Theorem 420gcd8e4 42658

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12332	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12320	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12310	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12731	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12614	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42647	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12519	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12516	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12722	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12515	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12734	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12360	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12512	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11393	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12743	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12784	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12768	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12523	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12517	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12830	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12743	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12827	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12778	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42639	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2794	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2794	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7419	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2795	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42640	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12405	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7419	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42645	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2794	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2792	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12731	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12736	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42640	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2801	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1567  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101  2c2 12291  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  8c8 12297  ;cdc 12707   gcd cgcd 16548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-gcd 16549

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42663