Theorem 420gcd8e4 39294

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 11720	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 11708	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 11905	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 11698	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12106	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 11994	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 39283	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 11904	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 11901	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12101	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 11906	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 11900	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12108	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 11750	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 11897	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addid1i 10816	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12117	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12158	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12142	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 11908	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 11902	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 11747	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12204	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12117	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12201	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12152	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 39275	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2823	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7145	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2823	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7146	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2824	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 39276	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 11793	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7146	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 39281	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2823	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2821	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12106	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12110	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 39276	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2830	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  2c2 11680  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  8c8 11686  ;cdc 12086   gcd cgcd 15833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  39299