Theorem 420gcd8e4 42872

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12360	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12348	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12548	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12338	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12760	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12642	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42861	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12544	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12751	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12549	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12763	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12388	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12540	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11421	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12772	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12813	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12797	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12551	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12545	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12385	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12859	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12772	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12856	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12807	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42853	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7424	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2786	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42854	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12433	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7424	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42859	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2785	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2783	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12760	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12765	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42854	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2792	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  8c8 12325  ;cdc 12736   gcd cgcd 16584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-gcd 16585

This theorem is used by:  420lcm8e840  42877