Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lefldiveq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lefldiveq 44856
Description: A closed enough, smaller real 𝐶 has the same floor of 𝐴 when both are divided by 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lefldiveq.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lefldiveq.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
lefldiveq.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
Assertion
Ref Expression
lefldiveq (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lefldiveq
StepHypRef Expression
1 lefldiveq.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lefldiveq.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 moddiffl 13897 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
51, 2rerpdivcld 13096 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
65flcld 13813 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
74, 6eqeltrd 2825 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ)
8 flid 13823 . . . . 5 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
109, 4eqtr2d 2766 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)))
111, 2modcld 13890 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
121, 11resubcld 11688 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
1312, 2rerpdivcld 13096 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ)
14 iccssre 13455 . . . . . . 7 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
1512, 1, 14syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
16 lefldiveq.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
1715, 16sseldd 3979 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1817, 2rerpdivcld 13096 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1912rexrd 11310 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
201rexrd 11310 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21 iccgelb 13429 . . . . . 6 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
2219, 20, 16, 21syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
2312, 17, 2, 22lediv1dd 13123 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵))
24 flwordi 13827 . . . 4 ((((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
2513, 18, 23, 24syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
2610, 25eqbrtrd 5174 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
27 iccleub 13428 . . . . 5 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → 𝐶𝐴)
2819, 20, 16, 27syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑𝐶𝐴)
2917, 1, 2, 28lediv1dd 13123 . . 3 (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
30 flwordi 13827 . . 3 (((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)) → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
3118, 5, 29, 30syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
32 reflcl 13811 . . . 4 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
335, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
34 reflcl 13811 . . . 4 ((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
3518, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
3633, 35letri3d 11402 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ↔ ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
3726, 31, 36mpbir2and 711 1 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3946   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7423  cr 11153  *cxr 11293  cle 11295  cmin 11490   / cdiv 11917  cz 12605  +crp 13023  [,]cicc 13376  cfl 13805   mod cmo 13884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9481  df-inf 9482  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-rp 13024  df-icc 13380  df-fl 13807  df-mod 13885
This theorem is referenced by:  ltmod  45208
  Copyright terms: Public domain W3C validator