Theorem negsubdi2d 10750

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 10682	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 579	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  (class class class)co 6922  ℂcc 10270   − cmin 10606  -cneg 10607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-neg 10609

This theorem is referenced by:  cjneg  14294  icodiamlt  14582  geo2sum2  15009  bpoly3  15191  sinneg  15278  sinhval  15286  vitalilem1  23812  vitalilem2  23813  itgneg  24007  dvrec  24155  dvferm2lem  24186  dvfsumge  24222  dvfsumlem2  24227  dvfsum2  24234  ftc1lem5  24240  ftc2ditg  24246  plyeq0lem  24403  efif1olem2  24727  ang180  24992  isosctrlem3  24998  isosctr  24999  affineequiv3  25003  angpieqvdlem  25006  chordthmlem  25010  mcubic  25025  quart1lem  25033  quartlem1  25035  atanneg  25085  atancj  25088  efiatan  25090  atanlogsub  25094  efiatan2  25095  2efiatan  25096  atantan  25101  atanbndlem  25103  pntrsumo1  25706  pntrlog2bndlem2  25719  pntrlog2bndlem4  25721  pntibndlem2  25732  brbtwn2  26254  colinearalglem4  26258  axsegconlem9  26274  dipcj  28141  bcm1n  30118  signsplypnf  31227  fsum2dsub  31287  dnibndlem11  33061  itg2addnclem3  34072  itg2gt0cn  34074  congsym  38476  cvgdvgrat  39450  negsubdi3d  40398  lptre2pt  40762  liminflimsupclim  40929  stoweidlem13  41139  dirkertrigeqlem2  41225  fourierdlem26  41259  fourierdlem89  41321  fourierdlem90  41322  fourierdlem91  41323  fourierdlem107  41339  etransclem23  41383  sharhght  41963  sigaradd  41964  cevathlem2  41966  fmtnorec3  42463  1subrec1sub  43423  eenglngeehlnmlem1  43455  eenglngeehlnmlem2  43456  rrx2linest  43460  rrx2linest2  43462  line2  43470  itsclinecirc0b  43492