Theorem 420gcd8e4 42039

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12215	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12203	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12396	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12193	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12603	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12491	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42028	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12395	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12392	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12598	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12397	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12391	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12605	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12240	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12388	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11295	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12614	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12655	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12639	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12399	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12393	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12701	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12614	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12698	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12649	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42020	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2756	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7351	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2756	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7352	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42021	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12283	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7352	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42026	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2756	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2754	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12603	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12607	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42021	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2763	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006  2c2 12175  4c4 12177  5c5 12178  6c6 12179  8c8 12181  ;cdc 12583   gcd cgcd 16400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-rp 12886  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-dvds 16159  df-gcd 16401

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42044