Theorem negsubdi2d 11357

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℂcc 10878   − cmin 11214  -cneg 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216  df-neg 11217

This theorem is referenced by:  cjneg  14867  icodiamlt  15156  geo2sum2  15595  bpoly3  15777  sinneg  15864  sinhval  15872  vitalilem1  24781  vitalilem2  24782  itgneg  24977  dvrec  25128  dvferm2lem  25159  dvfsumge  25195  dvfsumlem2  25200  dvfsum2  25207  ftc1lem5  25213  ftc2ditg  25219  plyeq0lem  25380  efif1olem2  25708  ang180  25973  isosctrlem3  25979  isosctr  25980  affineequiv3  25984  angpieqvdlem  25987  chordthmlem  25991  mcubic  26006  quart1lem  26014  quartlem1  26016  atanneg  26066  atancj  26069  efiatan  26071  atanlogsub  26075  efiatan2  26076  2efiatan  26077  atantan  26082  atanbndlem  26084  pntrsumo1  26722  pntrlog2bndlem2  26735  pntrlog2bndlem4  26737  pntibndlem2  26748  brbtwn2  27282  colinearalglem4  27286  axsegconlem9  27302  dipcj  29085  bcm1n  31125  signsplypnf  32538  fsum2dsub  32596  dnibndlem11  34677  irrdifflemf  35505  itg2addnclem3  35839  itg2gt0cn  35841  congsym  40797  cvgdvgrat  41938  negsubdi3d  42839  lptre2pt  43188  liminflimsupclim  43355  stoweidlem13  43561  dirkertrigeqlem2  43647  fourierdlem26  43681  fourierdlem89  43743  fourierdlem90  43744  fourierdlem91  43745  fourierdlem107  43761  etransclem23  43805  sharhght  44392  sigaradd  44393  cevathlem2  44395  fmtnorec3  45011  1subrec1sub  46062  eenglngeehlnmlem1  46094  eenglngeehlnmlem2  46095  rrx2linest  46099  rrx2linest2  46101  line2  46109  itsclinecirc0b  46131