Theorem fltltc 42079

Description: (𝐶↑𝑁) is the largest term and therefore 𝐵 < 𝐶. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltltc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltltc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltltc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltltc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
fltltc.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltltc	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Proof of Theorem fltltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltltc.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		fltltc.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
4		eluzge3nn 12898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12556	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	2, 6	expcld 14136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
8		fltltc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9, 6	expcld 14136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
11		fltltc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
12	7, 10, 11	mvlladdd 11649	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)))
13		fltltc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
14	13	nnred 12251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15	14, 6	reexpcld 14153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑁) ∈ ℝ)
16	1	nnrpd 13040	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
17	5	nnzd 12609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	16, 17	rpexpcld 14235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
19	15, 18	ltsubrpd 13074	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) < (𝐶↑𝑁))
20	12, 19	eqbrtrd 5164	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) < (𝐶↑𝑁))
21	8	nnrpd 13040	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
22	13	nnrpd 13040	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
23	21, 22, 5	ltexp1d 41876	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵↑𝑁) < (𝐶↑𝑁)))
24	20, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   + caddc 11135   < clt 11272   − cmin 11468  ℕcn 12236  3c3 12292  ℤ_≥cuz 12846  ↑cexp 14052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053

This theorem is referenced by:  fltnltalem  42080  fltnlta  42081