Theorem 420gcd8e4 41994

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12281	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12269	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12462	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12259	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12669	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12557	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 41983	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12461	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12458	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12664	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12463	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12457	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12671	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12306	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12454	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11361	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12680	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12721	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12705	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12465	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12459	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12767	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12680	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12764	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12715	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 41975	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2754	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7397	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2754	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7398	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 41976	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12349	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7398	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 41981	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2754	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2752	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12669	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12673	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 41976	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2761	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  2c2 12241  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  8c8 12247  ;cdc 12649   gcd cgcd 16464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  41999