Theorem 420gcd8e4 42698

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12336	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12324	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12524	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12735	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12618	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42687	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12523	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12726	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12525	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12519	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12738	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12364	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12516	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11397	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12747	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12788	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12772	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12527	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12521	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12361	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12834	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12747	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12831	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12782	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42679	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2794	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2794	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7422	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2795	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42680	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12409	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7422	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42685	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2794	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2792	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12735	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12740	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42680	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2801	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1567  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105  2c2 12295  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  8c8 12301  ;cdc 12711   gcd cgcd 16552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-gcd 16553

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42703