Theorem negsubdi2d 11612

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11544	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  ℂcc 11125   − cmin 11468  -cneg 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is used by:  cjneg  15237  icodiamlt  15528  geo2sum2  15966  bpoly3  16147  sinneg  16237  sinhval  16245  vitalilem1  25839  vitalilem2  25840  itgneg  26034  dvrec  26185  dvferm2lem  26216  dvfsumge  26252  dvfsumlem2  26257  dvfsum2  26264  ftc1lem5  26270  ftc2ditg  26276  plyeq0lem  26439  efif1olem2  26783  ang180  27054  isosctrlem3  27060  isosctr  27061  affineequiv3  27065  angpieqvdlem  27068  chordthmlem  27072  mcubic  27087  quart1lem  27095  quartlem1  27097  atanneg  27147  atancj  27150  efiatan  27152  atanlogsub  27156  efiatan2  27157  2efiatan  27158  atantan  27163  atanbndlem  27165  pntrsumo1  27804  pntrlog2bndlem2  27817  pntrlog2bndlem4  27819  pntibndlem2  27830  brbtwn2  29365  colinearalglem4  29369  axsegconlem9  29385  dipcj  31198  bcm1n  33269  constrrtcc  34248  constrrecl  34282  cos9thpiminplylem1  34295  signsplypnf  35061  fsum2dsub  35118  dnibndlem11  37188  irrdifflemf  38080  itg2addnclem3  38425  itg2gt0cn  38427  aks6d1c5lem1  43005  sinpim  43228  cospim  43229  congsym  43812  cvgdvgrat  45140  negsubdi3d  46129  lptre2pt  46471  liminflimsupclim  46638  stoweidlem13  46844  dirkertrigeqlem2  46930  fourierdlem26  46964  fourierdlem89  47026  fourierdlem90  47027  fourierdlem91  47028  fourierdlem107  47044  etransclem23  47088  sharhght  47696  sigaradd  47697  cevathlem2  47699  difmodm1lt  48256  fmtnorec3  48454  1subrec1sub  49638  eenglngeehlnmlem1  49670  eenglngeehlnmlem2  49671  rrx2linest  49675  rrx2linest2  49677  line2  49685  itsclinecirc0b  49707  crosspaltd  50802