Theorem 420gcd8e4 39942

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 11998	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 11986	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12183	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 11976	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12386	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12274	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 39932	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12182	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12179	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12184	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12178	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12388	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12028	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12175	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addid1i 11092	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12397	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12438	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12422	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12186	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12180	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12025	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12397	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12481	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12432	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 39924	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7266	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2769	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 39925	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12071	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7266	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 39930	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2766	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12386	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12390	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 39925	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2775	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  8c8 11964  ;cdc 12366   gcd cgcd 16129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  39947