Theorem 420gcd8e4 41387

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12311	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12299	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12496	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12289	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12701	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12590	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 41377	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12495	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12492	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12696	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12497	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12491	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12703	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12341	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12488	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11405	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12712	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12753	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12737	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12499	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12493	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12338	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12799	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12712	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12747	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 41369	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2756	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2756	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7416	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 41370	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12384	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 41375	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2756	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2754	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12701	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12705	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 41370	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2763	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  2c2 12271  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  8c8 12277  ;cdc 12681   gcd cgcd 16442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  41392