Theorem negsubdi2d 11506

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11438	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℂcc 11022   − cmin 11362  -cneg 11363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-neg 11365

This theorem is referenced by:  cjneg  15068  icodiamlt  15359  geo2sum2  15795  bpoly3  15979  sinneg  16069  sinhval  16077  vitalilem1  25563  vitalilem2  25564  itgneg  25759  dvrec  25913  dvferm2lem  25944  dvfsumge  25982  dvfsumlem2  25987  dvfsumlem2OLD  25988  dvfsum2  25995  ftc1lem5  26001  ftc2ditg  26007  plyeq0lem  26169  efif1olem2  26506  ang180  26778  isosctrlem3  26784  isosctr  26785  affineequiv3  26789  angpieqvdlem  26792  chordthmlem  26796  mcubic  26811  quart1lem  26819  quartlem1  26821  atanneg  26871  atancj  26874  efiatan  26876  atanlogsub  26880  efiatan2  26881  2efiatan  26882  atantan  26887  atanbndlem  26889  pntrsumo1  27530  pntrlog2bndlem2  27543  pntrlog2bndlem4  27545  pntibndlem2  27556  brbtwn2  28927  colinearalglem4  28931  axsegconlem9  28947  dipcj  30738  bcm1n  32824  constrrtcc  33841  constrrecl  33875  cos9thpiminplylem1  33888  signsplypnf  34656  fsum2dsub  34713  dnibndlem11  36631  irrdifflemf  37469  itg2addnclem3  37813  itg2gt0cn  37815  aks6d1c5lem1  42329  sinpim  42547  cospim  42548  congsym  43152  cvgdvgrat  44496  negsubdi3d  45483  lptre2pt  45826  liminflimsupclim  45993  stoweidlem13  46199  dirkertrigeqlem2  46285  fourierdlem26  46319  fourierdlem89  46381  fourierdlem90  46382  fourierdlem91  46383  fourierdlem107  46399  etransclem23  46443  sharhght  47051  sigaradd  47052  cevathlem2  47054  difmodm1lt  47547  fmtnorec3  47736  1subrec1sub  48893  eenglngeehlnmlem1  48925  eenglngeehlnmlem2  48926  rrx2linest  48930  rrx2linest2  48932  line2  48940  itsclinecirc0b  48962