Theorem fltltc 42085

Description: (𝐶↑𝑁) is the largest term and therefore 𝐵 < 𝐶. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltltc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltltc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltltc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltltc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
fltltc.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltltc	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Proof of Theorem fltltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltltc.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		fltltc.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
4		eluzge3nn 12905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	2, 6	expcld 14143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
8		fltltc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9, 6	expcld 14143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
11		fltltc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
12	7, 10, 11	mvlladdd 11656	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)))
13		fltltc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
14	13	nnred 12258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15	14, 6	reexpcld 14160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑁) ∈ ℝ)
16	1	nnrpd 13047	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
17	5	nnzd 12616	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	16, 17	rpexpcld 14242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
19	15, 18	ltsubrpd 13081	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) < (𝐶↑𝑁))
20	12, 19	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) < (𝐶↑𝑁))
21	8	nnrpd 13047	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
22	13	nnrpd 13047	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
23	21, 22, 5	ltexp1d 41882	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵↑𝑁) < (𝐶↑𝑁)))
24	20, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   + caddc 11142   < clt 11279   − cmin 11475  ℕcn 12243  3c3 12299  ℤ_≥cuz 12853  ↑cexp 14059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14000  df-exp 14060

This theorem is referenced by:  fltnltalem  42086  fltnlta  42087