Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltltc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltltc 39464
Description: (𝐶𝑁) is the largest term and therefore 𝐵 < 𝐶. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fltne.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
fltne.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
fltne.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
fltne.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
fltne.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
Assertion
Ref Expression
fltltc (𝜑𝐵 < 𝐶)

Proof of Theorem fltltc
StepHypRef Expression
1 fltne.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nncnd 11641 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 fltne.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
4 eluzge3nn 12278 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11943 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
72, 6expcld 13506 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
8 fltne.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
98nncnd 11641 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
109, 6expcld 13506 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
11 fltne.1 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
127, 10, 11mvlladdd 11038 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑁) = ((𝐶𝑁) − (𝐴𝑁)))
13 fltne.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
1413nnred 11640 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1514, 6reexpcld 13523 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ ℝ)
161nnrpd 12417 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
175nnzd 12074 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1816, 17rpexpcld 13604 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
1915, 18ltsubrpd 12451 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝑁) − (𝐴𝑁)) < (𝐶𝑁))
2012, 19eqbrtrd 5071 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑁) < (𝐶𝑁))
218nnrpd 12417 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
2213nnrpd 12417 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2321, 22, 5ltexp1d 39364 . 2 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵𝑁) < (𝐶𝑁)))
2420, 23mpbird 260 1 (𝜑𝐵 < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5049  cfv 6338  (class class class)co 7140   + caddc 10527   < clt 10662  cmin 10857  cn 11625  3c3 11681  cuz 12231  cexp 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426
This theorem is referenced by:  fltnltalem  39465  fltnlta  39466
  Copyright terms: Public domain W3C validator