Theorem lefldiveq 46126

Description: A closed enough, smaller real 𝐶 has the same floor of 𝐴 when both are divided by 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lefldiveq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lefldiveq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
lefldiveq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))

Assertion

Ref	Expression
lefldiveq	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lefldiveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lefldiveq.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lefldiveq.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		moddiffl 13944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
5	1, 2	rerpdivcld 13118	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6	5	flcld 13860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
7	4, 6	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ)
8		flid 13870	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
10	9, 4	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)))
11	1, 2	modcld 13937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
12	1, 11	resubcld 11667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
13	12, 2	rerpdivcld 13118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ)
14		iccssre 13483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
15	12, 1, 14	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
16		lefldiveq.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
17	15, 16	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17, 2	rerpdivcld 13118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
19	12	rexrd 11284	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
20	1	rexrd 11284	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		iccgelb 13456	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
22	19, 20, 16, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
23	12, 17, 2, 22	lediv1dd 13145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵))
24		flwordi 13874	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
25	13, 18, 23, 24	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
26	10, 25	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
27		iccleub 13455	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → 𝐶 ≤ 𝐴)
28	19, 20, 16, 27	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐴)
29	17, 1, 2, 28	lediv1dd 13145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
30		flwordi 13874	. . 3 ⊢ (((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)) → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
31	18, 5, 29, 30	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
32		reflcl 13858	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
33	5, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
34		reflcl 13858	. . . 4 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
35	18, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
36	33, 35	letri3d 11377	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ↔ ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
37	26, 31, 36	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11124  ℝ^*cxr 11267   ≤ cle 11269   − cmin 11466   / cdiv 11896  ℤcz 12616  ℝ⁺crp 13043  [,]cicc 13402  ⌊cfl 13852   mod cmo 13931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-icc 13406  df-fl 13854  df-mod 13932

This theorem is used by:  ltmod  46467