Theorem negsubdi2d 11525

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2d	⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsubdi2 11457	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   − cmin 11381  -cneg 11382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  cjneg  15089  icodiamlt  15380  geo2sum2  15816  bpoly3  16000  sinneg  16090  sinhval  16098  vitalilem1  25542  vitalilem2  25543  itgneg  25738  dvrec  25892  dvferm2lem  25923  dvfsumge  25961  dvfsumlem2  25966  dvfsumlem2OLD  25967  dvfsum2  25974  ftc1lem5  25980  ftc2ditg  25986  plyeq0lem  26148  efif1olem2  26485  ang180  26757  isosctrlem3  26763  isosctr  26764  affineequiv3  26768  angpieqvdlem  26771  chordthmlem  26775  mcubic  26790  quart1lem  26798  quartlem1  26800  atanneg  26850  atancj  26853  efiatan  26855  atanlogsub  26859  efiatan2  26860  2efiatan  26861  atantan  26866  atanbndlem  26868  pntrsumo1  27509  pntrlog2bndlem2  27522  pntrlog2bndlem4  27524  pntibndlem2  27535  brbtwn2  28885  colinearalglem4  28889  axsegconlem9  28905  dipcj  30693  bcm1n  32768  constrrtcc  33718  constrrecl  33752  cos9thpiminplylem1  33765  signsplypnf  34534  fsum2dsub  34591  dnibndlem11  36469  irrdifflemf  37306  itg2addnclem3  37660  itg2gt0cn  37662  aks6d1c5lem1  42117  sinpim  42331  cospim  42332  congsym  42950  cvgdvgrat  44295  negsubdi3d  45284  lptre2pt  45631  liminflimsupclim  45798  stoweidlem13  46004  dirkertrigeqlem2  46090  fourierdlem26  46124  fourierdlem89  46186  fourierdlem90  46187  fourierdlem91  46188  fourierdlem107  46204  etransclem23  46248  sharhght  46856  sigaradd  46857  cevathlem2  46859  difmodm1lt  47353  fmtnorec3  47542  1subrec1sub  48687  eenglngeehlnmlem1  48719  eenglngeehlnmlem2  48720  rrx2linest  48724  rrx2linest2  48726  line2  48734  itsclinecirc0b  48756