Theorem 420gcd8e4 43036

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12431	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12419	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12619	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12409	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12831	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12713	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 43025	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12618	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12615	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12822	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12620	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12614	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12834	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12459	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12611	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11490	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12843	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12884	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12868	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12622	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12616	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12456	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12930	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12843	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12927	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12878	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 43017	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2786	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7428	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2786	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7429	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2787	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 43018	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12504	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7429	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 43023	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2786	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2784	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12831	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12836	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 43018	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2793	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  2c2 12390  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  8c8 12396  ;cdc 12807   gcd cgcd 16657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-gcd 16658

This theorem is used by:  420lcm8e840  43041