Theorem 420gcd8e4 42172

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12231	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12219	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12412	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12209	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12618	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12506	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42161	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12411	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12408	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12613	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12413	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12407	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12620	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12256	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12404	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11311	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12629	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12670	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12654	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12415	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12409	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12716	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12629	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12713	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12664	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42153	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2758	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7365	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2758	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7366	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2759	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42154	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12299	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7366	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42159	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2758	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2756	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12618	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12622	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42154	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2765	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  2c2 12191  4c4 12193  5c5 12194  6c6 12195  8c8 12197  ;cdc 12598   gcd cgcd 16412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-dvds 16171  df-gcd 16413

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42177