Theorem gcdcomnni 41983

Description: Commutative law for gcd. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomnni.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
gcdcomnni.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
gcdcomnni	⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀)

Proof of Theorem gcdcomnni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomnni.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12564	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
3		gcdcomnni.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12564	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
5	2, 4	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)
6		gcdcom 16490	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
7	5, 6	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℕcn 12193  ℤcz 12536   gcd cgcd 16471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-neg 11415  df-nn 12194  df-z 12537  df-gcd 16472

This theorem is referenced by:  12gcd5e1  41998  60gcd6e6  41999  60gcd7e1  42000  420gcd8e4  42001