Theorem 420gcd8e4 42373

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12252	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12240	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12433	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12230	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12639	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12527	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42362	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12432	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12429	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12634	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12434	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12428	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12641	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12277	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12425	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11332	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12650	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12691	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12675	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12436	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12430	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12737	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12650	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12734	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12685	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42354	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2762	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7378	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7379	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42355	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12320	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7379	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42360	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2762	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2760	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12639	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12643	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42355	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2769	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12212  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  8c8 12218  ;cdc 12619   gcd cgcd 16433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42378