Theorem negsubdi2d 11695

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11627	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  ℂcc 11208   − cmin 11551   -cneg 11552

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-ltxr 11358  df-sub 11553  df-neg 11554

This theorem is used by:  cjneg  15326  icodiamlt  15617  geo2sum2  16055  bpoly3  16236  sinneg  16326  sinhval  16334  vitalilem1  25941  vitalilem2  25942  itgneg  26136  dvrec  26287  dvferm2lem  26318  dvfsumge  26354  dvfsumlem2  26359  dvfsum2  26366  ftc1lem5  26372  ftc2ditg  26378  plyeq0lem  26541  efif1olem2  26883  ang180  27154  isosctrlem3  27160  isosctr  27161  affineequiv3  27165  angpieqvdlem  27168  chordthmlem  27172  mcubic  27187  quart1lem  27195  quartlem1  27197  atanneg  27247  atancj  27250  efiatan  27252  atanlogsub  27256  efiatan2  27257  2efiatan  27258  atantan  27263  atanbndlem  27265  pntrsumo1  27904  pntrlog2bndlem2  27917  pntrlog2bndlem4  27919  pntibndlem2  27930  brbtwn2  29495  colinearalglem4  29499  axsegconlem9  29515  dipcj  31328  bcm1n  33440  constrrtcc  34420  constrrecl  34454  cos9thpiminplylem1  34467  signsplypnf  35232  fsum2dsub  35289  dnibndlem11  37481  irrdifflemf  38386  itg2addnclem3  38731  itg2gt0cn  38733  aks6d1c5lem1  43326  sinpim  43541  cospim  43542  congsym  44115  cvgdvgrat  45437  negsubdi3d  46448  lptre2pt  46789  liminflimsupclim  46956  stoweidlem13  47162  dirkertrigeqlem2  47248  fourierdlem26  47282  fourierdlem89  47344  fourierdlem90  47345  fourierdlem91  47346  fourierdlem107  47362  etransclem23  47406  sharhght  48014  sigaradd  48015  cevathlem2  48017  difmodm1lt  48574  fmtnorec3  48772  1subrec1sub  49956  eenglngeehlnmlem1  49989  eenglngeehlnmlem2  49990  rrx2linest  49993  rrx2linest2  49995  line2  50003  itsclinecirc0b  50025  crosspaltd  51180