Theorem negsubdi2d 11617

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11549	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7416  ℂcc 11136   − cmin 11474  -cneg 11475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-sub 11476  df-neg 11477

This theorem is referenced by:  cjneg  15126  icodiamlt  15414  geo2sum2  15852  bpoly3  16034  sinneg  16122  sinhval  16130  vitalilem1  25555  vitalilem2  25556  itgneg  25751  dvrec  25905  dvferm2lem  25936  dvfsumge  25974  dvfsumlem2  25979  dvfsumlem2OLD  25980  dvfsum2  25987  ftc1lem5  25993  ftc2ditg  25999  plyeq0lem  26162  efif1olem2  26495  ang180  26764  isosctrlem3  26770  isosctr  26771  affineequiv3  26775  angpieqvdlem  26778  chordthmlem  26782  mcubic  26797  quart1lem  26805  quartlem1  26807  atanneg  26857  atancj  26860  efiatan  26862  atanlogsub  26866  efiatan2  26867  2efiatan  26868  atantan  26873  atanbndlem  26875  pntrsumo1  27516  pntrlog2bndlem2  27529  pntrlog2bndlem4  27531  pntibndlem2  27542  brbtwn2  28760  colinearalglem4  28764  axsegconlem9  28780  dipcj  30568  bcm1n  32608  signsplypnf  34239  fsum2dsub  34296  dnibndlem11  36020  irrdifflemf  36861  itg2addnclem3  37203  itg2gt0cn  37205  aks6d1c5lem1  41663  congsym  42454  cvgdvgrat  43815  negsubdi3d  44738  lptre2pt  45091  liminflimsupclim  45258  stoweidlem13  45464  dirkertrigeqlem2  45550  fourierdlem26  45584  fourierdlem89  45646  fourierdlem90  45647  fourierdlem91  45648  fourierdlem107  45664  etransclem23  45708  sharhght  46316  sigaradd  46317  cevathlem2  46319  fmtnorec3  46951  1subrec1sub  47890  eenglngeehlnmlem1  47922  eenglngeehlnmlem2  47923  rrx2linest  47927  rrx2linest2  47929  line2  47937  itsclinecirc0b  47959