Theorem 420gcd8e4 41963

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12388	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12376	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12573	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12366	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12778	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12667	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 41952	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12572	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12569	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12773	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12574	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12568	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12780	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12418	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12565	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11477	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12789	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12830	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12814	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12576	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12570	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12415	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12876	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12789	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12873	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12824	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 41944	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2770	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2770	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7459	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2771	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 41945	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12461	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 41950	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2770	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2768	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12778	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12782	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 41945	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2777	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  8c8 12354  ;cdc 12758   gcd cgcd 16540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  41968