Theorem negsubdi2d 11580

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093   − cmin 11436  -cneg 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439

This theorem is referenced by:  cjneg  15194  icodiamlt  15485  geo2sum2  15924  bpoly3  16107  sinneg  16197  sinhval  16205  vitalilem1  25767  vitalilem2  25768  itgneg  25963  dvrec  26114  dvferm2lem  26145  dvfsumge  26181  dvfsumlem2  26186  dvfsum2  26193  ftc1lem5  26199  ftc2ditg  26205  plyeq0lem  26367  efif1olem2  26708  ang180  26979  isosctrlem3  26985  isosctr  26986  affineequiv3  26990  angpieqvdlem  26993  chordthmlem  26997  mcubic  27012  quart1lem  27020  quartlem1  27022  atanneg  27072  atancj  27075  efiatan  27077  atanlogsub  27081  efiatan2  27082  2efiatan  27083  atantan  27088  atanbndlem  27090  pntrsumo1  27729  pntrlog2bndlem2  27742  pntrlog2bndlem4  27744  pntibndlem2  27755  brbtwn2  29255  colinearalglem4  29259  axsegconlem9  29275  dipcj  31066  bcm1n  33140  constrrtcc  34125  constrrecl  34159  cos9thpiminplylem1  34172  signsplypnf  34937  fsum2dsub  34994  dnibndlem11  37097  irrdifflemf  37989  itg2addnclem3  38344  itg2gt0cn  38346  aks6d1c5lem1  42923  sinpim  43131  cospim  43132  congsym  43715  cvgdvgrat  45043  negsubdi3d  46032  lptre2pt  46374  liminflimsupclim  46541  stoweidlem13  46747  dirkertrigeqlem2  46833  fourierdlem26  46867  fourierdlem89  46929  fourierdlem90  46930  fourierdlem91  46931  fourierdlem107  46947  etransclem23  46991  sharhght  47599  sigaradd  47600  cevathlem2  47602  difmodm1lt  48122  fmtnorec3  48320  1subrec1sub  49505  eenglngeehlnmlem1  49537  eenglngeehlnmlem2  49538  rrx2linest  49542  rrx2linest2  49544  line2  49552  itsclinecirc0b  49574