Theorem negsubdi2d 11586

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11518	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  ℂcc 11107   − cmin 11443  -cneg 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446

This theorem is referenced by:  cjneg  15093  icodiamlt  15381  geo2sum2  15819  bpoly3  16001  sinneg  16088  sinhval  16096  vitalilem1  25124  vitalilem2  25125  itgneg  25320  dvrec  25471  dvferm2lem  25502  dvfsumge  25538  dvfsumlem2  25543  dvfsum2  25550  ftc1lem5  25556  ftc2ditg  25562  plyeq0lem  25723  efif1olem2  26051  ang180  26316  isosctrlem3  26322  isosctr  26323  affineequiv3  26327  angpieqvdlem  26330  chordthmlem  26334  mcubic  26349  quart1lem  26357  quartlem1  26359  atanneg  26409  atancj  26412  efiatan  26414  atanlogsub  26418  efiatan2  26419  2efiatan  26420  atantan  26425  atanbndlem  26427  pntrsumo1  27065  pntrlog2bndlem2  27078  pntrlog2bndlem4  27080  pntibndlem2  27091  brbtwn2  28160  colinearalglem4  28164  axsegconlem9  28180  dipcj  29962  bcm1n  32001  signsplypnf  33556  fsum2dsub  33614  gg-dvfsumlem2  35178  dnibndlem11  35359  irrdifflemf  36201  itg2addnclem3  36536  itg2gt0cn  36538  congsym  41697  cvgdvgrat  43062  negsubdi3d  43993  lptre2pt  44346  liminflimsupclim  44513  stoweidlem13  44719  dirkertrigeqlem2  44805  fourierdlem26  44839  fourierdlem89  44901  fourierdlem90  44902  fourierdlem91  44903  fourierdlem107  44919  etransclem23  44963  sharhght  45571  sigaradd  45572  cevathlem2  45574  fmtnorec3  46206  1subrec1sub  47381  eenglngeehlnmlem1  47413  eenglngeehlnmlem2  47414  rrx2linest  47418  rrx2linest2  47420  line2  47428  itsclinecirc0b  47450