Theorem 420gcd8e4 42773

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12331	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12319	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12519	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12309	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12730	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12613	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42762	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12518	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12515	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12721	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12514	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12733	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12359	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12511	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11392	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12742	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12783	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12767	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12522	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12516	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12829	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12742	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12826	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12777	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42754	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42755	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12404	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7421	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42760	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2788	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2786	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12730	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12735	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42755	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2795	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1570  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  2c2 12290  4c4 12292  5c5 12293  6c6 12294  8c8 12296  ;cdc 12706   gcd cgcd 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42778