Theorem negsubdi2d 11633

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11565	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   − cmin 11489  -cneg 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  cjneg  15182  icodiamlt  15470  geo2sum2  15906  bpoly3  16090  sinneg  16178  sinhval  16186  vitalilem1  25656  vitalilem2  25657  itgneg  25853  dvrec  26007  dvferm2lem  26038  dvfsumge  26076  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082  dvfsum2  26089  ftc1lem5  26095  ftc2ditg  26101  plyeq0lem  26263  efif1olem2  26599  ang180  26871  isosctrlem3  26877  isosctr  26878  affineequiv3  26882  angpieqvdlem  26885  chordthmlem  26889  mcubic  26904  quart1lem  26912  quartlem1  26914  atanneg  26964  atancj  26967  efiatan  26969  atanlogsub  26973  efiatan2  26974  2efiatan  26975  atantan  26980  atanbndlem  26982  pntrsumo1  27623  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem4  27638  pntibndlem2  27649  brbtwn2  28934  colinearalglem4  28938  axsegconlem9  28954  dipcj  30742  bcm1n  32802  constrrtcc  33740  signsplypnf  34543  fsum2dsub  34600  dnibndlem11  36470  irrdifflemf  37307  itg2addnclem3  37659  itg2gt0cn  37661  aks6d1c5lem1  42117  congsym  42956  cvgdvgrat  44308  negsubdi3d  45243  lptre2pt  45595  liminflimsupclim  45762  stoweidlem13  45968  dirkertrigeqlem2  46054  fourierdlem26  46088  fourierdlem89  46150  fourierdlem90  46151  fourierdlem91  46152  fourierdlem107  46168  etransclem23  46212  sharhght  46820  sigaradd  46821  cevathlem2  46823  fmtnorec3  47472  1subrec1sub  48554  eenglngeehlnmlem1  48586  eenglngeehlnmlem2  48587  rrx2linest  48591  rrx2linest2  48593  line2  48601  itsclinecirc0b  48623