Theorem negsubdi2d 11278

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11210	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   − cmin 11135  -cneg 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  cjneg  14786  icodiamlt  15075  geo2sum2  15514  bpoly3  15696  sinneg  15783  sinhval  15791  vitalilem1  24677  vitalilem2  24678  itgneg  24873  dvrec  25024  dvferm2lem  25055  dvfsumge  25091  dvfsumlem2  25096  dvfsum2  25103  ftc1lem5  25109  ftc2ditg  25115  plyeq0lem  25276  efif1olem2  25604  ang180  25869  isosctrlem3  25875  isosctr  25876  affineequiv3  25880  angpieqvdlem  25883  chordthmlem  25887  mcubic  25902  quart1lem  25910  quartlem1  25912  atanneg  25962  atancj  25965  efiatan  25967  atanlogsub  25971  efiatan2  25972  2efiatan  25973  atantan  25978  atanbndlem  25980  pntrsumo1  26618  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem4  26633  pntibndlem2  26644  brbtwn2  27176  colinearalglem4  27180  axsegconlem9  27196  dipcj  28977  bcm1n  31018  signsplypnf  32429  fsum2dsub  32487  dnibndlem11  34595  irrdifflemf  35423  itg2addnclem3  35757  itg2gt0cn  35759  congsym  40706  cvgdvgrat  41820  negsubdi3d  42722  lptre2pt  43071  liminflimsupclim  43238  stoweidlem13  43444  dirkertrigeqlem2  43530  fourierdlem26  43564  fourierdlem89  43626  fourierdlem90  43627  fourierdlem91  43628  fourierdlem107  43644  etransclem23  43688  sharhght  44268  sigaradd  44269  cevathlem2  44271  fmtnorec3  44888  1subrec1sub  45939  eenglngeehlnmlem1  45971  eenglngeehlnmlem2  45972  rrx2linest  45976  rrx2linest2  45978  line2  45986  itsclinecirc0b  46008