Theorem 420gcd8e4 42260

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12240	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12228	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12421	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12218	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12627	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12515	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42249	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12420	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12417	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12622	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12422	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12416	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12629	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12265	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12413	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11320	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12638	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12679	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12663	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12424	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12418	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12262	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12725	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12638	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12722	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12673	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42241	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7369	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2762	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42242	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12308	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42247	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2761	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2759	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12627	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12631	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42242	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2768	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  2c2 12200  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  8c8 12206  ;cdc 12607   gcd cgcd 16421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42265