Theorem 420gcd8e4 42445

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12276	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12264	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12457	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12254	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12664	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12551	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42434	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12456	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12453	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12659	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12458	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12452	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12666	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12301	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12449	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11333	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12675	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12716	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12700	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12460	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12454	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12762	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12675	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12759	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12710	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42426	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7378	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2762	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42427	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12344	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7378	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42432	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2761	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2759	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12664	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12668	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42427	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2768	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12236  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  8c8 12242  ;cdc 12644   gcd cgcd 16463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42450