Theorem negsubdi2d 11602

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11534	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11115   − cmin 11458  -cneg 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-ltxr 11265  df-sub 11460  df-neg 11461

This theorem is used by:  cjneg  15224  icodiamlt  15515  geo2sum2  15953  bpoly3  16136  sinneg  16226  sinhval  16234  vitalilem1  25820  vitalilem2  25821  itgneg  26016  dvrec  26167  dvferm2lem  26198  dvfsumge  26234  dvfsumlem2  26239  dvfsum2  26246  ftc1lem5  26252  ftc2ditg  26258  plyeq0lem  26420  efif1olem2  26761  ang180  27032  isosctrlem3  27038  isosctr  27039  affineequiv3  27043  angpieqvdlem  27046  chordthmlem  27050  mcubic  27065  quart1lem  27073  quartlem1  27075  atanneg  27125  atancj  27128  efiatan  27130  atanlogsub  27134  efiatan2  27135  2efiatan  27136  atantan  27141  atanbndlem  27143  pntrsumo1  27782  pntrlog2bndlem2  27795  pntrlog2bndlem4  27797  pntibndlem2  27808  brbtwn2  29312  colinearalglem4  29316  axsegconlem9  29332  dipcj  31139  bcm1n  33212  constrrtcc  34191  constrrecl  34225  cos9thpiminplylem1  34238  signsplypnf  35004  fsum2dsub  35061  dnibndlem11  37136  irrdifflemf  38028  itg2addnclem3  38383  itg2gt0cn  38385  aks6d1c5lem1  42963  sinpim  43171  cospim  43172  congsym  43755  cvgdvgrat  45083  negsubdi3d  46072  lptre2pt  46414  liminflimsupclim  46581  stoweidlem13  46787  dirkertrigeqlem2  46873  fourierdlem26  46907  fourierdlem89  46969  fourierdlem90  46970  fourierdlem91  46971  fourierdlem107  46987  etransclem23  47031  sharhght  47639  sigaradd  47640  cevathlem2  47642  difmodm1lt  48162  fmtnorec3  48360  1subrec1sub  49544  eenglngeehlnmlem1  49576  eenglngeehlnmlem2  49577  rrx2linest  49581  rrx2linest2  49583  line2  49591  itsclinecirc0b  49613  crosspaltd  50707