Theorem 60gcd6e6 41977

Description: The gcd of 60 and 6 is 6. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd6e6	⊢ (;60 gcd 6) = 6

Proof of Theorem 60gcd6e6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12235	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12633	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3	1, 2	gcdcomnni 41961	. 2 ⊢ (6 gcd ;60) = (;60 gcd 6)
4	1	nnnn0i 12410	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12418	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		0nn0 12417	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;10 = ;10
8		6cn 12237	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
9	8	mullidi 11139	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
10	8	mul02i 11323	. . . . . 6 ⊢ (0 · 6) = 0
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	decmul1 12673	. . . . 5 ⊢ (;10 · 6) = ;60
12		10nn 12625	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
13	12, 1	mulcomnni 41960	. . . . 5 ⊢ (;10 · 6) = (6 · ;10)
14	11, 13	eqtr3i 2754	. . . 4 ⊢ ;60 = (6 · ;10)
15	14	oveq2i 7364	. . 3 ⊢ (6 gcd ;60) = (6 gcd (6 · ;10))
16	1, 12	gcdmultiplei 41966	. . 3 ⊢ (6 gcd (6 · ;10)) = 6
17	15, 16	eqtri 2752	. 2 ⊢ (6 gcd ;60) = 6
18	3, 17	eqtr3i 2754	1 ⊢ (;60 gcd 6) = 6

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033  6c6 12205  ;cdc 12609   gcd cgcd 16423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424

This theorem is referenced by:  60lcm6e60  41982