Theorem 420gcd8e4 42459

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12267	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12255	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12448	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12245	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12655	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12542	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42448	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12447	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12444	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12650	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12449	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12443	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12657	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12292	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12440	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11324	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12666	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12707	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12691	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12451	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12445	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12753	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12666	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12750	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12701	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42440	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2762	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42441	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12335	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7371	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42446	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2762	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2760	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12655	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12659	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42441	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2769	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  2c2 12227  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  8c8 12233  ;cdc 12635   gcd cgcd 16454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42464