Theorem 420gcd8e4 42019

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12335	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12323	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12313	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12728	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12616	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42008	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12517	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12723	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12730	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12365	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12513	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11422	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12739	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12780	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12764	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12524	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12518	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12362	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12826	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12739	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12823	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12774	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42000	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2760	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2760	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7416	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2761	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42001	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12408	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42006	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2758	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12728	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12732	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42001	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2767	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134  2c2 12295  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  8c8 12301  ;cdc 12708   gcd cgcd 16513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-gcd 16514

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42024