Theorem 420gcd8e4 42007

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12361	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12349	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12546	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12339	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12753	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12641	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 41996	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12545	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12542	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12547	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12755	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12391	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12538	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11448	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12764	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12805	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12789	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12549	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12543	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12388	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12851	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12764	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12848	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12799	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 41988	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2767	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2767	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2768	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 41989	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12434	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 41994	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2767	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2765	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12753	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12757	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 41989	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2774	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  8c8 12327  ;cdc 12733   gcd cgcd 16531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42012