Theorem 420gcd8e4 40871

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12307	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12295	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12492	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12285	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12697	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12586	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 40861	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12491	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12488	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12692	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12487	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12699	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12337	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12484	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11401	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12708	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12749	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12733	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12495	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12489	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12334	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12795	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12708	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12792	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12743	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 40853	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2763	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7420	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2764	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 40854	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12380	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7420	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 40859	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2763	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2761	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12697	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12701	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 40854	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2770	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  2c2 12267  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  8c8 12273  ;cdc 12677   gcd cgcd 16435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  40876