Theorem 420gcd8e4 40014

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12068	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12056	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12253	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12046	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12457	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12344	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 40004	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12252	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12249	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12254	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12248	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12459	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12098	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12245	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addid1i 11162	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12468	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12509	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12493	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12256	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12095	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12555	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12468	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12552	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12503	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 39996	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7286	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2769	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 39997	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12141	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7286	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 40002	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2766	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12457	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12461	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 39997	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2775	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  8c8 12034  ;cdc 12437   gcd cgcd 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  40019