Theorem negsubdi2d 11441

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7329  ℂcc 10962   − cmin 11298  -cneg 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-ltxr 11107  df-sub 11300  df-neg 11301

This theorem is referenced by:  cjneg  14949  icodiamlt  15238  geo2sum2  15677  bpoly3  15859  sinneg  15946  sinhval  15954  vitalilem1  24870  vitalilem2  24871  itgneg  25066  dvrec  25217  dvferm2lem  25248  dvfsumge  25284  dvfsumlem2  25289  dvfsum2  25296  ftc1lem5  25302  ftc2ditg  25308  plyeq0lem  25469  efif1olem2  25797  ang180  26062  isosctrlem3  26068  isosctr  26069  affineequiv3  26073  angpieqvdlem  26076  chordthmlem  26080  mcubic  26095  quart1lem  26103  quartlem1  26105  atanneg  26155  atancj  26158  efiatan  26160  atanlogsub  26164  efiatan2  26165  2efiatan  26166  atantan  26171  atanbndlem  26173  pntrsumo1  26811  pntrlog2bndlem2  26824  pntrlog2bndlem4  26826  pntibndlem2  26837  brbtwn2  27503  colinearalglem4  27507  axsegconlem9  27523  dipcj  29305  bcm1n  31344  signsplypnf  32770  fsum2dsub  32828  dnibndlem11  34759  irrdifflemf  35594  itg2addnclem3  35928  itg2gt0cn  35930  congsym  41041  cvgdvgrat  42241  negsubdi3d  43156  lptre2pt  43506  liminflimsupclim  43673  stoweidlem13  43879  dirkertrigeqlem2  43965  fourierdlem26  43999  fourierdlem89  44061  fourierdlem90  44062  fourierdlem91  44063  fourierdlem107  44079  etransclem23  44123  sharhght  44721  sigaradd  44722  cevathlem2  44724  fmtnorec3  45340  1subrec1sub  46391  eenglngeehlnmlem1  46423  eenglngeehlnmlem2  46424  rrx2linest  46428  rrx2linest2  46430  line2  46438  itsclinecirc0b  46460