Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lefldiveq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lefldiveq 41548
 Description: A closed enough, smaller real 𝐶 has the same floor of 𝐴 when both are divided by 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lefldiveq.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lefldiveq.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
lefldiveq.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
Assertion
Ref Expression
lefldiveq (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lefldiveq
StepHypRef Expression
1 lefldiveq.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lefldiveq.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 moddiffl 13242 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
51, 2rerpdivcld 12454 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
65flcld 13160 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
74, 6eqeltrd 2911 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ)
8 flid 13170 . . . . 5 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
109, 4eqtr2d 2855 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)))
111, 2modcld 13235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
121, 11resubcld 11060 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
1312, 2rerpdivcld 12454 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ)
14 iccssre 12810 . . . . . . 7 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
1512, 1, 14syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
16 lefldiveq.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
1715, 16sseldd 3966 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1817, 2rerpdivcld 12454 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1912rexrd 10683 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
201rexrd 10683 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21 iccgelb 12785 . . . . . 6 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
2219, 20, 16, 21syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
2312, 17, 2, 22lediv1dd 12481 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵))
24 flwordi 13174 . . . 4 ((((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
2513, 18, 23, 24syl3anc 1365 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
2610, 25eqbrtrd 5079 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
27 iccleub 12784 . . . . 5 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → 𝐶𝐴)
2819, 20, 16, 27syl3anc 1365 . . . 4 (𝜑𝐶𝐴)
2917, 1, 2, 28lediv1dd 12481 . . 3 (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
30 flwordi 13174 . . 3 (((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)) → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
3118, 5, 29, 30syl3anc 1365 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
32 reflcl 13158 . . . 4 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
335, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
34 reflcl 13158 . . . 4 ((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
3518, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
3633, 35letri3d 10774 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ↔ ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
3726, 31, 36mpbir2and 711 1 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3934   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  ℝ*cxr 10666   ≤ cle 10668   − cmin 10862   / cdiv 11289  ℤcz 11973  ℝ+crp 12381  [,]cicc 12733  ⌊cfl 13152   mod cmo 13229 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-icc 12737  df-fl 13154  df-mod 13230 This theorem is referenced by:  ltmod  41908
 Copyright terms: Public domain W3C validator