Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  420gcd8e4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 420gcd8e4 40492
Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
420gcd8e4 (420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4
StepHypRef Expression
1 8nn 12255 . . . 4 8 ∈ ℕ
2 4nn 12243 . . . 4 4 ∈ ℕ
3 5nn0 12440 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
4 2nn 12233 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12645 . . . . 5 52 ∈ ℕ
65nnzi 12534 . . . 4 52 ∈ ℤ
71, 2, 6gcdaddmzz2nncomi 40482 . . 3 (8 gcd 4) = (8 gcd ((52 · 8) + 4))
8 4nn0 12439 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
9 1nn0 12436 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12640 . . . . . 6 41 ∈ ℕ0
11 6nn0 12441 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
12 0nn0 12435 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
13 eqid 2737 . . . . . 6 416 = 416
148dec0h 12647 . . . . . 6 4 = 04
15 1p1e2 12285 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
1610nn0cni 12432 . . . . . . . 8 41 ∈ ℂ
1716addid1i 11349 . . . . . . 7 (41 + 0) = 41
188, 9, 15, 17decsuc 12656 . . . . . 6 ((41 + 0) + 1) = 42
19 6p4e10 12697 . . . . . 6 (6 + 4) = 10
2010, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19decaddc2 12681 . . . . 5 (416 + 4) = 420
21 8nn0 12443 . . . . . . . 8 8 ∈ ℕ0
22 2nn0 12437 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
23 eqid 2737 . . . . . . . 8 52 = 52
24 0p1e1 12282 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
25 8t5e40 12743 . . . . . . . . 9 (8 · 5) = 40
268, 12, 24, 25decsuc 12656 . . . . . . . 8 ((8 · 5) + 1) = 41
27 8t2e16 12740 . . . . . . . 8 (8 · 2) = 16
2821, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27decmul2c 12691 . . . . . . 7 (8 · 52) = 416
291, 5mulcomnni 40474 . . . . . . 7 (8 · 52) = (52 · 8)
3028, 29eqtr3i 2767 . . . . . 6 416 = (52 · 8)
3130oveq1i 7372 . . . . 5 (416 + 4) = ((52 · 8) + 4)
3220, 31eqtr3i 2767 . . . 4 420 = ((52 · 8) + 4)
3332oveq2i 7373 . . 3 (8 gcd 420) = (8 gcd ((52 · 8) + 4))
347, 33eqtr4i 2768 . 2 (8 gcd 4) = (8 gcd 420)
351, 2gcdcomnni 40475 . . 3 (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36 4t2e8 12328 . . . . 5 (4 · 2) = 8
3736oveq2i 7373 . . . 4 (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
382, 4gcdmultiplei 40480 . . . 4 (4 gcd (4 · 2)) = 4
3937, 38eqtr3i 2767 . . 3 (4 gcd 8) = 4
4035, 39eqtri 2765 . 2 (8 gcd 4) = 4
418, 4decnncl 12645 . . . 4 42 ∈ ℕ
4241decnncl2 12649 . . 3 420 ∈ ℕ
431, 42gcdcomnni 40475 . 2 (8 gcd 420) = (420 gcd 8)
4434, 40, 433eqtr3ri 2774 1 (420 gcd 8) = 4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  2c2 12215  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  8c8 12221  cdc 12625   gcd cgcd 16381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382
This theorem is referenced by:  420lcm8e840  40497
  Copyright terms: Public domain W3C validator