Theorem negsubdi2d 11491

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11423	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   − cmin 11347  -cneg 11348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350

This theorem is referenced by:  cjneg  15054  icodiamlt  15345  geo2sum2  15781  bpoly3  15965  sinneg  16055  sinhval  16063  vitalilem1  25507  vitalilem2  25508  itgneg  25703  dvrec  25857  dvferm2lem  25888  dvfsumge  25926  dvfsumlem2  25931  dvfsumlem2OLD  25932  dvfsum2  25939  ftc1lem5  25945  ftc2ditg  25951  plyeq0lem  26113  efif1olem2  26450  ang180  26722  isosctrlem3  26728  isosctr  26729  affineequiv3  26733  angpieqvdlem  26736  chordthmlem  26740  mcubic  26755  quart1lem  26763  quartlem1  26765  atanneg  26815  atancj  26818  efiatan  26820  atanlogsub  26824  efiatan2  26825  2efiatan  26826  atantan  26831  atanbndlem  26833  pntrsumo1  27474  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem4  27489  pntibndlem2  27500  brbtwn2  28850  colinearalglem4  28854  axsegconlem9  28870  dipcj  30658  bcm1n  32738  constrrtcc  33702  constrrecl  33736  cos9thpiminplylem1  33749  signsplypnf  34518  fsum2dsub  34575  dnibndlem11  36466  irrdifflemf  37303  itg2addnclem3  37657  itg2gt0cn  37659  aks6d1c5lem1  42113  sinpim  42327  cospim  42328  congsym  42945  cvgdvgrat  44290  negsubdi3d  45279  lptre2pt  45625  liminflimsupclim  45792  stoweidlem13  45998  dirkertrigeqlem2  46084  fourierdlem26  46118  fourierdlem89  46180  fourierdlem90  46181  fourierdlem91  46182  fourierdlem107  46198  etransclem23  46242  sharhght  46850  sigaradd  46851  cevathlem2  46853  difmodm1lt  47347  fmtnorec3  47536  1subrec1sub  48694  eenglngeehlnmlem1  48726  eenglngeehlnmlem2  48727  rrx2linest  48731  rrx2linest2  48733  line2  48741  itsclinecirc0b  48763