Theorem negsubdi2d 11591

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11523	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7405  ℂcc 11110   − cmin 11448  -cneg 11449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  cjneg  15100  icodiamlt  15388  geo2sum2  15826  bpoly3  16008  sinneg  16096  sinhval  16104  vitalilem1  25492  vitalilem2  25493  itgneg  25688  dvrec  25842  dvferm2lem  25873  dvfsumge  25911  dvfsumlem2  25916  dvfsumlem2OLD  25917  dvfsum2  25924  ftc1lem5  25930  ftc2ditg  25936  plyeq0lem  26099  efif1olem2  26432  ang180  26701  isosctrlem3  26707  isosctr  26708  affineequiv3  26712  angpieqvdlem  26715  chordthmlem  26719  mcubic  26734  quart1lem  26742  quartlem1  26744  atanneg  26794  atancj  26797  efiatan  26799  atanlogsub  26803  efiatan2  26804  2efiatan  26805  atantan  26810  atanbndlem  26812  pntrsumo1  27453  pntrlog2bndlem2  27466  pntrlog2bndlem4  27468  pntibndlem2  27479  brbtwn2  28671  colinearalglem4  28675  axsegconlem9  28691  dipcj  30476  bcm1n  32513  signsplypnf  34091  fsum2dsub  34148  dnibndlem11  35872  irrdifflemf  36713  itg2addnclem3  37054  itg2gt0cn  37056  aks6d1c5lem1  41512  congsym  42285  cvgdvgrat  43648  negsubdi3d  44575  lptre2pt  44928  liminflimsupclim  45095  stoweidlem13  45301  dirkertrigeqlem2  45387  fourierdlem26  45421  fourierdlem89  45483  fourierdlem90  45484  fourierdlem91  45485  fourierdlem107  45501  etransclem23  45545  sharhght  46153  sigaradd  46154  cevathlem2  46156  fmtnorec3  46788  1subrec1sub  47666  eenglngeehlnmlem1  47698  eenglngeehlnmlem2  47699  rrx2linest  47703  rrx2linest2  47705  line2  47713  itsclinecirc0b  47735