Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lefldiveq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lefldiveq 40298
Description: A closed enough, smaller real 𝐶 has the same floor of 𝐴 when both are divided by 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lefldiveq.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lefldiveq.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
lefldiveq.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
Assertion
Ref Expression
lefldiveq (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lefldiveq
StepHypRef Expression
1 lefldiveq.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lefldiveq.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 moddiffl 12983 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
51, 2rerpdivcld 12194 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
65flcld 12901 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
74, 6eqeltrd 2906 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ)
8 flid 12911 . . . . 5 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
109, 4eqtr2d 2862 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)))
111, 2modcld 12976 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
121, 11resubcld 10789 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
1312, 2rerpdivcld 12194 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ)
14 iccssre 12550 . . . . . . 7 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
1512, 1, 14syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
16 lefldiveq.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
1715, 16sseldd 3828 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1817, 2rerpdivcld 12194 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1912rexrd 10413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
201rexrd 10413 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21 iccgelb 12525 . . . . . 6 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
2219, 20, 16, 21syl3anc 1494 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
2312, 17, 2, 22lediv1dd 12221 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵))
24 flwordi 12915 . . . 4 ((((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
2513, 18, 23, 24syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
2610, 25eqbrtrd 4897 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
27 iccleub 12524 . . . . 5 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → 𝐶𝐴)
2819, 20, 16, 27syl3anc 1494 . . . 4 (𝜑𝐶𝐴)
2917, 1, 2, 28lediv1dd 12221 . . 3 (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
30 flwordi 12915 . . 3 (((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)) → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
3118, 5, 29, 30syl3anc 1494 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
32 reflcl 12899 . . . 4 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
335, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
34 reflcl 12899 . . . 4 ((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
3518, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
3633, 35letri3d 10505 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ↔ ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
3726, 31, 36mpbir2and 704 1 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  wss 3798   class class class wbr 4875  cfv 6127  (class class class)co 6910  cr 10258  *cxr 10397  cle 10399  cmin 10592   / cdiv 11016  cz 11711  +crp 12119  [,]cicc 12473  cfl 12893   mod cmo 12970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-icc 12477  df-fl 12895  df-mod 12971
This theorem is referenced by:  ltmod  40659
  Copyright terms: Public domain W3C validator