Theorem 60gcd6e6 40609

Description: The gcd of 60 and 6 is 6. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd6e6	⊢ (;60 gcd 6) = 6

Proof of Theorem 60gcd6e6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12278	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12678	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3	1, 2	gcdcomnni 40594	. 2 ⊢ (6 gcd ;60) = (;60 gcd 6)
4	1	nnnn0i 12457	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12465	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		0nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ;10 = ;10
8		6cn 12280	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
9	8	mullidi 11196	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
10	8	mul02i 11380	. . . . . 6 ⊢ (0 · 6) = 0
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	decmul1 12718	. . . . 5 ⊢ (;10 · 6) = ;60
12		10nn 12670	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
13	12, 1	mulcomnni 40593	. . . . 5 ⊢ (;10 · 6) = (6 · ;10)
14	11, 13	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ ;60 = (6 · ;10)
15	14	oveq2i 7399	. . 3 ⊢ (6 gcd ;60) = (6 gcd (6 · ;10))
16	1, 12	gcdmultiplei 40599	. . 3 ⊢ (6 gcd (6 · ;10)) = 6
17	15, 16	eqtri 2759	. 2 ⊢ (6 gcd ;60) = 6
18	3, 17	eqtr3i 2761	1 ⊢ (;60 gcd 6) = 6

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7388  0cc0 11087  1c1 11088   · cmul 11092  6c6 12248  ;cdc 12654   gcd cgcd 16412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5287  ax-nul 5294  ax-pow 5351  ax-pr 5415  ax-un 7703  ax-cnex 11143  ax-resscn 11144  ax-1cn 11145  ax-icn 11146  ax-addcl 11147  ax-addrcl 11148  ax-mulcl 11149  ax-mulrcl 11150  ax-mulcom 11151  ax-addass 11152  ax-mulass 11153  ax-distr 11154  ax-i2m1 11155  ax-1ne0 11156  ax-1rid 11157  ax-rnegex 11158  ax-rrecex 11159  ax-cnre 11160  ax-pre-lttri 11161  ax-pre-lttrn 11162  ax-pre-ltadd 11163  ax-pre-mulgt0 11164  ax-pre-sup 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3429  df-v 3471  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4314  df-if 4518  df-pw 4593  df-sn 4618  df-pr 4620  df-op 4624  df-uni 4897  df-iun 4987  df-br 5137  df-opab 5199  df-mpt 5220  df-tr 5254  df-id 5562  df-eprel 5568  df-po 5576  df-so 5577  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6284  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7344  df-ov 7391  df-oprab 7392  df-mpo 7393  df-om 7834  df-2nd 7953  df-frecs 8243  df-wrecs 8274  df-recs 8348  df-rdg 8387  df-er 8681  df-en 8918  df-dom 8919  df-sdom 8920  df-sup 9414  df-inf 9415  df-pnf 11227  df-mnf 11228  df-xr 11229  df-ltxr 11230  df-le 11231  df-sub 11423  df-neg 11424  df-div 11849  df-nn 12190  df-2 12252  df-3 12253  df-4 12254  df-5 12255  df-6 12256  df-7 12257  df-8 12258  df-9 12259  df-n0 12450  df-z 12536  df-dec 12655  df-uz 12800  df-rp 12952  df-seq 13944  df-exp 14005  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-dvds 16175  df-gcd 16413

This theorem is referenced by:  60lcm6e60  40614