Theorem negsubdi3d 39988

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
negsubdi3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
negsubdi3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi3d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (-𝐴 − -𝐵))

Proof of Theorem negsubdi3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsubdi3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negsubdi3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdi2d 10693	. 2 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2	neg2subd 10694	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 − -𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
5	3, 4	eqtr4d 2843	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (-𝐴 − -𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1637   ∈ wcel 2156  (class class class)co 6874  ℂcc 10219   − cmin 10551  -cneg 10552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-ltxr 10364  df-sub 10553  df-neg 10554

This theorem is referenced by:  neglimc  40359