Theorem 420gcd8e4 41967

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12257	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12245	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12438	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12235	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12645	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12533	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 41956	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12437	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12434	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12640	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12439	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12433	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12647	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12282	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12430	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11337	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12656	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12697	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12681	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12441	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12435	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12743	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12656	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12740	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12691	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 41948	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2754	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2754	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7380	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 41949	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12325	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 41954	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2754	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2752	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12645	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12649	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 41949	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2761	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  2c2 12217  4c4 12219  5c5 12220  6c6 12221  8c8 12223  ;cdc 12625   gcd cgcd 16440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  41972