Theorem negsubdi2d 11685

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11617	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   − cmin 11541   -cneg 11542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544

This theorem is used by:  cjneg  15314  icodiamlt  15605  geo2sum2  16043  bpoly3  16224  sinneg  16314  sinhval  16322  vitalilem1  25929  vitalilem2  25930  itgneg  26124  dvrec  26275  dvferm2lem  26306  dvfsumge  26342  dvfsumlem2  26347  dvfsum2  26354  ftc1lem5  26360  ftc2ditg  26366  plyeq0lem  26529  efif1olem2  26871  ang180  27142  isosctrlem3  27148  isosctr  27149  affineequiv3  27153  angpieqvdlem  27156  chordthmlem  27160  mcubic  27175  quart1lem  27183  quartlem1  27185  atanneg  27235  atancj  27238  efiatan  27240  atanlogsub  27244  efiatan2  27245  2efiatan  27246  atantan  27251  atanbndlem  27253  pntrsumo1  27892  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem4  27907  pntibndlem2  27918  brbtwn2  29483  colinearalglem4  29487  axsegconlem9  29503  dipcj  31316  bcm1n  33387  constrrtcc  34367  constrrecl  34401  cos9thpiminplylem1  34414  signsplypnf  35179  fsum2dsub  35236  dnibndlem11  37354  irrdifflemf  38246  itg2addnclem3  38591  itg2gt0cn  38593  aks6d1c5lem1  43186  sinpim  43401  cospim  43402  congsym  43974  cvgdvgrat  45296  negsubdi3d  46308  lptre2pt  46649  liminflimsupclim  46816  stoweidlem13  47022  dirkertrigeqlem2  47108  fourierdlem26  47142  fourierdlem89  47204  fourierdlem90  47205  fourierdlem91  47206  fourierdlem107  47222  etransclem23  47266  sharhght  47874  sigaradd  47875  cevathlem2  47877  difmodm1lt  48434  fmtnorec3  48632  1subrec1sub  49816  eenglngeehlnmlem1  49848  eenglngeehlnmlem2  49849  rrx2linest  49853  rrx2linest2  49855  line2  49863  itsclinecirc0b  49885  crosspaltd  50965