Theorem negsubdi2d 11520

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   − cmin 11376  -cneg 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  cjneg  15082  icodiamlt  15373  geo2sum2  15809  bpoly3  15993  sinneg  16083  sinhval  16091  vitalilem1  25577  vitalilem2  25578  itgneg  25773  dvrec  25927  dvferm2lem  25958  dvfsumge  25996  dvfsumlem2  26001  dvfsumlem2OLD  26002  dvfsum2  26009  ftc1lem5  26015  ftc2ditg  26021  plyeq0lem  26183  efif1olem2  26520  ang180  26792  isosctrlem3  26798  isosctr  26799  affineequiv3  26803  angpieqvdlem  26806  chordthmlem  26810  mcubic  26825  quart1lem  26833  quartlem1  26835  atanneg  26885  atancj  26888  efiatan  26890  atanlogsub  26894  efiatan2  26895  2efiatan  26896  atantan  26901  atanbndlem  26903  pntrsumo1  27544  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem4  27559  pntibndlem2  27570  brbtwn2  28990  colinearalglem4  28994  axsegconlem9  29010  dipcj  30802  bcm1n  32886  constrrtcc  33913  constrrecl  33947  cos9thpiminplylem1  33960  signsplypnf  34728  fsum2dsub  34785  dnibndlem11  36710  irrdifflemf  37580  itg2addnclem3  37924  itg2gt0cn  37926  aks6d1c5lem1  42506  sinpim  42720  cospim  42721  congsym  43325  cvgdvgrat  44669  negsubdi3d  45655  lptre2pt  45998  liminflimsupclim  46165  stoweidlem13  46371  dirkertrigeqlem2  46457  fourierdlem26  46491  fourierdlem89  46553  fourierdlem90  46554  fourierdlem91  46555  fourierdlem107  46571  etransclem23  46615  sharhght  47223  sigaradd  47224  cevathlem2  47226  difmodm1lt  47719  fmtnorec3  47908  1subrec1sub  49065  eenglngeehlnmlem1  49097  eenglngeehlnmlem2  49098  rrx2linest  49102  rrx2linest2  49104  line2  49112  itsclinecirc0b  49134