Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lefldiveq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lefldiveq 45304
Description: A closed enough, smaller real 𝐶 has the same floor of 𝐴 when both are divided by 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lefldiveq.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lefldiveq.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
lefldiveq.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
Assertion
Ref Expression
lefldiveq (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lefldiveq
StepHypRef Expression
1 lefldiveq.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lefldiveq.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 moddiffl 13922 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
51, 2rerpdivcld 13108 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
65flcld 13838 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
74, 6eqeltrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ)
8 flid 13848 . . . . 5 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
109, 4eqtr2d 2778 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)))
111, 2modcld 13915 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
121, 11resubcld 11691 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
1312, 2rerpdivcld 13108 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ)
14 iccssre 13469 . . . . . . 7 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
1512, 1, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
16 lefldiveq.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
1715, 16sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1817, 2rerpdivcld 13108 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1912rexrd 11311 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
201rexrd 11311 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21 iccgelb 13443 . . . . . 6 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
2219, 20, 16, 21syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
2312, 17, 2, 22lediv1dd 13135 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵))
24 flwordi 13852 . . . 4 ((((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
2513, 18, 23, 24syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
2610, 25eqbrtrd 5165 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
27 iccleub 13442 . . . . 5 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → 𝐶𝐴)
2819, 20, 16, 27syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑𝐶𝐴)
2917, 1, 2, 28lediv1dd 13135 . . 3 (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
30 flwordi 13852 . . 3 (((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)) → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
3118, 5, 29, 30syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
32 reflcl 13836 . . . 4 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
335, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
34 reflcl 13836 . . . 4 ((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
3518, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
3633, 35letri3d 11403 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ↔ ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
3726, 31, 36mpbir2and 713 1 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  *cxr 11294  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cz 12613  +crp 13034  [,]cicc 13390  cfl 13830   mod cmo 13909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-icc 13394  df-fl 13832  df-mod 13910
This theorem is referenced by:  ltmod  45653
  Copyright terms: Public domain W3C validator