Theorem negsubdi2d 11610

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11542	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   − cmin 11466  -cneg 11467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  cjneg  15166  icodiamlt  15454  geo2sum2  15890  bpoly3  16074  sinneg  16164  sinhval  16172  vitalilem1  25561  vitalilem2  25562  itgneg  25757  dvrec  25911  dvferm2lem  25942  dvfsumge  25980  dvfsumlem2  25985  dvfsumlem2OLD  25986  dvfsum2  25993  ftc1lem5  25999  ftc2ditg  26005  plyeq0lem  26167  efif1olem2  26504  ang180  26776  isosctrlem3  26782  isosctr  26783  affineequiv3  26787  angpieqvdlem  26790  chordthmlem  26794  mcubic  26809  quart1lem  26817  quartlem1  26819  atanneg  26869  atancj  26872  efiatan  26874  atanlogsub  26878  efiatan2  26879  2efiatan  26880  atantan  26885  atanbndlem  26887  pntrsumo1  27528  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntibndlem2  27554  brbtwn2  28884  colinearalglem4  28888  axsegconlem9  28904  dipcj  30695  bcm1n  32772  constrrtcc  33769  constrrecl  33803  cos9thpiminplylem1  33816  signsplypnf  34582  fsum2dsub  34639  dnibndlem11  36506  irrdifflemf  37343  itg2addnclem3  37697  itg2gt0cn  37699  aks6d1c5lem1  42149  congsym  42992  cvgdvgrat  44337  negsubdi3d  45322  lptre2pt  45669  liminflimsupclim  45836  stoweidlem13  46042  dirkertrigeqlem2  46128  fourierdlem26  46162  fourierdlem89  46224  fourierdlem90  46225  fourierdlem91  46226  fourierdlem107  46242  etransclem23  46286  sharhght  46894  sigaradd  46895  cevathlem2  46897  fmtnorec3  47562  1subrec1sub  48685  eenglngeehlnmlem1  48717  eenglngeehlnmlem2  48718  rrx2linest  48722  rrx2linest2  48724  line2  48732  itsclinecirc0b  48754