Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  420gcd8e4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 420gcd8e4 42007
Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
420gcd8e4 (420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4
StepHypRef Expression
1 8nn 12361 . . . 4 8 ∈ ℕ
2 4nn 12349 . . . 4 4 ∈ ℕ
3 5nn0 12546 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
4 2nn 12339 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12753 . . . . 5 52 ∈ ℕ
65nnzi 12641 . . . 4 52 ∈ ℤ
71, 2, 6gcdaddmzz2nncomi 41996 . . 3 (8 gcd 4) = (8 gcd ((52 · 8) + 4))
8 4nn0 12545 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
9 1nn0 12542 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12748 . . . . . 6 41 ∈ ℕ0
11 6nn0 12547 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
12 0nn0 12541 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
13 eqid 2737 . . . . . 6 416 = 416
148dec0h 12755 . . . . . 6 4 = 04
15 1p1e2 12391 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
1610nn0cni 12538 . . . . . . . 8 41 ∈ ℂ
1716addridi 11448 . . . . . . 7 (41 + 0) = 41
188, 9, 15, 17decsuc 12764 . . . . . 6 ((41 + 0) + 1) = 42
19 6p4e10 12805 . . . . . 6 (6 + 4) = 10
2010, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19decaddc2 12789 . . . . 5 (416 + 4) = 420
21 8nn0 12549 . . . . . . . 8 8 ∈ ℕ0
22 2nn0 12543 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
23 eqid 2737 . . . . . . . 8 52 = 52
24 0p1e1 12388 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
25 8t5e40 12851 . . . . . . . . 9 (8 · 5) = 40
268, 12, 24, 25decsuc 12764 . . . . . . . 8 ((8 · 5) + 1) = 41
27 8t2e16 12848 . . . . . . . 8 (8 · 2) = 16
2821, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27decmul2c 12799 . . . . . . 7 (8 · 52) = 416
291, 5mulcomnni 41988 . . . . . . 7 (8 · 52) = (52 · 8)
3028, 29eqtr3i 2767 . . . . . 6 416 = (52 · 8)
3130oveq1i 7441 . . . . 5 (416 + 4) = ((52 · 8) + 4)
3220, 31eqtr3i 2767 . . . 4 420 = ((52 · 8) + 4)
3332oveq2i 7442 . . 3 (8 gcd 420) = (8 gcd ((52 · 8) + 4))
347, 33eqtr4i 2768 . 2 (8 gcd 4) = (8 gcd 420)
351, 2gcdcomnni 41989 . . 3 (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36 4t2e8 12434 . . . . 5 (4 · 2) = 8
3736oveq2i 7442 . . . 4 (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
382, 4gcdmultiplei 41994 . . . 4 (4 gcd (4 · 2)) = 4
3937, 38eqtr3i 2767 . . 3 (4 gcd 8) = 4
4035, 39eqtri 2765 . 2 (8 gcd 4) = 4
418, 4decnncl 12753 . . . 4 42 ∈ ℕ
4241decnncl2 12757 . . 3 420 ∈ ℕ
431, 42gcdcomnni 41989 . 2 (8 gcd 420) = (420 gcd 8)
4434, 40, 433eqtr3ri 2774 1 (420 gcd 8) = 4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  8c8 12327  cdc 12733   gcd cgcd 16531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532
This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42012
  Copyright terms: Public domain W3C validator