Theorem negsubdi3d 40025

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
negsubdi3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
negsubdi3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi3d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (-𝐴 − -𝐵))

Proof of Theorem negsubdi3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsubdi3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negsubdi3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdi2d 10611	. 2 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2	neg2subd 10612	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 − -𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
5	3, 4	eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (-𝐴 − -𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6794  ℂcc 10137   − cmin 10469  -cneg 10470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-ltxr 10282  df-sub 10471  df-neg 10472

This theorem is referenced by:  neglimc  40398