Theorem negsubdi2d 11549

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   − cmin 11405  -cneg 11406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  cjneg  15113  icodiamlt  15404  geo2sum2  15840  bpoly3  16024  sinneg  16114  sinhval  16122  vitalilem1  25509  vitalilem2  25510  itgneg  25705  dvrec  25859  dvferm2lem  25890  dvfsumge  25928  dvfsumlem2  25933  dvfsumlem2OLD  25934  dvfsum2  25941  ftc1lem5  25947  ftc2ditg  25953  plyeq0lem  26115  efif1olem2  26452  ang180  26724  isosctrlem3  26730  isosctr  26731  affineequiv3  26735  angpieqvdlem  26738  chordthmlem  26742  mcubic  26757  quart1lem  26765  quartlem1  26767  atanneg  26817  atancj  26820  efiatan  26822  atanlogsub  26826  efiatan2  26827  2efiatan  26828  atantan  26833  atanbndlem  26835  pntrsumo1  27476  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem4  27491  pntibndlem2  27502  brbtwn2  28832  colinearalglem4  28836  axsegconlem9  28852  dipcj  30643  bcm1n  32718  constrrtcc  33725  constrrecl  33759  cos9thpiminplylem1  33772  signsplypnf  34541  fsum2dsub  34598  dnibndlem11  36476  irrdifflemf  37313  itg2addnclem3  37667  itg2gt0cn  37669  aks6d1c5lem1  42124  sinpim  42338  cospim  42339  congsym  42957  cvgdvgrat  44302  negsubdi3d  45291  lptre2pt  45638  liminflimsupclim  45805  stoweidlem13  46011  dirkertrigeqlem2  46097  fourierdlem26  46131  fourierdlem89  46193  fourierdlem90  46194  fourierdlem91  46195  fourierdlem107  46211  etransclem23  46255  sharhght  46863  sigaradd  46864  cevathlem2  46866  difmodm1lt  47360  fmtnorec3  47549  1subrec1sub  48694  eenglngeehlnmlem1  48726  eenglngeehlnmlem2  48727  rrx2linest  48731  rrx2linest2  48733  line2  48741  itsclinecirc0b  48763