Theorem negsubdi2d 11515

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11447	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℂcc 11030   − cmin 11371  -cneg 11372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178  df-sub 11373  df-neg 11374

This theorem is referenced by:  cjneg  15103  icodiamlt  15394  geo2sum2  15833  bpoly3  16017  sinneg  16107  sinhval  16115  vitalilem1  25588  vitalilem2  25589  itgneg  25784  dvrec  25935  dvferm2lem  25966  dvfsumge  26002  dvfsumlem2  26007  dvfsum2  26014  ftc1lem5  26020  ftc2ditg  26026  plyeq0lem  26188  efif1olem2  26523  ang180  26794  isosctrlem3  26800  isosctr  26801  affineequiv3  26805  angpieqvdlem  26808  chordthmlem  26812  mcubic  26827  quart1lem  26835  quartlem1  26837  atanneg  26887  atancj  26890  efiatan  26892  atanlogsub  26896  efiatan2  26897  2efiatan  26898  atantan  26903  atanbndlem  26905  pntrsumo1  27545  pntrlog2bndlem2  27558  pntrlog2bndlem4  27560  pntibndlem2  27571  brbtwn2  28991  colinearalglem4  28995  axsegconlem9  29011  dipcj  30803  bcm1n  32886  constrrtcc  33898  constrrecl  33932  cos9thpiminplylem1  33945  signsplypnf  34713  fsum2dsub  34770  dnibndlem11  36767  irrdifflemf  37658  itg2addnclem3  38011  itg2gt0cn  38013  aks6d1c5lem1  42592  sinpim  42799  cospim  42800  congsym  43417  cvgdvgrat  44761  negsubdi3d  45747  lptre2pt  46089  liminflimsupclim  46256  stoweidlem13  46462  dirkertrigeqlem2  46548  fourierdlem26  46582  fourierdlem89  46644  fourierdlem90  46645  fourierdlem91  46646  fourierdlem107  46662  etransclem23  46706  sharhght  47314  sigaradd  47315  cevathlem2  47317  difmodm1lt  47828  fmtnorec3  48026  1subrec1sub  49196  eenglngeehlnmlem1  49228  eenglngeehlnmlem2  49229  rrx2linest  49233  rrx2linest2  49235  line2  49243  itsclinecirc0b  49265