Theorem 60gcd6e6 43148

Description: The gcd of 60 and 6 is 6. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd6e6	⊢ (;60 gcd 6) = 6

Proof of Theorem 60gcd6e6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12436	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12847	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3	1, 2	gcdcomnni 43132	. 2 ⊢ (6 gcd ;60) = (;60 gcd 6)
4	1	nnnn0i 12618	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12626	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		0nn0 12625	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;10 = ;10
8		6cn 12438	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
9	8	mullidi 11318	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
10	8	mul02i 11503	. . . . . 6 ⊢ (0 · 6) = 0
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	decmul1 12887	. . . . 5 ⊢ (;10 · 6) = ;60
12		10nn 12838	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
13	12, 1	mulcomnni 43131	. . . . 5 ⊢ (;10 · 6) = (6 · ;10)
14	11, 13	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ ;60 = (6 · ;10)
15	14	oveq2i 7432	. . 3 ⊢ (6 gcd ;60) = (6 gcd (6 · ;10))
16	1, 12	gcdmultiplei 43137	. . 3 ⊢ (6 gcd (6 · ;10)) = 6
17	15, 16	eqtri 2783	. 2 ⊢ (6 gcd ;60) = 6
18	3, 17	eqtr3i 2785	1 ⊢ (;60 gcd 6) = 6

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209  6c6 12405  ;cdc 12818   gcd cgcd 16670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-rp 13125  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-gcd 16671

This theorem is used by:  60lcm6e60  43153