Theorem negsubdi2d 11556

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   − cmin 11412  -cneg 11413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  cjneg  15120  icodiamlt  15411  geo2sum2  15847  bpoly3  16031  sinneg  16121  sinhval  16129  vitalilem1  25516  vitalilem2  25517  itgneg  25712  dvrec  25866  dvferm2lem  25897  dvfsumge  25935  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  dvfsum2  25948  ftc1lem5  25954  ftc2ditg  25960  plyeq0lem  26122  efif1olem2  26459  ang180  26731  isosctrlem3  26737  isosctr  26738  affineequiv3  26742  angpieqvdlem  26745  chordthmlem  26749  mcubic  26764  quart1lem  26772  quartlem1  26774  atanneg  26824  atancj  26827  efiatan  26829  atanlogsub  26833  efiatan2  26834  2efiatan  26835  atantan  26840  atanbndlem  26842  pntrsumo1  27483  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem4  27498  pntibndlem2  27509  brbtwn2  28839  colinearalglem4  28843  axsegconlem9  28859  dipcj  30650  bcm1n  32725  constrrtcc  33732  constrrecl  33766  cos9thpiminplylem1  33779  signsplypnf  34548  fsum2dsub  34605  dnibndlem11  36483  irrdifflemf  37320  itg2addnclem3  37674  itg2gt0cn  37676  aks6d1c5lem1  42131  sinpim  42345  cospim  42346  congsym  42964  cvgdvgrat  44309  negsubdi3d  45298  lptre2pt  45645  liminflimsupclim  45812  stoweidlem13  46018  dirkertrigeqlem2  46104  fourierdlem26  46138  fourierdlem89  46200  fourierdlem90  46201  fourierdlem91  46202  fourierdlem107  46218  etransclem23  46262  sharhght  46870  sigaradd  46871  cevathlem2  46873  difmodm1lt  47364  fmtnorec3  47553  1subrec1sub  48698  eenglngeehlnmlem1  48730  eenglngeehlnmlem2  48731  rrx2linest  48735  rrx2linest2  48737  line2  48745  itsclinecirc0b  48767