Theorem negsubdi2d 11636

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11568	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   − cmin 11492  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  cjneg  15186  icodiamlt  15474  geo2sum2  15910  bpoly3  16094  sinneg  16182  sinhval  16190  vitalilem1  25643  vitalilem2  25644  itgneg  25839  dvrec  25993  dvferm2lem  26024  dvfsumge  26062  dvfsumlem2  26067  dvfsumlem2OLD  26068  dvfsum2  26075  ftc1lem5  26081  ftc2ditg  26087  plyeq0lem  26249  efif1olem2  26585  ang180  26857  isosctrlem3  26863  isosctr  26864  affineequiv3  26868  angpieqvdlem  26871  chordthmlem  26875  mcubic  26890  quart1lem  26898  quartlem1  26900  atanneg  26950  atancj  26953  efiatan  26955  atanlogsub  26959  efiatan2  26960  2efiatan  26961  atantan  26966  atanbndlem  26968  pntrsumo1  27609  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem4  27624  pntibndlem2  27635  brbtwn2  28920  colinearalglem4  28924  axsegconlem9  28940  dipcj  30733  bcm1n  32797  constrrtcc  33776  signsplypnf  34565  fsum2dsub  34622  dnibndlem11  36489  irrdifflemf  37326  itg2addnclem3  37680  itg2gt0cn  37682  aks6d1c5lem1  42137  congsym  42980  cvgdvgrat  44332  negsubdi3d  45305  lptre2pt  45655  liminflimsupclim  45822  stoweidlem13  46028  dirkertrigeqlem2  46114  fourierdlem26  46148  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fourierdlem107  46228  etransclem23  46272  sharhght  46880  sigaradd  46881  cevathlem2  46883  fmtnorec3  47535  1subrec1sub  48626  eenglngeehlnmlem1  48658  eenglngeehlnmlem2  48659  rrx2linest  48663  rrx2linest2  48665  line2  48673  itsclinecirc0b  48695