Theorem 420gcd8e4 41533

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12337	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12325	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12315	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12727	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12616	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 41522	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12518	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12722	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12729	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12367	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12514	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11431	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12738	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12779	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12763	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12525	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12519	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12364	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12825	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12738	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12822	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12773	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 41514	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2755	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2755	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7427	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2756	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 41515	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12410	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7427	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 41520	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2755	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2753	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12727	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12731	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 41515	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2762	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143  2c2 12297  4c4 12299  5c5 12300  6c6 12301  8c8 12303  ;cdc 12707   gcd cgcd 16468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  41538