Theorem negsubdi2d 11663

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   − cmin 11520  -cneg 11521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  cjneg  15196  icodiamlt  15484  geo2sum2  15922  bpoly3  16106  sinneg  16194  sinhval  16202  vitalilem1  25662  vitalilem2  25663  itgneg  25859  dvrec  26013  dvferm2lem  26044  dvfsumge  26082  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dvfsum2  26095  ftc1lem5  26101  ftc2ditg  26107  plyeq0lem  26269  efif1olem2  26603  ang180  26875  isosctrlem3  26881  isosctr  26882  affineequiv3  26886  angpieqvdlem  26889  chordthmlem  26893  mcubic  26908  quart1lem  26916  quartlem1  26918  atanneg  26968  atancj  26971  efiatan  26973  atanlogsub  26977  efiatan2  26978  2efiatan  26979  atantan  26984  atanbndlem  26986  pntrsumo1  27627  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem4  27642  pntibndlem2  27653  brbtwn2  28938  colinearalglem4  28942  axsegconlem9  28958  dipcj  30746  bcm1n  32800  constrrtcc  33726  signsplypnf  34527  fsum2dsub  34584  dnibndlem11  36454  irrdifflemf  37291  itg2addnclem3  37633  itg2gt0cn  37635  aks6d1c5lem1  42093  congsym  42925  cvgdvgrat  44282  negsubdi3d  45208  lptre2pt  45561  liminflimsupclim  45728  stoweidlem13  45934  dirkertrigeqlem2  46020  fourierdlem26  46054  fourierdlem89  46116  fourierdlem90  46117  fourierdlem91  46118  fourierdlem107  46134  etransclem23  46178  sharhght  46786  sigaradd  46787  cevathlem2  46789  fmtnorec3  47422  1subrec1sub  48439  eenglngeehlnmlem1  48471  eenglngeehlnmlem2  48472  rrx2linest  48476  rrx2linest2  48478  line2  48486  itsclinecirc0b  48508