Theorem ltdiv2dd 45748

Description: Division of a positive number by both sides of 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdiv2dd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
ltdiv2dd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
ltdiv2dd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ltdiv2dd.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltdiv2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴))

Proof of Theorem ltdiv2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv2dd.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltdiv2dd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
3		ltdiv2dd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4		ltdiv2dd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	ltdiv2d 13003	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361   < clt 11173   / cdiv 11801  ℝ⁺crp 12936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-rp 12937

This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  46381  ioodvbdlimc2lem  46383  fourierdlem87  46642