Theorem 420gcd8e4 42806

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12347	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12335	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12535	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12325	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12747	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12629	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42795	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12534	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12531	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12738	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12536	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12530	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12750	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12375	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12527	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11408	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12759	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12800	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12784	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12538	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12532	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12372	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12846	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12759	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12843	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12794	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42787	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2790	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2790	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7427	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2791	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42788	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12420	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7427	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42793	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2790	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2788	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12747	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12752	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42788	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2797	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  2c2 12306  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  8c8 12312  ;cdc 12723   gcd cgcd 16570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329  df-gcd 16571

This theorem is used by:  420lcm8e840  42811