcdi 42815

Description: Calculate the least common multiple of two natural numbers. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmeprodgcdi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.3	⊢ 𝐺 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.4	⊢ 𝐻 ∈ ℕ
lcmeprodgcdi.5	⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
lcmeprodgcdi.6	⊢ (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
lcmeprodgcdi.7	⊢ (𝑀 · 𝑁) = 𝐴

Assertion

Ref	Expression
lcmeprodgcdi	⊢ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻

Proof of Theorem lcmeprodgcdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmeprodgcdi.5	. . . 4 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
2	1	oveq2i 7434	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺)
3		lcmeprodgcdi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
4		lcmeprodgcdi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
5		lcmgcdnn 16694	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁)
7		lcmeprodgcdi.6	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = 𝐴
8		lcmeprodgcdi.7	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · 𝑁) = 𝐴
9	7, 8	eqtr4i 2792	. . . . 5 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = (𝑀 · 𝑁)
10	6, 9	eqtr4i 2792	. . . 4 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐺 · 𝐻)
11		lcmeprodgcdi.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ
12		lcmeprodgcdi.4	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ ℕ
13	11, 12	mulcomnni 42795	. . . 4 ⊢ (𝐺 · 𝐻) = (𝐻 · 𝐺)
14	10, 13	eqtri 2789	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝐻 · 𝐺)
15	2, 14	eqtr3i 2791	. 2 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺)
16	3	nnzi 12636	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
17	4	nnzi 12636	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
18	16, 17	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)
19		lcmcl 16684	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 12534	. . . 4 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ
22	12	nncni 12261	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ ℂ
23	11	nncni 12261	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
24	11	nnne0i 12294	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ≠ 0
25	23, 24	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)
26	21, 22, 25	3pm3.2i 1358	. . 3 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0))
27		mulcan2 11870	. . 3 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ≠ 0)) → (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻))
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) · 𝐺) = (𝐻 · 𝐺) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻)
29	15, 28	mpbi 233	1 ⊢ (𝑀 lcm 𝑁) = 𝐻

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118   · cmul 11123  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609   gcd cgcd 16577   lcm clcm 16671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-lcm 16673

This theorem is used by:  12lcm5e60  42816  60lcm6e60  42817  60lcm7e420  42818  420lcm8e840  42819