Theorem 420gcd8e4 43163

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12443	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12431	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12631	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12421	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12843	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12725	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 43152	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12630	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12627	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12834	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12632	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12626	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12846	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12471	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12623	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11502	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12855	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12896	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12880	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12634	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12628	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12468	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12942	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12855	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12939	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12890	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 43144	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7432	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7433	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2786	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 43145	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12516	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7433	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 43150	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2785	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2783	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12843	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12848	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 43145	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2792	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7422  0cc0 11205  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210  2c2 12402  4c4 12404  5c5 12405  6c6 12406  8c8 12408  ;cdc 12819   gcd cgcd 16671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-rp 13126  df-seq 14150  df-exp 14210  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-dvds 16430  df-gcd 16672

This theorem is used by:  420lcm8e840  43168