Theorem 420gcd8e4 41477

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12338	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12326	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12316	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12728	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12617	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 41466	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12519	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12723	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12524	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12730	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12368	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12515	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11432	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12739	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12780	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12764	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12526	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12520	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12365	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12826	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12739	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12823	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12774	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 41458	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2758	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2758	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7431	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2759	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 41459	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12411	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 41464	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2758	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2756	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12728	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12732	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 41459	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2765	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1534  (class class class)co 7420  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  2c2 12298  4c4 12300  5c5 12301  6c6 12302  8c8 12304  ;cdc 12708   gcd cgcd 16469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-gcd 16470

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  41482