Theorem negsubdi2d 11585

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11517	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11098   − cmin 11441  -cneg 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  cjneg  15198  icodiamlt  15489  geo2sum2  15928  bpoly3  16112  sinneg  16202  sinhval  16210  vitalilem1  25736  vitalilem2  25737  itgneg  25932  dvrec  26083  dvferm2lem  26114  dvfsumge  26150  dvfsumlem2  26155  dvfsum2  26162  ftc1lem5  26168  ftc2ditg  26174  plyeq0lem  26336  efif1olem2  26674  ang180  26945  isosctrlem3  26951  isosctr  26952  affineequiv3  26956  angpieqvdlem  26959  chordthmlem  26963  mcubic  26978  quart1lem  26986  quartlem1  26988  atanneg  27038  atancj  27041  efiatan  27043  atanlogsub  27047  efiatan2  27048  2efiatan  27049  atantan  27054  atanbndlem  27056  pntrsumo1  27695  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem4  27710  pntibndlem2  27721  brbtwn2  29196  colinearalglem4  29200  axsegconlem9  29216  dipcj  31007  bcm1n  33081  constrrtcc  34070  constrrecl  34104  cos9thpiminplylem1  34117  signsplypnf  34882  fsum2dsub  34939  dnibndlem11  37000  irrdifflemf  37891  itg2addnclem3  38246  itg2gt0cn  38248  aks6d1c5lem1  42827  sinpim  43035  cospim  43036  congsym  43621  cvgdvgrat  44949  negsubdi3d  45938  lptre2pt  46280  liminflimsupclim  46447  stoweidlem13  46653  dirkertrigeqlem2  46739  fourierdlem26  46773  fourierdlem89  46835  fourierdlem90  46836  fourierdlem91  46837  fourierdlem107  46853  etransclem23  46897  sharhght  47505  sigaradd  47506  cevathlem2  47508  difmodm1lt  48025  fmtnorec3  48223  1subrec1sub  49404  eenglngeehlnmlem1  49436  eenglngeehlnmlem2  49437  rrx2linest  49441  rrx2linest2  49443  line2  49451  itsclinecirc0b  49473