Theorem 420gcd8e4 42001

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12288	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12276	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12469	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12266	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12676	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12564	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 41990	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12468	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12465	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12671	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12470	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12678	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12313	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12461	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11368	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12687	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12728	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12712	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12472	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12466	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12310	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12774	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12687	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12771	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12722	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 41982	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2755	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2755	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7401	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2756	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 41983	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12356	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 41988	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2755	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2753	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12676	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12680	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 41983	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2762	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  2c2 12248  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  8c8 12254  ;cdc 12656   gcd cgcd 16471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42006