Theorem negsubdi2d 11512

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11444	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   − cmin 11368  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  cjneg  15100  icodiamlt  15391  geo2sum2  15830  bpoly3  16014  sinneg  16104  sinhval  16112  vitalilem1  25593  vitalilem2  25594  itgneg  25789  dvrec  25940  dvferm2lem  25971  dvfsumge  26007  dvfsumlem2  26012  dvfsum2  26019  ftc1lem5  26025  ftc2ditg  26031  plyeq0lem  26193  efif1olem2  26525  ang180  26796  isosctrlem3  26802  isosctr  26803  affineequiv3  26807  angpieqvdlem  26810  chordthmlem  26814  mcubic  26829  quart1lem  26837  quartlem1  26839  atanneg  26889  atancj  26892  efiatan  26894  atanlogsub  26898  efiatan2  26899  2efiatan  26900  atantan  26905  atanbndlem  26907  pntrsumo1  27546  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem4  27561  pntibndlem2  27572  brbtwn2  28992  colinearalglem4  28996  axsegconlem9  29012  dipcj  30803  bcm1n  32887  constrrtcc  33919  constrrecl  33953  cos9thpiminplylem1  33966  signsplypnf  34734  fsum2dsub  34791  dnibndlem11  36794  irrdifflemf  37685  itg2addnclem3  38040  itg2gt0cn  38042  aks6d1c5lem1  42621  sinpim  42827  cospim  42828  congsym  43413  cvgdvgrat  44757  negsubdi3d  45741  lptre2pt  46083  liminflimsupclim  46250  stoweidlem13  46456  dirkertrigeqlem2  46542  fourierdlem26  46576  fourierdlem89  46638  fourierdlem90  46639  fourierdlem91  46640  fourierdlem107  46656  etransclem23  46700  sharhght  47308  sigaradd  47309  cevathlem2  47311  difmodm1lt  47828  fmtnorec3  48026  1subrec1sub  49196  eenglngeehlnmlem1  49228  eenglngeehlnmlem2  49229  rrx2linest  49233  rrx2linest2  49235  line2  49243  itsclinecirc0b  49265