Theorem 420gcd8e4 39144

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 11719	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 11707	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 11904	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 11697	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12105	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 11993	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 39139	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 11903	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 11900	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12100	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 11905	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 11899	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12107	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 11749	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 11896	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addid1i 10813	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12116	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12157	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12141	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 11907	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 11901	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 11746	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12116	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12200	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12151	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 39133	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2846	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7152	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2846	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7153	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2847	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 39134	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 11792	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7153	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 39137	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2846	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2844	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12105	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12109	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 39134	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2853	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7142  0cc0 10523  1c1 10524   + caddc 10526   · cmul 10528  2c2 11679  4c4 11681  5c5 11682  6c6 11683  8c8 11685  ;cdc 12085   gcd cgcd 15826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-rp 12377  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-dvds 15593  df-gcd 15827

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  39149