Theorem 420gcd8e4 40000

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12056	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12044	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12241	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12034	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12445	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12332	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 39990	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12240	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12237	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12440	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12242	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12236	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12447	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12086	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12233	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addid1i 11150	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12456	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12497	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12481	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12244	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12238	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12083	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12456	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12540	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12491	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 39982	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7278	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7279	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2769	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 39983	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12129	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7279	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 39988	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2766	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12445	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12449	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 39983	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2775	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7268  0cc0 10859  1c1 10860   + caddc 10862   · cmul 10864  2c2 12016  4c4 12018  5c5 12019  6c6 12020  8c8 12022  ;cdc 12425   gcd cgcd 16189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-rp 12719  df-seq 13710  df-exp 13771  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-dvds 15952  df-gcd 16190

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  40005