Theorem 420gcd8e4 42584

Description: The gcd of 420 and 8 is 4. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420gcd8e4	⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Proof of Theorem 420gcd8e4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12307	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4nn 12295	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		5nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4		2nn 12285	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12706	. . . . 5 ⊢ ;52 ∈ ℕ
6	5	nnzi 12589	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℤ
7	1, 2, 6	gcdaddmzz2nncomi 42573	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
8		4nn0 12494	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		1nn0 12491	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12697	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℕ0
11		6nn0 12496	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12		0nn0 12490	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = ;;416
14	8	dec0h 12709	. . . . . 6 ⊢ 4 = ;04
15		1p1e2 12335	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
16	10	nn0cni 12487	. . . . . . . 8 ⊢ ;41 ∈ ℂ
17	16	addridi 11364	. . . . . . 7 ⊢ (;41 + 0) = ;41
18	8, 9, 15, 17	decsuc 12718	. . . . . 6 ⊢ ((;41 + 0) + 1) = ;42
19		6p4e10 12759	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
20	10, 11, 12, 8, 13, 14, 18, 19	decaddc2 12743	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ;;420
21		8nn0 12498	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		2nn0 12492	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
24		0p1e1 12332	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
25		8t5e40 12805	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 5) = ;40
26	8, 12, 24, 25	decsuc 12718	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 5) + 1) = ;41
27		8t2e16 12802	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
28	21, 3, 22, 23, 11, 9, 26, 27	decmul2c 12753	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = ;;416
29	1, 5	mulcomnni 42565	. . . . . . 7 ⊢ (8 · ;52) = (;52 · 8)
30	28, 29	eqtr3i 2786	. . . . . 6 ⊢ ;;416 = (;52 · 8)
31	30	oveq1i 7401	. . . . 5 ⊢ (;;416 + 4) = ((;52 · 8) + 4)
32	20, 31	eqtr3i 2786	. . . 4 ⊢ ;;420 = ((;52 · 8) + 4)
33	32	oveq2i 7402	. . 3 ⊢ (8 gcd ;;420) = (8 gcd ((;52 · 8) + 4))
34	7, 33	eqtr4i 2787	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = (8 gcd ;;420)
35	1, 2	gcdcomnni 42566	. . 3 ⊢ (8 gcd 4) = (4 gcd 8)
36		4t2e8 12380	. . . . 5 ⊢ (4 · 2) = 8
37	36	oveq2i 7402	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = (4 gcd 8)
38	2, 4	gcdmultiplei 42571	. . . 4 ⊢ (4 gcd (4 · 2)) = 4
39	37, 38	eqtr3i 2786	. . 3 ⊢ (4 gcd 8) = 4
40	35, 39	eqtri 2784	. 2 ⊢ (8 gcd 4) = 4
41	8, 4	decnncl 12706	. . . 4 ⊢ ;42 ∈ ℕ
42	41	decnncl2 12711	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
43	1, 42	gcdcomnni 42566	. 2 ⊢ (8 gcd ;;420) = (;;420 gcd 8)
44	34, 40, 43	3eqtr3ri 2793	1 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4

Syntax hints:   = wceq 1559  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072  2c2 12266  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  8c8 12272  ;cdc 12682   gcd cgcd 16519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-gcd 16520

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42589