MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubdi2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsubdi2d 11002
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negsubdi2d (𝜑 → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 negsubdi2 10934 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  (class class class)co 7140  cc 10524  cmin 10859  -cneg 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862
This theorem is referenced by:  cjneg  14497  icodiamlt  14786  geo2sum2  15221  bpoly3  15403  sinneg  15490  sinhval  15498  vitalilem1  24210  vitalilem2  24211  itgneg  24405  dvrec  24556  dvferm2lem  24587  dvfsumge  24623  dvfsumlem2  24628  dvfsum2  24635  ftc1lem5  24641  ftc2ditg  24647  plyeq0lem  24805  efif1olem2  25133  ang180  25398  isosctrlem3  25404  isosctr  25405  affineequiv3  25409  angpieqvdlem  25412  chordthmlem  25416  mcubic  25431  quart1lem  25439  quartlem1  25441  atanneg  25491  atancj  25494  efiatan  25496  atanlogsub  25500  efiatan2  25501  2efiatan  25502  atantan  25507  atanbndlem  25509  pntrsumo1  26147  pntrlog2bndlem2  26160  pntrlog2bndlem4  26162  pntibndlem2  26173  brbtwn2  26697  colinearalglem4  26701  axsegconlem9  26717  dipcj  28495  bcm1n  30528  signsplypnf  31894  fsum2dsub  31952  dnibndlem11  33901  irrdifflemf  34700  itg2addnclem3  35068  itg2gt0cn  35070  congsym  39839  cvgdvgrat  40951  negsubdi3d  41864  lptre2pt  42221  liminflimsupclim  42388  stoweidlem13  42594  dirkertrigeqlem2  42680  fourierdlem26  42714  fourierdlem89  42776  fourierdlem90  42777  fourierdlem91  42778  fourierdlem107  42794  etransclem23  42838  sharhght  43418  sigaradd  43419  cevathlem2  43421  fmtnorec3  44004  1subrec1sub  45058  eenglngeehlnmlem1  45090  eenglngeehlnmlem2  45091  rrx2linest  45095  rrx2linest2  45097  line2  45105  itsclinecirc0b  45127
  Copyright terms: Public domain W3C validator