Theorem fltltc 42700

Description: (𝐶↑𝑁) is the largest term and therefore 𝐵 < 𝐶. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltltc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltltc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltltc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltltc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
fltltc.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltltc	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Proof of Theorem fltltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltltc.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		fltltc.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
4		eluz3nn 12787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12442	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	2, 6	expcld 14053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
8		fltltc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9, 6	expcld 14053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
11		fltltc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
12	7, 10, 11	mvlladdd 11528	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)))
13		fltltc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
14	13	nnred 12140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15	14, 6	reexpcld 14070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑁) ∈ ℝ)
16	1	nnrpd 12932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
17	5	nnzd 12495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	16, 17	rpexpcld 14154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
19	15, 18	ltsubrpd 12966	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) < (𝐶↑𝑁))
20	12, 19	eqbrtrd 5113	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) < (𝐶↑𝑁))
21	8	nnrpd 12932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
22	13	nnrpd 12932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
23	21, 22, 5	ltexp1d 14166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵↑𝑁) < (𝐶↑𝑁)))
24	20, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   + caddc 11009   < clt 11146   − cmin 11344  ℕcn 12125  3c3 12181  ℤ_≥cuz 12732  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  fltnltalem  42701  fltnlta  42702