Theorem negsubdi2d 11508

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11440	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   − cmin 11364  -cneg 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  cjneg  15070  icodiamlt  15361  geo2sum2  15797  bpoly3  15981  sinneg  16071  sinhval  16079  vitalilem1  25565  vitalilem2  25566  itgneg  25761  dvrec  25915  dvferm2lem  25946  dvfsumge  25984  dvfsumlem2  25989  dvfsumlem2OLD  25990  dvfsum2  25997  ftc1lem5  26003  ftc2ditg  26009  plyeq0lem  26171  efif1olem2  26508  ang180  26780  isosctrlem3  26786  isosctr  26787  affineequiv3  26791  angpieqvdlem  26794  chordthmlem  26798  mcubic  26813  quart1lem  26821  quartlem1  26823  atanneg  26873  atancj  26876  efiatan  26878  atanlogsub  26882  efiatan2  26883  2efiatan  26884  atantan  26889  atanbndlem  26891  pntrsumo1  27532  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem4  27547  pntibndlem2  27558  brbtwn2  28978  colinearalglem4  28982  axsegconlem9  28998  dipcj  30789  bcm1n  32875  constrrtcc  33892  constrrecl  33926  cos9thpiminplylem1  33939  signsplypnf  34707  fsum2dsub  34764  dnibndlem11  36688  irrdifflemf  37530  itg2addnclem3  37874  itg2gt0cn  37876  aks6d1c5lem1  42400  sinpim  42615  cospim  42616  congsym  43220  cvgdvgrat  44564  negsubdi3d  45551  lptre2pt  45894  liminflimsupclim  46061  stoweidlem13  46267  dirkertrigeqlem2  46353  fourierdlem26  46387  fourierdlem89  46449  fourierdlem90  46450  fourierdlem91  46451  fourierdlem107  46467  etransclem23  46511  sharhght  47119  sigaradd  47120  cevathlem2  47122  difmodm1lt  47615  fmtnorec3  47804  1subrec1sub  48961  eenglngeehlnmlem1  48993  eenglngeehlnmlem2  48994  rrx2linest  48998  rrx2linest2  49000  line2  49008  itsclinecirc0b  49030