Theorem negsubdi2d 11015

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 10947	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   − cmin 10872  -cneg 10873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875

This theorem is referenced by:  cjneg  14508  icodiamlt  14797  geo2sum2  15232  bpoly3  15414  sinneg  15501  sinhval  15509  vitalilem1  24211  vitalilem2  24212  itgneg  24406  dvrec  24554  dvferm2lem  24585  dvfsumge  24621  dvfsumlem2  24626  dvfsum2  24633  ftc1lem5  24639  ftc2ditg  24645  plyeq0lem  24802  efif1olem2  25129  ang180  25394  isosctrlem3  25400  isosctr  25401  affineequiv3  25405  angpieqvdlem  25408  chordthmlem  25412  mcubic  25427  quart1lem  25435  quartlem1  25437  atanneg  25487  atancj  25490  efiatan  25492  atanlogsub  25496  efiatan2  25497  2efiatan  25498  atantan  25503  atanbndlem  25505  pntrsumo1  26143  pntrlog2bndlem2  26156  pntrlog2bndlem4  26158  pntibndlem2  26169  brbtwn2  26693  colinearalglem4  26697  axsegconlem9  26713  dipcj  28493  bcm1n  30520  signsplypnf  31822  fsum2dsub  31880  dnibndlem11  33829  itg2addnclem3  34947  itg2gt0cn  34949  congsym  39572  cvgdvgrat  40652  negsubdi3d  41567  lptre2pt  41928  liminflimsupclim  42095  stoweidlem13  42305  dirkertrigeqlem2  42391  fourierdlem26  42425  fourierdlem89  42487  fourierdlem90  42488  fourierdlem91  42489  fourierdlem107  42505  etransclem23  42549  sharhght  43129  sigaradd  43130  cevathlem2  43132  fmtnorec3  43717  1subrec1sub  44699  eenglngeehlnmlem1  44731  eenglngeehlnmlem2  44732  rrx2linest  44736  rrx2linest2  44738  line2  44746  itsclinecirc0b  44768