Theorem 420gcd8e4 41988

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12359	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12347	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12337	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12751	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12639	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 41977	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12540	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12746	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12545	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12753	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12389	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12536	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11446	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12762	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12803	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12787	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12547	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12541	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12386	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12849	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12762	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12846	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12797	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 41969	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2765	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2765	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2766	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 41970	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12432	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 41975	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2765	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2763	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12751	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12755	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 41970	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2772	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  8c8 12325  ;cdc 12731   gcd cgcd 16528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  41993