Theorem 420gcd8e4 43322

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12478	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12466	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12666	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12456	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12878	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12760	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 43311	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12665	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12662	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12667	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12661	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12881	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12506	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12658	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11536	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12890	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12931	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12915	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12669	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12663	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12503	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12977	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12890	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12974	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12925	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 43303	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7462	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 43304	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12551	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7462	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 43309	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2788	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2786	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12878	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12883	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 43304	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2795	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  8c8 12443  ;cdc 12854   gcd cgcd 16708

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-gcd 16709

This theorem is used by:  420lcm8e840  43327