Theorem lefldiveq 46011

Description: A closed enough, smaller real 𝐶 has the same floor of 𝐴 when both are divided by 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lefldiveq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lefldiveq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
lefldiveq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))

Assertion

Ref	Expression
lefldiveq	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lefldiveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lefldiveq.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lefldiveq.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		moddiffl 13911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
5	1, 2	rerpdivcld 13086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6	5	flcld 13827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
7	4, 6	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ)
8		flid 13837	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
10	9, 4	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)))
11	1, 2	modcld 13904	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
12	1, 11	resubcld 11637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
13	12, 2	rerpdivcld 13086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ)
14		iccssre 13451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
15	12, 1, 14	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
16		lefldiveq.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
17	15, 16	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17, 2	rerpdivcld 13086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
19	12	rexrd 11254	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
20	1	rexrd 11254	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		iccgelb 13424	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
22	19, 20, 16, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
23	12, 17, 2, 22	lediv1dd 13113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵))
24		flwordi 13841	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
25	13, 18, 23, 24	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
26	10, 25	eqbrtrd 5133	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
27		iccleub 13423	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → 𝐶 ≤ 𝐴)
28	19, 20, 16, 27	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐴)
29	17, 1, 2, 28	lediv1dd 13113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
30		flwordi 13841	. . 3 ⊢ (((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)) → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
31	18, 5, 29, 30	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
32		reflcl 13825	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
33	5, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
34		reflcl 13825	. . . 4 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
35	18, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
36	33, 35	letri3d 11347	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ↔ ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
37	26, 31, 36	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  ℝ^*cxr 11237   ≤ cle 11239   − cmin 11436   / cdiv 11866  ℤcz 12586  ℝ⁺crp 13011  [,]cicc 13370  ⌊cfl 13819   mod cmo 13898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-icc 13374  df-fl 13821  df-mod 13899

This theorem is referenced by:  ltmod  46352