Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  420gcd8e4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 420gcd8e4 39269
 Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
420gcd8e4 (420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4
StepHypRef Expression
1 8nn 11731 . . . 4 8 ∈ ℕ
2 4nn 11719 . . . 4 4 ∈ ℕ
3 5nn0 11916 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
4 2nn 11709 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12117 . . . . 5 52 ∈ ℕ
65nnzi 12005 . . . 4 52 ∈ ℤ
71, 2, 6gcdaddmzz2nncomi 39258 . . 3 (8 gcd 4) = (8 gcd ((52 · 8) + 4))
8 4nn0 11915 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
9 1nn0 11912 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12112 . . . . . 6 41 ∈ ℕ0
11 6nn0 11917 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
12 0nn0 11911 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
13 eqid 2824 . . . . . 6 416 = 416
148dec0h 12119 . . . . . 6 4 = 04
15 1p1e2 11761 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
1610nn0cni 11908 . . . . . . . 8 41 ∈ ℂ
1716addid1i 10827 . . . . . . 7 (41 + 0) = 41
188, 9, 15, 17decsuc 12128 . . . . . 6 ((41 + 0) + 1) = 42
19 6p4e10 12169 . . . . . 6 (6 + 4) = 10
2010, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19decaddc2 12153 . . . . 5 (416 + 4) = 420
21 8nn0 11919 . . . . . . . 8 8 ∈ ℕ0
22 2nn0 11913 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
23 eqid 2824 . . . . . . . 8 52 = 52
24 0p1e1 11758 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
25 8t5e40 12215 . . . . . . . . 9 (8 · 5) = 40
268, 12, 24, 25decsuc 12128 . . . . . . . 8 ((8 · 5) + 1) = 41
27 8t2e16 12212 . . . . . . . 8 (8 · 2) = 16
2821, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27decmul2c 12163 . . . . . . 7 (8 · 52) = 416
291, 5mulcomnni 39250 . . . . . . 7 (8 · 52) = (52 · 8)
3028, 29eqtr3i 2849 . . . . . 6 416 = (52 · 8)
3130oveq1i 7161 . . . . 5 (416 + 4) = ((52 · 8) + 4)
3220, 31eqtr3i 2849 . . . 4 420 = ((52 · 8) + 4)
3332oveq2i 7162 . . 3 (8 gcd 420) = (8 gcd ((52 · 8) + 4))
347, 33eqtr4i 2850 . 2 (8 gcd 4) = (8 gcd 420)
351, 2gcdcomnni 39251 . . 3 (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36 4t2e8 11804 . . . . 5 (4 · 2) = 8
3736oveq2i 7162 . . . 4 (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
382, 4gcdmultiplei 39256 . . . 4 (4 gcd (4 · 2)) = 4
3937, 38eqtr3i 2849 . . 3 (4 gcd 8) = 4
4035, 39eqtri 2847 . 2 (8 gcd 4) = 4
418, 4decnncl 12117 . . . 4 42 ∈ ℕ
4241decnncl2 12121 . . 3 420 ∈ ℕ
431, 42gcdcomnni 39251 . 2 (8 gcd 420) = (420 gcd 8)
4434, 40, 433eqtr3ri 2856 1 (420 gcd 8) = 4
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7151  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  2c2 11691  4c4 11693  5c5 11694  6c6 11695  8c8 11697  ;cdc 12097   gcd cgcd 15843 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13376  df-exp 13437  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-gcd 15844 This theorem is referenced by:  420lcm8e840  39274
 Copyright terms: Public domain W3C validator