HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 116 of 470)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-29646)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(29647-31169)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31170-46948)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 11501-11600   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremmvrraddd 11501 Move the right term in a sum on the RHS to the LHS, deduction form. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ต + ๐ถ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) = ๐ต)
 
Theoremmvrladdd 11502 Move the left term in a sum on the RHS to the LHS, deduction form. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ต + ๐ถ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = ๐ถ)
 
Theoremassraddsubd 11503 Associate RHS addition-subtraction. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Oct-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ ๐ท))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ต + (๐ถ โˆ’ ๐ท)))
 
Theoremsubaddeqd 11504 Transfer two terms of a subtraction to an addition in an equality. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) = (๐ถ โˆ’ ๐ต))
 
Theoremaddlsub 11505 Left-subtraction: Subtraction of the left summand from the result of an addition. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) = ๐ถ โ†” ๐ด = (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
 
Theoremaddrsub 11506 Right-subtraction: Subtraction of the right summand from the result of an addition. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) = ๐ถ โ†” ๐ต = (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremsubexsub 11507 A subtraction law: Exchanging the subtrahend and the result of the subtraction. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต = (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremaddid0 11508 If adding a number to a another number yields the other number, the added number must be 0. This shows that 0 is the unique (right) identity of the complex numbers. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)
((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘Œ) = ๐‘‹ โ†” ๐‘Œ = 0))
 
Theoremaddn0nid 11509 Adding a nonzero number to a complex number does not yield the complex number. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)
((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Œ โ‰  0) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) โ‰  ๐‘‹)
 
Theorempnpncand 11510 Addition/subtraction cancellation law. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + (๐ต โˆ’ ๐ถ)) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ๐ด)
 
Theoremsubeqrev 11511 Reverse the order of subtraction in an equality. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2013.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถ โˆ’ ๐ท) โ†” (๐ต โˆ’ ๐ด) = (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremaddeq0 11512 Two complex numbers add up to zero iff they are each other's opposites. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = 0 โ†” ๐ด = -๐ต))
 
Theorempncan1 11513 Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ 1) = ๐ด)
 
Theoremnpcan1 11514 Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + 1) = ๐ด)
 
Theoremsubeq0bd 11515 If two complex numbers are equal, their difference is zero. Consequence of subeq0ad 11456. Converse of subeq0d 11454. Contrapositive of subne0ad 11457. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = 0)
 
Theoremrenegcld 11516 Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
 
Theoremresubcld 11517 Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
 
Theoremnegn0 11518* The image under negation of a nonempty set of reals is nonempty. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ -๐‘ง โˆˆ ๐ด} โ‰  โˆ…)
 
Theoremnegf1o 11519* Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ -๐‘ฅ)    โ‡’   (๐ด โŠ† โ„ โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’{๐‘› โˆˆ โ„ โˆฃ -๐‘› โˆˆ ๐ด})
 
5.3.3  Multiplication
 
Theoremkcnktkm1cn 11520 k times k minus 1 is a complex number if k is a complex number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.)
(๐พ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
 
Theoremmuladd 11521 Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
 
Theoremsubdi 11522 Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
 
Theoremsubdir 11523 Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremine0 11524 The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
i โ‰  0
 
Theoremmulneg1 11525 Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremmulneg2 11526 The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremmulneg12 11527 Swap the negative sign in a product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท -๐ต))
 
Theoremmul2neg 11528 Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremsubmul2 11529 Convert a subtraction to addition using multiplication by a negative. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด + (๐ต ยท -๐ถ)))
 
Theoremmulm1 11530 Product with minus one is negative. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด)
 
Theoremaddneg1mul 11531 Addition with product with minus one is a subtraction. (Contributed by AV, 18-Oct-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + (-1 ยท ๐ต)) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
 
Theoremmulsub 11532 Product of two differences. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
 
Theoremmulsub2 11533 Swap the order of subtraction in a multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremmulm1i 11534 Product with minus one is negative. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.)
๐ด โˆˆ โ„‚    โ‡’   (-1 ยท ๐ด) = -๐ด
 
Theoremmulneg1i 11535 Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต)
 
Theoremmulneg2i 11536 Product with negative is negative of product. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต)
 
Theoremmul2negi 11537 Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)
 
Theoremsubdii 11538 Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 26-Nov-1994.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ))
 
Theoremsubdiri 11539 Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 8-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    โ‡’   ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremmuladdi 11540 Product of two sums. (Contributed by NM, 17-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ท โˆˆ โ„‚    โ‡’   ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremmulm1d 11541 Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด)
 
Theoremmulneg1d 11542 Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremmulneg2d 11543 Product with negative is negative of product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremmul2negd 11544 Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremsubdid 11545 Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
 
Theoremsubdird 11546 Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremmuladdd 11547 Product of two sums. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
 
Theoremmulsubd 11548 Product of two differences. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
 
Theoremmuls1d 11549 Multiplication by one minus a number. (Contributed by Scott Fenton, 23-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ 1)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ ๐ด))
 
Theoremmulsubfacd 11550 Multiplication followed by the subtraction of a factor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Aug-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐ต))
 
Theoremaddmulsub 11551 The product of a sum and a difference. (Contributed by AV, 5-Mar-2023.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))))
 
Theoremsubaddmulsub 11552 The difference with a product of a sum and a difference. (Contributed by AV, 5-Mar-2023.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ธ โˆ’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))) = (((๐ธ โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))))
 
Theoremmulsubaddmulsub 11553 A special difference of a product with a product of a sum and a difference. (Contributed by AV, 5-Mar-2023.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
 
5.3.4  Ordering on reals (cont.)
 
Theoremgt0ne0 11554 Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
 
Theoremlt0ne0 11555 A number which is less than zero is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
 
Theoremltadd1 11556 Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + ๐ถ) < (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremleadd1 11557 Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด + ๐ถ) โ‰ค (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremleadd2 11558 Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ + ๐ด) โ‰ค (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremltsubadd 11559 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremltsubadd2 11560 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremlesubadd 11561 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ด โ‰ค (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremlesubadd2 11562 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremltaddsub 11563 'Less than' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
 
Theoremltaddsub2 11564 'Less than' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ต < (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremleaddsub 11565 'Less than or equal to' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ด โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
 
Theoremleaddsub2 11566 'Less than or equal to' relationship between and addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ต โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremsuble 11567 Swap subtrahends in an inequality. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ‰ค ๐ต))
 
Theoremlesub 11568 Swap subtrahends in an inequality. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ) โ†” ๐ถ โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremltsub23 11569 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 4-Oct-1999.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด โˆ’ ๐ถ) < ๐ต))
 
Theoremltsub13 11570 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < (๐ต โˆ’ ๐ถ) โ†” ๐ถ < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremle2add 11571 Adding both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ต โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) โ‰ค (๐ถ + ๐ท)))
 
Theoremltleadd 11572 Adding both sides of two orderings. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท)))
 
Theoremleltadd 11573 Adding both sides of two orderings. (Contributed by NM, 15-Aug-2008.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท)))
 
Theoremlt2add 11574 Adding both sides of two 'less than' relations. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 15-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท)))
 
Theoremaddgt0 11575 The sum of 2 positive numbers is positive. (Contributed by NM, 1-Jun-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
 
Theoremaddgegt0 11576 The sum of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
 
Theoremaddgtge0 11577 The sum of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
 
Theoremaddge0 11578 The sum of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
 
Theoremltaddpos 11579 Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ต + ๐ด)))
 
Theoremltaddpos2 11580 Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 8-Apr-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ด + ๐ต)))
 
Theoremltsubpos 11581 Subtracting a positive number from another number decreases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” (๐ต โˆ’ ๐ด) < ๐ต))
 
Theoremposdif 11582 Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremlesub1 11583 Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 13-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremlesub2 11584 Subtraction of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremltsub1 11585 Subtraction from both sides of 'less than'. (Contributed by FL, 3-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด โˆ’ ๐ถ) < (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremltsub2 11586 Subtraction of both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) < (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremlt2sub 11587 Subtracting both sides of two 'less than' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด < ๐ถ โˆง ๐ท < ๐ต) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) < (๐ถ โˆ’ ๐ท)))
 
Theoremle2sub 11588 Subtracting both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ท โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ท)))
 
Theoremltneg 11589 Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” -๐ต < -๐ด))
 
Theoremltnegcon1 11590 Contraposition of negative in 'less than'. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (-๐ด < ๐ต โ†” -๐ต < ๐ด))
 
Theoremltnegcon2 11591 Contraposition of negative in 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < -๐ต โ†” ๐ต < -๐ด))
 
Theoremleneg 11592 Negative of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” -๐ต โ‰ค -๐ด))
 
Theoremlenegcon1 11593 Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (-๐ด โ‰ค ๐ต โ†” -๐ต โ‰ค ๐ด))
 
Theoremlenegcon2 11594 Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค -๐ต โ†” ๐ต โ‰ค -๐ด))
 
Theoremlt0neg1 11595 Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐ด))
 
Theoremlt0neg2 11596 Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†” -๐ด < 0))
 
Theoremle0neg1 11597 Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐ด))
 
Theoremle0neg2 11598 Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by NM, 24-Aug-1999.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” -๐ด โ‰ค 0))
 
Theoremaddge01 11599 A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ด + ๐ต)))
 
Theoremaddge02 11600 A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 27-Jul-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐ด)))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-46948
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >