Theorem lefldiveq 45290

Description: A closed enough, smaller real 𝐶 has the same floor of 𝐴 when both are divided by 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lefldiveq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lefldiveq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
lefldiveq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))

Assertion

Ref	Expression
lefldiveq	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lefldiveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lefldiveq.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lefldiveq.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		moddiffl 13844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
5	1, 2	rerpdivcld 13026	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6	5	flcld 13760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
7	4, 6	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ)
8		flid 13770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
10	9, 4	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)))
11	1, 2	modcld 13837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
12	1, 11	resubcld 11606	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
13	12, 2	rerpdivcld 13026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ)
14		iccssre 13390	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
15	12, 1, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
16		lefldiveq.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
17	15, 16	sseldd 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17, 2	rerpdivcld 13026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
19	12	rexrd 11224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
20	1	rexrd 11224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		iccgelb 13363	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
22	19, 20, 16, 21	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
23	12, 17, 2, 22	lediv1dd 13053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵))
24		flwordi 13774	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
25	13, 18, 23, 24	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
26	10, 25	eqbrtrd 5129	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
27		iccleub 13362	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → 𝐶 ≤ 𝐴)
28	19, 20, 16, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐴)
29	17, 1, 2, 28	lediv1dd 13053	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
30		flwordi 13774	. . 3 ⊢ (((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)) → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
31	18, 5, 29, 30	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
32		reflcl 13758	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
33	5, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
34		reflcl 13758	. . . 4 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
35	18, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
36	33, 35	letri3d 11316	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ↔ ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
37	26, 31, 36	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  ℝ^*cxr 11207   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℤcz 12529  ℝ⁺crp 12951  [,]cicc 13309  ⌊cfl 13752   mod cmo 13831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-icc 13313  df-fl 13754  df-mod 13832

This theorem is referenced by:  ltmod  45636