Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  420gcd8e4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 420gcd8e4 41533
Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
420gcd8e4 (420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4
StepHypRef Expression
1 8nn 12337 . . . 4 8 ∈ ℕ
2 4nn 12325 . . . 4 4 ∈ ℕ
3 5nn0 12522 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
4 2nn 12315 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12727 . . . . 5 52 ∈ ℕ
65nnzi 12616 . . . 4 52 ∈ ℤ
71, 2, 6gcdaddmzz2nncomi 41522 . . 3 (8 gcd 4) = (8 gcd ((52 · 8) + 4))
8 4nn0 12521 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
9 1nn0 12518 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12722 . . . . . 6 41 ∈ ℕ0
11 6nn0 12523 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
12 0nn0 12517 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
13 eqid 2725 . . . . . 6 416 = 416
148dec0h 12729 . . . . . 6 4 = 04
15 1p1e2 12367 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
1610nn0cni 12514 . . . . . . . 8 41 ∈ ℂ
1716addridi 11431 . . . . . . 7 (41 + 0) = 41
188, 9, 15, 17decsuc 12738 . . . . . 6 ((41 + 0) + 1) = 42
19 6p4e10 12779 . . . . . 6 (6 + 4) = 10
2010, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19decaddc2 12763 . . . . 5 (416 + 4) = 420
21 8nn0 12525 . . . . . . . 8 8 ∈ ℕ0
22 2nn0 12519 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
23 eqid 2725 . . . . . . . 8 52 = 52
24 0p1e1 12364 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
25 8t5e40 12825 . . . . . . . . 9 (8 · 5) = 40
268, 12, 24, 25decsuc 12738 . . . . . . . 8 ((8 · 5) + 1) = 41
27 8t2e16 12822 . . . . . . . 8 (8 · 2) = 16
2821, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27decmul2c 12773 . . . . . . 7 (8 · 52) = 416
291, 5mulcomnni 41514 . . . . . . 7 (8 · 52) = (52 · 8)
3028, 29eqtr3i 2755 . . . . . 6 416 = (52 · 8)
3130oveq1i 7426 . . . . 5 (416 + 4) = ((52 · 8) + 4)
3220, 31eqtr3i 2755 . . . 4 420 = ((52 · 8) + 4)
3332oveq2i 7427 . . 3 (8 gcd 420) = (8 gcd ((52 · 8) + 4))
347, 33eqtr4i 2756 . 2 (8 gcd 4) = (8 gcd 420)
351, 2gcdcomnni 41515 . . 3 (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36 4t2e8 12410 . . . . 5 (4 · 2) = 8
3736oveq2i 7427 . . . 4 (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
382, 4gcdmultiplei 41520 . . . 4 (4 gcd (4 · 2)) = 4
3937, 38eqtr3i 2755 . . 3 (4 gcd 8) = 4
4035, 39eqtri 2753 . 2 (8 gcd 4) = 4
418, 4decnncl 12727 . . . 4 42 ∈ ℕ
4241decnncl2 12731 . . 3 420 ∈ ℕ
431, 42gcdcomnni 41515 . 2 (8 gcd 420) = (420 gcd 8)
4434, 40, 433eqtr3ri 2762 1 (420 gcd 8) = 4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143  2c2 12297  4c4 12299  5c5 12300  6c6 12301  8c8 12303  cdc 12707   gcd cgcd 16468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469
This theorem is referenced by:  420lcm8e840  41538
  Copyright terms: Public domain W3C validator