Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  420gcd8e4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 420gcd8e4 41477
Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
420gcd8e4 (420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4
StepHypRef Expression
1 8nn 12338 . . . 4 8 ∈ ℕ
2 4nn 12326 . . . 4 4 ∈ ℕ
3 5nn0 12523 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
4 2nn 12316 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12728 . . . . 5 52 ∈ ℕ
65nnzi 12617 . . . 4 52 ∈ ℤ
71, 2, 6gcdaddmzz2nncomi 41466 . . 3 (8 gcd 4) = (8 gcd ((52 · 8) + 4))
8 4nn0 12522 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
9 1nn0 12519 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12723 . . . . . 6 41 ∈ ℕ0
11 6nn0 12524 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
12 0nn0 12518 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
13 eqid 2728 . . . . . 6 416 = 416
148dec0h 12730 . . . . . 6 4 = 04
15 1p1e2 12368 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
1610nn0cni 12515 . . . . . . . 8 41 ∈ ℂ
1716addridi 11432 . . . . . . 7 (41 + 0) = 41
188, 9, 15, 17decsuc 12739 . . . . . 6 ((41 + 0) + 1) = 42
19 6p4e10 12780 . . . . . 6 (6 + 4) = 10
2010, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19decaddc2 12764 . . . . 5 (416 + 4) = 420
21 8nn0 12526 . . . . . . . 8 8 ∈ ℕ0
22 2nn0 12520 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
23 eqid 2728 . . . . . . . 8 52 = 52
24 0p1e1 12365 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
25 8t5e40 12826 . . . . . . . . 9 (8 · 5) = 40
268, 12, 24, 25decsuc 12739 . . . . . . . 8 ((8 · 5) + 1) = 41
27 8t2e16 12823 . . . . . . . 8 (8 · 2) = 16
2821, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27decmul2c 12774 . . . . . . 7 (8 · 52) = 416
291, 5mulcomnni 41458 . . . . . . 7 (8 · 52) = (52 · 8)
3028, 29eqtr3i 2758 . . . . . 6 416 = (52 · 8)
3130oveq1i 7430 . . . . 5 (416 + 4) = ((52 · 8) + 4)
3220, 31eqtr3i 2758 . . . 4 420 = ((52 · 8) + 4)
3332oveq2i 7431 . . 3 (8 gcd 420) = (8 gcd ((52 · 8) + 4))
347, 33eqtr4i 2759 . 2 (8 gcd 4) = (8 gcd 420)
351, 2gcdcomnni 41459 . . 3 (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36 4t2e8 12411 . . . . 5 (4 · 2) = 8
3736oveq2i 7431 . . . 4 (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
382, 4gcdmultiplei 41464 . . . 4 (4 gcd (4 · 2)) = 4
3937, 38eqtr3i 2758 . . 3 (4 gcd 8) = 4
4035, 39eqtri 2756 . 2 (8 gcd 4) = 4
418, 4decnncl 12728 . . . 4 42 ∈ ℕ
4241decnncl2 12732 . . 3 420 ∈ ℕ
431, 42gcdcomnni 41459 . 2 (8 gcd 420) = (420 gcd 8)
4434, 40, 433eqtr3ri 2765 1 (420 gcd 8) = 4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  (class class class)co 7420  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  2c2 12298  4c4 12300  5c5 12301  6c6 12302  8c8 12304  cdc 12708   gcd cgcd 16469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-gcd 16470
This theorem is referenced by:  420lcm8e840  41482
  Copyright terms: Public domain W3C validator